Як побудувати параболічний циліндр за рівнянням. Що потрібно вміти зараз

З поверхнями 2-го порядку студент найчастіше зустрічається першому курсі. Спочатку завдання на цю тему можуть здаватися простими, але в міру вивчення вищої математикиі поглиблення в наукову сторону, можна остаточно перестати орієнтуватися у тому, що відбувається. Для того, щоб такого не сталося, треба не просто завчити, а зрозуміти, як виходить та чи інша поверхня, як зміна коефіцієнтів впливає на неї та її розташування щодо початкової системи координат і як знайти нову систему (таку, в якій її центр збігається з початком координат, а паралельна до однієї з координатних осей). Почнемо із самого початку.

Визначення

Поверхнею 2 порядку називається ГМТ, координати якого задовольняють загальне рівняння наступного виду:

Зрозуміло, кожна точка, що належить поверхні, повинна мати три координати в якомусь позначеному базисі. Хоча в деяких випадках геометричне місце точок може вироджуватись, наприклад, у площину. Це лише означає, що з координат постійна і дорівнює нулю у всій області допустимих значень.

Повна розписана форма згаданої вище рівності виглядає так:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm – деякі константи, x, y, z – змінні, що відповідають афінним координатамбудь-якої точки. При цьому хоча б один із множників-констант має бути не дорівнює нулю, тобто не будь-яка точка відповідатиме рівнянню.

У переважній більшості прикладів багато числових множників все ж таки тотожно дорівнюють нулю, і рівняння значно спрощується. На практиці визначення приналежності точки до поверхні не утруднено (достатньо підставити її координати в рівняння та перевірити, чи дотримується тотожність). Ключовим моментому такій роботі є приведення останньої до канонічному вигляду.

Написане вище рівняння задає будь-які (усі вказані далі) поверхні 2 порядку. Приклади розглянемо далі.

Види поверхонь 2 порядку

Рівняння поверхонь 2 порядку розрізняються лише значеннями коефіцієнтів A nm. З загального виглядупри певних значенняхконстант можуть вийти різні поверхні, що класифікуються наступним чином:

1. Циліндри.
2. Еліптичний тип.
3. Гіперболічний тип.
4. Конічний тип.
5. Параболічний тип.
6. Площини.

У кожного з перерахованих видівє природна і уявна форма: уявній формігеометричне місце речових точок або вироджується на більш просту фігуру, або немає зовсім.

Циліндри

Це найпростіший тип, тому що відносно складна крива лежить тільки в основі, виступаючи як спрямовуюча. Утворюючими є прямі, перпендикулярні площині, в якій лежить основа.

На графіці показаний круговий циліндр - окремий випадокеліптичного циліндра. У площині XY його проекція буде еліпсом (у нашому випадку - кругом) - напрямною, а в XZ - прямокутником - тому що утворюють паралельні осі Z. Щоб отримати його із загального рівняння, необхідно надати коефіцієнтам такі значення:

Замість звичних позначень ікс, ігрек, зет використані ікси з порядковим номером- це не має ніякого значення.

По суті, 1/a 2 та інші зазначені тут постійні є тими самими коефіцієнтами, зазначеними у загальному рівнянні, але прийнято записувати їх саме у такому вигляді – це і є канонічне уявлення. Далі використовуватиметься виключно такий запис.

Так визначається гіперболічний циліндр. Схема та ж - напрямною буде гіпербола.

Параболічний циліндр задається дещо інакше: його канонічний вигляд включає коефіцієнт p, званий параметром. Насправді коефіцієнт дорівнює q=2p, але прийнято розділяти його на представлені два множники.

Є ще один вид циліндрів: уявні. Такому циліндру не належить жодна речова точка. Його визначає рівняння еліптичного циліндра, але замість одиниці стоїть -1.

Еліптичний тип

Еліпсоїд може бути розтягнутий уздовж однієї з осей (вздовж якої саме залежить від значень постійних a, b, c, зазначених вище; очевидно, що більшій осі буде відповідати більший коефіцієнт).

