Складні завдання на пряму та зворотну пропорційність. Завдання на пряму та зворотну пропорційність

255.

256.

1) 12 кг ягід? 2) 3 кг ягід?

258.

259.

1) 10 малярів? 2) 1 маляр?

260.

261.

2) Троє пішли – 3 цвяхи знайшли. Четверо підуть, чи багато знайдуть?

262.*

263.*

264.

265. Старовинне завдання .

266. 1)

267.

268.

269.

270.

271.

272. .

273.*

274.* Старовинне завдання.

275. З "Арифметики" Л.Ф. Магніцького. Якийсь пан покликав тесляра і звелів двір збудувати. Дав йому 20 чоловік працівників

276.* Старовинне завдання .

277. 1) Старовинне завдання . Одна артіль теслярів, що складається з 28 осіб, може побудувати будинок у 54 дні, а інша – з 30 осіб – у 45 днів. Яка артіль працює краще?

2) Одна бригада, що складається з 3 осіб, може вирити колодязь за 12 днів, а інша – з 4 осіб – за 10 днів. Яка бригада працює краще?

Перегляд вмісту документа
«Завдання на пряму та зворотну пропорційність»

Завдання на пряму та зворотну пропорційність

255. За 6 год поїзд пройшов 480 км. Який шлях пройшов поїзд за перші 2 години, якщо його швидкість була постійна?

256. Для варіння варення з вишні на 6 кг ягід беруть 4 кг цукрового піску. Скільки кілограмів цукрового піску треба взяти на:

1) 12 кг ягід? 2) 3 кг ягід?

257. 1) У 100 г розчину міститься 4 г солі. Скільки грамів солі міститься у 300 г розчину?

2) У 4000 г розчину міститься 80 г солі. Скільки грамів солі міститься у 200 г розчину?

258. Відстань між двома містами пасажирський потягпройшов зі швидкістю 80 км/год за 3 год. За скільки годин товарний потягпройде та сама відстань зі швидкістю 60 км/год?

259. 5 малярів могли б пофарбувати огорожу за 8 днів. За скільки днів пофарбують той самий паркан:

1) 10 малярів? 2) 1 маляр?

260. За 2 год зловили 12 карасів. Скільки карасів зловлять за 3 г?

261. 1) 3 півня розбудили 6 людей. Скільки людей розбудять 5 півнів?

2) Троє пішли – 3 цвяхи знайшли. Четверо підуть – чи багато знайдуть?

3) Коли Вася прочитав 10 сторінок книги, йому залишилося прочитати ще 90 сторінок. Скільки сторінок йому залишиться прочитати, коли він прочитає 30 сторінок?

262.* Ставок заростає ліліями, причому за тиждень площа, вкрита ліліями, подвоюється. За скільки тижнів ставок покрився ліліями

наполовину, якщо він повністю покрився ліліями за 8 тижнів?

263.* Деякий вид бактерій розмножується зі швидкістю 1 поділ на хвилину (кожну хвилину бактерії роздвоюються). Якщо посадити 1 бактерію в порожню посудину, то вона наповниться за 1 год. За який час наповниться порожня посудина, якщо в неї посадити 2 бактерії?

264. 8 м сукна коштують стільки ж, скільки коштують 63 м ситцю. Скільки метрів ситцю можна купити замість 12 м сукна?

265. Старовинне завдання . У спекотний день 6 кістців випили барильце квасу за 8 год. Потрібно дізнатися, скільки кістців за 3 год вип'ють таку ж барильце квасу.

266. 1) З «Арифметики» А.П. Кисельова. 8 аршин сукна коштують 30 грн. Скільки коштує 15 аршин цього сукна?

2) Зі швидкістю 80 км/год товарний поїзд пройшов 720 км. Яка відстань пройде за той самий час пасажирський поїзд, швидкість якого 60 км/год?

267. 1) Вантажний автомобільзі швидкістю 60 км/год проїхав відстань між містами за 8 год. За скільки годин ту ж відстань проїде легковий автомобіль зі швидкістю 80 км/год?

2) Бригада із 4 осіб виконала завдання за 10 днів. За скільки

днів виконає таке ж завдання бригада із 5 осіб?

268. 1) Автомобіліст зауважив, що зі швидкістю 60 км/год. він проїхав міст через річку за 40 с. По дорозі назад він проїхав міст за 30 с. Визначте швидкість автомобіля на зворотному шляху.

2) Автомобіліст зауважив, що зі швидкістю 60 км/год він проїхав тунель за 1 хв. За скільки хвилин він проїхав би цей тунель зі швидкістю 50 км/год?

269. Дві шестерні зчеплені зубами. Перша, що має 60 зубів, робить 50 обертів на хвилину. Скільки обертів за хвилину робить друга, яка має 40 зубів?

270. За той самий час токар обточує 6 деталей, яке учень - 4 деталі.

1) Скільки деталей обточить учень за той самий час, за який токар обточить 27 деталей?

2) Скільки часу витратить учень на завдання, яке токар виконує за 1 год?

271. За той самий час пішохід пройшов 6 км, а велосипедист проїхав 18 км.

1) Скільки кілометрів проїде велосипедист за той самий час, за який пішохід пройде 10 км?

2) Скільки часу витратить велосипедист на той шлях, який пішохід пройде за 2 год?

272. З «Арифметики» А.П. Кисельова . 8 осіб робітників закінчують деяку роботу за 18 днів; за скільки днів закінчать ту ж роботу 9 осіб, працюючи так само успішно, як і перші?

273.* а) 6 малярів виконають роботу за 5 днів. Скільки ще малярів треба запросити, щоб усі разом вони виконали ту саму роботу

б) Двоє робітників можуть виконати завдання за 10 днів. Скільки ще робітників треба запросити, щоб усі разом вони виконали ту саму роботу за 4 дні?

274.* Старовинне завдання.Десять працівників мають закінчити роботу у 8 днів. Коли вони пропрацювали 2 дні, виявилося необхідним закінчити роботу через 3 дні. Скільки ще потрібно найняти працівників?

275. З "Арифметики" Л. Ф.Магніцького. Якийсь пан покликав тесляра і звелів двір побудувати. Дав йому 20 чоловік працівників

і спитав, скільки днів збудують вони його двір. Тесляр відповів: за 30 днів. А пану треба в 5 днів збудувати, і заради того

Запитав він тесляра: скільки чоловік тобі треба мати, щоб з ними ти збудував двір у 5 днів? І тесляр, дивуючись, питає

тебе, арифметик: скільки людей йому треба мати, щоб побудувати той двір на 5 днів?

276.* Старовинне завдання . Взяли 560 чоловік солдатів корму на 7 місяців, а наказано їм на службі бути 10 місяців; і захотіли

людей від себе зменшити, щоби корму вистачило на 10 місяців. Постає питання, скільки людей треба зменшити.

277. 1) Старовинне завдання . Одна артіль теслярів, що складається з 28 осіб, може побудувати будинок у 54 дні, а інша – з 30 осіб – у 45 днів. Яка артіль працює краще?

2) Одна бригада, що складається з 3 осіб, може вирити колодязь за 12 днів, а інша – з 4 осіб – за 10 днів. Яка бригада працює краще?

