Як вирахувати середнє значення. Як розрахувати середню величину

Найпоширенішим видом середньої є середня арифметична.

Середня арифметична проста

Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять в дану сукупність. Так, середньорічне виробництво продукції на одного працюючого — це така величина обсягу продукції, яка припадала б на кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції в однакового ступенярозподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величинаобчислюється за такою формулою:

Проста середня арифметична— дорівнює відношенню суми індивідуальних значень ознаки до кількості ознак у сукупності

Знайти середню заробітну плату
Рішення: (3+3,2+3,3+3,5+3,8+3,1)/6 = 3,32 тис. руб.

Середня арифметична зважена

Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) поділяють на сумарна кількістьпродукції.

Подаємо це у вигляді наступної формули:

Зважена середня арифметична- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак). Використовується, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакова кількість разів.

Середня заробітна плата може бути отримана шляхом поділу загальної суми заробітної платина загальну кількість робітників:

Відповідь: 3,35 тис.руб.

Середня арифметична для інтервального ряду

При розрахунку середньої арифметичноїдля інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу, як напівсуму верхньої та нижньої меж, а потім середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.

Середні, що обчислюються з інтервальних рядівє наближеними.

Приклад 3. Визначити середній вікстуденти вечірнього відділення.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.

При розрахунку середніх як терези можуть використовуватися не тільки абсолютні, а й відносні величини (частина):

Середня арифметична має цілу низку властивостей, які більш повно розкривають її сутність і спрощують розрахунок:

1. Твір середньої у сумі частот завжди дорівнює сумі творів варіант на частоти, тобто.

2.Середня арифметична сумаваріюючих величин дорівнює сумі середніх арифметичних цих величин:

3.Алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю:

4.Сума квадратів відхилень варіантів від середньої менше, ніж сума квадратів відхилень від будь-якої іншої довільної величини, тобто.

Середня величина – це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.

Середня величина це:

1) найбільш типове для сукупності значення ознаки;

2) обсяг ознаки сукупності, розподілений нарівно між одиницями сукупності.

Ознака, котрій розраховується середня величина, у статистиці називається «осредняемый».

Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінностіодиниць сукупності, зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, Що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки в одиниць, що належать до різних сукупностей. Так, якщо потрібно зіставити рівні оплати праці працівників на двох підприємствах, то не можна порівнювати за цією ознакою двох працівників різних підприємств. Оплата праці обраних порівняння працівників може бути типовою цих підприємств. Якщо ж порівнювати розміри фондів оплати праці на підприємствах, то не враховується чисельність працюючих і, отже, не можна визначити, де рівень оплати праці вищий. Зрештою порівняти можна лише середні показники, тобто. скільки загалом отримує один працівник кожному підприємстві. Таким чином, виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики сукупності.

Важливо, що у процесі опосередкування сукупне значення рівнів ознаки чи кінцеве його значення (у разі розрахунку середніх рівнів у ряді динаміки) має залишатися незмінним. Іншими словами, при розрахунку середньої величини обсяг досліджуваного ознаки не повинен бути спотворений, і вирази, що складаються при розрахунках середньої, обов'язково повинні мати сенс.

Обчислення середнього – один із поширених прийомів узагальнення; середній показник заперечує те загальне, що характерно (типово) всім одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх з дії закону великих чиселвипадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, кількісних значеньознаки у кожному даному випадку. У здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і укладена наукова цінність середніх як узагальнюючих характеристик сукупностей.

Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Зупинимося на деяких загальних принципахзастосування середніх величин.

1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.

2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з достатньо великої кількостіодиниць.

3. Середня має розраховуватися для сукупності, одиниці якої перебувають у нормальному, природному стані.

4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

5.2. Види середніх та способи їх обчислення

Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх обчислення та сфери застосування. Середні величини поділяються на два великих класу: статечні середні, структурні середні.

До статечним середнім відносяться такі найвідоміші і найчастіше застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична і середня квадратична.

Як структурні середні розглядаються мода і медіана.

Зупинимося на статечних середніх. Ступінні середні в залежності від подання вихідних даних можуть бути простими та зваженими. Проста середнявважається за не згрупованими даними і має такий загальний вигляд:

,

де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняется;

n – число варіантів.

Зважена середнявважається за згрупованими даними та має загальний вигляд

,

де X i - варіанта (значення) ознаки, що осредняется, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта;

m – показник ступеня середнього;

f i - Частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значеннясередньої ознаки.

Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується та відповідна середня величина:

У статистичній практиці частіше, ніж інші види середніх зважених, використовуються середні арифметичні та середні гармонійні зважені.

Види статечних середніх

Середня гармонійна має більше складну конструкціюніж середня арифметична. Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьох, чотирьох і т.д.) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного й того ж виду продукції, однієї і тієї ж деталі вироби.

