Що таке рівняння алгебри. Алгебраїчні рівняння з математики

Транскрипт

1 Алгебраїчні рівняння де Визначення. Алгебраїчним називається рівняння виду 0, P() 0, деякі дійсні числа. 0 0 При цьому змінна величинаназивається невідомим, а числа 0 коефіцієнтами рівняння (), порядком (або ступенем) рівняння. Визначення. Число називається рішенням (або коренем) рівняння (), якщо при підстановці числа в рівняння 0 P замість виходить правильна рівність 0 P. Залежно від коефіцієнтів рівняння () може мати єдиний дійсний корінь, кілька коренів, або не мати дійсних коренів. Вирішити рівняння означає знайти все його коріння (у шкільному курсірозглядаються лише дійсні рішення) або довести, що рівняння немає рішень. і Розглянемо рівняння () при. Для (кубічний рівняння) є формули коренів рівняння 0 P в радикалах, відомі під ім'ям формул Кордано. При рівняння () неможливо в радикалах, тобто. рішення рівняння 0 P при не можна виразити через його коефіцієнти 0 за допомогою кінцевого числаарифметичних операцій (операцій складання, віднімання, множення, поділу та вилучення арифметичного кореня). Доказ цього твердження вперше було отримано норвезьким математиком Абелем у 6 році. В окремих випадках рішення рівнянь алгебри вищих ступенів, у тому числі третього і четвертого, вдається знайти досить просто. Така можливість повністю визначається коефіцієнтами, 0, многочлена P. Наслідок теореми Безу. Якщо є коренем многочлена (P 0), то многочлен P ділиться двочлен без залишку, тобто. існує багаточлен такий, що P F F. P

2 «куточком». Рівняння () у цьому випадку рівносильне сукупності рівнянь Поділ одного многочлена Рівняння 0, F 0. P на інший Q m, m, можна виробляти P ступеня може мати не більше дійсних коренів з урахуванням кратності. При цьому рівняння не парного ступенязавжди має хоча б один дійсний корінь. Якщо дійсні числа... є корінням рівняння 0 то має місце тотожність P, Для рівнянь вищих ступенів () справедлива теорема Вієта, яку сформулюємо у випадку і. Якщо дійсні числа, і є корінням кубічного рівняння 0, 0, вони задовольняють умовам: b c d d, c, b. Якщо дійсні числа і є корінням рівняння четвертого ступеня 0, 0, то вони задовольняють умовам: b c d e Якщо раціональне число 0 e, d, b. p, де p q q c, нескоротний дріб, є коренем рівняння з цілими коефіцієнтами, то p має бути дільником вільного члена

3 а q дільником коефіцієнта 0 при старшого ступеня. Зокрема, цілі корені 0 p наведеного рівняння 0 з цілими коефіцієнтами є дільниками вільного члена. Це твердження випливає з останньої рівності (.7) Якщо сума всіх коефіцієнтів рівняння 0 має корінь. P дорівнює нулю, то рівняння Наприклад, сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю, тому воно має корінь. Якщо у рівнянні сума коефіцієнтів при непарних ступенях дорівнює сумі вільного члена та коефіцієнтів при парних ступенях, то рівняння має корінь. Наприклад, у рівнянні маємо 6 7 тому корінь даного рівняння. Розглянемо окремі класи рівнянь алгебри вищих ступенів і вивчимо методи їх вирішення. Біквадратні рівняння. Визначення. Біквадратним називається рівняння виду де 0. b c 0, () Для розв'язання цього рівняння використовується заміна змінних y, де y 0. При цьому виходить квадратне рівняння y by c 0. Оскільки рівняння () є рівнянням четвертого ступеня, воно має не більше чотирьох дійсних коренів. Якщо y та y - його рішення, то вихідне біквадратне рівняння буде рівносильним сукупності: Метод підбору кореня (коренів). 0 y y. Якщо наведене рівняння алгебри () з цілими коефіцієнтами має цілі коріння, то їх потрібно шукати серед дільників вільного члена

4 рівняння (). Раціональне коріння p 0 рівняння () з цілими коефіцієнтами q p слід шукати серед чисел таких, що p є дільником вільного члена, q а q – дільником коефіцієнта 0 при старшому ступені у рівнянні (). Ці властивості лежать в основі методу підбору коренів рівняння алгебри. приклад. Розв'язати рівняння 0. Розв'язання. Це рівнянняє наведеним та має цілі коефіцієнти. Тому цілі коріння цього рівняння (якщо вони є) містяться серед дільників вільного члена:,. Легко переконатись, що є коренем рівняння. Щоб знайти решту коріння розділимо багаточлен на двочлен «куточком»: 0. Для рівняння 0 знову підбором знайдемо корінь, а потім розділимо багаточлен на двочлен: 0, Рівняння 0 дійсних коренів не має. Таким чином вико-

5 хідне рівняння -й ступеня має два дійсних кореня. Відповідь. Метод заміни змінних. Якщо заміні змінних вихідне рівняння спрощується (наприклад, знижується його ступінь), то сміливо вводимо нову змінну. приклад. Вирішити рівняння. Рішення. Якщо розкрити дужки та привести подібні доданки, то вийде рівняння 60, яке вирішувати дуже складно. Хоча воно і є рівнянням з цілими коефіцієнтами, але цілого коріння як побачимо нижче, воно не має. Тому скористаємося іншим способом: введемо нову змінну y і розв'яжемо квадратне рівняння y y. Його коріння: y та y. Відповідно вихідне рівняння буде рівносильним сукупності двох рівнянь. Вирішимо отримані квадратні рівняння. 0, D 0,. або 0, D 7 0 рішень немає. Таким чином, вихідне рівняння й ступеня має два корені і. Відповідь. приклад. Знайти найбільший негативний коріньрівняння 0. Рішення. Підібрати коріння цього рівняння дуже складно, тому скористаємося наступним прийомом: домножимо (або розділимо) дане рівняння на деяке число так, щоб старший член рівняння став кубом деякого виразу

6 Зауважимо, що, і введемо нову змінну y. В результаті отримаємо рівняння y y y 6 0, що дорівнює вихідному. Підбором знайдемо його коріння y, y та y, яким будуть відповідати коріння вихідного рівняння, в. Найбільшим негативним коренем є. Відповідь. Найбільший негативний корінь. Можна ввести ще одну змінну і розглянути квадратне рівняння щодо однієї з отриманих (старої або нової) змінних. приклад. Знайти найменший корінь рівняння 6 0. Рішення. Перетворимо вихідне рівняння наступним чином: Введемо нову змінну y 6 і отримаємо рівняння 6 y y 0. Розв'яжемо отримане рівняння як квадратне щодо y. y чи y. D 6 y y 0, y, Повернемося до змінної, отримаємо два квадратні рівняння.

