Основні положення математичного моделювання систем. Загальні поняття математичного моделювання

Математичні моделі

Математична модель - наближене опівання об'єкта моделювання, виражене за допомогоющу математичної символіки.

Математичні моделі з'явилися разом із математикою багато століть тому. Величезний поштовх розвитку математичного моделювання додало поява ЕОМ. Застосування обчислювальних машиндозволило проаналізувати та застосувати на практиці багато математичних моделей, які раніше не піддавалися аналітичному дослідженню. Реалізована на комп'ютері математикуська модельназивається комп'ютерною математичною моделлю, а проведення цілеспрямованих розрахунків за допомогою комп'ютерної моделіназивається обчислювальним експериментом.

Етапи комп'ютерного математичного моделуваннязображені малюнку. Першийетап - визначення цілей моделювання.Ці цілі можуть бути різними:

1. модель потрібна для того, щоб зрозуміти, як влаштований конкретний об'єкт, яка його структура, основні властивості, закони розвитку та взаємодії
   з навколишнім світом (розуміння);
2. модель потрібна для того, щоб навчитися керувати об'єктом (або процесом) та визначити найкращі способиуправління при заданих цілях та критеріях (управління);
3. модель потрібна для того, щоб прогнозувати прямі та непрямі наслідки реалізації заданих способівта форм впливу на об'єкт (прогнозування).

Приклад зовсім з іншої області: мирно співіснували зі стабільними чисельностями популяції двох видів особин, що мають спільну кормову базу, "Раптом" починають різко змінювати чисельність. І тут математичне моделювання дозволяє (з певною часткою достовірності) встановити причину (чи принаймні спростувати певну гіпотезу).

Вироблення концепції управління об'єктом – інша можлива мета моделювання. Який режим польоту літака вибрати для того, щоб політ був безпечним та економічно найвигіднішим? Як скласти графік виконання сотень видів робіт на будівництві великого об'єктущоб воно закінчилося в максимально короткий термін? Безліч таких проблем систематично постає перед економістами, конструкторами, вченими.

Нарешті, прогнозування наслідків тих чи інших впливів на об'єкт може бути як відносно простою справою у нескладних фізичних системах, і надзвичайно складним - на межі здійсненності - у системах біолого-економічних, соціальних. Якщо відповісти на питання про зміну режиму розповсюдження тепла в тонкому стрижні при змінах у його сплаві відносно легко, то простежити (передбачити) екологічні та кліматичні наслідки будівництва великої ГЕСчи соціальні наслідки змін податкового законодавства незрівнянно складніше. Можливо, і тут методи математичного моделювання надаватимуть у майбутньому більш значну допомогу.

Другий етап:визначення вхідних та вихідних параметрів моделі; поділ вхідних параметрів за ступенем важливості впливу їх змін на вихідні. Такий процес називається ранжуванням, або поділом по рангам (див. Формалізація та моделювання").

Третій етап:побудова математичної моделі. На цьому етапі відбувається перехід від абстрактного формулювання моделі до формулювання, що має конкретне математичне подання. Математична модель - це рівняння, системи рівнянь, системи нерівностей, диференціальні рівняння чи системи таких рівнянь та ін.

Четвертий етап:вибір методу дослідження математичної моделі Найчастіше тут використовуються чисельні методи, які добре піддаються програмуванню. Як правило, для вирішення однієї і тієї ж задачі підходить кілька методів, що відрізняються точністю, стійкістю і т.д. Від правильного виборуМетод часто залежить успіх всього процесу моделювання.

П'ятий етап:розробка алгоритму, складання та налагодження програми для ЕОМ - важко формалізується. З мов програмування багато професіоналів для математичного моделювання віддають перевагу FORTRAN: як через традиції, так і через неперевершену ефективність компіляторів (для розрахункових робіт) і наявність написаних на ньому величезних, ретельно налагоджених та оптимізованих бібліотек стандартних програм математичних методів. У ході і такі мови, як PASCAL, BASIC, С, - залежно від характеру завдання та нахилів програміста.

Шостий етап:Тестування програми. Робота програми перевіряється на тестового завданняіз заздалегідь відомою відповіддю. Це лише початок процедури тестування, яку важко описати формально вичерпним чином. Зазвичай тестування закінчується тоді, коли користувач за своїми професійними ознаками визнає програму правильною.

Сьомий етап:власне обчислювальний експеримент, у процесі якого з'ясовується, чи модель відповідає реальному об'єкту (процесу). Модель досить адекватна реального процесу, якщо деякі характеристики процесу, отримані на ЕОМ, збігаються з експериментально отриманими характеристиками із заданим ступенем точності. У разі невідповідності моделі реальному процесу повертаємось до одного з попередніх етапів.

Класифікація математичних моделей

В основу класифікації математичних моделей можна покласти різні засади. Можна класифікувати моделі з галузей наук (математичні моделі у фізиці, біології, соціології тощо). Можна класифікувати за застосовуваним математичному апарату(моделі, засновані на застосуванні звичайних диференціальних рівнянь, диференціальних рівнянь у приватних похідних, стохастичних методів, дискретних алгебраїчних перетвореньі т.д.). Нарешті, якщо виходити із загальних завдань моделювання в різних наукахбезвідносно до математичного апарату, найбільш природна така класифікація:

• дескриптивні (описові) моделі;
• оптимізаційні моделі;
• багатокритеріальні моделі;
• ігрові моделі.

Пояснимо це на прикладах.

Дескриптивні (описові) моделі. Наприклад, моделювання руху комети, що вторглася в Сонячну систему, проводиться з метою передбачення траєкторії її польоту, відстані, на якій вона пройде від Землі, і т.д. У цьому випадку цілі моделювання мають описовий характер, оскільки немає жодних можливостей вплинути на рух комети, щось у ньому змінити.

Оптимізаційні моделівикористовуються для опису процесів, на які можна впливати, намагаючись досягти досягнення заданої мети. У цьому випадку модель входить один або кілька параметрів, доступних впливу. Наприклад, змінюючи тепловий режим у зерносховищі, можна поставити собі за мету підібрати такий режим, щоб досягти максимальної безпеки зерна, тобто. оптимізувати процес зберігання.

Багатокритеріальні моделі. Нерідко доводиться оптимізувати процес за кількома параметрами одночасно, причому цілі можуть бути дуже суперечливими. Наприклад, знаючи ціни на продукти та потребу людини в їжі, потрібно організувати харчування великих груп людей (в армії, дитячому літньому таборі та ін) фізіологічно правильно і, водночас, якомога дешевше. Зрозуміло, що це зовсім не збігаються, тобто. при моделюванні використовуватиметься кілька критеріїв, між якими потрібно шукати баланс.

Ігрові моделіможуть мати відношення не тільки до комп'ютерним іграм, але й до дуже серйозних речей. Наприклад, полководець перед битвою за наявності неповної інформації про протистоїть армії повинен розробити план: у якому порядку вводити у бій ті чи інші частини тощо, враховуючи і можливу реакціюсупротивника. Є спеціальний розділ сучасної математики – теорія ігор, – вивчає методи прийняття рішень в умовах неповної інформації.