Головна вимога до формули розрахунку середнього значення у тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значенняознаки у кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних та зведених показників. Інакше кажучи, середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні кожного індивідуального значення показника, що осредняется, його середньою величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний тимабо іншим чином із середнім. Цей підсумковий показник називається визначальним,оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.

Формула середньої геометричної

використовується найчастіше при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки.

Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують, наприклад, зростання обсягу виробництва порівняно з рівнем попереднього року: i 1, i 2, i 3, ..., i n. Очевидно, що обсяг виробництва в останньому роцівизначається початковим його рівнем (q 0) та наступним нарощуванням за роками:

q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n .

Прийнявши q n як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення

Звідси

Особливий вид середніх величин – структурні середні – застосовується вивчення внутрішньої будовирядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (ступеневого типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про обсяги виробництва, і про суму витрат за групами підприємств) .

Як структурні середні найчастіше використовують показники моди –найбільш часто повторюваного значення ознаки - і медіани –величини ознаки, яка поділяє впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті однієї половини одиниць сукупності значення ознаки вбирається у медіанного рівня, а в інший – не менше його.

Якщо ознака, що вивчається дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди та медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди та медіани дещо ускладнюється. Оскільки медіанне значення ділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно виявляється в одному з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:

,

де X Me - Нижня границямедіанного інтервалу;

h Me – його величина;

(Sum m)/2 – половина від загальної кількостіспостережень або половина обсягу того показника, який використовується як зважує у формулах розрахунку середньої величини (в абсолютному або відносному вираженні);

S Me-1 – сума спостережень (або обсягу зважуючої ознаки), накопичена на початок медіанного інтервалу;

m Me – кількість спостережень чи обсяг зважуючого ознаки в медіанному інтервалі (також у абсолютному чи відносному вираженні).

При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального ряду треба звертати увагу, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтервалами величина моди визначається як

,

де Х Mo – нижнє значення модального інтервалу;

m Mo - число спостережень або обсяг зважуючого ознаки в модальному інтервалі (в абсолютному або відносному вираженні);

m Mo-1 – те саме для інтервалу, що передує модальному;

m Mo+1 – те саме для інтервалу, наступного за модальним;

h – величина інтервалу зміни ознаки у групах.

ЗАВДАННЯ 1

Є такі дані щодо групи промислових підприємствза звітний рік

Потрібно виконати угруповання підприємств з обміну продукції, прийнявши такі інтервали:

до 200 млн. руб.


від 200 до 400 млн. руб.


1. від 400 до 600 млн. руб.
   

   По кожній групі та по всіх разом визначити кількість підприємств, обсяг продукції, середньооблікова кількість працівників, середній виробіток продукції на одного працівника. Результати угруповання подати у вигляді статистичної таблиці. Сформулювати висновок.
   

   РІШЕННЯ
   

   Зробимо угруповання підприємств з обміну продукції, розрахунок числа підприємств, обсягу продукції, середньооблікового числа працівників за формулою простої середньої. Результати угруповання та розрахунків зводимо до таблиці.
   

   Групи за обсягом продукції	№ підприємства	Обсяг продукції, млн. руб.	Середньорічна вартість основних засобів, млн. руб.	Середньоспі соковита кількість працівників, чол.	Прибуток, тис. руб.	Середнє вироблення продукції одного працівника
   1 група до 200 млн. руб.	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Середній рівень		198,3			24,9
   2 група від 200 до 400 млн. руб.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Середній рівень		282,3	37,6	1530	64,0
   3 група від 400 до 600 млн.	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Середній рівень		512,9	34,4	1421	120,9
   Усього за сукупністю		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   У середньому за сукупністю		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Висновок. Таким чином, у аналізованій сукупності найбільша кількість підприємств за обсягом продукції потрапила до третьої групи – сім, або половина підприємств. Величина середньорічної вартості основних засобів також у цій групі, а також велика величинасередньооблікового числа працівників - 9974 осіб, найменш прибуткові підприємства першої групи.
   

   ЗАВДАННЯ 2
   

   Є такі дані на підприємствах фірми
   

   Номер підприємства, що входить у фірму	I квартал		II квартал
   	Випуск продукції, тис. руб.		Відпрацьовано робітниками людино-днів	Середнє вироблення однієї робочого щодня, крб.
   	59390,13

Ознаки одиниць статистичних сукупностейрізні за своїм значенням, наприклад, заробітна плата робітників однієї професії будь-якого підприємства не однакова за той самий період часу, різні ціни на ринку на однакову продукцію, врожайність сільськогосподарських культур у господарствах району і т.д. Тому, щоб визначити значення ознаки, характерне для всієї сукупності одиниць, що вивчається, розраховують середні величини.
Середня величина – це узагальнююча характеристика множини індивідуальних значень деякої кількісної ознаки.