Також існує і уявний еліпсоїд - за умови, що сума координат, помножена на коефіцієнти, дорівнює -1:

Гіперболоїди

При появі мінуса в одній із констант рівняння еліпсоїда перетворюється на рівняння однопорожнинного гіперболоїду. Треба розуміти, що цей мінус не обов'язково повинен розташовуватись перед координатою x 3 ! Він лише визначає, яка з осей буде віссю обертання гіперболоїда (або паралельна їй, тому що при появі додаткових доданків у квадраті (наприклад, (x-2) 2) зміщується центр фігури, як наслідок, поверхня переміщається паралельно до осей координат). Це стосується всіх поверхонь 2 порядку.

Крім цього, треба розуміти, що рівняння представлені в канонічному вигляді і можуть бути змінені за допомогою варіювання констант (зі збереженням знака!); при цьому їхній вигляд (гіперболоїд, конус і так далі) залишиться тим самим.

Таке рівняння задає вже двопорожнинний гіперболоїд.

Конічна поверхня

У рівнянні конуса одиниця відсутня – рівність нулю.

Конусом називається лише обмежена конічна поверхня. На малюнку нижче видно, що, по суті, на графіку виявиться два так звані конуси.

Важливе зауваження: у всіх аналізованих канонічних рівняннях константи за умовчанням приймаються позитивними. В іншому випадку знак може вплинути на підсумковий графік.

Координатні площини стають площинами симетрії конуса, центр симетрії розташований на початку координат.

У рівнянні уявного конуса стоять лише плюси; йому належить одна єдина речова точка.

Параболоїди

Поверхні 2 порядку у просторі можуть приймати різні форминавіть за подібних рівняннях. Наприклад, параболоїди бувають двох видів.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 = 2z

Еліптичний параболоїд, при розташуванні осі Z перпендикулярно до креслення, буде проектуватися в еліпс.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 = 2z

Гіперболічний параболоїд: у перерізах площинами, паралельними ZY, виходитимуть параболи, а в перерізах площинами, паралельними XY – гіперболи.

Пересічні площини

Існують випадки, коли поверхні другого порядку вироджуються в площині. Ці площини можуть розташовуватися різними способами.

Спочатку розглянемо площини, що перетинаються:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

При такій модифікації канонічного рівняння виходять просто дві площини, що перетинаються (уявні!); всі речові точки знаходяться на осі тієї координати, яка відсутня в рівнянні (у канонічному - осі Z).

Паралельні площини

За наявності лише однієї координати поверхні 2-го порядку вироджуються в пару паралельних площин. Не забувайте, на місці гріка може стояти будь-яка інша змінна; тоді виходитимуть площини, паралельні іншим осям.

У цьому випадку вони стають уявними.

Збігаючі площини

При такому простому рівнянніпара площин вироджується в одну - вони збігаються.

Не забувайте, що у випадку тривимірного базисупредставлене вище рівняння не ставить пряму y=0! У ньому відсутні дві інші змінні, але це лише означає, що їх значення постійно і дорівнює нулю.

Побудова

Однією з найскладніших завдань для студента є побудова поверхонь 2 порядку. Ще більш важко переходити від однієї системи координат до іншої, враховуючи кути нахилу кривої щодо осей та усунення центру. Давайте повторимо, як послідовно визначити майбутній вигляд креслення аналітичним способом.

Щоб побудувати поверхню 2 порядку, необхідно:

• привести рівняння до канонічного вигляду;
• визначити вид досліджуваної поверхні;
• побудувати, спираючись значення коефіцієнтів.

Нижче представлені всі розглянуті види:

Для закріплення докладно розпишемо приклад такого типу завдання.

Приклади

Допустимо, є рівняння:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Наведемо його до канонічного вигляду. Виділимо повні квадрати, тобто скомпонуємо наявні доданки таким чином, щоб вони були розкладанням квадрата суми чи різниці. Наприклад: якщо (a+1) 2 =a 2 +2a+1, то a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Ми проводитимемо другу операцію. Дужки в даному випадкурозкривати не обов'язково, тому що це тільки ускладнить обчислення, а ось винести загальний множник 6 (у дужці з повним квадратомігрека) необхідно:

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Змінна сет зустрічається в цьому випадку лише один раз - її можна поки не чіпати.