У шкільному курсіінформатики початкове уявлення про комп'ютерне математичне моделювання учні отримують у межах базового курсу. У старших класах математичне моделювання може глибоко вивчати у загальноосвітньому курсі для класів фізико-математичного профілю, а також у рамках спеціалізованого курсу.

Основними формами навчання комп'ютерного математичного моделювання у старших класах є лекційні, лабораторні та залікові заняття. Зазвичай робота зі створення та підготовки до вивчення кожної нової моделі займає 3-4 уроки. У результаті викладу матеріалу ставляться завдання, які у подальшому мають бути вирішені учнями самостійно, загалом намічаються шляхи їх вирішення. Формулюються питання, відповіді на які мають бути отримані під час виконання завдань. Вказується додаткова література, що дозволяє отримати допоміжні відомості для успішнішого виконання завдань.

Формою організації занять щодо нового матеріалу зазвичай служить лекція. Після завершення обговорення чергової моделі учнімають у своєму розпорядженні необхідні теоретичні відомості та набір завдань для подальшої роботи. У ході підготовки до виконання завдання учні обирають відповідний метод рішення, за допомогою якогось відомого приватного рішення тестують розроблену програму. У разі можливих труднощів під час виконання завдань дається консультація, робиться пропозиція детальніше опрацювати зазначені розділи в літературних джерелах.

Найбільш відповідним практичної частини навчання комп'ютерного моделювання є метод проектів. Завдання формулюється для учня у вигляді навчального проекту та виконується протягом кількох уроків, причому основний організаційною формоюпри цьому є комп'ютерні лабораторні роботи. Навчання моделювання за допомогою методу навчальних проектівможе бути реалізовано різних рівнях. Перший – проблемний виклад процесу виконання проекту, який веде вчитель. Другий – виконання проекту учнями під керівництвом вчителя. Третій - самостійне виконанняучнями навчального дослідницького проекту.

Результати роботи мають бути представлені у чисельному вигляді, у вигляді графіків, діаграм. Якщо є можливість, процес представляється на екрані ЕОМ динаміці. Після закінчення розрахунків та отримання результатів проводиться їх аналіз, порівняння з відомими фактами з теорії, підтверджується достовірність та проводиться змістовна інтерпретація, що надалі відображається у письмовому звіті.

Якщо результати задовольняють учня та вчителі, то робота вважаєтьсязавершеною, та її кінцевим етапом є складання звіту. Звіт включає короткі теоретичні відомості з теми, що вивчається, математичну постановкузавдання, алгоритм вирішення та його обґрунтування, програму для ЕОМ, результати роботи програми, аналіз результатів та висновки, список використаної літератури.

Коли всі звіти складено, на заліковому заняттіучні виступають з короткими повідомленнямипро виконану роботу, захищають свій проект. Це є ефективною формоюзвіту групи, яка виконує проект, перед класом, включаючи постановку завдання, побудову формальної моделі, вибір методів роботи з моделлю, реалізацію моделі на комп'ютері, роботу з готовою моделлю, інтерпретацію отриманих результатів, прогнозування. У результаті учні можуть одержати дві оцінки: першу - за опрацьованість проекту та успішність його захисту, другу - за програму, оптимальність її алгоритму, інтерфейс тощо. Учні отримують позначки і під час опитувань з теорії.

Істотне питання – яким інструментарієм користуватись у шкільному курсі інформатики для математичного моделювання? Комп'ютерна реалізація моделей може бути здійснена:

• за допомогою табличного процесора (як правило, MS Excel);
• шляхом створення програм традиційними мовами програмування (Паскаль, Бейсик та інших.), і навіть їх сучасних версіях (Delphi, Visual
  Basic for Application і т.п.);
• за допомогою спеціальних пакетів прикладних програмдля вирішення математичних завдань (MathCAD тощо).

На рівні основної школи перший засіб видається кращим. Однак у старшій школіКоли програмування є, поряд з моделюванням, ключовою темою інформатики, бажано залучати його як інструмент моделювання. У процесі програмування учням стають доступними деталі математичних процедур; більше, вони просто змушені їх освоювати, але це сприяє і математичної освіти. Що ж до використання спеціальних пакетів програм, це доречно в профільному курсі інформатики як доповнення до інших інструментів.

Завдання :

• Скласти схему ключових понять.

Модель (від лат. modulus – міра) та моделювання є загальнонауковими поняттями. Моделювання з загальнонаукової погляду постає як спосіб пізнання з допомогою побудови спеціальних об'єктів, систем – моделей досліджуваних об'єктів, явищ чи процесів. У цьому той чи інший об'єкт називають моделлю тоді, що він використовується отримання інформації щодо іншого об'єкта – прототипу модели.

Метод моделювання використовується практично у всіх без винятку науках та на всіх етапах наукового дослідження. Евристична сила цього методу визначається тим, що за допомогою методу моделювання вдається звести вивчення складного до простого, невидимого та невідчутного та видимого та відчутного тощо.

При дослідженні якогось об'єкта (процесу або явища) за допомогою методу моделювання, в якості моделі можна вибрати ті властивості, які нас в Наразіцікавлять. Наукове дослідження будь-якого об'єкта завжди є відносно. У конкретному дослідженні не можна розглянути об'єкт у всьому його різноманітті. Отже, той самий об'єкт може мати багато різних моделейі про жодну з них не можна сказати, що вона єдина, справжня модель даного об'єкта.

Прийнято розрізняти чотири основні властивостімоделей:

· Спрощеність порівняно з об'єктом, що вивчається;

· Здатність відображати або відтворювати об'єкт дослідження;

· Можливість заміщати об'єкт дослідження на певних етапах його пізнання;

· можливість отримувати нову інформаціюпро об'єкт, що вивчається.

Дослідження різних явищ чи процесів математичними методамиздійснюється за допомогою математичної моделі. Математична модельє формалізоване опис мовою математики досліджуваного об'єкта. Таким формалізованим описом може бути система лінійних, нелінійних чи диференціальних рівнянь, система нерівностей, певний інтеграл, багаточлен з невідомими коефіцієнтами тощо. буд.

Перш ніж створити математичну модель об'єкта (процесу чи явища) його довго вивчають різними методами: спостереженням, спеціально організованими експериментами, теоретичним аналізом тощо. Потім об'єкт спрощується, з усього різноманіття властивих властивостей виділяються найбільш суттєві. При необхідності робляться припущення про зв'язки з навколишнім світом.

Як зазначалося раніше, будь-яка модель не тотожна самому явищу, вона лише дає деяке наближення до дійсності. Але в моделі перераховані всі припущення, які покладені на її основу. Ці припущення можуть бути грубими і тим не менше давати цілком задовільне наближення до реальності. Для того самого явища може бути побудовано кілька моделей, зокрема і математичних. Наприклад, описати рух планет Сонячної системи можна за допомогою:

8 моделі Кеплера, що складається з трьох законів, включаючи математичні формули (рівняння еліпса);

8 моделі Ньютона, яка складається з однієї формули, але вона більш загальна і точна.