7 6, 9 0, D 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, D 9, Отримали рішення вихідного рівняння. Виберемо найменше їх. Так як 0 0, то 9. тому найменше рішення. 9 0 Відповідь. Найменше рішення. Поворотні рівняння Визначення. Поворотним чи симетричним називаються рівняння виду 0 0, котрим рівні коефіцієнти, які стоять на симетричних позиціях, тобто при k 0,. k k Наприклад, є зворотним, оскільки 0, 9, 6. Для поворотних рівнянь вірні такі твердження. Поворотне рівняння непарного ступеня має корінь і після поділу на двочлен приводиться до зворотному рівняння парного ступеня. Поворотне рівняння парного ступеня може бути зведене до рівняння вдвічі меншим за допомогою введення змінної y. Проілюструємо дані твердження на прикладах. приклад. Розв'язати рівняння Розв'язання. Неважко помітити, що це рівняння є зворотним непарного ступеня і, отже, має корінь. Розділимо багаточлен на двочлен:

8 Залишається вирішити зворотне рівняння -й ступеня Оскільки 0 перестав бути коренем даного рівняння, можна розділити обидві частини даного рівняння на Зробимо заміну змінних тобто. y.. Отримаємо y. Тоді y, Отримаємо рівняння y 0y 6 0 (ступінь рівняння знизилася вдвічі!) Розв'яжемо квадратне рівняння y 0y 0. За теоремою Вієта числа y та y 6 є його корінням. Маємо далі

9 0, 6 0, D 0, 6 0, 9,. Отже, вихідне рівняння -й ступеня має коріння:, в. Відповідь., в. D Використання монотонності функцій та інших спеціальних прийомів Для вирішення нестандартних рівнянь алгебри доводиться залучати різні прийоми перетворення рівняння до рівносильної форми, введення нових змінних, дослідження функції Рішення рівнянь виду g f у складі рівняння 0 f і т.д. f іноді зручно будувати використання властивості монотонності функцій. У основі цього прийому лежить така теорема. Теорема. Нехай рівняння f g визначено на множині X R ; функція f є монотонно зростаючою (зменшує) на X, а g монотонно убування (зростаючою). Якщо E f, E g області значень f g на множині X і E f Eg, існує єдина точка 0 X така, що g f, тобто. рівняння 0 0 f g має єдине рішення. Ця теоремасправедлива для будь-яких рівнянь виду g для алгебраїчних. Приклад 6. Розв'язати рівняння 96 E f. y f Eg 0 X g f, а не лише Рішення. Ступінна функція y, N, визначена на всій числовій прямій і є строго зростаючою функцією на R. Тому ліва частина даного

10 рівняння f є строго зростаючою функцією R як сума двох строго зростаючих функцій. Права частина 96 g є тотожно постійною. Тому відповідно до теореми.6 рівняння має єдине рішення. Неважко бачити, що є. Відповідь. Приклад 7. Розв'язати рівняння. Рішення Y. Але Y для будь-якого R і тому рівняння 0 Y, отже, і вихідне (.), немає рішення. Відповідь.

МІНІСТЕРСТВО НАУКИ ТА ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ РІЗАНСЬКА ДЕРЖАВНА РАДІОТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ ГС ЛУК'ЯНОВА АІНОВІКІВ РАЦІОНАЛЬНІ ТА ІРРАЦІОНАЛЬНІ

АГЕНЦІЯ ОСВІТИ АДМІНІСТРАЦІЇ КРАСНОЯРСЬКОГО КРАЮ КРАСНОЯРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЗАТІВНА природничо-наукова школа при красзі ДОДАТКОВІ ГЛАВИ МАТЕМАТИКИ

Тема 14 «Алгебраїчні рівняння та системи не лінійних рівнянь» Багаточлен ступеня n називається многочлен виду P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, де a 0, a 1, a n-1, a n задані числа, a 0,

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СПЕЦІАЛІЗОВАНИЙ НАВЧАЛЬНО-НАУКОВИЙ ЦЕНТР Математика 8 клас Многочлени Новосибірськ

Ірраціональні рівнянняі нерівності Зміст Ірраціональні рівняння Метод зведення обох частин рівняння в один і той же ступінь Завдання Завдання Завдання Заміна ірраціонального рівняння змішаної

Тотожні перетворення алгебраїчних виразівАлгебраїчні вирази, що містять числа та літери, пов'язані алгебраїчними діями: додаванням, відніманням, множенням, розподілом і зведенням

4.. Метод заміни змінної під час вирішення алгебраїчних рівнянь. У попередньому пункті метод заміни змінної був використаний для розкладання багаточлену на множники. Цей методшироко застосовується для

Тема 5 Раціональні системирівнянь F (x, x,...,) 0, F (x, x,...,) 0, Система рівнянь виду де... Fk (x, x,...,) 0, F i( x, x,...,), i,..., k, деякі багаточлени, називається системою раціональних

Міністерство освіти та науки Російської ФедераціїМосковський фізико-технічний інститут (державний університет) Заочна фізико-технічна школа МАТЕМАТИКА Багаточлени. Найпростіші рівняння та

Розділ 7 Квадратні рівняння Розмова 8 Як вирішували квадратні рівняння у давнину. Насправді вавілонський метод дає розв'язання системи + y =, що є записом завдання знаходження y = q, сторін

Програма з алгебри для 7 класу загальноосвітньої установи. Пояснювальна запискаСтруктура програми Програма включає три розділи: 1.Плановані результати засвоєння алгебри в 7 класі 2.Зміст

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Зміст Рівняння вищих порядків 1 Безпосереднє угруповання............................. 1 2 Підбір кореня........................................

Міністерство освіти Московської області Державне бюджетне освітня установавищого професійної освітиМосковської області " Міжнародний університетприроди, суспільства та

Вказівки, рішення, відповіді РІВНЯННЯ В ЦІЛІХ ЧИСЛАХ. Рівняння з однією невідомою. Рішення. Підставимо в рівняння. Отримаємо рівність (4a b 4) (a b 8) 0. Рівність A B 0 де А і В цілі, виконується,

Рівняння В алгебрі розглядають два види рівностей тотожності і рівняння Тотожність ця рівність яка виконується при всіх допустимих значеннях входять до нього букв Для тотожності використовують знаки

Заочний фізико-математичний ліцей «Авангард» Е. Н. ФІЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Експериментальний підручник Частина МОСКВА 06 Заочний фізико-математичний ліцей «Авангард» Е. Н. Філатов АЛГЕБРА 8 Експериментальний

Тема 1 Дійсні числа та дії над ними 4 години 11 Розвиток поняття про число 1 Спочатку під числами розуміли лише натуральні числа, яких достатньо для рахунку окремих предметівБезліч

АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ СТАРШИХ СТУПЕНЬ Зміст АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ СТАРШИХ СТУПЕНІВ алгебраїчних рівнянь вище другого ступеня Багаточлени та їх коріння Розподіл багаточленів

МАТЕМАТИКА Квадратне коріння Завдання для 8-х класів (006-00 навчальний рік) 4 Вступ Дорогі хлопці! Ви отримали чергове завдання з математики. У цьому завданні ми знайомимо вас із важливим математичним поняттям

8.3 клас, Математика (підручник Макаричів) 2016-2017 н.р. Тема модуля 5 «Квадратний корінь. Ступінь із цілим показником» У тесті перевіряються теоретична та практична частини. ТЕМА Знати Вміти Знати

Пензенський державний університет Фізико-математичний факультет «Очно-заочна фізико-математична школа» МАТЕМАТИКА Тотожні перетворення. Розв'язання рівнянь. Трикутники Завдання 1 для

0 клас, Математика (профіль) 0-08 учгод Тема модуля «Коріння, ступеня, логарифми» Знати Поняття дійсного числа, безлічі чисел, властивості дійсних чисел, Подільність цілих чисел****, властивості

8. клас, Математика (підручник Макаричів) 07-08 уч.год Тема модуля «Квадратний корінь. Ступінь із цілим показником» У тесті перевіряються теоретична та практична частини. ТЕМА Знати Вміти Знати визначення

РІШЕННЯ РЕКУРРЕНТНИХ РІВНЯНЬ Позначимо через значення деякого виразу при підстановці в нього цілого числа Тоді залежність члена послідовності від членів послідовності F F зі значеннями

Глава Ступінь з раціональним показникомСтупінна функція Ступінь із цілим показником Нагадаємо визначення та основні властивостіступеня з цілим показником Для будь-якого дійсного числа а вважаємо а