Аналізуємо рівняння на цьому етапі: перед усіма невідомими стоїть знак «плюс»; при розподілі на шість залишається одиниця. Отже, маємо рівняння, що задає еліпсоїд.

Зверніть увагу, що 144 було розкладено на 150-6, після чого -6 перенесли вправо. Чому треба було зробити так? Очевидно, що самий великий дільникв даному прикладі-6, отже, щоб після розподілу нею справа залишилася одиниця, необхідно «відкласти» від 144 саме 6 (про те, що справа має бути одиниця, каже наявність вільного члена - константи, не помноженої на невідому).

Поділимо все на шість і отримаємо канонічне рівняння еліпсоїда:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

У раніше використаної класифікації поверхонь 2 порядку розглядається окремий випадок, коли центр фігури знаходиться на початку координат. У цьому прикладі він зміщений.

Вважаємо, що кожна дужка з невідомими – це нова змінна. Тобто: a = x-1, b = y +5, c = z. У нових координатах центр еліпсоїда збігається з точкою (0,0,0), отже, a=b=c=0, звідки: x=1, y=-5, z=0. У початкових координатах центр фігури лежить у точці (1,-5,0).

Еліпсоїд виходитиме з двох еліпсів: першого в площині XY і другого в площині XZ (або YZ - це не має значення). Коефіцієнти, на які діляться змінні, стоять у канонічному рівнянні у квадраті. Отже, у наведеному прикладі правильніше було б ділити на корінь із двох, одиницю та корінь із трьох.

Найменша вісь першого еліпса, паралельна осі Y, дорівнює двом. Велика вісь, паралельна осі X - двом корінням з двох. Менша вісь другого еліпса, паралельна осі Y, залишається тією ж - вона дорівнює двом. А велика вісь, паралельна осі Z, дорівнює двом корінням з трьох.

За допомогою отриманих початкового рівняння шляхом перетворення до канонічного виду даних ми можемо накреслити еліпсоїд.

Підбиваючи підсумки

Висвітлена у цій статті тема досить велика, але, насправді, як ви можете тепер бачити, не дуже складна. Її освоєння, по суті, закінчується на тому моменті, коли ви навчаєте назви та рівняння поверхонь (і, звичайно, як вони виглядають). У прикладі вище ми докладно розглядали кожен крок, але приведення рівняння до канонічного виду вимагає мінімальних знань у вищій математиці і не повинно викликати жодних труднощів у студента.

Аналіз майбутнього графіка за наявною рівності вже більше складна задача. Але для неї вдалого рішенняДосить розуміти, як будуються відповідні криві другого порядку - еліпси, параболи та інші.

Випадки виродження - ще простіший розділ. Через відсутність деяких змінних спрощуються як обчислення, як було зазначено раніше, а й саме побудова.

Як тільки ви зможете впевнено назвати всі види поверхонь, варіювати постійні, перетворюючи графік на ту чи іншу фігуру – тема буде освоєна.

Успіхів у навчанні!

З тією відмінністю, що замість «плоських» графіків ми розглянемо найпоширеніші просторові поверхні, а також навчимося грамотно будувати їх від руки. Я досить довго підбирав програмні засоби для побудови тривимірних креслень і знайшов пару непоганих додатків, але, незважаючи на всю зручність використання, ці програми погано вирішують важливий практичне питання. Справа в тому, що в найближчому історичному майбутньому студенти, як і раніше, будуть озброєні лінійкою з олівцем, і, навіть маючи якісний «машинний» креслення, багато хто не зможе коректно перенести його на картатий папір. Тому в методичці особливу увагуприділено техніці ручної побудови, та значна частинаілюстрацій сторінки є handmade-продукт.

Чим відрізняється цей довідковий матеріалвід аналогів?

Маючи пристойний практичним досвідом, я дуже добре знаю, з якими поверхнями найчастіше доводиться мати справу в реальних задачахвищої математики, і сподіваюся, що ця стаття допоможе вам у найкоротші термінипоповнити свій багаж відповідними знаннями та прикладними навичками, яких у 90-95% випадків має вистачити.

Що потрібно вміти на Наразі?

Найпростіше:

По-перше, необхідно вміти правильно будуватипросторову декартову систему координат (Див. початок статті Графіки та властивості функцій) .