Завдання на пряму та зворотну пропорційність для трьох і більше величин

278.* 3 курки за 3 дні знесли 3 яйця. Скільки яєць знесуть 12 курей за 12 днів?

279.* 100 синиць за 100 днів з'їдають 100 кг зерна. Скільки кілограмів зерна з'їдять 10 синиць за 10 днів?

280.* 3 маляри за 5 днів можуть пофарбувати 60 вікон.

а) Скільки малярів треба поставити на фарбування вікон, щоб вони за 2 дні пофарбували 64 вікна?

б) Скільки вікон пофарбують 5 малярів за 4 дні?

в) За скільки днів 2 маляри пофарбують 48 вікон?

281.* а) 2 землекопи за 2 год. викопають 2 м канави. Скільки землекопів за 5 год викопають 5 м канави?

б) 10 насосів за 10 хв викачують Ют води. За скільки хвилин 25 насосів викачають 25 т води?

282.* Курси іноземної мовиорендують у школі приміщення для занять. У першому півріччі за оренду 4 класних кімнатпо 6 днів на тиждень школа отримувала 3360 грн. в місяць. Якою буде орендна плата за місяць у другому півріччі за 5 класних кімнат по 5 днів на тиждень за тих самих умов?

283.* З «Арифметики» Л.Ф. Магніцького. Хтось мав 100 р . у купецтві 1 рік і придбав ними лише 7 р. А коли віддав у купецтво 1000р. на 5 років, скільки ними придбає?

284.* Із «Загальної арифметики» І. Ньютона. Якщо писар може за 8 днів написати 15 аркушів, скільки знадобиться писарів, щоб написати 405 аркушів за 9 днів?

285.* Старовинне завдання. Переписувач протягом 4 днів може переписати 40 аркушів, працюючи по 9 годин на день. У скільки днів він перепише 60 аркушів, працюючи по 12 годин на день?

286.* У господині спитали:

Чи добре мчать Ваші кури?

Вважайте самі, – була відповідь, – півтори курки за півтора дня несуть півтора яйця, а всього у мене 12 курей.

Скільки яєць несуть кури на день?

287.* а) У першій бригаді землекопів 4 особи – вони за 4 год викопали 4 м канави. У другій бригаді землекопів 5 осіб – вони за 5 год викопали 5 м канави. Яка бригада працює краще?

б) У першої господині 3 курки за 3 дні знесли 6 яєць, а у другої господині 4 курки за 4 дні знесли 8 яєць. У якої господині краще мчать кури?

288.* Старовинні завдання, а) На утримання 45 осіб витримано у 56 днів 2040р. Скільки потрібно витратити на утримання 75 осіб протягом 70 днів?

б) На надрукування книги, що містить по 32 рядки на сторінці та по 30 літер у рядку, потрібно 24 аркуші паперу на кожен екземпляр. Скільки потрібно аркушів паперу, щоб надрукувати цю книгу в тому ж форматі, але щоб на сторінці було 36 рядків і в рядку 32 літери?

289.* З «Арифметики» А.П. Кисельова, а)Для освітлення 18 кімнат у 48 днів витрачено 120 фунтів гасу, причому у кожній кімнаті горіло по 4 лампи. На скільки днів дістане 125 фунтів гасу, якщо освітлюватиме 20 кімнат і в кожній кімнаті горітиме по 3 лампи?

б) На 5 однакових гасів, що горіли 24 дні по 6 год щодня, витрачено 120 л гасу. На скільки днів вистачить 216 л гасу, якщо 9 таких же гасів горітимуть по 8 годин на день?

290.* Старовинне завдання. Артель землекопів у 26 осіб, що працює машинами по 12 год на день, може вирити канал у 96 м довжини,

20 м ширини та 12 дм глибини протягом 40 днів. Який довжини канал можуть вирити 39 землекопів, працюючи протягом 80 днів по 10 год на день, якщо ширина каналу має бути 10 м, глибина 18 дм?

Цілі уроку:

• вирішення складніших завдань на пропорційні величини(«Складне потрійне правило»);
• розвиток як логічного, а й образного мислення, фантазії дітей та його здібності розмірковувати, ставити питання відповідати ними, тобто промови учнів;
• розширення кругозору під час вирішення старовинних практичних (чи правдоподібних) завдань;
• формування уявлень про багатство культурно- історичної спадщинилюдства.

Хід уроку

I. Організаційний момент:

Сьогодні приступаємо до вирішення складніших, але не менше цікавих завданьна пропорційні величини.

Вивчення пропорцій та зазначених залежностей має велике значеннядля подальшого вивчення математики.

Пізніше за допомогою пропорцій ви вирішуватимете завдання з хімії, фізики та геометрії.

З чого починали?

1. Познайомились із поняттями «відношення», «пропорція»
   (Ставлення - ………., пропорція – ………(очікуються відповіді учнів)
2. Навчилися вирішувати пропорції та з'ясували, що основний спосіб їхнього вирішення має спиратися на ……. (Основна властивість пропорцій)
3. Навчилися виділяти в умовах задач дві величини, встановлювати вид залежностіміж ними. (пряма або зворотна залежність)
4. Навчилися робити короткий запис умови завдання та складати пропорцію (зменшення величини показуємо стрілкою вниз, а збільшення стрілкою вгору)
   Але не забуваємо, що
5. розбирали спосіб вирішення завдань взагалі без пропорцій (застосування цього прийому повинні передувати питання, що задаються при розв'язанні задач: у скільки разів збільшилася або зменшилася величина?)

Просуватимемося вперед від простого до складного.

ІІ. Усна робота.

1. З даних величин виберіть ті, які є прямою чи зворотною пропорційністю:

а) довжина сторони квадрата та периметр.
б) довжина сторони квадрата та його площа.
в) довжина та ширина прямокутника при заданій площі.
г) швидкість автомобіля та шлях, який він проїде за певний час.
д) швидкість туриста, що йде з турбази на станцію, та час, за який він дійде до станції.
е) вік дерева та його висота.
ж) обсяг сталевої кульки та її маса.
з) кількість прочитаних сторінок у книзі та кількість сторінок, які залишилося прочитати.

(Залежність числа прочитаних сторінок книги і числа сторінок, що залишилися, часто приймають за пропорційність: чим більше сторінок прочитано, тим менше залишилося прочитати. Зверніть увагу на те, що збільшення однієї і зменшення іншої величини відбувається не в одне і те ж число разів.).

2. Розберемо завдання:

Коли Вася прочитав 10 сторінок книги, йому залишилося прочитати ще 90 сторінок. Скільки сторінок йому залишиться прочитати, коли прочитає 30 сторінок.

3. Розглянемо завдання («провокаційного характеру»):

а) За 2 години зловили 12 карасів. Скільки карасів зловлять за 3:00.

б) Три півня розбудили 6 людей. Скільки людей розбудять 5 півнів.

в) * Ставок заростає ліліями, причому протягом тижня площа, покрита ліліями, подвоюється. За скільки тижнів ставок покриється ліліями наполовину, якщо він повністю покрився ліліями за 8 тижнів?