В оптиці розглядалося кілька моделей світла: корпускулярна, хвильова та електромагнітна. Для них було виведено численні закономірності кількісного характеру. Кожна з цих моделей вимагала свого математичного підходу та відповідних математичних засобів. Корпускулярна оптика користувалася засобами евклідової геометрії та дійшла висновку законів відображення та заломлення світла. Хвильова модель теорії світла зажадала нових математичних ідей і чисто обчислювальним шляхом було відкрито нові факти, що стосуються явищ дифракції та інтерференції світла, які раніше не спостерігалися. Геометрична оптика, пов'язана з корпускулярною моделлю, тут виявилася безсилою.

Побудована модель має бути такою, щоб вона могла заміщати у дослідженнях об'єкт (процес чи явище), повинна мати з ним подібні риси. Подібність досягається або за рахунок подібності структури (ізоморфізм), або аналогії у поведінці чи функціонуванні (ізофункціональність). Спираючись на подібність структури або функції моделі та оригіналу в сучасної технікиперевіряють, розраховують та проектують найскладніші системи, машини та споруди.

Як зазначалося вище, для одного й того самого об'єкта, процесу або явища може бути побудовано багато різних моделей. Деякі з них (не обов'язково усі) можуть виявитися ізоморфними. Наприклад, в аналітичній геометрії крива на площині використовується як модель відповідного рівняння з двома змінними. У цьому випадку модель (крива) і прототип (рівняння) є ізоморфними системами (точок, що лежать на кривій, і відповідних пар чисел, що задовольняють рівнянню),

У книзі «Математика ставить експеримент» академік М.М.Моїсеєв пише, що будь-яка математична модель може виникнути трьома шляхами:

· В результаті прямого вивчення та осмислення об'єкта (процесу або явища) (феноменологічна) (приклад - рівняння, що описують динаміку атмосфери, океану),

· В результаті деякого процесу дедукції, коли нова модель виходить як окремий випадокбільш загальної моделі (асимптоматична) (приклад – рівняння гідротермодинаміки атмосфери),

· Внаслідок деякого процесу індукції, коли нова модель є природним узагальненням «елементарних» моделей (модель ансамблів або узагальнена модель).

Процес розробки математичних моделей складається з наступних етапів:

· Формулювання проблеми;

· Визначення мети моделювання;

· Організація та проведення дослідження предметної області(Дослідження властивостей об'єкта моделювання);

· Розробка моделі;

· Перевірка її точності та відповідності реальності;

· Практичне використання, тобто. перенесення отриманих з допомогою моделі знань досліджуваний об'єкт чи процес.

Особливе значеннямоделювання як спосіб пізнання законів та явищ природи набуває у вивченні об'єктів, недоступних повною мірою прямому спостереженню чи експериментуванню. До них належать і соціальні системи, єдино можливим способомвивчення яких найчастіше служить моделювання.

Загальних методів побудови математичних моделей немає. У кожному даному випадку необхідно виходити з наявних даних, цільової спрямованості, враховувати завдання дослідження, і навіть порівнювати точність і подробиці моделі. Вона має відбивати найважливіші риси явища, суттєві чинники, яких переважно залежить успіх моделювання.

При розробці моделей необхідно дотримуватись таких основних методологічних принципівмоделювання соціальних явищ:

· Принципу проблемності, що передбачає рух не від готових "універсальних" математичних моделей до проблем, а від реальних, актуальних проблем- до пошуку, розроблення спеціальних моделей;

· Принципу системності, що розглядає всі взаємозв'язки моделюється явища в термінах елементів системи та її середовища;

· Принципу варіативності при формалізації процесів управління, пов'язаного зі специфічними відмінностями законів розвитку природи та суспільства. Для його пояснення необхідно розкрити докорінну відмінність моделей суспільних процесів від моделей, що описують явища природи.

Математичне моделювання- процес побудови та вивчення математичних моделей

основні тенденції у розвитку математичного (комп'ютерного) моделювання в Останніми рокамипов'язуються не так з вирішенням "мікро" проблем, таких як представлене вище співвідношення "модель-алгоритм-програма". Акценти моделювання дедалі більше зміщуються до "макро-проблем". Справді, апаратно-програмні засоби вирішення мікро-проблем за Останнім часомпрактично перестали обмежувати можливості моделювання навіть у найбільших проектах. У всьому світі поряд з базовими мовамипрограмування для моделювання широко використовуються десятки спеціалізованих мов та комерційно доступних систем моделювання, а можливості мережного спілкування відкривають доступ до самих сучасним методологіямта ідеям.

У сучасної теоріїуправління створюються та застосовуються математичні моделі двох основних типів (хоча в різних розділах теорії ці типи і визначаються по-різному).
Для технологічних об'єктів цей поділ відповідає "феноменологічним" та "дедуктивним" моделям. Під феноменологічними моделями розуміються переважно емпірично відновлювані входо-вихідні залежності, як правило, з невеликою кількістю входів та виходів. Дедуктивне моделювання передбачає з'ясування та опис основних фізичних закономірностей функціонування всіх вузлів досліджуваного процесу механізмів їх взаємодії. Дедуктивні моделі набагато багатші, вони описують процес загалом, а чи не окремі його режими.
Перший тип моделей – аналітичні моделі (або, точніше кажучи, моделі даних). "Моделі даних - це моделі, які не вимагають, не використовують і не відображають якихось гіпотез про фізичних процесів(системах), у яких ці дані отримано". Другий тип моделей - системні моделі (або моделі систем). Це математичні моделі, які " будуються переважно з урахуванням фізичних законів і гіпотез у тому, як система структурована і, можливо, у тому, як вона функціонує " .
У класичному розуміннідо моделей даних (аналітичних моделей) відносяться всі моделі математичної статистики. Останнім часом характерні макрозміни спостерігаються і для цих моделей. Зв'язок із "зовнішнім світом" проникає в цю сферу моделювання як експертно-статистичні методи та системи, що суттєво розширює методологічну базу для прийняття рішень у задачах аналізу даних та управління.
Аж до недавнього часу математичні моделівикористовувалися у практиці управління лише як джерело вхідних даних для систем управління. Моделювання технічних системна етапі проектування для оптимізації їх структури та параметрів продовжує цю традицію.
У багатьох інших завданнях принципово застосовні лише системні моделі. У багатьох випадках модель може входити в систему управління у формі блоку, що обчислює виходи деякого об'єкта на її входи. Часто у цьому випадку мова йдепро розвиток так званого імітаційного моделювання- д інамічномумоделюванні об'єкта. Динамічне моделювання притаманно різних завдань реального часу, передусім, для комп'ютерних тренажерів. Так, у процесі тренажерного навчання дії оператора інтерпретуються як входи моделі системи (технологічної, транспортної тощо), а виходи моделі перетворюються на аудіо-візуальний образ реакцій системи на дії оператора. Таке моделювання здійснюється у реальному часі, що дозволяє використовувати його результати у різних технологіях реального часу (від виявлення несправностей до інтерактивного тренінгу операторів).
Існує два основні класи завдань, пов'язаних з математичними моделями: прямі та зворотні.У першому випадку всі параметри моделі вважаються відомими, і нам залишається лише досліджувати її поведінку. Наприклад, визначення частоти коливань гармонійного осцилятора за відомого значення параметра k- Пряма задача математичного моделювання.