Що ви придбаєте після прочитання цієї статті?

Пляшку Після освоєння матеріалів уроку ви навчитеся швидко визначати тип поверхні за її функцією та/або рівнянням, уявляти, як вона розташована в просторі, і, звичайно ж, виконувати креслення. Нічого страшного, якщо не все впаде в голові з одного прочитання - до будь-якого параграфа при необхідності завжди можна повернутися пізніше.

Інформація під силу кожному – для її освоєння не потрібно якихось надзнань, особливого художнього таланту та просторового зору.

Починаємо!

На практиці просторова поверхня зазвичай задається функцією двох зміннихабо рівнянням виду (Константа правої частини найчастіше дорівнює нулю або одиниці). Перше позначення більш характерне для математичного аналізу, друге – для аналітичної геометрії. Рівняння , по суті, є неявно заданоюфункцією 2 змінних, яку у типових випадках легко привести до вигляду . Нагадую найпростіший приклад c:

–рівняння площинивиду.

- функція площини в явному вигляді .

Давайте з неї і почнемо:

Поширені рівняння площин

Типові варіантирозташування площин у прямокутної системикоординат детально розглянуто на самому початку статті Рівняння площини. Тим не менш, ще раз зупинимося на рівняннях, які мають величезне значеннядля практики

Перш за все, ви повинні на повному автоматі пізнавати рівняння площин, які є паралельними координатним площинам . Фрагменти площин стандартно зображують прямокутниками, які в останніх двох випадках виглядають як паралелограми. За умовчанням розміри можна вибрати будь-які (в розумних межах, звичайно), при цьому бажано, щоб точка, в якій координатна вісь «протикає» площину, була центром симетрії:


Строго кажучи, координатні осі місцями слід було зобразити пунктиром, але щоб уникнути плутанини нехтуватимемо цим нюансом.

– (лівий креслення)нерівність задає далекий від нас напівпростір, виключаючи саму площину;

– (Середній креслення)нерівність задає праве напівпростір, включаючи площину;

– (Правий креслення)подвійна нерівність задає «шар», розташований між площинами, включаючи обидві площини.

Для самостійної розминки:

Приклад 1

Зобразити тіло, обмежене площинами
Скласти систему нерівностей, що визначають це тіло.

З-під грифеля вашого олівця має вийти старий знайомий прямокутний паралелепіпед . Не забувайте, що невидимі ребра та грані потрібно прокреслити пунктиром. Готовий креслення наприкінці уроку.

Будь ласка, НЕ ЗНЕБЕРАЙТЕ навчальними завданняминавіть якщо вони здаються занадто простими. А то може статися, раз пропустили, два пропустили, а потім витратили бита година, вимучуючи тривимірний креслення в якомусь реальному прикладі. Крім того, механічна роботадопоможе набагато ефективніше засвоїти матеріал та розвинути інтелект! Не випадково у дитячому садкуі початковій школідітей завантажують малюванням, ліпленням, конструкторами та іншими завданнями на дрібну моторикупальці. Вибачте за відступ, не пропадати ж двом моїм зошитом по вікової психології =)

Наступну групу площин умовно назвемо "прямими пропорційностями" - це площини, що проходять через координатні осі:

2) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь;

3) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь.

Хоча формальна ознака очевидна (яка змінна відсутня у рівнянні – через ту вісь і проходить площину), завжди корисно розуміти суть подій, що відбуваються:

Приклад 2

Побудувати площину

Як краще здійснити побудову? Пропоную наступний алгоритм:

Спочатку перепишемо рівняння у вигляді , з якого добре видно, що «Ігрек» може приймати будь-якізначення. Зафіксуємо значення , тобто розглядатимемо координатну площину . Рівняння задають просторову пряму, що лежить у цій координатній площині. Зобразимо цю лінію на кресленні. Пряма проходить через початок координат, тому для її побудови достатньо знайти одну точку. Нехай. Відкладаємо крапку та проводимо пряму.