Http://vk.ucoz.et/ Операції над багаточленами k a k Багаточленом (поліномом) ступеня k називається функція виду a, де змінна, a - числові коефіцієнти (=,.k), і. Будь-яке ненульове число можна розглядати

Аналітичне рішення рівнянь алгебри 3 і 4 Зміст 1 Вступ 1 2 Рівняння третього ступеня 3 3 Рівняння четвертого ступеня 7 1 Вступ У цьому манускрипті наводяться формули для

Заняття. Ступінь із довільним дійсним показником, її властивості. Ступінна функція, її властивості, графіки. Згадати властивості ступеня з раціональним показником. a a a a a для натурального разів

ДОВІДНИК Деякі ознаки ділимості натуральних чисел Натуральні числа це числа, що використовуються для рахунку:, Натуральні числа утворюють безліч, зване безліччю натуральних чисел Безліч

Розділ 9 Ступінь Ступінь із цілим показником. 0 = 0; 0 =; 0 = 0. > 0 > 0; > >.. >. Якщо парно, то ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Наприклад, () = > = = (), так

Статус документа Пояснювальна записка Ця робоча програма з алгебри для 8 класу (поглиблений рівень) основний загальної загальноосвітньої школискладена на основі федерального компонента державного

МОДУЛЬ 7 «Показова та логарифмічні функції». Узагальнення поняття ступеня. Корінь й ступеня та його властивості. Ірраціональні рівняння. Ступінь з раціональним показником. Показова функція.

Уральська федеральний університет, Інститут математики та комп'ютерних наук, кафедра алгебри та дискретної математикиПоняття багаточлена Визначення Багаточленом від однієї змінної називається вираз виду

Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Тверський державний університет».

Лекція Розділ Множини та операції над ними Поняття множини Поняття множина відноситься до найбільш первинних понять математики не визначених через простіші Під множиною розуміють сукупність

0.5 Логарифмічні рівняннята нерівності. Використовувана література:. Алгебра та початку аналізу 0- під редакцією А.Н.Колмогорова. Самостійні та контрольні роботиз алгебри 0- під редакцією Є.П.Єршова

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ Зміст КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ... 4. та дослідження квадратних рівнянь... 4.. Квадратне рівняння з числовими коефіцієнтами... 4.. Вирішити та дослідити квадратні рівняння щодо

Зміст Рівняння............................................ Цілі вирази. ................................... Вирази зі ступенями............ ................. 3 Одночлен ............................... ..............

Дії з дробами: Електронне методичний посібникдля виконання домашнього завдання Домашнє завдання. «Перетворення статечного та ірраціонального виразів. Обчислення значень числових виразів» Формули

Пояснювальна записка Робоча програма з алгебри для 8 класу ( поглиблене вивчення) складено відповідно до федерального компонента державного освітнього стандарту, програмою з алгебри

І. В. Яковлєв, А. Г. Малкова. Підготовка до ЄДІ з математики. Матеріали сайту http://www.ege-study.ru Тригонометричні рівняння У цій статті ми розповімо про основні типи тригонометричних рівнянь

Лекція 7 Комплексні числа їх зображення на площині Алгебраїчні операції над комплексними числами Комплексне сполучення Модуль і аргумент комплексного числа тригонометричної форми

Календарно-тематичне планування з визначенням основних видів навчальної діяльностіуроку Дата Розділ Тема уроку Характеристика основних видів діяльності учнів 1 півріччя 65 уроків; 1 чверть

Державне бюджетне загальноосвітня установаРеспубліки Хакасія Хакаська національна гімназія інтернат ім. Н.Ф.Катанова» «ПОГОДЖЕНО» на засіданні кафедри математики та інформатики Протокол

Глава 1. Історія квадратних рівнянь і рівнянь вищих порядків 1.1. різноманітних завданьза допомогою рівнянь. Зазвичай у завданнях потрібно

Програма з математики На іспиті з математики вступники повинні показати: 1. Чітке знання математичних визначеньі теорем, основних формул алгебри та геометрії, вміння доводити теореми та виводити

Лекція ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ Раціональні дроби Інтегрування найпростіших раціональних дробів Розкладання раціонального дробуна найпростіші дроби Інтегрування раціональних дробів Раціональні

МАТЕМАТИКА Раціональні рівнянняСистеми рівнянь Рівняння, що містять модуль Завдання для 9-класів 0-04 навчальний рік Упорядник: кпн, доцент Марина ЄВ Пенза, 0 Вступ Згадаймо деякі поняття

Типового варіанта«Комплексні числа Багаточлени та раціональні дроби» Завдання Дані два комплексні числа та cos sn Знайдіть та результат запишіть у алгебраїчній формірезультат запишіть у тригонометричній

Додаток до «Основний освітній програміосновного загальної освітиМБОУ ЗОШ 5» РОБОЧА ПРОГРАМА з навчального предмета «Алгебра» для 7-х 8-х класів Програма: Програми. Математика. 5-6 класи.

2.22. Винесіть за дужки загальний множник(n натуральне число): 1) x n + 3 + x n; 3) z 3n - z n; 2) y n + 2 - y n - 2, n> 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Кожному числу поставили у відповідність

Пояснювальна записка Робоча програма елективного навчального предмета«Алгебра плюс: алгебра з погляду вищої математики» для учнів 0-класів складена на основі зразкової робочої програмивчителі

3.. Методи вирішення раціональних нерівностей 3..1. Числові нерівностіСпочатку визначимо, що розуміємо під твердженням a > b. Визначення 3.1. Число a більше числа b, якщо різницю між ними позитивна.

Календарно-тематичне планування Алгебра 8б клас Рівень навчання: поглиблений 4 години на тиждень/144 години на рік Зміст тем навчального курсу 1. Повторення матеріалу 7 класу (6 годин). Алгебраїчні

Екзаменаційний білет 1 1. Перетворення звичайних дробіву десяткові та навпаки. Події з дробами. 2. Визначення функції. Способи завдання, область визначення, область значень функції. 2 x 1 x x 1

7 Тригонометричні рівняння та нерівності Коментар Стійкою є помилка абітурієнтів про те, що при вирішенні тригонометричних рівнянь не потрібна перевірка Це так далеко не завжди При вирішенні

57 Розглянемо інтегрування найпростішого раціонального дробу четвертого типу (M N) d () p q p Зробимо заміну змінної, поклавши d. де p q. Тоді Інтеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Диференційне рівняння вищого порядку. Конєв В.В. Малюнки лекцій. 1. Основні поняття 1 2. Рівняння, що допускають зниження порядку 2 3. Лінійні диференційне рівняннявищого порядку

Повторення Алгебра 7 8. Питання. Розкриття дужок. Множення багаточленів. Графік лінійної функції. 4. Розкладання многочлена на множники. 5. Властивість ступеня з натуральним показником. 6. Формули скороченого

Розв'язання рівнянь у цілих числах Лінійні рівняння. Метод прямого перебору Приклад. У клітці сидять кролики та фазани. Загалом у них 8 ніг. Дізнатися скільки в клітці тих та інших. Вкажіть усі рішення. Рішення.

НАУКОВО ДОСЛІДНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ВИЩА ШКОЛА ЕКОНОМІКИ МАТЕМАТИКА Програма «11 клас» 2013-2014 навчальний рік Частина 1, алгебра та початки аналізу Зміст Глава 1. Зміст курсу та контрольних робіт...