(Рішення: оскільки за тиждень площа, вкрита ліліями, подвоюється, то за тиждень до того, як ставок повністю покриється ліліями, його площа була ними покрита наполовину, тобто ставок покрився ліліями наполовину за 7 тижнів)

ІІІ. Вирішення задач:

(Умова завдань надана на дошці)

Коротка умова та два способи вирішення пропонується дуже швидко зробити учням на дошці.

1 спосіб:

2 спосіб: кількість сукна збільшилась у 15/8 разу, отже і грошей заплатять у 15/8 разу більше

Х = 30 * 15 / 8 = 56р25к

2. Якийсь пан покликав тесляра і звелів двір побудувати. Дав йому 20 чоловік працівників і запитав, скільки днів збудують вони йому двір. Тесляр відповів: за 30 днів. А пану треба в 5 днів побудувати, і задля того запитав він тесляра: скільки чоловік тобі треба мати, щоби з ними ти побудував двір у 5 днів; і тесляр, дивуючись, питає тебе, арифметик: скільки чоловік йому треба найняти, щоб збудувати двір у 5 днів?

На дошці записано незакінчене коротка умова:

Доповнити умову та вирішити завдання двома способами.

І варіант: пропорцією

ІІ варіант: без пропорцій

У цей час двоє учнів працюють біля дошки.

I.

ІІ. Х = 20 * 6 = 120 працівників

3. Взяли 560 чоловік солдатів корму на 7 місяців, а наказано їм на службі бути 10 місяців, і захотіли людей від себе зменшити, щоби корму вистачило на 10 місяців. Постає питання, скільки людей треба зменшити?

Старовинне завдання.

(запис на дошці)

(Заповнення короткого запису учнями)

Вирішити це завдання без пропорції:

(Кількість місяців збільшується в раз, отже кількість солдатів зменшується в раз.

560 - 392 = 168 (солдат треба зменшити)

У давні часина вирішення багатьох типів завдань існували спеціальні правила їх вирішення. Знайомі нам завдання пряму і зворотну пропорційність, у яких за трьома значеннями двох величин потрібно знайти четверте, називалися завданнями на «потрійне правило».

Якщо ж для трьох величин, були дані п'ять значень, і потрібно було знайти шосте, то правило називалося «п'ятірним». Аналогічно чотирьох величин існувало «семеричне правило». Завдання застосування цих правил називалися ще завданнями на «складне потрійне правило».

Спробуємо!

4. Візьмемо завдання, яке пропонувалося вам як додаткове.

Завдання із домашньої роботи.

Три курки за 3 дні знесли 3 яйця. Скільки яєць знесуть 12 курок за 12 днів?

Відповідь завдання виходить ………?

Розв'язання задачі розберемо колективно, коротко записав умову задачі:

Учні намагаються колективно ставити запитання та відповідати на них.

(кількість писарів збільшується від збільшення аркушів у раз і зменшується

від збільшення днів роботи (писарів)).

Розглянемо більш складне завдання із чотирма величинами.

Одне завдання, з шістьма величинами, візьміть як необов'язкове домашнє завдання ті учні, які люблять розплутувати головоломні завдання.

6. Для освітлення 18 кімнат за 48 днів витрачено 120т фунтів гасу, причому у кожній кімнаті горіло по 4 лампи. На скільки днів дістане 125 фунтів гасу, якщо освітлюватиме 20 кімнат і в кожній кімнаті горітиме по 3 лампи?

Записується коротка умова задачі і дається міркування, паралельно якому на дошці може вестись поступово доповнюваний запис Х = ….

Кількість днів користування гасом збільшується від збільшення кількості гасу в
разів та від зменшення ламп у рази.

Кількість днів користування гасом зменшується від збільшення кімнат у 20 рази.

Х = 48 * * : = 60 (днів)

Остаточно має Х = 60. Це означає, що 125 фунтів гасу вистачає на 60 днів.

IV. Підсумок уроку.

Вирішували весь урок тепер уже майже забуті завдання. Рухалися від простого до складного. Було видно, що старовинні завдання викликають інтерес, приємно спостерігати вашу наполегливу роботу при вирішенні завдань, провели хороше тренуванняу розрізненні прямої та зворотної пропорційності.

Зрозумілими здаються пояснення, запропоновані вчителем, але ви повинні самостійно просуватися вперед.

V. Домашнє завдання.

Синиць днів зерна

Х = 100: 10: 10 = 1кг

2. Старовинне завдання.

Дірхемів термін дохід

3. * Додаткове завдання.

Артель землекопів у 26 осіб, що працює машинами по 12 годин на день, може вирити канал у 96 м довжини, 20 м ширина та 12 м глибини протягом 40 днів. Який довжини канал можуть вирити 30 землекопів, працюючи протягом 80 днів по 10 годин на день, якщо ширина повинна бути

10 м, глибина 18 дм?

Рішення.

Складання випускниками основної школи іспиту з математики в новій форміта випускниками середньої школи- у формі ЄДІ поставила перед учителями низку питань: Як навчати в нових умовах? Як організувати свій урок так, щоб учні після іспиту отримували задоволення, а не казали, що ми таких завдань не вирішували? Дуже актуальними є слова Л.Г. Петерсон: Сьогодні цінність є не там, де світ сприймається за схемою «знаю – не знаю, вмію – не вмію, володію – не володію», а де є теза «шукаю і знаходжу, думаю і дізнаюся, тренуюся і роблю». На перший план виходить особистість учня, його ставлення до світу, здатність до культурного спілкування та рефлексії, адекватної самооцінкиі саморозвитку, націленість на творення та добро».

Яким має бути сучасний урок? Це перш за все цікавий урок. Тільки при цьому можна підтримувати високу мотиваціюі емоційне забарвленняуроку. Це і продумана структура уроку, і логіка вивчення нового матеріалу, і різноманітність дидактичного матеріалу, і організація роботи учнів, і постійні пошуки форм і методів викладання; технічне оснащенняуроку.

З чого починати? На початку кожного навчального рокуу 5-9 класах проводжу вхідні моніторингові контрольні роботивиявлення залишкових знань учнів. За залишковими знаннями дітей розсаджую відповідно до трьох рівнів підготовки на певні ряди. У цьому учні знають, що з засвоєння матеріалу вони можуть переходити до наступної за рівнем підготовки групу.

Щоб досягти хороших результатівкожному уроці проводжу обов'язковий усний рахунок, навчальні самостійні роботи, тести. У 6 класі учні повинні добре засвоїти тему з позитивними та негативними числами, в 7-му - добре вивчити формули скороченого множення, в 8-му-рішення квадратних рівнянь. Це глобальні теми, які не можна запускати. У 5-7 класах застосовую робочі зошити з тестовими завданнями, а також збірники завдань із тестами. Знайомство учнів з алгоритмами вирішення завдань складає уроці – лекції. Хлопці мають окремий зошит, до якого записують розпорядження та зразок виконання завдання. Подальше відпрацювання виконується на практичних заняттяхпри різних формахроботи (фронтальної, групової, індивідуальної). В цілях оперативного контролюза засвоєнням алгоритму часто-густо (кожен урок чи через урок) проводжу невеликі самостійні роботи, мета яких – не виставлення оцінок, а виявлення тих учнів, які щось не зрозуміли. Цим хлопцям надається оперативна допомога консультантами або поясню ще раз, викликаючи до дошки. При організації роботи у групах, частина учнів отримує завдання, створені задля досягнення обов'язкових результатів навчання, причому, деякі мають собі зразок виконання завдання, інші – лише алгоритм, сильніші учні отримують завдання на рівні. На такому уроці моя робота зосереджена на слабкіших учнях, у сильній групі, як правило, завжди колективними зусиллями знаходять вірне рішення, самостійно застосовуючи знання та прийоми діяльності в нової ситуації. Оцінюючи учнів, не поспішаю виставляти оцінки в журнал, завжди даю можливість отримати більш високу позначку та обов'язково поправити "двійку", для цього учень повинен зробити роботу над помилками самостійно або за допомогою консультантів (з моєю допомогою), а потім вирішити аналогічне завдання на уроці. .