Тепер повертаємось до рівняння площини. Оскільки «гравець» приймає будь-якізначення, то побудована у площині пряма безперервно «тиражується» вліво та вправо. Саме так і утворюється наша площина, що проходить через вісь. Щоб завершити креслення, ліворуч і праворуч від прямої відкладаємо дві паралельні лініїі поперечними горизонтальними відрізками «замикаємо» символічний паралелограм:

Так як умова не накладала додаткових обмежень, то фрагмент площини можна було зобразити трохи менших або більших розмірів.

Ще раз повторимо зміст просторового лінійної нерівностіна прикладі . Як визначити напівпростір, який він ставить? Беремо якусь точку, не належитьплощині, наприклад, точку з ближнього до нас напівпростору і підставляємо її координати в нерівність:

Отримано правильна нерівність, Отже, нерівність задає нижній (щодо площині) напівпростір, при цьому сама площина не входить у рішення.

Приклад 3

Побудувати площини
а);
б).

Це завдання для самостійної побудови, у разі складнощів використовуйте аналогічні міркування. Короткі вказівки та креслення наприкінці уроку.

На практиці особливо поширені площини, паралельні осі. Окремий випадок, коли площина проходить через вісь, щойно був у пункті «бе», і зараз ми розберемо більше загальне завдання:

Приклад 4

Побудувати площину

Рішення: в рівняння в явному вигляді не бере участь змінна «зет», а значить, площина паралельна осі аплікат. Застосуємо ту ж техніку, що й у попередніх прикладах.

Перепишемо рівняння площини у вигляді з якого зрозуміло, що «зет» може приймати будь-якізначення. Зафіксуємо і в «рідній» площині накреслимо звичайну «плоску» пряму. Для її побудови зручно взяти опорні точки.

Оскільки «зет» приймає всізначення, то побудована пряма безперервно «розмножується» вгору і вниз, утворюючи цим шукану площину . Акуратно оформляємо паралелограм розумної величини:

Готово.

Рівняння площини у відрізках

Найважливіший прикладний різновид. Якщо всікоефіцієнти загального рівняння площини відмінні від нуля, то воно представимо у вигляді , який називається рівнянням площини у відрізках. Очевидно, що площина перетинає координатні осі в точках і велика перевага такого рівняння полягає в легкості побудови креслення:

Приклад 5

Побудувати площину

Рішення: спочатку складемо рівняння площини у відрізках. Перекинемо вільний член праворуч і розділимо обидві частини на 12:

Ні, тут не друкарська помилка і всі справи відбуваються саме в просторі! Досліджуємо запропоновану поверхню тим самим методом, що нещодавно використовували для площин. Перепишемо рівняння у вигляді , з якого випливає, що «зет» приймає будь-якізначення. Зафіксуємо і побудуємо у площині еліпс. Оскільки «зет» приймає всізначення, то побудований еліпс безперервно «тиражується» вгору та вниз. Легко зрозуміти, що поверхня нескінченна:

Ця поверхня називається еліптичним циліндром . Еліпс (на будь-якій висоті) називається спрямовуючоюциліндра, а паралельні прямі, що проходять через кожну точку еліпса, називаються утворюючимициліндра (які в прямому значенніслова його утворюють). Вісь є віссю симетріїповерхні (але не її частиною!).

Координати будь-якої точки, що належить даній поверхні, обов'язково задовольняють рівняння .

Просторовенерівність задає «начинку» нескінченної «труби», включаючи саму циліндричну поверхню, і, відповідно, протилежна нерівністьвизначає безліч точок поза циліндром.

У практичні завданнянайбільш популярний окремий випадок, коли спрямовуючоюциліндра є коло:

Приклад 8

Побудувати поверхню, задану рівнянням

Нескінченну «трубу» зобразити неможливо, тому мистецтва обмежуються, як правило, «обрізанням».

Спочатку зручно побудувати коло радіусу в площині, а потім ще пару кіл зверху і знизу. Отримані кола ( напрямніциліндра) акуратно з'єднуємо чотирма паралельними прямими ( утворюючимициліндра):

Не забуваймо використовувати пунктир для невидимих ​​нам ліній.

Координати будь-якої точки, що належить даному циліндру, задовольняють рівняння . Координати будь-якої точки, що лежить суворо всередині «труби», задовольняють нерівність , а нерівність задає безліч точок зовнішньої частини. Для кращого розуміннярекомендую розглянути кілька конкретних точок простору та переконатися у цьому самостійно.