Сукупність, що вивчається за кількісною ознакою, складається з індивідуальних значень; на них впливають, як загальні причини, так і індивідуальні умови. У середньому відхилення, характерні для індивідуальних значень, погашаються. Середня, будучи функцією безлічі індивідуальних значень, представляє одним значенням всю сукупність і відбиває те загальне, що притаманне її одиницям.

Середня, яка розраховується для сукупностей, що складаються з якісно однорідних одиниць, називається типової середньої. Наприклад, можна розрахувати середньомісячну заробітну плату працівника тієї чи іншої професійної групи(Шахтаря, лікаря бібліотекаря). Зрозуміло, рівні місячної заробітної плати шахтарів через різницю їх кваліфікації, стажу роботи, відпрацьованого за місяць часу та багатьох інших факторів відрізняються один від одного, так і від рівня середньої заробітної плати. Однак у середньому рівні відображені основні фактори, що впливають на рівень заробітної плати, та взаємно погашаються відмінності, що виникають унаслідок індивідуальних особливостейпрацівника. Середня заробітна плата відображає типовий рівеньоплати праці даного виду працівників. Одержання типової середньої має передувати аналіз того, наскільки дана сукупність якісно однорідна. Якщо сукупність складається з них окремих частинслід розбити її на типові групи ( Середня температурапо лікарні).

Середні величини, що використовуються як характеристики для неоднорідних сукупностей, називаються системними середніми. Наприклад, середня величина валового внутрішнього продукту (ВВП) на душу населення, середня величина споживання різних груп товарів на людину та інші подібні величини, що становлять узагальнюючі характеристики держави як єдиної економічної системи.

Середня має обчислюватися для сукупностей, які з досить великої кількості одиниць. Дотримання цієї умови необхідне для того, щоб набув чинності закон великих чисел, внаслідок дії якого випадкові відхиленняіндивідуальних величин від загальної тенденціївзаємно погашаються.

Види середніх та способи їх обчислення

Вибір виду середньої визначається економічним змістом певного показника та вихідних даних. Однак будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожної варіанти ознаки, що осредняется, не змінився підсумковий, узагальнюючий, або, як його прийнято називати, визначальний показник, який пов'язаний з показником, що середнюється. Наприклад, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їх середньою швидкістюне повинна змінитися загальна відстань, пройдена транспортним засобомза те саме час; при заміні фактичних заробітних плат окремих працівниківпідприємства середньої заробітною платоюне повинен змінитися фонд заробітної плати. Отже, у кожному даному випадку залежно від характеру наявних даних, існує лише одне справжнє середнє значення показника, адекватне властивостям і сутності соціально-економічного явища, що вивчається.
Найчастіше застосовуються середня арифметична, середня гармонійна, середня геометрична, середня квадратична та середня кубічна.
Перераховані середні відносяться до класу статечнихсередніх та об'єднуються загальною формулою:
,
де - Середнє значення досліджуваного ознаки;
m – показник ступеня середнього;
– поточне значення (варіанту) ознаки;
n - Число ознак.
Залежно від значення показника ступеня m розрізняють наступні видистатечних середніх:
при m = -1 - середня гармонійна;
при m = 0 - середня геометрична;
при m = 1 - середня арифметична;
при m = 2 - середня квадратична;
при m = 3 - середня кубічна.
При використанні одних і тих самих вихідних даних, ніж більше показникступеня m у наведеній вище формулі, тим більше значеннясередньої величини:
.
Ця властивість статечних середніх зростати з підвищенням показника ступеня визначальної функції називається правилом мажорантності середніх.
Кожна із зазначених середніх може набувати двох форм: простуі зважену.
Проста форма середньоїзастосовується, коли середня обчислюється за первинними (несгрупованими) даними. Зважена форма- При розрахунку середньої за вторинними (згрупованими) даними.

Середня арифметична

Середня арифметична застосовується, коли обсяг сукупності є сумою всіх індивідуальних значень варіює ознаки. Слід зазначити, що й вид середньої величини не вказується, мається на увазі середня арифметична. Її логічна формула має вигляд:

Середня арифметична простарозраховується за несгрупованими даними за формулою:
або ,
де – окремі значення ознаки;
j – порядковий номеродиниці спостереження, яка характеризується значенням;
N - Число одиниць спостереження (обсяг сукупності).
приклад.У лекції «Зведення та угруповання статистичних даних» розглядалися результати спостереження стажу роботи бригади із 10 осіб. Розрахуємо середній стаж роботи робітників бригади. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