Головне, що згодом хлопці перестають боятися "двійок", сміливіше ставлять питання, справляються із завданнями обов'язкового рівня. Обстановка на уроці доброзичлива, спокійна.

Навчання алгоритмів дає можливість досягти обов'язкового рівня навчання найслабшим учням і може призвести стандартизації мислення і придушення творчих сил дітей, оскільки вироблення різних автоматизованих дій (навичок) – необхідний компонент творчого процесу, без них він просто неможливий.

Навчання алгоритмів не зводиться до їх заучування, воно передбачає і самостійне відкриття, Побудова та формування алгоритмів, а це і є творчий процес. Нарешті, алгоритмізація охоплює далеко не весь навчальний процеса лише ті його компоненти, де вона є доцільною. Система алгоритмів – програм дозволяє певною мірою автоматизувати навчальний процес на етапі формування навичок у вирішенні типових завданьта створює широкі можливості для активної самостійної роботиучнів.

Наприкінці 7-го класу та у 8 класі учнів я знайомлю зі збіркою завдань для підготовки до державної підсумкової атестаціїу 9 класі Л. В. Кузнєцової, видавництва "Освіта" 2007-2009 років. Ця збірка призначена для підготовки до державної підсумкової атестації з алгебри у новій формі, що складається з трьох основних розділів та двох додатків.

У 9 класі розробляю свою систему підготовки учнів до іспиту за курс основної школи.

У календарно-тематичне планування уроків алгебри за 9-й клас вношу теми, які потрібно повторити

Основна властивість пропорції;

Завдання на складанні та вирішення пропорцій;

Завдання на відсотки;

Формули скороченого множення;

Вирази та їх перетворення

Рівняння та системи рівнянь;

Нерівності та системи нерівностей;

Арифметична та геометрична прогресії.
Повторення проводжу як уроках, і після уроків через системні консультації. На уроці, створивши мікроклімат у класі, відпрацьовую алгоритмізацію дій; утримуючи інтерес учнів до предмета, формую мотивацію до навчання. Учні добре засвоюють обов'язковий мінімумматеріалу з математики, якщо користуються методичними прийомами:

Розв'язання задач за зразком;

Розгляд різних підходівдо вирішення однієї і тієї ж задачі;

Складання опорних схемта застосування інших наочних засобів навчання;

Правильний підбір тематики та рівня завдань, надання їм цікавої форми;

Використання змагання, якого спонукають такі питання вчителя: , Як вирішити швидше?”, У кого рішення вийшло найкоротший?”. , Найпростіше?”.

Проводжу тематичний контрольза допомогою тестування, дотримуючись правил організації роботи з тестами:

Учні роблять записи на картах відповідей;

Вчитель пропонує інструктаж, як правильно заповнити карту;

Час виконання та норми оцінок мають бути пояснені учневі заздалегідь.
На уроках використовую картки-консультанти, за допомогою яких повторюватимуть вивчений матеріал. У них містяться всі умовні моменти теми, що вивчається, а так само алгоритм вирішення завдань.
КАРТКА-КОНСУЛЬТАНТ ЗА ТЕМОЮ

«СИСТЕМА ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ»
Система лінійних рівнянь:
:

Способи її вирішення

Відповідь: х =_______; у =_______

У роботі з дітьми, що слабо встигають, використовую цілий арсенал карток, Працюй за зразком!” , які дозволяють відпрацювати алгоритм різноманітних дій та математичних операцій.
Завдання на зразок.

Учні повинні виконувати завдання з перепустками. Пропускаються ключові слова, правильне запам'ятовування яких свідчить про розуміння матеріалу
Завдання з перепустками.
Квадратне коріння.

Використовувати тематичні таблиці з різних розділів шкільного курсу. У кожній таблиці коротко викладено теорію конкретного питання (визначення, теореми, наслідки, формули); наводяться малюнки, графіки, а також приклади вирішення найважливіших завдань.

Таблиці допомагають систематизувати знання, швидко та повно повторити основні моменти тієї чи іншої теми.

Таблиця. Квадратне коріння.

Визначення арифметичного кореня	= 4, т.к. 4  0, 4 2 = 16;  7, т.к. 7 2  25;  −5, т.к. −5  0; не визначений.	2  3; 0,8  0,9.
Тотожності	Основні властивості

Якщо a  b  0, то

.

.

Якщо a  1, то a  та  1.

Якщо 0  a  1, то a  та 0   1.

Винесення з-під кореня , b  0	Внесення під корінь
; ; ;	; ;

Проводжу уроки узагальнення та систематизації знань. Без уроків узагальнення та систематизації знань, які також називають уроками узагальнюючого повторення, не можна вважати процес повторення учнями навчального матеріалузавершеним. Основне призначення цих уроків полягає у засвоєнні учнями зв'язків та відносин між поняттями, теоріями, у формуванні цілісного уявлення у учнів про вивчений матеріал, його значущість та застосування в конкретних умовах. Узагальнення і повторення орієнтовані те що, щоб учні успішно склали іспити з математики. Наведу приклад узагальнюючого повторення на тему: «Рішення текстових завдань».

Запитання:

1. 
   Прості завданняна пропорцію.
2. 
   Складні завданняна пропорцію.
3. 
   Тест №1.
4. 
   Знаходження числа за його відсотками.
5. 
   Знаходження відсоткового відношення.
6. 
   Тест №2.
7. 
   Складні завдання відсотки. Завдання.
8. 
   Завдання на рух по річці.
9. 
   Завдання на рух.
10. 
    Тест №3.
11. 
    Тест №4.
12. 
    Завдання на множення та розподіл натуральних чисел.
13. 
    Завдання на частини.
14. 
    Завдання на спільну роботу.
15. 
    Розв'язання задач за допомогою рівнянь.
16. 
    Тест №5.
17. 
    Різні завдання. Запитання та завдання.

Використовувані джерела :

1. 
   Алгебра: зб. завдань для підготовки до підсумкової атестації о 9 кл./[Л. В. Кузнєцова, С. Б. Суворова, Є. А. Бунімович та ін.]. М: Просвітництво, 2007.
2. 
   Навчально-методична газета Математика 2005 р., № 18,19, 20, 21, 22, 23; 2007 р. № 18, 19; 2008 р. № №11, 12.
3. 
   Програми загальноосвітніх установ. Алгебра 7-9. Москва. Просвітництво. 2008 Укладач: Бурмістрова Т. А.