Іноді потрібно вирішити обернену задачу: якісь параметри моделі невідомі (наприклад, не можуть бути виміряні явно), і потрібно їх знайти, зіставляючи поведінку реальної системи з її моделлю. Ще одна зворотне завдання: підібрати параметри моделі таким чином, щоб вона задовольняла якісь задані умови - такі завдання потрібно вирішувати при проектуванні систем.

Математична модель виражає суттєві риси-об'єкта або процесу мовою рівнянь та інших математичних засобів. Власне, сама математика зобов'язана своїм існуванням з того що вона намагається відобразити, тобто. промоделювати, своєю специфічною мовою закономірності навколишнього світу.

Шлях математичного моделювання в наш час набагато більш всеосяжний, ніж моделювання натурного. Величезний поштовх розвитку математичного моделювання дало появу ЕОМ, хоча сам метод зародився одночасно з математикою тисячі років тому.

Математичне моделюванняяк таке аж ніяк не завжди потребує комп'ютерної підтримки. Кожен фахівець, який професійно займається математичним моделюванням, робить все можливе для аналітичного дослідження моделі. Аналітичні рішення (тобто представлені формулами, що виражають результати дослідження через вихідні дані) зазвичай зручніше та інформативніше чисельних. Можливості аналітичних методіввирішення складних математичних завдань, однак, дуже обмежені і, як правило, ці методи набагато складніші за чисельні.

ЛЕКЦІЯ 4

Визначення та призначення математичного моделювання

Під моделлю(від латинського modulus - міра, зразок, норма) будемо розуміти такий матеріально або подумки об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає об'єкт-оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові його риси. Процес побудови та використання моделі називається моделюванням.

Суть математичного моделювання (ММ) полягає в заміні досліджуваного об'єкта (процесу) адекватною математичною моделлю та подальшому дослідженні властивостей цієї моделі за допомогою або аналітичних методів, або обчислювальних експериментів.

Іноді корисніше замість того, щоб давати суворі визначення, описувати те чи інше поняття на конкретному прикладі. Тому проілюструємо наведені вище визначення ММ на прикладі задачі розрахунку питомого імпульсу. На початку 60-х перед вченими ставилося завдання розробки ракетного палива з найбільшим питомим імпульсом. Принцип руху ракети полягає в наступному: рідке паливо та окислювач із баків ракети подаються в двигун, де відбувається їх згоряння, а продукти згоряння вилітають в атмосферу. Із закону збереження імпульсу випливає, що в цьому ракета рухатиметься зі швидкістю.

Питома імпульс палива – це отриманий імпульс, поділений на масу палива. Проведення експериментів було дуже дорогим і призводило до систематичного псування обладнання. Виявилося, що легше та дешевше розрахувати термодинамічні функції ідеальних газів, обчислити з їх допомогою склад газів, що вилітають, і температуру плазми, а потім і питомий імпульс. Тобто провести ММ процесу горіння палива.

Поняття математичного моделювання (ММ) сьогодні одне з найпоширеніших у науковій літературі. Переважна більшість сучасних дипломних та дисертаційних робіт пов'язана з розробкою та використанням відповідних математичних моделей. Комп'ютерне ММ сьогодні є складовоюбагатьох областей людської діяльності(Наука, техніка, економіка, соціологія тощо). Це одна з причин сьогоднішнього дефіциту фахівців у галузі інформаційних технологій.

Бурхливе зростання математичного моделювання зумовлене стрімким удосконаленням обчислювальної техніки. Якщо ще 20 років тому проведенням чисельних розрахунків займалося лише невелика кількість програмістів, то тепер обсяг пам'яті та швидкодія сучасних комп'ютерів, що дозволяють вирішувати завдання математичного моделювання доступних усім фахівцям, включаючи студентів ВНЗ.

У будь-якій дисципліні спочатку дається якісний опис явищ. А потім уже – кількісне, сформульоване у вигляді законів, що встановлюють зв'язки між різними величинами(напруженість поля, інтенсивність розсіювання, заряд електрона, …) у формі математичних рівнянь. Тому можна сказати, що в кожній дисципліні стільки науки, скільки в ній є математики, і цей факт дозволяє успішно вирішувати багато завдань методами математичного моделювання.

Цей курс призначений для студентів, що спеціалізуються в галузі прикладної математики, які виконують дипломні роботи під керівництвом провідних вчених, які працюють у різних областях. Тому цей курс необхідний не лише як навчальний матеріал, а й як підготовка до дипломної роботи. Для вивчення даного курсу нам будуть потрібні такі розділи математики:

1. Рівняння математичної фізики(Кантова механіка, газо- та гідродинаміка)

2. Лінійна алгебра (теорія пружності)

3. Скалярні та векторні поля(теорія поля)

4. Теорія ймовірностей ( квантова механіка, статистична фізика, фізична кінетика)

5. Спеціальні функції.

6. Тензорний аналіз(Теорія пружності)

7. Математичний аналіз

ММ в природознавстві, техніці та економіці

Розглянемо спочатку різні розділи природознавства, техніки, економіки, у яких використовуються математичні моделі.

Природознавство

Фізика, яка встановлює основні закони природознавства, давно розділилася на теоретичну та експериментальну. Виведенням рівнянь, що описують фізичні явища, займається теоретична фізика. Таким чином, теоретична фізика також може вважатися одним із напрямків математичного моделювання. (Згадаймо, що назва першої книги з фізики – «Математичні початки натуральної філософії» І. Ньютона можна перекласти сучасною мовою як «Математичні моделі природознавства».) З отриманих законів проводяться інженерні розрахунки, які у різних інститутах, фірмах, КБ. Ці організації розробляють технології виготовлення сучасної продукції, які є наукомісткими. Отже, поняття наукомісткі технології включає розрахунки за допомогою відповідних математичних моделей.

Один із найбільш великих розділів фізики – класична механіка(іноді цей розділ називається теоретичною або аналітичною механікою). Цей розділтеоретичної фізики вивчає рух та взаємодію тіл. Розрахунки за допомогою формул теоретичної механіки необхідні при вивченні обертання тіл (розрахунок моментів інерції, гіростатів – пристроїв, що зберігають у нерухомості осі обертання), аналізі руху тіла в безповітряному просторі, та ін. Один з розділів теоретичної механіки називається теорією стійкості і лежить в основі багатьох математичних моделей, що описують рух літаків, кораблів, ракет. Розділи практичної механіки – курси «Теорія машин та механізмів», «Деталі машин», вивчається студентами багатьох технічних вузів (включаючи МДІУ).

Теорія пружності- Частина розділу механіки суцільних середовищ, що передбачає, що матеріал пружного тіла однорідний і безперервно розподілений по всьому об'єму тіла, так що найменший елемент, вирізаний з тіла, має ті ж фізичними властивостямищо все тіло. Додаток теорії пружності – курс «опір матеріалів», що вивчається студентами всіх технічних вузів (включаючи МДІУ). Цей розділ необхідний всім розрахунків міцності. Тут і розрахунок міцності корпусів кораблів, літаків, ракет, розрахунок міцності сталевих та залізобетонних конструкцій будівель та багато іншого.