За формулою середньої арифметичної простий обчислюються також середні у хронологічному ряду, якщо інтервали часу, протягом якого представлені значення ознаки, рівні.
приклад.Обсяг реалізованої продукції за перший квартал становив 47 ден. од., за другий 54, за третій 65 та за четвертий 58 ден. од. Середньоквартальний оборот становить (47+54+65+58)/4 = 56 грош. од.
Якщо в хронологічному ряду наведено моментні показники, то при обчисленні середньої вони замінюються на півсуми значень на початок і кінець періоду.
Якщо моментів більше двох та інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за формулою середньої хронологічної

,
де n-число моментів часу
У разі коли дані згруповані за значеннями ознаки (тобто побудований дискретний варіаційний рядрозподілу) з середня арифметична зваженарозраховується з використанням або частот, або частостей спостереження конкретних значеньознаки число яких (k) значно менше числаспостережень (N).
,
,
де k – кількість груп варіаційного ряду,
i – номер групи варіаційного ряду.
Оскільки , а , отримуємо формули, які використовуються для практичних розрахунків:
і
приклад.Розрахуємо середній стаж робочих бригад по згрупованому ряду.
а) з використанням частот:

б) з використанням частостей:

У разі коли дані згруповані за інтервалами , тобто. представлені у вигляді інтервальних рядів розподілу, при розрахунку середньої арифметичної як значення ознаки приймають середину інтервалу, виходячи з припущення про рівномірному розподіліодиниць сукупності цьому інтервалі. Розрахунок ведеться за формулами:
і
де - середина інтервалу: ,
де і – нижня та верхня межі інтервалів (за умови, що верхня межаданого інтервалу збігається з нижньою межею наступного інтервалу).

приклад.Розрахуємо середню арифметичну інтервального варіаційного ряду, побудованого за результатами дослідження річної заробітної плати 30 робітників (див. лекцію «Зведення та угруповання статистичних даних»).
Таблиця 1 - Інтервальний варіаційний ряд розподілу.

грн. або грн.
Середні арифметичні, обчислені на основі вихідних даних та інтервальних варіаційних рядів, можуть не збігатися через нерівномірність розподілу значень ознаки всередині інтервалів. У цьому випадку для більш точного обчислення середньої арифметичної виваженої слід використовувати не середини інтервалів, а середні арифметичні прості, розраховані для кожної групи ( групові середні). Середня, обчислена за груповим середнім з використанням виваженої формули розрахунку, називається загальної середньої.
Середня арифметична має низку властивостей.
1. Сума відхилень варіант від середньої дорівнює нулю:
.
2. Якщо всі значення варіант збільшуються або зменшуються на величину А, то середня величина збільшується або зменшується на ту ж величину А:

3. Якщо кожну варіанту збільшити або зменшити в раз, то середня величина також збільшиться або зменшаться в ту ж кількість разів:
або
4. Сума творів варіант на частоти дорівнює добутку середньої величини на суму частот:

5. Якщо всі частоти розділити чи помножити на якесь число, то середня арифметична не зміниться:

6) якщо у всіх інтервалах частоти рівні один одному, то середня арифметична зважена дорівнює простій середній арифметичній:
,
де k – кількість груп варіаційного ряду.

Використання властивостей середньої дозволяє спростити її обчислення.
Припустимо, що всі варіанти (х) спочатку зменшені на те саме число А, а потім зменшені в раз. Найбільше спрощення досягається, коли як А вибирається значення середини інтервалу, що володіє найбільшою частотою, а як В – величина інтервалу (для рядів з однаковими інтервалами). Величина А називається початком відліку, тому цей метод обчислення середньої називається способ ом відліку від умовного нуляабо способом моментів.
Після цього перетворення отримаємо новий варіаційний ряд розподілу, варіанти якого рівні . Їхня середня арифметична, звана моментом першого порядку,виражається формулою і відповідно до другої і третьої властивостей середньої арифметичної дорівнює середньої початковий варіант, зменшеної спочатку на А, а потім у раз, тобто .
Для отримання дійсної середньої(Середньої початкового ряду) потрібно момент першого порядку помножити на В і додати А:

Розрахунок середньої арифметичної за способом моментів ілюструється даними табл. 2.
Таблиця 2 - Розподіл працівників цеху підприємства за стажем роботи

Знаходимо момент першого порядку . Потім, знаючи, що А=17,5, а=5, обчислюємо середній стаж роботи працівників цеху:
років

Середня гармонійна
Як було показано вище, середня арифметична застосовується для розрахунку середнього значення ознаки у тих випадках, коли відомі його варіанти x та їх частоти f.
Якщо статистична інформаціяне містить частот f за окремими варіантами x сукупності, а представлена ​​як їх добуток, застосовується формула середньої гармонійної зваженої. Щоб обчислити середню, позначимо, звідки . Підставивши ці вирази у формулу середньої арифметичної зваженої, отримаємо формулу середньої гармонійної зваженої:
,
де - обсяг (вага) значень ознаки показника в інтервалі з номером i (i = 1,2, ..., k).