Прості задачі на пропорцію

Перші завдання передбачають отримання відповіді з опорою на досвідчені уявлення учнів, вони націлені на повторення понять прямої та зворотної пропорційності.

При вирішенні перших завдань корисно наголосити, що вартість покупки визначається за формулою

вартість = ціна кількість,

і простежити, як із збільшенні (зменшенні) однієї величини у кілька разів змінюється друга величина при незмінної третьої.
1°. За кілька однакових олівців заплатили 8 карбованців. Скільки потрібно заплатити за такі самі олівці, якщо їх купили у 2 рази менше?
2 °. За кілька однакових олівців заплатили 8 карбованців. Скільки потрібно заплатити за таку ж кількість олівців, кожен із яких у 2 рази дорожчий?
3 °. Є гроші на купівлю 30 олівців. Скільки зошитів можна купити на ті ж гроші, якщо зошит дешевший за олівець у 2 рази?

1. 
   Велосипедист за кілька годин проїхав 36 км. Яка відстань пройде за той самий час пішохід, швидкість якого в 3 рази менша за швидкість велосипедиста?

1. 
   Деяку відстань велосипедист проїхав за 3 год. За скільки годин цю відстань проїде мотоцикліст, швидкість якого у 5 разів більше швидкостівелосипедиста?

Перейдемо вирішення завдань з допомогою пропорцій. Перша містить цілі значення величин, відношення яких теж ціле число.
6. За 6 год поїзд пройшов 480 км. Який шлях пройшов поїзд за перші 2 години, якщо його швидкість була постійна?

7. Для варіння варення з вишні на 6 кг ягід беруть 4 кг цукрового піску. Скільки кілограмів цукрового піску треба взяти на 12 кг ягід?

1. 
   100 г розчину міститься 4 г солі. Скільки грамів солі міститься у 300 г розчину?

9. Відстань між двома містами пасажирський поїзд пройшов зі швидкістю 80 км/год за 3 год. За скільки годин товарний поїзд пройде ту саму відстань зі швидкістю 40 км/год?
10. П'ять малярів могли б пофарбувати огорожу за 8 днів. За скільки днів пофарбують ту саму огорожу 10 малярів?
У задачі 10, як і багатьох інших завданнях, передбачається, що це працівники працюють із однаковою продуктивністю і заважають одне одному. Це бажано щоразу обговорювати, щоб учні уважніше ставилися до таких умов.

Щоб вони склалося враження, ніби залежність буває лише двох видів - прямої чи зворотної пропорційністю, - корисно розглянути провокаційні завдання, у яких залежність має інший характер.
11. 1) За 2 год зловили 12 карасів. Скільки карасів зловлять за 3 г?

1. 
   Три півні розбудили 6 людей. Скільки людей розбудять п'ять півнів?
2. 
   Коли Вася прочитав 10 сторінок книги, йому залишилося прочитати ще 90 сторінок. Скільки сторінок йому залишиться прочитати, коли він прочитає 30 сторінок?

Залежність числа прочитаних сторінок книги і числа сторінок, що залишилися, часто приймають за зворотну пропорційність: чим більше сторінок прочитано, тим менше залишилося прочитати. Зверніть увагу дітей на те, що збільшення однієї та зменшення іншої величини відбувається не в те саме число разів.

Розглянемо завдання, у якому залежність між величинами часто приймають за пряму пропорційність і вважають за вірну відповідь «за 4 тижні».
12*. Ставок заростає ліліями, причому за тиждень площа, вкрита ліліями, подвоюється. За скільки тижнів ставок покрився ліліями наполовину, якщо він повністю покрився ліліями за 8 тижнів?
Так як за тиждень площа, вкрита ліліями, подвоюється, то за тиждень до того, як ставок повністю покрився ліліями, його площа була покрита ними наполовину. Тобто ставок покрився ліліями наполовину за 7 тижнів?

1. 
   8 м сукна коштують стільки ж, скільки коштують 63 м ситцю. Скільки метрів ситцю можна купити замість 12 м сукна?

1. 
   (Старовинне завдання.)У спекотний день 6 косців випили барило квасу за 8 год. Потрібно дізнатися, скільки косців за 3 год вип'ють таку ж барило квасу?

1. 
   (З «Арифметики» АЛ. Кисельова?) 8 аршин сукна коштують 30 грн. Скільки коштує 15 аршин цього сукна?

1. 
   Вантажний автомобіль зі швидкістю 60 км/год проїхав відстань між містами за 8 год. За скільки годин та сама відстань проїде легковий автомобіль зі швидкістю 80 км/год?

1. 
   Автомобіліст зауважив, що зі швидкістю 60 км/год. він проїхав міст через річку за 40 с. По дорозі назад він проїхав міст за 30 с. Визначте швидкість автомобіля на зворотному шляху.
2. 
   Дві шестерні зчеплені зубами. Перша, що має 60 зубів, за хвилину робить 50 обертів. Скільки обертів за хвилину робить друга, яка має 40 зубів?

Розглянутих вище завдань цілком достатньо, щоб учні навчилися розрізняти пряму та зворотну пропорційність, складати пропорції] і вирішувати їх.

1. 
   (З «Арифметики» А.П. Кисельова.) 8 осіб робітників закінчують деяку роботу за 18 днів; скільки днів закінчать ту ж роботу 9 осіб, працюючи так само успішно, як і перші?

20*. (Старовинне завдання.)Десять працівників мають закінчити роботу у 8 днів. Коли вони пропрацювали 2 дні, виявилося необхідним закінчити роботу через 3 дні. Скільки ще потрібно найняти працівників?

1. 
   (З «Арифметики» Л.Ф. Магницького.)Якийсь пан покликав тесляра і звелів двір збудувати. Дав йому 20 чоловік працівників і запитав, скільки днів збудують вони його двір. Тесляр відповів: за 30 днів. А пану треба в 5 днів збудувати, не заради того запитав він тесляра: скільки чоловік тобі треба мати, щоб з ними ти збудував двір у 5 днів; і я тесляр, дивуючись, питає тебе, арифметик: скільки чоловік йому треба мати, щоб збудувати той двір у 5 днів?

22*. (Старовинне завдання.)Взяли 560 чоловік солдатів корму на 7 місяців, а наказано їм на службі бути 10 місяців; і захотіли людей від себе зменшити, щоби корму вистачило на 10 місяців. Постає питання, скільки людей треба зменшити.

1. 
   (Старовинне завдання.)Одна артіль теслярів, що складається з 28 осіб, може побудувати будинок у 54 дні, а інша – з 30 осіб – у 45 днів. Яка артіль працює краще?

Завершуючи розмову про завдання, які вирішуються за допомогою пропорцій, треба навести приклад задачі, яка не вирішується «по-старому»

24. Певна відстань пасажирський поїзд проходить за 3 год, а швидкий - за 2 год. Одного разу ці поїзди одночасно вийшли назустріч одне одному з двох міст. Пасажирський потяг пройшов 120 км до зустрічі зі швидким. Скільки кілометрів пройшов швидкий поїзд до зустрічі із пасажирським?