Газо- та гідродинаміка, як і теорія пружності – частина розділу механіки суцільних середовищ, розглядає закони руху рідини та газу. Рівняння газо - і гідродинаміки необхідні під час аналізу руху тіл у рідкому і газоподібному середовищі (супутники, підводні човни, ракети, снаряди, автомобілі), під час розрахунків закінчення газу із сопел двигунів ракет, літаків. Практичний додатокгідродинаміки - гідравліка (гальмо, кермо, ...)

Попередні розділи механіки розглядали рух тіл у макросвіті, та фізичні законимакросвіту не застосовуються в мікросвіті, в якому рухаються частинки речовини - протони, нейтрони, електрони. Тут діють зовсім інші принципи, і для опису мікросвіту необхідна квантова механіка. Основне рівняння, що описує поведінку мікрочастинок - рівняння Шредінгера: . Тут – оператор Гамільтона (гамільтоніан). Для одновимірного рівняння руху частинки -потенційна енергія. Розв'язання цього рівняння - набір власних значеньенергії і власних функцій. спектрального аналізу, та ін.

Велика кількість завдань вирішує кінетика, що описує рух та взаємодію частинок. Тут і дифузія, теплообмін, теорія плазми – четвертого стану речовини.

Статистична фізикарозглядає ансамблі частинок, дозволяє сказати про параметри ансамблю, з властивостей окремих частинок. Якщо ансамбль складається з молекул газу, то виведені методами статистичної фізики властивості ансамблю є добре відомими із середньої школи рівняння газового стану: http://www.pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif height="17 src=">.gif" width="16" - молекулярна вага газу. До – постійна Рідберга. Статистичними методамирозраховуються також властивості розчинів, кристалів, електронів у металах. ММ статистичної фізики – теоретична основатермодинаміки, що лежить в основі розрахунку двигунів, теплових мереж та станцій.

Теорія полявизначає методами ММ одну з основних форм матерії - поле. При цьому основний інтерес становлять електромагнітні поля. Рівняння електромагнітного поля (електродинаміки) були виведені Максвеллом: , , . Тут і щільність заряду, щільність струму. Рівняння електродинаміки лежать в основі розрахунків розповсюдження. електромагнітних хвиль, необхідні описи поширення радіохвиль (радіо, телебачення, стільниковий зв'язок), пояснення роботи радіолокаційних станцій.

Хімію можна представити у двох аспектах, виділяючи описову хімію – відкриття хімічних факторів та їх опис – та теоретичну хімію – розробку теорій, що дозволяють узагальнити встановлені фактори та подати їх у вигляді певної системи(Л. Полінг). Теоретична хіміяназивається також фізичною хімією і є, по суті, розділом фізики, що вивчає речовини та їх взаємодії. Тому все, що було сказано щодо фізики, повною мірою стосується і хімії. Розділами фізичної хіміїбудуть термохімія, що вивчає теплові ефекти реакцій, хімічна кінетика(швидкості реакцій), квантова хімія (будова молекул). У цьому завдання хімії бувають надзвичайно складними. Так, наприклад, для вирішення завдань квантової хімії – науки про будову атомів та молекул, використовуються програми, які можна порівняти за обсягом із програмами ППО країни. Наприклад, щоб описати молекулу UCl4, що складається з 5 ядер атомів і +17*4) електронів, потрібно записати рівняння руху – рівняння у приватних похідних.

Біологія

У біологію математика прийшла по-справжньому лише у другій половині 20 століття. Перші спроби математично описати біологічні процесивідносяться до моделей популяційної динаміки. Населенням називається співтовариство особин одного виду, які займають деяку область простору Землі. Ця область математичної біології, що вивчає зміну чисельності популяції в різних умовах (наявність конкуруючих видів, хижаків, хвороб тощо) і надалі служила математичним полігоном, на якому "відпрацьовувалися" математичні моделі в різних областяхбіології. У тому числі моделі еволюції, мікробіології, імунології та інших галузей, пов'язаних із клітинними популяціями.
Найперша відома модель, сформульована в біологічній постановці, - знаменитий ряд Фібоначчі (кожне наступне число є сумою двох попередніх), який наводить у своїй праці Леонардо з Пізи в 13 столітті. Це ряд чисел, що описує кількість пар кроликів, які народжуються щомісяця, якщо кролики починають розмножуватися з другого місяця і щомісяця дають потомство як пари кроликів. Ряд представляє послідовність чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

8, 13, …

Іншим прикладом вивчення процесів іонного трансмембранного перенесення на штучної бислойной мембрані. Тут для того, щоб вивчити закони утворення пори, через яку іон проходить крізь мембрану всередину клітини, необхідно створити модельну систему, яку можна вивчати експериментально, і для якої можна використовувати добре розроблений наукою фізичний опис.

Класичним прикладом ММ є також популяція дрозофіли. Ще зручнішою моделлю є віруси, які можна розмножувати у пробірці. Методами моделювання в біології є методи динамічної теоріїсистем, а засобами - диференціальні та різницеві рівняння, методи якісної теорії диференціальних рівнянь, імітаційне моделювання.
Цілі моделювання в біології:
3. З'ясування механізмів взаємодії елементів системи
4. Ідентифікація та верифікація параметрів моделі за експериментальними даними.
5. Оцінка сталості системи (моделі).

6. Прогноз поведінки системи за різних зовнішніх впливах, різних способах управління та ін.
7. Оптимальне керування системою відповідно до обраного критерію оптимальності.

Техніка

Удосконаленням техніки займається велика кількістьспеціалістів, які у своїй роботі спираються на результати наукових досліджень. Тому ММ у техніці самі, як і ММ природознавства, про які йшлося вище.

Економіка та соціальні процеси

Вважають, що математичне моделювання як метод аналізу макроекономічних процесів було вперше застосовано лейб-медиком короля Людовіка XV доктором Франсуа Кене, який 1758 р. опублікував роботу «Економічна таблиця». У цій роботі було зроблено першу спробу кількісно описати національну економіку. А 1838 р. у книзі О. Курно«Дослідження математичних принципівтеорії багатства» кількісні методибули вперше використані для аналізу конкуренції на ринку товару за різних ринкових ситуацій.

Широко відома також теорія Мальтуса про народонаселення, в якій він запропонував ідею: зростання населення далеко не завжди бажане, і зростання це йде швидше, ніж зростають можливості забезпечення населення продовольством. Математична модель такого процесу досить проста: Нехай - приріст чисельності населення за час чисельність дорівнювала . і - Коефіцієнти, що враховують народжуваність і смертність (чол/рік).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Інструментальні та математичні методи " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">математичні методи аналізу (наприклад, останні десятиліттяу гуманітарних науках з'явилися математичні теорії розвитку культури, побудовано та досліджено математичні моделі мобілізації, циклічного розвитку соціокультурних процесів, модель взаємодії народу та уряду, модель гонки озброєнь та ін.).