Таким чином, середня гармонічна застосовується в тих випадках, коли підсумовування підлягають не самі варіанти, а обернені їм величини: .
У тих випадках, коли вага кожної варіанти дорівнює одиниці, тобто. індивідуальні значення зворотної ознаки зустрічаються по одному разу, застосовується середня гармонійна проста:
,
де – окремі варіантизворотної ознаки, що зустрічаються по одному разу;
N - Число варіант.
Якщо по двох частинах сукупності чисельністю і є середні гармонійні, то загальна середня по всій сукупності розраховується за такою формулою:

і називається зваженої гармонійної середньої з групових середніх.

приклад.У ході торгів на валютній біржі за першу годину роботи укладено три правочини. Дані про суму продажу гривні та курс гривні по відношенню до долара США наведено у табл. 3 (графи 2 та 3). Визначити середній курс гривні по відношенню до долара США за першу годину торгів.
Таблиця 3 - Дані про хід торгів на валютній біржі

Середній курс долара визначається ставленням суми проданих у ході всіх операцій гривень до суми придбаних у результаті цих угод доларів. Підсумкова сума продажу гривні відома з графи 2 таблиці, а кількість куплених у кожній угоді доларів визначається розподілом суми продажу гривні до її курсу (графа 4). Загалом у ході трьох угод куплено 22 млн. дол. Отже, середній курс гривні за долар склав
.
Отримане значення є дійсним, т.к. заміна ним фактичних курсів гривні в угодах не змінить підсумкової суми продажів гривні, яка виступає як визначального показника: млн. грн.
Якби розрахунку було використано середня арифметична, тобто. гривні, то за обмінним курсом на купівлю 22 млн. дол. треба було б витратити 110,66 млн. грн., що не відповідає дійсності.

Середня геометрична
Середня геометрична використовується для аналізу динаміки явищ та дозволяє визначити середній коефіцієнт зростання. При розрахунку середньої геометричної індивідуальні значення ознаки є відносні показникидинаміки, побудовані у вигляді ланцюгових величин, як відношення кожного рівня до попереднього.
Середня геометрична проста розраховується за формулою:
,
де – знак твору,
N - Число середніх величин.
приклад.Кількість зареєстрованих злочинів за 4 роки зросла в 1,57 раза, у т. ч. за 1-й – у 1,08 раза, за 2-й – у 1,1 раза, за 3-й – у 1,18 та за 4-й – у 1,12 рази. Тоді середньорічний темпи зростання кількості злочинів становить: , тобто. кількість зареєстрованих злочинів щорічно зростала у середньому на 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Для розрахунку середньої зваженої квадратичної визначаємо і заносимо в таблицю і . Тоді середня величина відхилень довжини виробів від заданої норми дорівнює:

Середня арифметична в даному випадкубуло б непридатна, т.к. в результаті ми отримали б нульове відхилення.
Застосування середньої квадратичної буде розглянуто далі у показниках варіації.

5.1. Поняття середньої величини

Середня величина –це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.

Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінності одиниць сукупності, зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки одиниць, що відносяться до різних сукупностей. Так, якщо потрібно зіставити рівні оплати праці працівників на двох підприємствах, то не можна порівнювати за цією ознакою двох працівників різних підприємств. Оплата праці обраних порівняння працівників може бути типовою цих підприємств. Якщо ж порівнювати розміри фондів оплати праці на підприємствах, то не враховується чисельність працюючих і, отже, не можна визначити, де рівень оплати праці вищий. Зрештою порівняти можна лише середні показники, тобто. скільки загалом отримує один працівник кожному підприємстві. Таким чином, виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики сукупності.

Обчислення середнього – один із поширених прийомів узагальнення; середній показник заперечує те загальне, що характерно (типово) всім одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх через дію закону великих чисел випадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному даному випадку. У здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і полягає наукова цінність середніх як узагальнюючих показників сукупностей.

Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Зупинимося деяких загальних принципах застосування середніх величин.
1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.
2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.
3. Середня має розраховуватися для сукупності, одиниці якої перебувають у нормальному, природному стані.
4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

5.2. Види середніх та способи їх обчислення

Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх обчислення та сфери застосування. Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні, структурні середні.

До статечним середнімвідносяться такі найбільш відомі та часто застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична та середня квадратична.

В якості структурних середніхрозглядаються мода та медіана.