Глава I Алгебраїчні дроби 18 Розділ II Квадратна функція. функція. 14 Розділ III Функціяу = х. Властивості квадратного кореня 12 Розділ IV Квадратні рівняння 22 Розділ V Дійсні числа 11 Розділ VI

, ДВДГУ,

, Математичний ліцей

Алгебраїчні рівняння та методи їх вирішення

П.1 Багаточлен та його коріння

Розглянемо набір з (n+1) дійсних чисел , багаточлен (поліном) ступеня nіз зазначеними вище коефіцієнтами називають вираз виду:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" width="257" height="25 src="> (2)

називають алгебраїчним рівнянням ступеня n.

Коріння рівняння (2) також називають корінням багаточлена.

Наведемо кілька фактів, що належать до коріння багаточленів.

факт 1. Будь-який многочлен непарної міри має хоча б один дійсний корінь.

Зауваження. Навіть знаючи, що рівняння має корінь, знайти цей корінь буває дуже непросто.

приклад 1.Рівняння очевидно має коріння 0 та p.

приклад 2.Встановити коріння рівняння, яке, безумовно, є досить складне завдання.

факт 2. Якщо коефіцієнти многочлена є цілими числами, то раціональне корінняцього рівняння (якщо є) мають вигляд , де числа k і m – натуральні, причому k – дільник вільного члена , m – дільник головного коефіцієнта .

приклад 3. https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" height="41 src="> (повторювані числа скорочені).

Перевірка показує, що підходять числа 2 і .

Завдання з відділення раціонального коріннязначно спрощується, якщо старший коефіцієнт у багаточлені дорівнює одиниці. У цьому випадку можливе раціональне коріння рівняння може бути лише цілими числами, на які ділиться вільний член полінома.

приклад 4.У многочлена можливі такі цілі коріння: . Перевіряючи можливе коріння (це можна досить швидко робити за допомогою Схеми Горнера) переконуємось, що єдиний ціле коріннярівняння дорівнює 2.

факт 3. Якщо число - корінь багаточлена, то цей многочлен можна представити у вигляді твору можна, наприклад, застосовуючи Спосіб розподілу «куточком», дуже схожий на той, який застосовують до звичайних чисел.

Наведемо приклад.

Приклад 5.Поділимо на:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" Зауважимо, що перший множник має негативний дискримінант, тому він (і вихідний поліном) більше коренів не має.

факт 4.Будь-який многочлен із дійсними коефіцієнтами можна представити у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 height="24"> - кратність кореня, - Квадратні тричлени, що не мають дійсних коренів (їх називають непривідними).

Зауваження.При розв'язанні рівнянь і нерівностей можна скорочувати на тричлени, що не наводяться.

П.2. Угруповання як спосіб знаходження коренів полінома

На жаль, (і це доведено), не існує універсального алгоритму, що дозволяє (на кшталт квадратного тричлена) знаходити коріння будь-якого полінома. Існують спеціальні формули для вирішення рівнянь третього та четвертого ступеня, проте вони трудомісткі та у шкільному курсі не вивчаються. Тому часто використовуються інші методи, такі як відділення коренів (розглянутий у першому пункті), метод угруповання та його окремий випадок- Виділення повних квадратів.

Суть методу угруповання в наступному: члени многочлена розбивають на групи (звідси і назва) так, що після приведення подібних кожна група розкладеться на множники, причому один з множників утримуватиметься в кожній групі. Цей загальний множник виноситься за дужки і вихідний многочлен розкладається на твір двох багаточленів нижчого ступеня.

Розглянемо приклад.

Приклад 6.Розкласти на множники методом угруповання багаточлен

https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" width="272" height="24 src=">

(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" height="21">, перший доданок включимо в першу групу, другий доданок - в третю).

https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" height="24">, знаходимо розкладання:

.

Обидва квадратних тричленамають негативні дискримінантитому подальше їх розкладання неможливе.

Приклад 7.Розкласти на множники поліном:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" height="21"> потрібно виділити частину, кратну 14: це, наприклад, 70-1, 84-15, 98-29 або 42 + 27. Перший варіант призводить до глухого кута.Розглянемо другий варіант.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" width="603" height="24">.

Таким чином,

П.3. Приклади вирішення найпростіших рівнянь алгебри

Багаточлени є найпростішими рівняннями алгебри. У цьому пункті ми розглянемо деякі приклади розв'язання таких рівнянь.

Приклад 8.Знайти коріння рівняння

https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" width="89" height="19 src=">.

Почнемо з найменшого числа – трійки.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 height=23" height="23"> - один з коренів рівняння. Щоб знайти решту коріння, розділимо ліву частинурівняння на:

Використовуючи, наприклад, формули Вієта, отримуємо два інші корені: .

Відповідь: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" width="124" height="21 src=">.

Рішення.Завдання можна звести до біквадратного рівняння, але спробуємо використовувати розкладання на множники..gif" width="616" height="24 src=">.

Коріння першого співмножника: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63".

Далі розглянемо приклад рівняння, яке зводиться до раціонального. Особливість таких рівнянь – обов'язкова вимога перевірки знайденого коріння області допустимих значень. Наприклад, на ЄДІ кілька років тому пропонувалося «просте» завдання.

приклад 10.Вирішити рівняння

DIV_ADBLOCK37">

П. 4. Дробові рівняння алгебри

Найпростіший дробовий вираз алгебри має вигляд:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" width="40" height="23 src=">.gif" width="111" height="41 src=">.

Рішення:наведемо дроби до спільного знаменника:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" width="207" height="41">.

Обидва корені чисельника не є корінням знаменника (переконайтеся в цьому, безпосередньо підставивши обидва корені у знаменник), тому вони є рішеннями розглянутого рівняння.

Якщо дробово-раціональне рівняннямістить багато елементарних виразів, то, після перетворень, у чисельнику може утворитися досить громіздкий вираз, відшукання коренів якого буде дуже скрутним. Але в деяких випадках можливо звести складне рівняннядо простішого, використовуючи, наприклад, заміну змінних. Розглянемо приклад.

приклад 12.Вирішити рівняння

https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" height="41"> є взаємно-зворотними (їх твір одно одиниці). Введемо наступну заміну: . Вихідне рівняння прийме вигляд:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" height="16">, отримаємо квадратне рівняння:

Виконаємо зворотну заміну. ​​Отримаємо і вирішимо сукупність двох рівнянь: 2. Індекс, адреса місця проживання. , електронна пошта(якщо є), телефон (домашній чи мобільний)

3. Дані про школу (наприклад: МБОУ №1 п. Бікін)

4. Прізвище, І. О. вчителя математики (наприклад: вчитель математики)

М 10.2.1.Розв'яжіть рівняння, розклавши багаточлен на множники:

М 10.2.2.Розв'яжіть дробово-раціональне рівняння

а) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" width="209". Вказівка: перемножте спочатку перший множник із четвертим і другий із третім. Перший твір позначтеy, другий твір тоді представиться як y+2. Розв'яжіть квадратне рівняння, що вийшло, і зробіть зворотну заміну.)

в) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" width="165". Вказівка: спробуйте додати до перших двох складових деяке число так, щоб сума виявилася дробом, зворотним тим, що стоїть на третьому місці з множником -10. Далі дивіться приклади 12 та 13.)

зв. коефіцієнтами рівняння та є даними, хназ. невідомим та є шуканим. Коефіцієнти А. в. (1) передбачаються не всі рівними нулю. Якщо то зв. ступенем рівняння.

Значення невідомого х,к-рі задовольняють рівнянню (1), т. е. при підстановці замість хребет рівняння в тотожність, зв. корінням рівняння (1), а також корінням багаточлена

f n(x) = 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n .(2)

Коріння многочлена пов'язані з його коефіцієнтами за формулами Вієта (див. Вієта теорема). Вирішити рівняння - означає знайти всі його коріння, що лежать в області значень невідомого.