У найзагальніших рисах процес ММ соціально-економічних процесів умовно можна поділити на чотири етапи:

формулювання системи гіпотез та розробка концептуальної моделі; розробка математичної моделі; аналіз результатів модельних розрахунків, що включає їх порівняння з практикою; формулювання нових гіпотез та уточнення моделі у разі невідповідності результатів розрахунків та практичних даних.

Зазначимо, що, як правило, процес математичного моделювання має циклічний характер, оскільки навіть при дослідженні порівняно простих процесіврідко вдається з першого кроку побудувати адекватну математичну модель та підібрати точні її параметри.

В даний час економіка розглядається як складна система, що розвивається, для кількісного опису якої застосовуються динамічні математичні моделі різного ступеня складності. Один із напрямів дослідження макроекономічної динаміки пов'язаний з побудовою та аналізом щодо простих нелінійних імітаційних моделей, що відображають взаємодію різних підсистем – ринку праці, ринку товарів, фінансової системи, природного середовища та ін.

Успішно розвивається теорія катастроф. Ця теорія розглядає питання про умови, за яких зміна параметрів нелінійної системи викликає переміщення точки у фазовому просторі, що характеризує стан системи, з області тяжіння до початкового положення рівноваги в область тяжіння до іншого положення рівноваги. Останнє дуже важливо як для аналізу технічних систем, але й розуміння стійкості соціально-економічних процесів. У зв'язку з цим цікаві висновки про значення дослідження нелінійних моделейдля керування. У книзі «Теорія катастроф», опублікованій у 1990 р., він, зокрема, пише: «…нинішня перебудова багато в чому пояснюється тим, що почали діяти хоча б деякі механізми зворотнього зв'язку(боязнь особистого знищення)».

(Параметри моделі)

При побудові моделей реальних об'єктів та явищ часто доводиться стикатися з нестачею інформації. Для досліджуваного об'єкта розподіл властивостей, параметри впливу та початковий стан відомі з тим чи іншим ступенем невизначеності. При побудові моделі можливі такі варіанти опису невизначених параметрів:

Класифікація математичних моделей

(Методи реалізації)

Методи реалізації ММ можна класифікувати відповідно до таблиці, наведеної нижче.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

1. Основні поняття математичного моделювання

Рішення практичних завданьматематичними методами послідовно здійснюється шляхом формулювання завдання (розробки математичної моделі), вибору методу дослідження отриманої математичної моделі, аналізу отриманого математичного результату. Математична формулювання завдання зазвичай представляється як геометричних образів, функцій, систем рівнянь тощо. Опис об'єкта (яви) може бути представлений за допомогою безперервної чи дискретної, детермінованої чи стохастичної та інших математичних форм.

Теорія математичного моделювання забезпечує виявлення закономірностей протікання різних явищ навколишнього світу або роботи систем та пристроїв шляхом їхнього математичного опису та моделювання без проведення натурних випробувань. При цьому використовуються положення і закони математики, що описують явища, що моделюються, системи або пристрої на деякому рівні їх ідеалізації.

Математична модель (ММ) є формалізованим описом системи (або операції) на деякому абстрактною мовоюнаприклад, у вигляді сукупності математичних співвідношень або схеми алгоритму, тобто такий математичний опис, який забезпечує імітацію роботи систем або пристроїв на рівні, досить близькому до їхньої реальної поведінки, що отримується при натурних випробуваннях систем або пристроїв. Будь-яка ММ описує реальний об'єкт, явище чи процес із деякою мірою наближення до дійсності. Вигляд ММ залежить від природи реального об'єкта, і від завдань дослідження.

Математичне моделювання суспільних, економічних, біологічних та фізичних явищ, об'єктів, систем і різних пристроїв є одним з найважливіших засобівпізнання природи та проектування найрізноманітніших систем та пристроїв. Відомі приклади ефективного використаннямоделювання у створенні ядерних технологій, авіаційних та аерокосмічних систем, у прогнозі атмосферних та океанічних явищ, погоди тощо.

Однак для таких серйозних сфер моделювання нерідко потрібні суперкомп'ютери та роки роботи великих колективів вчених із підготовки даних для моделювання та його налагодження. Тим не менш, і в цьому випадку математичне моделювання складних системта пристроїв не тільки економить кошти на проведення досліджень та випробувань, але й може усунути екологічні катастрофи- наприклад, дозволяє відмовитися від випробувань ядерного та термоядерної зброїна користь його математичного моделювання або випробувань аерокосмічних систем перед реальними польотами.

Тим часом математичне моделювання на рівні вирішення більш простих завданьНаприклад, в галузі механіки, електротехніки, електроніки, радіотехніки та багатьох інших галузей науки і техніки в даний час стало доступним виконувати на сучасних ПК. А при використанні узагальнених моделей стає можливим моделювання та досить складних систем, наприклад, телекомунікаційних систем та мереж, радіолокаційних чи радіонавігаційних комплексів.

Метою математичного моделювання є аналіз реальних процесів (у природі чи техніці) математичними методами. У свою чергу це вимагає формалізації ММ процесу, що підлягає дослідженню. Модель може бути математичним виразом, що містить змінні, поведінка яких аналогічна поведінці реальної системи. Модель може включати елементи випадковості, що враховують ймовірність можливих дій двох або більшої кількості «гравців», як, наприклад, теорії ігор; або може представляти реальні змінні параметри взаємозалежних елементів діючої системи.

Математичне моделювання для дослідження характеристик систем можна поділити на аналітичне, імітаційне та комбіноване. У свою чергу, ММ поділяються на імітаційні та аналітичні.

2. Особливості побудови математичних моделей

Для використання ЕОМ під час вирішення прикладних завданьперш за все прикладне завдання має бути "перекладено" на формальний математична мова, тобто. для реального об'єкта, процесу чи системи має бути побудована його математична модель.

Математичні моделі в кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкта, процесу або системи, його параметри, внутрішні та зовнішні зв'язки.

Для побудови математичної моделі необхідно:

Ретельно проаналізувати реальний об'єкт чи процес;

Виділити його найбільш суттєві риси та властивості;

Визначити змінні, тобто. параметри, значення яких впливають на основні риси та властивості об'єкта;

Описати залежність основних властивостейоб'єкта, процесу чи системи від значення змінних за допомогою логіко-математичних співвідношень (рівняння, рівності, нерівності, логіко-математичних конструкцій);

Виділити внутрішні зв'язкиоб'єкта, процесу чи системи за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій;

Визначити зовнішні зв'язки та описати їх за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій.

Математичне моделювання, крім дослідження об'єкта, процесу або системи та складання їх математичного опису, також включає:

Побудова алгоритму, що моделює поведінку об'єкта, процесу чи системи;

Перевірка адекватності моделі та об'єкта, процесу чи системи на основі обчислювального та натурного експерименту;

Коригування моделі;

Використання моделі.

Математичний опис досліджуваних процесів та систем залежить від:

Природа реального процесу або системи складається на основі законів фізики, хімії, механіки, термодинаміки, гідродинаміки, електротехніки, теорії пластичності, теорії пружності і т.д.