Зупинимося на статечних середніх. Ступінні середні в залежності від подання вихідних даних можуть бути простими та зваженими. Проста середнявважається за не згрупованими даними і має такий загальний вигляд:

де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняется;

n – число варіантів.

Зважена середнявважається за згрупованими даними та має загальний вигляд

,

де X i - варіанта (значення) ознаки, що осредняется, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта;
m – показник ступеня середнього;
f i - Частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значення ознаки, що осредняется.

Наведемо як приклад розрахунок середнього віку студентів у групі з 20 осіб:

Середній вік розрахуємо за формулою простої середньої:

Згрупуємо вихідні дані. Отримаємо наступний ряд розподілу:

В результаті угруповання отримуємо новий показник- Частоту, що вказує кількість студентів у віці Х років. Отже, середній вік студентів групи розраховуватиметься за формулою виваженої середньої:

Загальні формули розрахунку статечних середніх мають показник ступеня (m). Залежно від того, яке значення він набуває, розрізняють такі види статечних середніх:
середня гармонійна, якщо m = -1;
середня геометрична, якщо m -> 0;
середня арифметична, якщо m = 1;
середня квадратична, якщо m = 2;
середня кубічна, якщо m = 3.

Формули статечних середніх наведені у табл. 4.4.

Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується та відповідна середня величина:

У статистичній практиці частіше, ніж інші види середніх зважених, використовуються середні арифметичні та середні гармонійні зважені.

Таблиця 5.1

Види статечних середніх

Вигляд статечної середньої	Показник ступеня (m)	Формула розрахунку
		Проста	Зважена
Гармонійна	-1
Геометрична	0
Арифметична	1
Квадратична	2
Кубічна	3

Середня гармонійна має складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьох, чотирьох і т.д.) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного й того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.

Головна вимога до формули розрахунку середнього значення у тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значення ознаки кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних і зведених показників. Інакше висловлюючись, середня величина повинна обчислюватися те щоб заміні кожного індивідуального значення осредняемого показника його середньої величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний у тому чи іншим чином з осредняемым . Цей підсумковий показник називається визначальним,оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.

Формула середньої геометричної

використовується найчастіше при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки.

Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують, наприклад, на зростання обсягу виробництва порівняно з рівнем попереднього року: i 1 i 2 i 3 ..., i n . Очевидно, що обсяг виробництва в останньому році визначається початковим його рівнем (q 0) та наступним нарощуванням за роками:

q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n .

Прийнявши q n як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення

Звідси

5.3. Структурні середні

Особливий вид середніх величин - структурні середні - застосовується для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (статечного типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про обсяги виробництва, і про суму витрат за групами підприємств).

Як структурні середні найчастіше використовують показники моди –найбільш часто повторюваного значення ознаки - і медіани –величини ознаки, яка поділяє впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті однієї половини одиниць сукупності значення ознаки вбирається у медіанного рівня, а в інший – не менше його.

Якщо ознака, що вивчається, має дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди і медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди та медіани дещо ускладнюється. Оскільки медіанне значення ділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно виявляється в одному з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:

,

де X Me – нижня межа медіанного інтервалу;
h Me – його величина;
(Sum m)/2 – половина від загального числа спостережень або половина обсягу того показника, який використовується як зважуючий у формулах розрахунку середньої величини (в абсолютному або відносному вираженні);
S Me-1 – сума спостережень (або обсягу зважуючої ознаки), накопичена на початок медіанного інтервалу;
m Me – кількість спостережень чи обсяг зважуючого ознаки в медіанному інтервалі (також у абсолютному чи відносному вираженні).

У нашому прикладі можуть бути отримані навіть три медіанних значення– виходячи з ознак кількості підприємств, обсягу продукції та загальної суми витрат на виробництво:

Отже, у половини підприємств рівень собівартість одиниці виробленої продукції перевищує 125,19 тис. крб., половина всього обсягу продукції виробляється з рівнем витрат за виріб більше 124,79 тис. крб. та 50% загальної суми витрат утворюється при рівні собівартості одного виробу вище 125,07 тис. руб. Зауважимо також, що спостерігається деяка тенденція до зростання собівартості, оскільки Ме 2 = 124,79 тис. руб. середній рівеньдорівнює 123,15 тис. руб.

При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального ряду треба звертати увагу, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтервалами величина моди визначається як

де Х Mo – нижнє значення модального інтервалу;
m Mo - число спостережень або обсяг зважуючого ознаки в модальному інтервалі (в абсолютному або відносному вираженні);
m Mo -1 – те саме для інтервалу, що передує модальному;
m Mo+1 – те саме для інтервалу, наступного за модальним;
h – величина інтервалу зміни ознаки у групах.