Для додатків найбільш важливий випадок, коли коефіцієнти та корені рівняння – числа тієї чи іншої природи (напр., раціональні, дійсні чи комплексні). Розглядається також і випадок, коли коефіцієнти та коріння - елементи довільного поля.Якщо це число(або елемент поля) з -корінь багаточлена f n(х) , то згідно Безу теоремі f n(х).ділиться на х- сбез залишку. Поділ можна виконувати за Горнером схемою.

Число (або елемент поля) з зв. k-до ратнихкоренем багаточлена f(x)( k -натуральне число), якщо f(x).ділиться на ( х- с) k, але не ділиться на (x-с) k +1. Коріння кратності 1 зв. простим коріннямбагаточлена.

Кожен многочлен f(x).ступеня n>0 з коефіцієнтами з поля Рімєє в Рні більше пкорнів, вважаючи кожен корінь стільки разів, яка його кратність (і, отже, трохи більше за різних коренів).

У алгебраїчно замкнутому полікожен многочлен ступеня пимає рівно пкорнів (вважаючи їхню кратність). Зокрема, це справедливо для поля комплексних чисел.

Рівняння (1) ступеня пс коефіцієнтами поля Рназ. неприведеним над полем Р,якщо багаточлен (2) ненаводимо над цим полем, тобто не може бути представлений у вигляді добутку інших многочленів над полем Р,ступеня яких брало менше п.Інакше многочлен і відповідне рівняння зв. наведеними. Багаточлени нульового ступеня і сам не зараховуються ні до приводних, ні до неприведених. Властивість даного многочлена бути приводним або ненаведеним над полем Р залежить від поля, що розглядається. Так, многочлен х 2 -2 ненаводимо над полем раціональних чисел, т. К. Інакше він мав би раціональне коріння, але наводимо над полем дійсних чисел: х 2 - 2=(х+ Ц2)(х-Ц2). Аналогічно, багаточлен х 2 + 1 ненаводимо над полем дійсних чисел, але наводимо над полем комплексних чисел. Взагалі, над полем комплексних чисел неприведені лише багаточлени 1-го ступеня, і кожен многочлен можна розкласти на лінійні множники. Над полем дійсних чисел неприведені тільки багаточлени 1-го ступеня і багаточлени 2-го ступеня, що не мають дійсних коренів (і всякий багаточлен розкладається в лінійних і ненаведених). квадратних багаточленів). Над полем раціональних чисел існують неприведені багаточлени будь-яких ступенів, такі, напр., многочлени виду Неприводимость багаточлена над полем раціональних чисел встановлюється критерієм Ейзенштейна: якщо для многочлена (2) ступеня з цілими коефіцієнтами існує таке, що старший не ділиться на р,всі інші коефіцієнти діляться на , а вільний член не ділиться те що цей многочлен не-нводимо над полем раціональних чисел.

Нехай Р -довільне поле. Для будь-якого багаточлена ступеня ненаведеного над полем Р,існує таке розширенняполя Р, в якому міститься хоча б один корінь многочлена більше того, існує многочлена тобто поля Р,у якому цей многочлен може бути розкладений на лінійні множники. Будь-яке поле має замкнене алгебри.

Розв'язність рівнянь алгебри в радикалах. Будь-яке А. в. ступеня, що не перевищує 4, вирішується в радикалах. Розв'язання задач, що приводяться до приватних видів рівняння 2-го і 3-го ступенів, можна знайти ще в стародавньому Вавилоні (2000 років до н.е.) (див. Квадратне рівняння, Кубічне рівняння).Перший виклад теорії розв'язання квадратних рівнянь дано у книзі Діофанта «Арифметика» (3 ст. н. е.). Рішення в радикалах рівнянь 3-й л 4-й ступенів з літерними коефіцієнтами було отримано італійськими математиками у 16 ​​ст. (Див. Кардано, Феррарі метод).Протягом майже 300 років після цього робилися безуспішні спроби вирішити у радикалах рівняння з літерними коефіцієнтами 5-ї та більше високих ступенів. Нарешті, в 1826 р. Н. Абель (N. Abel) довів, що таке неможливо.

Сучасне формулюваннятеореми Абеля: нехай (1) Ч рівняння ступеня з літерними коефіцієнтами Ч будь-яке поле та РЧ поле раціональних функційз коефіцієнтами з До;тоді корені рівняння (1) (що лежать у деякому розширенні поля Р)не можна виразити через коефіцієнти цього рівняння за допомогою кінцевого числа дій додавання, віднімання, множення, поділу (мають сенс у полі Р)та знаків кореня (мають сенс у розширенні поля Р).Іншими словами, загальне рівняння ступеня n> 4 не можна розв'язати в радикалах (див. , С. 226).

Теорема Абеля не виключає, проте, те, що кожне А. в. з даними числовими коефіцієнтами (або коефіцієнтами з даного поля) вирішується у радикалах. Рівняння будь-якого ступеня пнек-рих приватних видів вирішуються в радикалах (напр., двочленні рівняння). Повне рішенняпитання про те, за яких умов А. в. можна в радикалах, було отримано бл. 1830 Е. Галуа (Е. Galois).

Основна Галуа теоріїпро розв'язання А. в. у радикалах формулюється так: нехай Ч многочлен з коефіцієнтами з поля K, ненаведений над K; тоді: 1) якщо хоча б один корінь рівняння виражається в радикалах через коефіцієнти цього рівняння, причому показники радикалів не поділяються на характеристику нуля K, то галуа цього рівняння над полем Кразрешима; 2) назад, якщо група Галуа рівняння f(x) = Qнад полем Кразрешіма, причому K або дорівнює нулю, або більше всіх порядків композиційних факторів цієї групи, то всі корені рівняння подаються в радикалах через його коефіцієнти, причому всі показники зустрічаються радикалів Ч прості числа, А відповідні цим радикалам двочленні рівняння неприведені над полями, до яких ці приєднуються.

Е. Галуа довів цю теорему для випадку, коли До Чполе раціональних чисел; при цьому всі умови на характеристику поля K, що містяться у формулюванні теореми, стають непотрібними.

Теорема Абеля є наслідком теореми Галуа, тому що група Галуа рівняння ступеня пс літерними коефіцієнтами над полем Раціональних функцій від коефіцієнтів рівняння з коефіцієнтами з будь-якого поля КЧ симетрич. група і за нерозв'язна. Для будь-якого існують рівняння ступеня пс раціональними (і навіть цілими) коефіцієнтами, нерозв'язні в радикалах. Прикладом такого рівняння може бути рівняння , де рЧ просте число. Теоретично Галуа застосовується метод зведення рішення даного А. в. до ланцюжка більше простих рівнянь, зв. резольвентамиданого рівняння.

Розв'язність рівнянь у радикалах тісно пов'язана з питанням про геометричність. побудови за допомогою циркуля та лінійки, зокрема завдання про розподіл кола на n рівних частин(Див. Поділу кола багаточлен, Первоподібний корінь).

Алгебраїчні рівняння з одним невідомим із числовими коефіцієнтами. Для відшукання коренів А. в. з коефіцієнтами з поля дійсних або комплексних чисел ступеня вище 2-го, як правило, використовуються методи наближених обчислень (напр., Парабол метод).При цьому зручно спочатку звільнитися від кратного коріння. Число з є k-кратним коренем багаточлена тоді і тільки тоді, коли багаточлен та його похідні до порядку kЧ 1 включно перетворюються на нуль при . Якщо поділити на найбільший спільний дільникцього многочлена та її похідної, то вийде многочлен, має той самий коріння, як і многочлен , але тільки першої кратності. Можна навіть побудувати багаточлени, які мають як простих кореніввсе коріння багаточлена однакової кратності. Багаточлен має кратне коріння тоді і тільки тоді, коли його дискримінантдорівнює нулю.