Необхідної достовірності та точності вивчення та дослідження реальних процесів та систем.

На етапі вибору математичної моделі встановлюються: лінійність та нелінійність об'єкта, процесу чи системи, динамічність чи статичність, стаціонарність чи нестаціонарність, а також ступінь детермінованості досліджуваного об'єкта чи процесу. При математичному моделюванні свідомо відволікаються від конкретної фізичної природиоб'єктів, процесів або систем і, переважно, зосереджуються на вивченні кількісних залежностей між величинами, що описують ці процеси.

Математична модель ніколи не буває повністю тотожною об'єкту, процесу або системі, що розглядається. Заснована на спрощенні, ідеалізації вона є наближеним описом об'єкта. Тому результати, отримані під час аналізу моделі, мають наближений характер. Їхня точність визначається ступенем адекватності (відповідності) моделі та об'єкта.

Побудова математичної моделі зазвичай починається з побудови та аналізу найпростішої, найбільш грубої математичної моделі аналізованого об'єкта, процесу чи системи. Надалі, у разі потреби, модель уточнюється, робиться її відповідність об'єкту повнішим. Візьмемо простий приклад. Потрібно визначити площу поверхні письмового столу. Зазвичай для цього вимірюють його довжину та ширину, а потім перемножують отримані числа. Така елементарна процедура фактично позначає таке: реальний об'єкт (поверхня столу) замінюється абстрактною математичною моделлю - прямокутником. Прямокутнику приписуються розміри, отримані в результаті вимірювання довжини та ширини поверхні столу, і площа такого прямокутника приблизно приймається за потрібну площу столу.

Однак модель прямокутника для письмового столу – це найпростіша, найбільш груба модель. При більш серйозному підході до завдання, перш ніж скористатися визначення площі столу моделлю прямокутника, цю модель потрібно перевірити. Перевірки можна здійснити так: виміряти довжини протилежних сторінстолу, а також довжини його діагоналей і порівняти їх між собою. Якщо з необхідним ступенем точності, довжини протилежних сторін і довжини діагоналей попарно рівні між собою, то поверхню столу дійсно можна розглядати як прямокутник. В іншому випадку модель прямокутника доведеться відкинути та замінити моделлю чотирикутника загального вигляду. При більш високій вимогі до точності може виникнути потреба піти в уточненні моделі ще далі, наприклад, врахувати закруглення кутів столу.

За допомогою цього простого прикладубуло показано, що математична модель не визначається однозначно досліджуваним об'єктом, процесом чи системою. Для того самого столу ми можемо прийняти або модель прямокутника, або більш складну модель чотирикутника загального вигляду, або чотирикутника із закругленими кутами. Вибір тієї чи іншої моделі визначається вимогою до точності. З підвищенням точності модель доводиться ускладнювати, враховуючи нові та нові особливості об'єкта, що вивчається, процесу або системи.

Розглянемо інший приклад: дослідження руху кривошипно-шатунного механізму (рис. 4).

Для кінематичного аналізу цього механізму насамперед необхідно побудувати його кінематичну модель. Для цього: замінюємо механізм його кінематичною схемою, де всі ланки замінені жорсткими зв'язками. Користуючись цією схемою, ми виводимо рівняння руху механізму.

Запишемо ці рівняння:

де З 0 - крайнє праве положення повзуна:

r - радіускривошипа AB;

l - довжинашатуна BC;

Кут повороту кривошипу;

Отримані трансцендентні рівняння представляють математичну модель руху плоского аксіального кривошипно-шатунного механізму, засновану на наступних припущеннях, що спрощують: нас не цікавили конструктивні форми і розташування мас, що входять в механізм тіл, і всі тіла механізму ми замінили відрізками прямих. Насправді всі ланки механізму мають масу і досить складну форму. Наприклад, шатун - це складне збірне з'єднання, форма і розміри якого, звичайно, впливатимуть на рух механізму; при побудові математичної моделі руху аналізованого механізму ми також не враховували пружність тіл, що входять в механізм, тобто. всі ланки розглядали як абстрактні абсолютно тверді тіла. Насправді ж всі ті тіла, що входять у механізм - пружні тіла. Вони під час руху механізму якось деформуватимуться, у них можуть навіть виникнути пружні коливання. Це все, звичайно, також впливатиме на рух механізму; ми не враховували похибку виготовлення ланок, зазори в кінематичних парах A, B, C і т.д.

Таким чином, важливо ще раз підкреслити, що чим вищі вимоги до точності результатів розв'язання задачі, тим більша необхідність враховувати при побудові математичної моделі особливості об'єкта, процесу або системи, що вивчається. Однак, тут важливо під час зупинитися, оскільки складна математична модель може перетворитися на важко розв'язне завдання.

Найбільш просто будується модель, коли добре відомі закони, що визначають поведінку та властивості об'єкта, процесу чи системи, і є великий практичний досвідїх застосування. складна ситуаціявиникає тоді, коли наші знання про об'єкт, що вивчається, процес або систему недостатні. У цьому випадку при побудові математичної моделі доводиться робити додаткові припущення, які мають характер гіпотез, така модель називається гіпотетичною. Висновки, отримані в результаті дослідження такої гіпотетичної моделі, мають умовний характер. Для перевірки висновків потрібно зіставити результати дослідження моделі на ЕОМ з натурного експерименту. Таким чином, питання застосування деякої математичної моделі до вивчення об'єкта, що розглядається, процесу або системи не є математичним питаннямі може бути вирішено математичними методами.

Основним критерієм істинності є експеримент, практика у самому широкому значенніцього слова.

Побудова математичної моделі в прикладних завданнях - один із найскладніших і найвідповідальніших етапів роботи. Досвід показує, що у багатьох випадках правильно вибрати модель - значить вирішити проблему більш ніж наполовину. Складність цього етапу у тому, що він вимагає з'єднання математичних і спеціальних знань. Тому дуже важливо, щоб при вирішенні прикладних завдань математики володіли спеціальними знаннями про об'єкт, а їх партнери, фахівці - певною математичною культурою, досвідом дослідження у своїй галузі, знанням ЕОМ та програмування.

3. Узагальнена математична модель

Математична модель описує залежність між вихідними даними та шуканими величинами. Елементами узагальненої математичної моделі є (рис. 1):

· безліч вхідних даних (змінні) X, Y; X - сукупність змінних, що варіюються; Y – незалежні змінні (константи);

· Математичний оператор L, що визначає операції над цими даними; під яким розуміється повна система математичних операцій, що описують чисельні чи логічні співвідношення між множинами вхідних та вихідних даних (змінні);

· Багато вихідних даних (змінних) G(X,Y); є сукупність критеріальних функцій, що включає (при необхідності) цільову функцію.

Математична модель є математичним аналогом проектованого об'єкта. Ступінь адекватності її об'єкту визначається постановкою та коректністю розв'язків задачі проектування.

Множина параметрів, що варіюються (змінних) X утворює простір параметрів, що варіюються, R x (простір пошуку), яке є метричним з розмірністю n, що дорівнює числу параметрів, що варіюються.