Для нашого прикладу можна розрахувати три модальних значеннявиходячи з ознак кількості підприємств, обсягу продукції та суми витрат. У всіх трьох випадках модальний інтервал один і той же, так як для того самого інтервалу виявляються найбільшими і кількість підприємств, і обсяг продукції, і Загальна сумавитрат на виробництво:

Таким чином, найчастіше зустрічаються підприємства з рівнем собівартості 126,75 тис. руб., Найчастіше випускається продукція з рівнем витрат 126,69 тис. руб., І найчастіше витрати на виробництво пояснюються рівнем собівартості в 123,73 тис. руб.

5.4. Показники варіації

Конкретні умови, в яких знаходиться кожен з об'єктів, що вивчаються, а також особливості їх власного розвитку(соціальні, економічні та ін.) виражаються відповідними числовими рівнями статистичних показників. Таким чином, варіація,тобто. розбіжність рівнів одного й того ж показника у різних об'єктів, має об'єктивний характер і допомагає пізнати сутність явища, що вивчається.

Для виміру варіації у статистиці застосовують кілька способів.

Найбільш простим є розрахунок показника розмаху варіаціїН як різниці між максимальним (X max) і мінімальним (X min) значеннями ознаки, що спостерігаються:

H = X max - X min.

Проте розмах варіації показує лише крайні значення ознаки. Повторюваність проміжних значень тут не враховується.

Суворішими характеристиками є показники коливання відносно середнього рівня ознаки. Найпростіший показник такого типу – середнє лінійне відхиленняЛ як середнє арифметичне значенняабсолютних відхилень ознаки від його середнього рівня:

При повторюваності окремих значень Х використовують формулу середньої арифметичної зваженої:

(Нагадаємо, що алгебраїчна сумавідхилень від середнього рівня дорівнює нулю.)

Показник середнього лінійного відхиленнязнайшов широке застосуванняна практиці. З його допомогою аналізуються, наприклад, склад працюючих, ритмічність виробництва, рівномірність постачання матеріалів, розробляються системи матеріального стимулювання. Але, на жаль, цей показник ускладнює розрахунки імовірнісного типу, ускладнює застосування методів математичної статистики. Тому в статистичних наукових дослідженняхдля вимірювання варіації найчастіше застосовують показник дисперсії.

Дисперсія ознаки (s 2) визначається на основі квадратичної статечної середньої:

.

Показник s, рівний , називається середнім квадратичним відхиленням.

У загальної теоріїстатистики показник дисперсії є оцінкою однойменного показника теорії ймовірностей та (як сума квадратів відхилень) оцінкою дисперсії в математичної статистики, що дозволяє використовувати положення цих теоретичних дисципліндля аналізу соціально-економічних процесів

Якщо варіація оцінюється по невеликій кількості спостережень, взятих з необмеженої генеральної сукупності, те й середнє значення ознаки визначається з деякою похибкою. Розрахункова величина дисперсії виявляється зміщеною у бік зменшення. Для отримання незміщеної оцінки вибіркову дисперсію, Отриману за наведеними раніше формулами, треба помножити на величину n / (n - 1). У результаті при малій кількості спостережень (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Зазвичай вже за n > (15÷20) розбіжність зміщеної та незміщеної оцінок стає несуттєвою. З цієї причини зазвичай не враховують зміщеність й у формулі складання дисперсій.

Якщо з генеральної сукупностізробити кілька вибірок і щоразу у своїй визначати середнє значення ознаки, виникає завдання оцінки коливання середніх. Оцінити дисперсію середнього значенняможна і на основі всього одного вибіркового спостереження за формулою

,

де n – обсяг вибірки; s 2 - дисперсія ознаки, розрахована за даними вибірки.

Величина носить назву середньої помилки вибіркиі є характеристикою відхилення вибіркового середнього значення ознаки Х його справжньої середньої величини. Показник середньої помилки використовується в оцінці достовірності результатів вибіркового спостереження.

Показники відносного розсіювання.Для характеристики міри коливання досліджуваної ознаки обчислюються показники коливання в відносних величинах. Вони дозволяють порівнювати характер розсіювання в різних розподілах (різні одиниці спостереження однієї й тієї ж ознаки у двох сукупностях, при різних значенняхсередніх, при порівнянні різноїменних сукупностей). Розрахунок показників міри відносного розсіювання здійснюють як відношення абсолютного показникарозсіювання до середньої арифметичної, що множиться на 100%.

1. Коефіцієнтом осциляціївідображає відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої

.

2. Відносне лінійне відключення характеризує частку усередненого значення ознаки абсолютних відхилень від середньої величини

.

3. Коефіцієнт варіації:

є найпоширенішим показником коливання, що використовується для оцінки типовості середніх величин.