Приклад 9

Побудувати поверхню та знайти її проекцію на площину

Перепишемо рівняння у вигляді з якого випливає, що «ікс» приймає будь-якізначення. Зафіксуємо і в площині зобразимо коло- З центром на початку координат, одиничного радіусу. Оскільки «ікс» безперервно приймає всізначення, то побудоване коло породжує круговий циліндр із віссю симетрії . Малюємо ще одне коло ( спрямовуючуциліндра) і акуратно з'єднуємо їх прямими ( утворюючимициліндра). Місцями вийшли накладки, але що робити, такий нахил:

Цього разу я обмежився шматочком циліндра на проміжку, і це не випадково. Насправді часто й потрібно зобразити лише невеликий фрагмент поверхні.

Тут, до речі, вийшло 6 утворюючих – дві додаткові прямі «закривають» поверхню з лівого верхнього та правого нижнього кутів.

Тепер знаємо проекцію циліндра на площину. Багато читачів розуміють, що таке проекція, проте проведемо чергову фізкульт-п'ятихвилинку. Будь ласка, встаньте і схиліть голову над кресленням так, щоб вістря осі дивилося перпендикулярно вам у чоло. Те, чим з цього ракурсу здається циліндр – і є його проекція на площину. А здається він нескінченною смугою, укладеною між прямими, включаючи самі прямі. Дана проекція– це точно область визначенняфункцій (верхній "жолоб" циліндра), (нижній "жолоб").

Давайте, до речі, прояснимо ситуацію і з проекціями на інші координатні площини. Нехай промені сонця світять на циліндр з боку вістря і вздовж осі. Тінню (проекцією) циліндра на площину є аналогічна нескінченна смуга – частина площини, обмежена прямими ( – будь-яке), включаючи самі прямі.

А ось проекція на площину дещо інша. Якщо дивитися на циліндр з вістря осі, то він спроектується в коло одиничного радіусу. , з якої ми починали побудову.

Приклад 10

Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини

Це завдання для самостійного рішення. Якщо умова не дуже зрозуміла, зведіть обидві частини квадрат і проаналізуйте результат; з'ясуйте, яку саме частину циліндра задає функція . Використовуйте методику побудови, яка неодноразово застосовувалася вище. Коротке рішення, креслення та коментарі в кінці уроку.

Еліптичні та інші циліндричні поверхніможуть бути зміщені щодо координатних осей, наприклад:

(за знайомими мотивами статті про лініях 2-го порядку) - Циліндр одиничного радіусу з лінією симетрії, що проходить через точку паралельно осі. Однак на практиці подібні циліндри трапляються досить рідко, і зовсім неймовірно зустріти «косу» щодо координатних осей циліндричну поверхню.

Параболічні циліндри

Як випливає з назви, спрямовуючоютакого циліндра є парабола.

Приклад 11

Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини.

Не міг утриматись від цього прикладу =)

Рішення: йдемо второваною стежкою. Перепишемо рівняння у вигляді , з якого випливає, що «зет» може набувати будь-яких значень. Зафіксуємо і збудуємо звичайну параболу на площині, попередньо відзначивши тривіальні опорні точки. Оскільки «зет» приймає всізначення, то побудована парабола безперервно «тиражується» вгору і вниз до безкінечності. Відкладаємо таку ж параболу, скажімо, на висоті (у площині) і акуратно з'єднуємо їх паралельними прямими ( утворюючими циліндра):

Нагадую корисний технічний прийом : якщо спочатку немає впевненості як креслення, то лінії спочатку краще прокреслити тонко-тонко олівцем. Потім оцінюємо якість ескізу, з'ясовуємо ділянки, де поверхня прихована від наших очей, і тільки потім надаємо грифелю.

Проекції.

1) Проекцією циліндра на площину є парабола. Слід зазначити, що в даному випадку не можна міркувати про області визначення функції двох змінних- З тієї причини, що рівняння циліндра не призводить до функціонального вигляду.