Безліч незалежних змінних Y утворюють метричний простір вхідних даних R y . У тому випадку, коли кожен компонент простору R y визначається діапазоном можливих значень, безліч незалежних змінних відображається деяким обмеженим підпростором простору R y .

Безліч незалежних змінних Y визначає середовище функціонування об'єкта, тобто. зовнішні умови, в яких працюватиме проектований об'єкт. Це можуть бути:

Технічні параметри об'єкта, що не підлягають зміні у процесі проектування;

Фізичні обурення середовища, з яким взаємодіє об'єкт проектування;

Тактичні параметри, які має досягати об'єкта проектування.

Вихідні дані узагальненої моделі утворюють метричний простір критеріальних показників R G .

Схема використання математичної моделі у системі автоматизованого проектуванняпоказано на рис.2.

4. Вимоги до математичним моделям

математичний модель завдання результат

Основними вимогами до МО є вимоги адекватності, точності, економічності.

1. Адекватність - здатність відображати задані властивості об'єкта з похибкою не вище заданої.

2. Точність – оцінюється ступенем збігу значень параметрів дійсного об'єкта та розрахованих на математичних моделях.

3. Універсальність - характеризує повноту відображення моделі властивостей реального об'єкта.

4. Економічність - зазвичай характеризується необхідними витратами машинної пам'яті та часу. Іноді оцінюється за кількістю операцій необхідних при одному зверненні до моделі. Аналогічні вимоги щодо точності та економічності фігурують при виборі чисельних методів розв'язання рівнянь моделі.

Вимоги універсальності, точності, адекватності з одного боку та економічності з іншого суперечливі. Це зумовлює роботу цілого спектру моделей, що відрізняються тими чи іншими властивостями.

5. Методи отримання математичної моделі

1. Вибір властивостей об'єкта, які підлягають відображенню моделі. Вибір заснований на аналізі можливих застосувань моделі та визначає ступінь універсальності ММ.

2. Збір вихідної інформації про вибрані властивості об'єкта. Джерелами відомостей можуть бути: досвід та знання інженера, який розробляє модель; науково-технічна література, Насамперед довідкова; описи прототипів - наявних ММ для елементів, близьких за своїми властивостями до об'єкта, що досліджується; результати експериментального виміру параметрів тощо.

3. Синтез структури ММ. Структура ММ - загальний виглядматематичних співвідношень моделі без конкретизації числових значеньфігурують у яких параметрів. Структура моделі може бути представлена ​​також у графічній формі, наприклад, у вигляді еквівалентної схеми або графа. Синтез структури - найбільш відповідальна операція, що найбільш важко піддається формалізації.

4. Розрахунок числових значень параметрів ММ. Це завдання ставиться завдання мінімізації похибки моделі заданої структури.

5. Оцінка точності та адекватності ММ. Для оцінки точності повинні використовуватись значення, які не фігурували при вирішенні задачі.

6. Реалізація функціональних ММ на ЕОМ передбачає вибір чисельного методу розв'язання рівнянь та перетворення рівнянь відповідно до особливостей обраного методу. Кінцева метаперетворень - отримання робочої програмианалізу у вигляді послідовності елементарних дій(арифметичних та логічних операцій), що реалізуються командами ЕОМ. Зазначені перетворення вихідної ММ в послідовності елементарних дій ЕОМ виконує автоматично спеціальним програмам, що створюється інженером - розробником САПР. Інженер-користувач САПР повинен лише вказати, які програми з наявних він хоче використати. Процес перетворень ММ, які стосуються різних ієрархічних рівнів, ілюструє рисунок 3.

Рисунок 3 Процес перетворення математичних моделей ДУЧП – диференціальні рівняння з приватними похідними; ОДУ - прості диференціальні рівняння; АУ - алгебраїчні рівняння; ЛАУ - лінійні рівняння алгебри; 1...12 - взаємно спрямовані шляхи дискретизації змінних МММ

7. Інженер-користувач задає вихідну інформацію про аналізований об'єкт та про проектні процедури, що підлягають виконанню, зручною для нього проблемно-орієнтованою мовою програмного комплексу. Гілки 1 малюнку 5.1 відповідає постановка завдання, що належить до мікрорівню, як крайової, найчастіше як ДУЧП. Численні методи вирішення ДУЧП засновані на дискретизації змінних та алгебризації завдання.

Дискретизація полягає у заміні безперервних змінних кінцевим безліччю їх значень у заданих для дослідження просторовому та часовому інтервалах; алгебраїзація - у заміні похідних алгебраїчними співвідношеннями.

6. Використання математичних моделей

Обчислювальна потужність сучасних комп'ютерів у поєднанні з наданням користувачеві всіх ресурсів системи, можливістю діалогового режиму при вирішенні задачі та аналізі результатів дозволяють звести до мінімуму час вирішення задачі.

При складанні математичної моделі від дослідника потрібно:

· Вивчити властивості досліджуваного об'єкта;

· Вміння відокремити основні якості об'єкта від другорядних;

· Оцінити прийняті припущення.

Модель описує залежність між вихідними даними та шуканими величинами. Послідовність дій, які треба виконати, щоб від вихідних даних перейти до шуканих величин називають алгоритмом.

Алгоритм розв'язання задачі пов'язаний із вибором чисельного методу. Залежно від форми подання математичної моделі (алгебраїчна або диференційна форма) використовуються різні чисельні методи.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Основні поняття математичного моделювання, характеристика етапів створення моделей завдань планування виробництва та транспортних завдань; аналітичний та програмний підходи до їх вирішення. Симплекс-метод розв'язання задач лінійного програмування.

курсова робота , доданий 11.12.2011


Застосування системи MathCAD під час вирішення прикладних завдань технічного характеру. Основні засоби математичного моделювання. Розв'язання диференціальних рівнянь. Використання системи MathCad для реалізації математичних моделей електричних схем.

курсова робота , доданий 17.11.2016


Сутність поняття "диференціальне рівняння". Основні етапи математичного моделювання. Завдання, що призводять до розв'язання диференціальних рівнянь. Розв'язання задач пошуку. Точність маятникового годинника. Розв'язання задачі визначення закону руху кулі.

курсова робота , доданий 06.12.2013


Вивчення актуального завдання математичного моделювання у біології. Дослідження модифікованої моделі Лотки-Вольтерра на кшталт конкуренції хижака за жертву. Проведення лінеаризації вихідної системи. Вирішення системи нелінійних диференціальних рівнянь.

контрольна робота , доданий 20.04.2016


Основні положення теорії математичного моделювання. Структура математичної моделі. Лінійні та нелінійні деформаційні процеси твердих тілах. Методика вивчення математичної моделі палі складної зміни шляхом кінцевих елементів.

курсова робота , доданий 21.01.2014


Поняття та види завдань математичного лінійного та нелінійного програмування. Динамічне програмування, розв'язання задачі засобами табличного процесора Excel. Завдання динамічного програмування щодо вибору оптимального розподілу інвестицій.

курсова робота , доданий 21.05.2010


Загальна характеристика факультативних занятьз математики, основні форми та методи проведення. Складання календарно-тематичного плану факультативного курсу