Тут не можна 120 км ділити на 3 год, тому що за 3 год пройдено деяку іншу відстань. Запишемо коротко умову завдання.

Час Відстань

Швидкий 2ч х км

Пасажирський Зч 120 км

Перший раз поїзди пройшли один і той же шлях, при цьому швидкість обернено пропорційна часу, тобто швидкість швидкого поїзда в рази більша за швидкість пасажирського.

А вдруге постійним був час руху, при цьому відстань прямо пропорційна швидкості, тобто шлях, пройдений швидким поїздом, у рази більше шляху, пройдений пасажирським поїздом.

Складемо пропорцію
, Вирішивши яку отримаємо х = 180. Швидкий поїзд до зустрічі з пасажирським пройшов 180 км.

Складні задачі на пропорцію

Кур Днів Яєць

3 33
12 12 х

4.

5. (Старовинне завдання.)

6.

7. (Старовинне завдання.)
Тест 1

Варіант 1

1. 
   У двох бібліотеках була однакова кількість книг. Через рік у першій бібліотеці кількість книг збільшилася на 50%, а у другій – у 2 рази. У якій бібліотеці книжок побільшало?

Б. У другій бібліотеці

У. Книжок залишилося порівну

Г

1. 
   При купівлі пральної машини вартістю 6500 грн. покупець пред'явив вирізану з газети рекламу, що дає декларація про 5% знижки. Скільки він заплатить за машину?

1. 
   На перший курс інституту може бути прийнято 180 осіб. Число поданих заяв становило 120% від кількості місць на курсі. Скільки заяв було подано?

1. 
   Рівень води в річці був на позначці 2,4 м. У перші години повені він підвищився на 5%. Якої позначки досягла вода в річці?

Варіант 2

1. 
   У двох бібліотеках була однакова кількість книг. Через рік у першій бібліотеці кількість книг збільшилася на 50%, а у другій – у 1,5 раза. У якій бібліотеці книжок побільшало?

Б. У другій бібліотеці

У. Книжок залишилося порівну

Г. Для відповіді не вистачає даних

1. 
   Плата за комунальні послуги складає 800 грн. Скільки доведеться платити за комунальні послуги після їхнього подорожчання на 6%?

1. 
   У грудні кожному співробітнику підприємства виплатили премію, що склала 130 місячних. заробітної плати. Яку премію отримав співробітник, зарплата якого дорівнює 5500?

1. 
   Підприємство розмістило у банку 5 млн р.н. під 8% річних. Яка сума буде на рахунку підприємства за рік?

Б. 9 млн нар. Р. 0400000 р.
Знаходження числа за його відсотками

1. 
   До магазину електротоварів привезли лампочки. Серед них виявилося 16 розбитих лампочок, що становило 2% їх числа. Скільки лампочок привезли до
   магазин?
2. 
   Знайдіть число, 110% якого 33.

1. 
   60% класу пішли у кіно, а решта 12 осіб – на виставку. Скільки учнів у класі?

1. 
   10 000 0,02 = 200 (маш.);
2. 
   10000 + 200 = 10200 (маш.),

-На скільки відсотків завод виконав план?

- на 100 + 2 = 102 (%).

-Скільки машин припадає на 102%?

• 
  10000-1,02 = 10200 (маш.)

1. 
   Трава при сушінні втрачає 80% своєї маси. Скільки тонн сіна вийде із 4 т свіжої трави? Скільки тонн трави потрібно накосити, щоби насушити 4 т сіна?

1. 
   100 – 80 = 20 (%) – маси трави становить маса сіна;
2. 
   4 0,2 = 0,8 (т) – сіна вийде з 4 т трави;
3. 
   4: 0,2 = 20 (т) – трави треба накосити.

1. 
   Ціна альбому була знижена спочатку на 15%, а потім ще на 15%. Нова ціна альбому після двох знижень 19р. Визначте його первісну ціну.

1. 
   15 + 19 = 34 (р.) - коштував альбом до другого
   зниження ціни;

1. 
   100 - 15 = 85 (%) - посідає 34 р.;

3)
= 40 (р.) – коштував альбом спочатку.

1. 
   Склали три числа. Перше становило 25% суми, а друге - 40%. Знайдіть третє число, якщо воно на 45 менше від другого.

1. 
   100 – 25 – 40 = 35 (%) – суми доводиться
   на третє число;

1. 
   40 – 35 = 5 (%) – суми припадає на 45;

3)
= 315 – третє число.

1. 
   30% класу та ще 5 осіб пішли в кіно, а 3 решти – класу та ще 8 осіб – на екскурсію. Скільки людей у ​​класі?

1. 
   Одна третина робітників підприємства мала відпустку влітку, 35% решти робітників відпочивали восени і ще 2314 осіб відпочивали взимку та навесні. Скільки робітників на підприємстві?

1. 
   При продажу товару на 693 грн. одержано 10% прибутку. Визначте собівартість товару.

Знаходження відсоткового відношення

Вирішуючи завдання з цього розділу, учні повинні освоїти одну просту ідею: щоб знайти відсоткове відношеннядвох чисел, тобто. скільки відсотків перше число становить від другого, можна виразити відношення першого числа до другого у відсотках.

Перші завдання такого типу повинні бути простими, тобто відношення чисел має виражатися кінцевим десятковим дробом.
Щоб знайти відсоткове відношення двох чисел, можна перше число поділити на друге і помножити результат на 100.

1. 
   З 16 кг свіжих груш одержали 4 кг сушених. Яку частину свіжих груш залишає маса сушених? Виразіть цю частину у відсотках. Скільки відсотків маси втрачається при сушінні?

1. 
   Скільки відсотків числа 50 становить 40? Скільки відсотків числа 40 становить 50?

1. 
   Маша прочитала 120 сторінок та їй залишилося прочитати 130 сторінок книги. Скільки відсотків усіх сторінок вона прочитала? Скільки відсотків усіх сторінок їй лишилося прочитати?

1. 
   У місяці було 12 сонячних та 18 похмурих днів. Скільки відсотків місяця становлять сонячні дні? похмурі дні?

5. На скільки відсотків 50 більше за 40? 40 менше 50?

50 від 40 складає , або
% = 125% ;

50 більше, ніж 40 на 125 – 100 = 25 (%);

40 від 50 складає , або
% = 80% ;

40 менше, ніж 50 на 100 – 80 = 20 (%).
6. Ціна товару знизилася з 40 грн. до 30 грн. На скільки карбованців знизилася ціна? На скільки відсотків знизилася ціна?
У задачі 6 учням важко визначити, яке число приймати за 100% . Потрібно звернути їхню увагу на те число, з яким порівнюють інше число. У цьому допомагає переформулювання завдання: «На скільки відсотків 30 грн. менше, ніж 40 р.?». Порівнюють із сумою 40 р., отже, 40 грн. – це 100%.

Тест 2

1. 
   Число дорожньо-транспортних пригод в літній періодсклало 0,7 їх числа в зимовий період. На скільки відсотків зменшилася кількість дорожньо-транспортних пригод влітку порівняно із зимою?