2) Проекція циліндра на площину є напівплощиною, включаючи вісь

3) І, нарешті, проекцією циліндра на площину є вся площина.

Приклад 12

Побудувати параболічні циліндри:

а) обмежитися фрагментом поверхні в ближньому напівпросторі;

б) на проміжку

У разі труднощів не поспішаємо та міркуємо за аналогією з попередніми прикладами, благо, технологія досконально відпрацьована. Не критично, якщо поверхні виходитимуть трохи корявими – важливо правильно відобразити принципову картину. Я і сам особливо не морочуся над красою ліній, якщо вийшов стерпний креслення «на трієчку», зазвичай не переробляю. У зразку рішення, до речі, використано ще один прийом, що дозволяє покращити якість креслення;-)

Гіперболічні циліндри

Напрямнимитаких циліндрів є гіперболи. Цей тип поверхонь, за моїми спостереженнями, зустрічається значно рідше, ніж попередні види, тому я обмежусь єдиним схематичним кресленнямгіперболічного циліндра:

Принцип міркування тут такий самий – звичайна шкільна гіперболаз площини безперервно «розмножується» вгору та вниз до нескінченності.

Розглянуті циліндри відносяться до так званих поверхням 2-го порядку, і зараз ми продовжимо знайомитись з іншими представниками цієї групи:

Еліпсоїд. Сфера та куля

Канонічне рівнянняеліпсоїда у прямокутній системі координат має вигляд , де - позитивні числа (півосіеліпсоїда), які в загальному випадку різні. Еліпсоїдом називають як поверхня, так і тіло, обмежена цією поверхнею. Тіло, як багато хто здогадався, задається нерівністю та координати будь-який внутрішньої точки(а також будь-якої точки поверхні) обов'язково задовольняють цю нерівність. Конструкція симетрична щодо координатних осей та координатних площин:

Походження терміна «еліпсоїд» також очевидне: якщо поверхню «розрізати» координатними площинами, то в перерізах вийдуть три різні (у загальному випадку)

Визначення 1. Циліндричною поверхнею називається поверхня, утворена паралельними між собою прямими, званими її утворюючими .

Якщо яка-небудь площина, що перетинає всі циліндричні поверхні, що утворюють, перетинає її по лінії Р, то ця лінія називається спрямовуючою цієї циліндричної поверхні.

Теорема . Якщо в просторі введено декартову систему координат і рівняння в площині хОує рівнянням деякої лінії Р, то це рівняння у просторі є рівняння циліндричної поверхні Lз напрямною лінією Р, а утворюють паралельні осі Oz(Рис.3.19, а).

Доведення. Крапка
лежить на циліндричній поверхні Lтоді і лише тоді, коли проекція
крапки Мна площину хОупаралельно осі Ozлежить на лінії Р, тобто. тоді і лише тоді, коли виконується рівняння
.

Аналогічні висновки мають місце для рівнянь виду
(рис. 3.19, б) та
(Рис.3.19, в).

Визначення 2 . Циліндричні поверхні, напрямними яких є лінії другого порядку, називаються циліндричними поверхнями другого порядку .

Існують три типи циліндрів другого порядку: еліптичний (Рис.3.20)

, (5.42)

гіперболічний (Рис.3.21)

, (5.43)

параболічний (Рис.3.22)

. (5.44)

Рис. 3.20 Мал. 3.21 Мал. 3.22

Для циліндрів, заданих рівняннями(5.42), (5.43) та (5.44), напрямними лініями є відповідно еліпс

,

гіпербола

,

парабола

,

а утворюють паралельні осі Oz.

Зауваження. Як ми бачили, конічні та циліндричні поверхні другого порядку мають прямолінійні утворюючі, причому кожна з цих поверхонь може бути утворена рухом прямої в просторі.

Виявляється, що серед усіх поверхонь другого порядку, крім циліндра і конуса, прямолінійними утворюючими мають ще однопорожнинний гіперболоїд і гіперболічний параболоїд, причому, так само, як і у випадку циліндра і конуса, обидві ці поверхні можуть бути утворені рухом прямої в просторі (див. спеціальну літературу).

§4. Приведення загального рівняння поверхні другого порядку до канонічного вигляду

У загальному рівнянні поверхні другого порядку

а) квадратична форма

де
;

б) лінійна форма

де
;

в) вільний член .