У статистиці сукупності, що мають коефіцієнт варіації більше 30-35%, прийнято вважати неоднорідними.

Такий спосіб оцінки варіації має і істотний недолік. Справді, нехай, наприклад, вихідна сукупність робітників, які мають середній стаж 15 років, із середнім квадратичним відхиленням s = 10 років, «постаріла» ще на 15 років. Тепер = 30 років, а середньоквадратичне відхилення, як і раніше, дорівнює 10. Сукупність, яка раніше була неоднорідною (10/15 × 100) = 66,7%), з часом виявляється таким чином цілком однорідною (10/30 × 100 = 33,3 %).

Боярський А.Я. Теоретичні дослідженняза статистикою: Зб. Наук. Трудов.- М.: Статистика,1974. С. 19-57.

Велике поширення у статистиці мають середні величини. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: витрати звернення, прибуток, рентабельність та інших.

Середня - це один із поширених прийомів узагальнень. Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значимість за умов ринкової економіки, коли середня через одиничне та випадкове дозволяє виявити загальне та необхідне, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.

Середня величина - це узагальнюючі показники, у яких знаходять вираз дії загальних умов, закономірностей досліджуваного явища

Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного та вибіркового). Однак статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в кооперативах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає будь-який сенс.

За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, що виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження.

Наприклад, середнє вироблення продавця залежить багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я тощо.

Середнє вироблення відбиває загальне властивість всієї сукупності.

Середня величина є відображенням значень досліджуваного ознаки, отже, вимірюється у тому розмірності, як і це ознака.

Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про сукупність, що вивчається, по ряду істотних ознак, в цілому необхідно розташовувати системою середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

Існують різні середні:

середня арифметична;

середня геометрична;

середня гармонійна;

середня квадратична;

середня хронологічна.

Розглянемо деякі види середніх, які найчастіше використовуються у статистиці.

Середня арифметична

Середня арифметична проста (невиважена) дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на число цих значень.

Окремі значення ознаки називають варіантами та позначають через х(); число одиниць сукупності позначають через n, середнє значення ознаки через . Отже, середня арифметична проста дорівнює:

За даними дискретного ряду розподілу видно, що одні й самі значення ознаки (варіанти) повторюються кілька разів. Так, варіанти х зустрічається в сукупності 2 рази, а варіанти х-16 разів і т.д.

Число однакових значеньознаки у лавах розподілу називається частотою чи вагою і позначається символом n.

Обчислимо середню заробітну плату одного робітника у руб.:

Фонд заробітної плати за кожною групою робітників дорівнює творуваріанти на частоту, а сума цих творів дає загальний фондзаробітної плати всіх робітників.

Відповідно до цього, розрахунки можна подати у загальному вигляді:

Отримана формула називається середньою арифметичною завислою.

Статистичний матеріал у результаті обробки може бути представлений у вигляді дискретних рядів розподілу, а й у вигляді інтервальних варіаційних рядів із закритими чи відкритими інтервалами.

Обчислення середньої за згрупованими даними проводиться за формулою середньої арифметичної зваженої:

У практиці економічної статистики іноді доводиться обчислювати середню за груповим середнім або середнім окремих частин сукупності (приватним середнім). У разі за варіанти (х) приймаються групові чи приватні середні, виходячи з яких обчислюється загальна середня як звичайна середня арифметична зважена.

Основні властивості середньої арифметичної .

Середня арифметична має ряд властивостей:

1. Від зменшення або збільшення частот кожного значення ознаки х у п раз величина середньої арифметичної не зміниться.

Якщо всі частоти розділити або помножити на якесь число, то величина середньої не зміниться.

2. Загальний множникіндивідуальних значень ознаки може бути винесений за знак середньої:

3. Середня сума(різниці) двох або декількох величин дорівнює сумі (різниці) їх середніх:

4. Якщо х = с, де с – постійна величина, то
.

5. Сума відхилень значень ознаки Х від середньої арифметичної х дорівнює нулю:

Середня гармонійна.

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та зваженою.

Характеристиками варіаційних рядів, поряд із середніми, є мода та медіана.

Мода - це величина ознаки (варіанту), що найчастіше повторюється в досліджуваній сукупності. Для дискретних рядів розподілу модою буде значення варіанта із найбільшою частотою.

Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами мода визначається за такою формулою:

де
- Початкове значення інтервалу, що містить моду;

- Величина модального інтервалу;

- Частота модального інтервалу;

- частота інтервалу, що передує модальному;

- Частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіана - Це варіанта, розташована в середині варіаційного ряду. Якщо ряд розподілу дискретний і має непарне числочленів, то медіаною буде варіанта, що знаходиться в середині впорядкованого ряду (упорядкований ряд - це розташування одиниць сукупності у зростаючому чи спадному порядку).