Часто виникають завдання визначення меж та числа коренів. За верхню межу модулів усіх коренів (як дійсних, так і комплексних) А. в. (1) з будь-якими комплексними коефіцієнтами можна взяти число

У разі дійсних коефіцієнтів точніший кордон зазвичай дає Ньютон метод.До визначення верхнього кордону позитивного коріннязводиться визначення нижньої межпозитивних, а також верхньої та нижньої меж негативних коренів.

Для визначення числа дійсних коренів найпростіше застосувати Декарт теорему.Якщо відомо, що це коріння даного многочлена дійсні (як, напр., для характеристич. многочлена дійсної симетрич. матриці), теорема Декарта дає точне число коренів. Розглядаючи многочлен, можна з допомогою цієї ж теореми знайти число негативних коренів. Точне число дійсних коренів, що лежать на даному інтервалі (зокрема, число всіх дійсних коренів) багаточлена з дійсними коефіцієнтами, що не має кратного коріння, можна знайти за Штурму правилу.Теорема Декарта є окремим випадком БюдануЧ Фур'є теореми,дає оцінку зверху числа дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами, укладених у деякому фіксованому інтервалі.

Іноді цікавляться розшуком коріння спеціального виду, Так, наприклад, критерій Гурвіца дає необхідне і достатня умовадля того, щоб усі корені рівняння (з комплексними коефіцієнтами) мали негативні дійсні частини (див. РаусаЧ Гурвіца критерій).

Для багаточлена з раціональними коефіцієнтамиіснує метод обчислення всіх його раціональних коренів. Багаточлен з раціональними коефіцієнтами має те ж коріння, що і многочлен з цілими коефіцієнтами, що виходить з множенням на загальне всіх знаменників коефіцієнтів Раціональним корінням багаточлена з цілими коефіцієнтами можуть бути нескоротні дробивиду , у яких брало рЧ числа , а Ч дільник числа (і навіть тільки ті з цих дробів, для яких брало при будь-якому цілому число ділиться на ).

Якщо , всі раціональні коріння многочлена (якщо вони він взагалі є) Ч цілі числа, є дільниками вільного члена, і може бути знайдено перебором.

Системи рівнянь алгебри. Про системи А. в. 1-го ступеня див. Лінійне рівняння.

Систему двох А. в. будь-яких ступенів із двома невідомими х і уможна записати у вигляді:

де Ч багаточлени від одного невідомого х.

Якщо хпридати деяке числове значення, вийде система двох рівнянь від одного невідомого з постійними коефіцієнтами . Результатомцієї системи буде наступний визначник:

Справедливе твердження: число тоді й лише тоді є коренем результанта , коли або багаточлени і мають загальний корінь , або обидва старші коефіцієнти і дорівнюють нулю.

Таким чином, для вирішення системи (3) треба знайти все коріння результанта, підставити кожен з цих коренів у систему (3) і знайти загальне корінняцих двох рівнянь із одним невідомим у.Крім того, треба знайти загальне коріння двох багаточленів і також підставити його в систему (3) і перевірити, чи не мають отримані рівняння з одним невідомим загальним корінням. Іншими словами, рішення системи двох А. в. з двома невідомими зводиться до вирішення одного рівняння з одним невідомим та обчислення загальних коренів двох рівнянь з одним невідомим (загальне коріння двох або кількох багаточленів з одним невідомим є корінням їх найбільшого спільного дільника). - АЛГЕБРАЇЧНЕ РІВНЯННЯ, рівняння, яке можна перетворити так, що в лівій частині буде багаточлен від невідомих, а в правій нуль. Ступінь многочлена називається ступенем рівняння. Найпростіші рівняння алгебри: лінійне рівняння. Ілюстрований енциклопедичний словник

Рівняння, що виходить при прирівнюванні двох виразів алгебри. Наприклад, x2+xy+y2 = x+1. Алгебраїчне рівнянняз одним невідомим може бути перетворено на вигляд aо + a1x + ... + anxn=0 … Великий Енциклопедичний словник

алгебраїчне рівняння- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технологіїзагалом EN polynomial equation … Довідник технічного перекладача - ур ня, що виходить при прирівнюванні двох алгебр. виразів. Напр., х2 + ху + у2 = х + 1. А. у. з одним невідомим х може бути перетворено на вигляд ао + а1х + ... + аnхn = 0 … Природознавство. Енциклопедичний словник

Рівняння четвертого ступеня математики алгебраїчне рівняння виду: . Четвертий ступінь для рівнянь алгебри є найвищим, при якому існує аналітичне рішенняу радикалах у загальному вигляді(тобто за будь-якого значення… … Вікіпедія

Графік полінома 6-го ступеня, з 5 критичними точками. Рівняння шостого ступеня це рівняння алгебри, що має максимальний ступінь 6. Загалом може бути записано наступним чином … Вікіпедія

АЛГЕБРАЇЧНЕ РІВНЯННЯ, рівняння, що має вигляд F(x 1 ,…,x m)=0, де F - багаточлен від m змінних, які називаються невідомими.

Передбачається, що коефіцієнти многочлена належать фіксованому основному полю К. Рішенням рівняння алгебри називається такий набір х * 1, ..., х * m значень невідомих з поля К (або його розширення), який після підстановки в многочлен F звертає його в нуль. Основним завданням теорії рівняння алгебри є з'ясування умов, коли у заданого рівня алгебри є рішення і опис безлічі всіх рішень.

Алгебраїчне рівняння з одним невідомим має вигляд

Передбачається, що n>0 та а 0 ≠ 0. Число n називається ступенем рівняння, а числа а 0 , а 1 ..., а n – його коефіцієнтами. Значення невідомого х, є рішеннями рівняння, називаються його корінням, і навіть корінням многочлена F(х). Якщо - корінь рівняння (1), то многочлен F(х) ділиться без залишку на (х-α) (теорема Безу). Елемент α основного поля К (або його розширення) називається k-кратним коренем рівняння алгебри, якщо многочлен F(х) ділиться на (х-α)к і не ділиться на (х-α)к+1. Коріння кратності 1 називаються також простим корінням рівняння.

Кожен многочлен ступеня n з коефіцієнтами з поля має у До трохи більше n коренів, вважаючи коріння з урахуванням їх кратностей. Якщо поле К алгебраїчно замкнуте, кожен такий многочлен має рівно n коренів з урахуванням їх кратностей. Зокрема, це вірно для поля комплексних чисел (основна теорема алгебри). З теореми Безу випливає, що F(х) можна подати у вигляді

де α 1 ,.....α n - коріння рівняння. Коріння та коефіцієнти рівняння пов'язані формулами Вієта

Будь-яке рівняння ступеня n≤ 4 дозволяється у радикалах. Це означає, що з коренів рівняння є явні формули, котрі виражають коріння через коефіцієнти рівняння і використовують лише додавання, віднімання, множення, розподіл і вилучення кореня. У разі n=2 (квадратне рівняння) формули мають вигляд

Розв'язання задач, що зводяться до приватних видів рівнянь 2-го та 3-го ступенів, зустрічаються в клинописних текстах Стародавнього Вавилону. Перший виклад теорії розв'язання квадратних рівнянь дано в «Арифметиці» Діофанта (3 століття). Рішення в радикалах рівнянь 3-го і 4-го ступенів у загальному вигляді було отримано італійськими математиками Дж. Кардано та Л. Феррарі у 16 ​​столітті. Майже 300 років робилися спроби знайти загальне рішенняу радикалах рівнянь ступенів, великих 4. У 1826 року М. Абелем було доведено, що це неможливо (проте не виключається можливість існування таких формул для конкретних рівнянь ступеня n>4). Повне вирішення питання про те, за яких умов рівняння алгебри можна вирішити в радикалах, було отримано Е. Галуа (близько 1830). Питання про розв'язання рівнянь у радикалах тісно пов'язане з питанням про геометричних побудовахза допомогою циркуля та лінійки, зокрема з розподілом кола на n рівних частин, з доказом неможливості подвоєння куба, трисекції кута та квадратури кола.