А. На 70% Б. На 30% В. На 7% Р. На 3%

А. Б. В. 0,08 Г. 0,8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
Варіант 2

1. 
   Після уцінки телевізора його нова ціна склала 0,8 старих. Скільки відсотків від старої ціни нова?

А. 0,8% Б. 8% В. 20% Р. 80%

1. 
   Співвіднесіть дроби, які виражають частки деякої величини, та відповідні їм відсотки.

Складні задачі на пропорцію

1. 
   Три курки за 3 дні знесли 3 яйця. Скільки яєць знесуть 12 курей за 12 днів?

Учні дуже здивуються, коли дізнаються, що «очевидна» відповідь «12 яєць» невірна. Рішення першою задачі з цього розділу краще розібрати колективно,можливо, після домашнього обмірковування, записавшикоротко умова завдання:

Кур Днів Яєць

3 33
12 12 х

У ході діалогу слід з'ясувати, у скільки разів збільшилася кількість курей (вчетверо); як при цьому змінилося число яєць, якщо число днів не змінилося (збільшилось у 4 рази); у скільки разів збільшилась кількість днів (у 4 рази); як у своїй змінилося число яєць (збільшилося 4 разу). Число яєць рівне: х = 3 4 4 = 48.
2. Три маляри за 5 днів можуть пофарбувати 60 вікон. Скільки малярів треба поставити на фарбування вікон, щоб вони за 2 дні пофарбували 64 вікна?

3. Курси іноземної мови орендують у школі приміщення для занять. У першому півріччі за оренду чотирьох класних кімнат по 6 днів на тиждень школа отримувала 336 грн. в місяць. Якою буде орендна плата за місяць у другому півріччі за 5 класних кімнат по 5 днів на тиждень за тих самих умов?

4. (З «Загальної арифметики» І. Ньютона.)Якщо писар може за 8 днів написати 15 аркушів, скільки знадобиться писарів, щоб написати 405 аркушів за 9 днів?

5. (Старовинне завдання.)На утримання 45 осіб витримано у 56 днів 2040р. Скільки потрібно витратити на утримання 75 осіб протягом 70 днів?
Розглянемо складніші завдання з чотирма і навіть шістьма величинами. Їх можна задати як необов'язковий домашнього завданнянайсильнішим учням, які люблять розплутувати головоломні завдання.
6. (З «Арифметики» АЛ. Кисельова.)Для освітлення 18 кімнат за 48 днів витрачено 120 фунтів гасу, причому у кожній кімнаті горіло по 4 лампи. На скільки днів дістане 125 фунтів гасу, якщо освітлюватиме 20 кімнат і в кожній кімнаті горітиме по 3 лампи?

7. (Старовинне завдання.)Артель землекопів у 26 осіб, що працює машинами по 12 годин на день, може вирити канал у 96 м довжини, 20 м ширини та 12 дм глибини протягом 40 днів. Який довжини канал можуть вирити 39 землекопів, працюючи протягом 80 днів по 10 год на день, якщо ширина каналу має бути 10 м, глибина 18 дм?
Завдання на рух по річці

Швидкості за течією та проти течії - суть сума та різниця власної швидкості та швидкості течії. Щоб їх знайти, потрібно застосувати освоєний раніше прийом знаходження двох величин за їх сумою та різницею: різниця швидкостей за течією і проти течії дорівнює подвоєній швидкості течії.
1. На шлях із пункту Ау пункт Утеплохід витратив 1 год 40 хв, але в Зворотній шлях- 2 год. У якому напрямі тече річка?

1. 
   Швидкість катера у стоячій воді 18 км/год. Швидкість течії річки 2 км/год. З якою швидкістю рухатиметься катер за течією річки? Проти течії?
2. 
   Швидкість катера у стоячій воді (власна швидкість) 12 км/год, а швидкість течії річки 3 км/год. Визначте: швидкість катера за течією та проти течії річки; шлях катера за течією річки за 3 год; шлях катера проти течії річки за 5 год.
3. 
   Власна швидкість теплохода 27 км/год, швидкість течії річки 3 км/год. Скільки часу витратить теплохід на шлях за течією річки між двома причалами, якщо відстань між ними дорівнює 120 км?
4. 
   Катер, що має власну швидкість 15 км/год, плив 2 години за течією річки і 3 години проти течії. Яку відстань він проплив за весь час, якщо швидкість течії річки 2 км/год?
5. 
   Відстань між двома причалами 24 км. Скільки часу витратить моторна

1. 
   Визначте швидкості та заповніть таблицю:

1. 
   Моторний човен проплив 48 км за 3 год, а проти течії - за 4 год. Знайдіть швидкість течії.
2. 
   Швидкість течії річки 3 км/год. На скільки кілометрів на годину швидкість катера за течією більша за його швидкість проти течії?

5 швидкістю видалення.)

швидкістю зближення.)

1. 
   
2. 
   (Старовинне завдання.)
3. 
   (Старовинне завдання.)
   

1. 
   
2. 
   
3. 
   вколії перший поїзд;
4. 
   

8. Відстань між містами Аі Удорівнює 720 км. З Ав У

10. 1) З пункту Ау пункт У А і Водно 30 км?

1. 
   З пункту А до пункту В,
   
2. 
   

1. 
   30-2 = 60 (км);
2. 
   10 + 5 = 15 (км/год);
3. 
   60:15 = 4 (год).

1. Два пішоходи одночасно вийшли у протилежних напрямках з одного пункту. Швидкість першого 4 км/год, швидкість другого 5 км/год. Яка відстань між ними через 3 год? На скільки кілометрів за годину пішоходи віддаляються одна від одної? (Цю величину називають швидкістю видалення.)

2.Із двох сіл, відстань між якими 36 км, одночасно назустріч один одному вийшли два пішоходи. Їх швидкості 4 км/год та 5 км/год. На скільки кілометрів за годину пішоходи зближуються один з одним? (Цю величину називають швидкістю зближення.)
Яка відстань між ними через 3 год?

1. 
   Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному із двох пунктів, відстань між якими 36 км. Швидкість першого 10 км/год, другого 8 км/год. За скільки годин вони зустрінуться?
2. 
   1) Відстань між двома містами 900 км. Два поїзди вийшли з цих міст назустріч один одному зі швидкостями 60 км/год та 80 км/год. На якій відстані один від одного були поїзди за 1 годину до зустрічі? Чи є у завданні зайва умова?

3) Два велосипедисти виїхали одночасно зустріч один одному з двох сіл, відстань крейд якими 54 км. Швидкість першого 12 км/год, другого 15 км/год. Через скільки годин вони знаходитимуть один від одного на відстані 27 км?

1. 
   Велосипедист та мотоцикліст виїхали одночасно з одного пункту в одному напрямку. Швидкість мотоцикліста 40 км/год, а велосипедиста 12 км/год. Яка швидкість їхнього видалення один від одного? Через скільки годин відстань між ними буде 56 км?
2. 
   (Старовинне завдання.)Якийсь хлопець пішов до Вологди. Він проходив у день по 40 верст. Через день слідом за ним був посланий інший юний, який проходив у день по 45 верст. Через скільки днів другий наздожене першого?
3. 
   (Старовинне завдання.)З Москви до Твері вийшли одночасно два поїзди. Перший проходив у годину 39 верст і прибув у Тверь на два години раніше
   другого, який проходив у годину 26 верст. Скільки верст від Москви до Твері?