Щоб привести рівняння (5.45) до канонічного вигляду, необхідно насамперед здійснити таке перетворення координат
, а, отже, і пов'язаний з нею ортонормований базис
, що перетворює квадратичну форму (5.46) до канонічного виду (див. кн.2, гл.8, §3, п.3.1).

Матриця цієї квадратичної форми має вигляд

,

де, тобто. матриця А– симетрична. Позначимо через
власні числа, а через
ортонормований базис, складений із власних векторів матриці А.Нехай

–

матриця переходу від базису
до базису
, а
– пов'язана із цим базисом нова система координат.

Тоді при перетворенні координат

(5.48)

квадратична форма (5.46) набуде канонічного вигляду

де
.

Тепер, застосовуючи перетворення координат (5.48) до лінійної форми (5.47), отримаємо

де
,
- Нові коефіцієнти форми (5.47).

Таким чином, рівнянням (5.45) набуває вигляду

+.

Це рівняння може бути приведено до канонічної формиза допомогою паралельного перенесення системи координат за формулами

або (5.49)

Після здійснення перетворення системи координат шляхом паралельного перенесення (5.49), загальне рівнянняповерхні другого порядку (5.45) щодо декартової системи координат
висловлюватиме одну з наступних сімнадцяти поверхонь:

1) еліпсоїд

2) уявний еліпсоїд

3) однопорожнинний гіперболоїд

4) двопорожнинний гіперболоїд

5) конус

6) уявний конус

7) еліптичний параболоїд

8) гіперболічний параболоїд

9) еліптичний циліндр

10) уявний еліптичний циліндр

11) дві уявні площини, що перетинаються

12) гіперболічний циліндр

13) дві площини, що перетинаються

14) параболічний циліндр

15) дві паралельні площини

16) дві уявні паралельні площині

17) дві збігаються площині

приклад.Визначити вигляд та розташування поверхні, заданої щодо декартової прямокутної системи координат
та пов'язаним з нею ортонормованим базисом
рівнянням

Наведемо квадратичну форму

(5.51)

до канонічного вигляду. Матриця цієї форми має вигляд

.

Визначимо власні числа цієї матриці з характеристичного рівняння

Звідси  1 = 2,  2 = 0,  3 = 3.

Тепер знаходимо власні векториматриці А: 1) нехай
тоді з рівняння
або в координатній формі

знаходимо , де
– будь-яке число, і, отже,
, а
. З усієї безлічі колінеарних векторів вибираємо вектор
модуль якого
, тобто. нормуємо вектор .

2) для
маємо

.

Звідси
, де
- Будь-яке число. Тоді
, а
. Нормуючи вектор , знаходимо одиничний вектор :

,

де
.

3)
тоді для компонент
вектора маємо систему

Звідки, де
– будь-яке число, і, отже,
, а
. Нормуючи вектор , знаходимо одиничний вектор для напрямку, що задається вектором :

де
.

Перейдемо тепер від ортонормованого базису
до ортонормованого базису
, складеного із власних векторів матриці Ата зв'яжемо з останнім базисом нову декартову прямокутну систему координат
. Матриця переходу для такого перетворення має вигляд

,

а координати перетворюються за формулами

(5.52)

Застосовуючи це перетворення координат до квадратичної форми (5.51), наведемо її до канонічного вигляду

, де
.

Визначимо тепер, який вигляд має лінійна формула

, де
,

якщо координати перетворюються за формулами (5.52). Маємо

Таким чином, якщо систему координат
перетворити за формулами (5.52), то щодо нової системикоординат
Розглянута поверхня другого порядку задається рівнянням

Рівняння (5.53) наводимо до канонічної форми за допомогою паралельного перенесення системи координат за формулами

після чого, рівняння поверхні щодо системи координат
набуває вигляду

або

Це рівняння виражає еліптичний циліндр, напрямний еліпс якого розташований у координатній площині
а утворюють прямі паралельні осі

Зауваження. Схема приведення загального рівняння поверхні другого порядку до канонічного виду, викладена у цьому параграфі, може бути застосована і до приведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного виду.