Для додатків дуже важливий випадок, коли коефіцієнти та корені рівняння є числами (з полів Z цілих, Q раціональних, R дійсних або комплексних чисел); при цьому часто використовуються спеціальні властивості цих полів (наприклад, наявність у них топології чи впорядкованості). У цьому випадку з використанням спеціальних функційможна отримати явні формули для вирішення рівнянь ступеня, більшого за 4.

Для практичного знаходженнякоренів рівнянь з коефіцієнтами R і С використовують наближені методи. Для оцінки зверху числа дійсних коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами можна використовувати теорему Декарта: число позитивних коренів, з урахуванням їх кратностей, дорівнює або парне число менше числазмін знаків у послідовності ненульових коефіцієнтів рівняння.

Є численні оцінки величин коренів. Так, над полем величини |α i |, i = 1, ..., n, не перевищують

Якщо коефіцієнти речові і а 0 ≥а 1 ≥ ... ≥a n ≥0, то всі корені рівняння лежать на комплексної площиниу одиничному колі.

У зв'язку з вивченням питання про стійкість механічних системвиникає питання, коли всі коріння даного многочлена F(х) мають негативні дійсні частини (проблема Рауса - Гурвіца). Такі багаточлени F називаються стійкими. Основні результати про стійкі багаточлени належать Ш. Ерміту, англійському вченому Е. Раусу, німецьким математикам А. Гурвіцу, І. Шуру.

Системи рівнянь алгебри з кількома невідомими вивчаються в алгебраїчній геометрії. В окремий розділ, теорію діофантових рівнянь, виділяється вивчення рівнянь алгебри над незамкнутими полями, такими, як поле Q.

Системою алгебраїчних рівнянь називається система рівнянь, що має вигляд

Системи рівнянь ступеня 1 (лінійних рівнянь) вивчаються у лінійній алгебрі.

Найпростіший результат про число рішень системи рівнянь алгебри відноситься до випадку, коли є k однорідних рівняньвід k+1 змінної. Усі рішення х 1 * ,...,x x+1 k об'єднуються у класи рішень λ 1 * ..., λх k+1 * , де λ≠0 належить полю К. Тоді число ненульових (класів) рішень системи з урахуванням їх кратностей в загальному випадкудорівнює добутку ступенів багаточленів F 1 ..., F k . Умова спільності полягає в тому, що коефіцієнти многочленів F 1 ..., F k не належать деякому алгебраїчному різноманіттю афінному просторіА коефіцієнтів, які мають строго меншу розмірність, ніж А (теорема Безу).

У разі, коли розглядаються системи неоднорідних рівнянь алгебри, для знаходження числа їх рішень необхідно використовувати більш тонкі інваріанти, ніж ступінь, а саме багатогранники Ньютона. Якщо

де i=(i 1 ,..i n) Є Z n то багатогранником Ньютона багаточлена F називається опукла оболонка у просторі R n точок i, для яких a i ≠ 0. Число рішень системи арифметичних рівнянь виражається через багатогранники Ньютона багаточленів F 1 ,. . . , F k.

Мішина А. П., Проскуряков І. В. Вища алгебра. Лінійна алгебра, багаточлени, загальна алгебра. М., 1965; Курош А. Г. Курс вищої алгебри. М., 1975; Кострикін А. І. Введення в алгебру. М., 1977; Постніков М. М. Стійкі многочлени. М., 1981; Фадєєв Д. К., Сомінський І. С. Завдання по вищій алгебрі. СПб., 2001.

І. В. Проскуряков, А. Н. Паршин.

Для учнів, які цікавляться математикою, при вирішенні рівнянь алгебри вищих ступенів ефективним методомшвидкого знаходження коренів, розподіл із залишком на двочлен х – a чи ах + b, є схема Горнера.

Розглянемо схему Горнера.

Позначимо неповне приватне при розподілі Р(х) на х – a через

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1 а залишок через b n .

Оскільки Р(х) = Q(x)(х–) + b n то має місце рівність

а 0 x n + а 1 x n-1 + … + а n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(х-a) + b n

Розкриємо в правій частині дужки і порівняємо коефіцієнти при однакових ступеняхх зліва та справа. Отримаємо, що а 0 = b 0 і за 1 < k < n мають місце співвідношення а k = b k - a b k-1. Звідси випливає, що b 0 = а 0 і b k = k + a b k-1 , 1 < k < n.

Обчислення коефіцієнтів многочлена Q(x) та залишку b n запишемо у вигляді таблиці:

Приклад 1. Розділити багаточлен 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 x + 1.

Рішення. Використовуємо схему Горнера.

При розподілі 2x 4 - 7x 3 - 3х 2 + 5x - 1 на х + 1 отримаємо 2x 3 - 9х 2 + 6x - 1

Відповідь: 2x 3 - 9х 2 + 6x - 1

Приклад 2. Обчислити Р(3), де Р(х) = 4x5 – 7x4 + 5х3 – 2х + 1

Рішення. Використовуючи теорему Безу та схему Горнера, отримаємо:

Відповідь: Р(3) = 535

Вправа

1) Використовуючи схему Горнера, розділити багаточлен

4x 3 - x 5 + 132 - 8х2 на х + 2;

2) Розділити багаточлен

2x 2 - 3x 3 - х + х 5 + 1 на х + 1;

3) Знайти значення многочлена Р 5 (х) = 2х 5 - 4х 4 - х 2 + 1 при х = 7.

1.1. Знаходження раціонального коріння рівнянь з цілими коефіцієнтами

Спосіб відшукання раціонального коріння алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами дається наступною теоремою.

Теорема:Якщо рівняння з цілими коефіцієнтами має раціональне коріння, то вони є приватним від поділу дільника вільного члена на дільник старшого коефіцієнта.

Доведення:а 0 x n + а 1 x n-1 + … + а n = 0

Нехай х = р/q – раціональний корінь, q, p – взаємнопростий.

Підставивши дріб р/q у рівняння, і звільнившись від знаменника, отримаємо

а 0 р n + а 1 р n-1 q+ … + а n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

Перепишемо (1) двома способами:

a n q n = р(– а 0 р n-1 – а 1 р n-2 q – … – а n-1 q n-1) (2)

а 0 р n = q (- а 1 р n-1 - ... - а n-1 рq n-2 - а n q n-1) (3)

З рівності (2) випливає, що a n q n ділиться на р і т.к. q n і р взаємно прості, а n ділиться на р. Аналогічно з рівності (3) випливає, що 0 ділиться на q. Теорему доведено.

Приклад 1. Розв'язати рівняння 2x3 – 7x2 + 5x – 1 = 0.

Рішення. Цілих коренів рівняння немає, знаходимо раціональні коріння рівняння. Нехай p/q нескоротний дріб є коренем рівняння, тоді р знаходимо серед дільників вільного члена, тобто. серед чисел ±1, а q серед позитивних дільників старшого коефіцієнта: 1; 2.

Тобто. раціональне коріння рівняння треба шукати серед чисел ± 1, ± 1/2, позначимо Р 3 (х) = 2x 3 - 7x 2 + 5х - 1, Р 3 (1) 0, Р 3 (-1) 0,

Р 3 (1/2) = 2/8 - 7/4 + 5/2 - 1 = 0, 1/2 - корінь рівняння.

2x 3 - 7x 2 + 5х - 1 = 2x 3 - x 2 - 6 x 2 + 3х + 2х - 1 = 0.

Отримаємо: x 2 (2х - 1) - 3x (2х - 1) + (2х - 1) = 0; (2х - 1) (x 2 - 3x + 1) = 0.

Прирівнюючи другий множник до нуля, і розв'язавши рівняння, отримаємо

Вправи

Розв'язати рівняння:

1. 6x 3 - 25x 2 + 3х + 4 = 0;
2. 6x 4 - 7x 3 - 6х 2 + 2х + 1 = 0;
3. 3x 4 - 8x 3 - 2х 2 + 7х - 1 = 0;

1.2. Поворотні рівняння та методи розв'язання

Визначення. Рівняння з цілими ступенями щодо невідомого називається зворотним, якщо його коефіцієнти, рівновіддалені від кінців лівої частини, рівні між собою, тобто. рівняння виду

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

Поворотне рівняння непарного ступеня

аx 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + а = 0

завжди має корінь х = - 1. Тому воно еквівалентне об'єднанню рівняння х + 1 = 0 і. Останнє рівняння є зворотним рівнянням парного ступеня. Таким чином, розв'язання поворотних рівнянь будь-якого ступеня зводиться до вирішення поворотного рівняння парного ступеня.

Як його вирішувати? Нехай дано зворотне рівняння парного ступеня

аx 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + а = 0

Зауважимо, що х = 0 не є коренем рівняння. Тоді ділимо рівняння на х n отримаємо

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

Групуємо попарно члени лівої частини

а(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

Робимо заміну х + х -1 = у. Після підстановки виразів х 2 + х -2 = у 2 - 2;

х 3 + х -3 = у 3 - 3у; х 4 + х -4 = у 4 – 4у + 2 до рівняння отримаємо рівняння щодо уАу n + By n-1 + Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Для розв'язання цього рівняння потрібно розв'язати кілька квадратних рівнянь виду х + х -1 = у k , де = 1, 2, … n. Отже, отримаємо коріння вихідного рівняння.

Приклад 1. Розв'язати рівняння х 7 + х 6 – 5х 5 – 13х 4 – 13х 3 – 5х 2 + 2х + 1 = 0.

Рішення. х = - 1 є коренем рівняння. Застосуємо схему Горнера.

Наше рівняння набуде вигляду:

(х + 1) (х 6 + х 5 - 6х 4 - 7х 3 - 6х 2 + х + 1) = 0

1) х + 1 = 0, х = -1;

2) х 6 + х 5 - 6х 4 - 7х 3 - 6х 2 + х + 1 = 0 | : x 3? 0; х 3 + х 2 – 6х – 7 – 6/х + 1/х 2 + 1/х 3 =0.

Групуючи, отримаємо: .

Вводимо заміну: ; ; .

Отримаємо відносно урівняння: у 3 - 3у + у 2 - 2 - 6у - 7 = 0;

у 3 + у 2 - 9у - 9 = 0; у 2 (у + 1) - 9 (у + 1) = 0; (у + 1) (у 2 - 9); у 1 = -1, у 2,3 = ±3.

Вирішуючи рівняння , , ,

отримаємо коріння: , , ,

Відповідь: х 1 = -1, ,

Вправи

Розв'язати рівняння.

1. 2х 5 + 5х 4 - 13х 3 - 13х 2 + 5х + 2 = 0;
2. 2х 4 + 3х 3 - 16х 2 + 3х + 2 = 0;
3. 15х 5 + 34х 4 + 15х 3 - 15х 2 - 34х - 15 = 0.

1.3. Метод заміни змінної під час вирішення рівнянь

Метод заміни змінної – найпоширеніший метод. Мистецтво проводити заміну змінної полягає в тому, щоб побачити, яка заміна буде раціональніша і швидше призведе до успіху.

Якщо дано рівняння

F(f(x)) = 0, (1)

то заміною невідомої у = f(x) воно спочатку зводиться до рівняння

а потім після знаходження всіх рішень рівняння (2) у 1, у 2, …, y n, … зводиться до розв'язання сукупності рівнянь f(x) = у 1, f(x) = у 2, …, f(x) = у 2, …

Основними способами реалізації методу заміни змінної є:

• використання основної властивості дробу;
• виділення квадрата двочлена;
• перехід до системи рівнянь;
• розкриття дужок парами;
• розкриття дужок парами та поділ обох частин рівняння;
• зниження рівня;
• подвійна заміна.

1.3.1. Зниження ступеня рівняння

Розв'язати рівняння (х 2 + х + 2) (х 2 + х + 3) = 6 (3)

Рішення. Позначимо х 2 + х + 2 = у, тоді полікуємо у(у+1)=6, вирішуючи останнє, отримаємо у 1 = 2, у 2 = -3. Дане рівняння (3) рівносильне сукупності рівнянь х 2 + х + 2 = 2

х 2 + х + 2 = -3

Вирішуючи перше, отримаємо х 1 = 0, х 2 = -1. Вирішуючи друге, отримаємо ,

Відповідь: х 1 = 0, х 2 = -1,

1.3.2. Рівняння четвертого ступеня виду (х + а) (х + b) (x + c) (x + d) = m, де а + b = c + d або а + с = b + d, або а + d = b+c.

приклад. Розв'язати рівняння (х - 1) (х - 7) (x -4) (x + 2) = 40

Рішення. - 1-4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, перемноживши ці пари дужок, отримаємо рівняння (х 2 - 5х - 14) (х 2 - 5х + 4) = 40

Введемо заміну: х 2 - 5х - 14 = у, отримаємо рівняння у (у + 18) = 40, у 2 + 18у = 40, у 2 + 18у - 40 = 0. у 1 = -20, у 2 = 2. Повертаючись до вихідної змінної, вирішимо сукупність рівнянь:

1.3.3. Рівняння виду (х + а) (х + b) (x + c) (x + d) = Ех 2

де ab = cd або ac = bd, або ad = bc. Розкриваємо дужки парами та ділимо обидві частини на х20.

приклад. (х - 1) (х - 2) (x - 8) (x - 4) = 4х2

Рішення. Добуток чисел, які у першої і третьої, у другій і четвертій дужках, рівні, тобто. - 8 (-1) = (-2) (-4). Перемножимо зазначені пари дужок і запишемо рівняння (х 2 - 9х + 8) (х 2 - 6х + 8) = 4х2.

Оскільки х = 0 не є коренем рівняння, розділимо обидві частини рівняння на х 20, отримаємо: , Заміна: , Вихідне рівняння набуде вигляду: t (t + 3) = 4, t 2 + 3t = 4, t 2 + 3t - 4 = 0, t 1 = 1, t 2 = - 4.

Повернемося до вихідної змінної:

Перше рівняння розв'язуємо, отримаємо х 1,2 = 5 ±

Друге рівняння не має коріння.

Відповідь: х 1,2 = 5 ±

1.3.4. Рівняння четвертого виду (ах 2 + b 1 х + c) (aх 2 + b 2 x + c) = Aх 2

Рівняння (ах 2 + b 1 х + c) (aх 2 + b 2 x + c) = Aх 2 де з 0, А 0, не має кореня х = 0, тому, розділивши рівняння на х 2, отримаємо рівносильне йому рівняння , яке після заміни невідомої перепишеться у вигляді квадратного та легко вирішується.