1. 
   26 2 = 52 (версти) – на стільки поїзд відстав від першого;
2. 
   39 – 26 = 13 (верст) – на стільки другий поїзд відставав за 1 год від першого поїзда;
3. 
   52: 13 = 4 (год) - стільки часу був вколії перший поїзд;
4. 
   39 4 = 156 (верст) - відстань від Москви до Твері.

8. Відстань між містами Аі Удорівнює 720 км. З Ав Увийшов швидкий поїзд зі швидкістю 80 км/год. Через 2 год назустріч йому з В А вийшов пасажирський поїзд зі швидкістю 60 км/год. За скільки годин після виходу швидкого поїзда вони зустрінуться?

9. Два поїзди рухаються назустріч один одному -один зі швидкістю 70 км/год, інший зі швидкістю 80 км/год. Пасажир, який сидить у другому поїзді, зауважив, що перший поїзд пройшов повз нього за 12 с. Яка довжина першого поїзда?

10. 1) З пункту Ау пункт Увийшов пішохід зі швидкістю 5 км/год. Одночасно з ним з А до В виїхав велосипедист зі швидкістю 10 км/год. Велосипедист доїхав до В, повернув назад і поїхав із тією самою швидкістю назустріч пішоходові. Через скільки годин після початку руху вони зустрінуться, якщо відстань між А і Водно 30 км?

1. 
   З пункту А до пункту В,відстань між якими 17 км, виїхав велосипедист зі швидкістю 12 км/год. Одночасно з ним з А В вийшов пішохід зі швидкістю 5 км/год. Велосипедист доїхав до В, повернув і поїхав назад із тією самою швидкістю.
   За скільки годин після початку руху вони зустрінуться?
2. 
   Відстань між двома пунктами 12 км. З них одночасно назустріч один одному виїхали два велосипедисти зі швидкостями 10 км/год та 8 км/год. Кожен із них доїхав до іншого пункту, повернув і поїхав назад із тією самою швидкістю. Через скільки годин після початку руху вони зустрінуться вдруге?

1) 30:10 = 3 (год); 4) 10 + 5 = 15 (км/год);

1. 
   5-3 = 15 (км); 5) 15: 15 = 1 (год);
2. 
   30 – 15 = 15 (км); 6) 3+1=4 (год).

1. 
   30-2 = 60 (км);
2. 
   10 + 5 = 15 (км/год);
3. 
   60:15 = 4 (год).

Тест №4
1. Знайдіть час, за який велосипедист дістанеться з пункту А до В

(Див. схему на малюнку 1).
υ=12 км/год

А| _________________________________________ У

s = 6 км
Мал. 1.
А. 72 год Б. 0,5 год У. 2 год

Г. 5 год Д. ________________

1. 
   З двох пунктів, відстань між якими 10 км, вийшли одночасно в одному напрямку два туристи. Швидкість першого туриста 4 км/год, а швидкість слідом – 6 км/год. Через який час другий турист наздожене першого?

А. Через 1 год Б. Через 2,5 год У. Через 1

р.Через 5 год Д. ________________________

1. 
   Від однієї станції до іншої за течією річки човен плив 3 години, а на дорогу назад витратив 4 год. Швидкість течії річки 1 км/год. Складіть рівняння для знаходження власної швидкості човна, позначивши її через х км/год.

Відповідь: _____________________

Типи завдань

Типи завдань.

Вивчення завдань на тему «Натуральні числа»

На китобійне судно підняли 6 дорослих китів у середньому по 150 т кожен і відпилили їм голови. Яку відстань зайняли б усі 6 китових туш без голів, якщо довжина дорослого кита становить 18 м, а довжина голови – 1/3 всього кита?

Щоб утворився 1 кг молока, через вим'я корови має протікати 500 кг крові. Для отримання від корови за добу 20 кг молока скільки тонн крові протікає через її вим'я? Скільки разів на добу пройде кровчерез вим'я корови, якщо корова 40 кг крові?

Один кубометр неочищених стічних воду середньому забруднює 12,5 мЗ чистих. Обчислити скільки кубометрів неочищених стічних вод достатньо для того, щоб забруднити водний басейн, що знаходиться у вашому шкільному саду.

Додавання та віднімання натуральних чисел

Завдання націлені на повторення зв'язку відносин «на... більше» і «на... менше» з операціями складання та віднімання.

Учень токаря обточив 120 деталей за зміну, а токар на 36 деталей більше. Скільки деталей обточили разом?

У колекції є 128 марок. З них 93 російські, а решта іноземних. Наскільки у колекції російських марок більше, ніж іноземних,

Задумали число, збільшили його на 45 і одержали 66. Знайдіть задумане число.

Для вирішення цього завдання можна використовувати схематичний малюнок 4, що допомагає наочно уявити взаємозв'язок операцій складання та віднімання. Особливо ефективною допомога малюнка виявиться при більшій кількостідій із невідомою величиною.

Рис.4 Розв'язання задачі графічним способом.

Задумали число, збільшили на 120, результат зменшили на 49. отримали 200. знайти задумане число.

У трьох класах 44 дівчинки – це на 8 менше, ніж хлопчиків. Скільки хлопчиків у трьох класах?

Покупець із 50 руб. на сплату за куплений товар віддав 30 руб. та отримав 2 руб. здавання. Скільки грошей у нього лишилося?

Множення та розподіл натуральних чисел

Завдання призначені для повторення зв'язку відносин «більше в...» та «менше в...» з операціями множення та поділу. У деяких із них рішення утруднене додаванням кроків, пов'язаних із відносинами «більше на...» та «менше на...».

Число 48 збільште на 3, отриманий результат збільшіть у 3 рази. (Старовинне завдання.)

З заводу відправили 9 підвід із посудом, на кожній по 2 ящики, і в кожній ящику по 45 дюжин тарілок. Скільки тарілок відправлено із заводу?

Велосипедист кожного з 10 днів проїжджав 36 км. Скільки кілометрів на день йому треба проїжджати, щоб повернутись назад за 9 днів?

Завдання на частини

Для варення на 2 частини малини беруть 3 частини цукру. Скільки кілограмів цукру слід взяти на 2 кг 600 г ягід?

На першій полиці стояло вчетверо більше книгніж на другий. Це на 12 книжок більше, ніж на другій полиці. Скільки книг стояло на кожній полиці,

Сума двох чисел 230. Якщо перше їх зменшити на 20, то числа стануть рівними.

Завдання на рух по річці

Для успішного засвоєння цього матеріалу слід засвоїти, що швидкості за течією та проти течії - суть сума та різницю власної швидкості та швидкості течії.

На шлях із пункту А до пункту В теплохід витратив 1 год 40 хв, а на зворотний шлях – 2 год. У якому напрямку тече річка?

Багаття, що має власну швидкість 15 км/год, пливло 2 год за течією річки і 3 год проти течії річки. Яку відстань він проплив за весь час, якщо швидкість течії річки 2 км/год?

Моторний човен проплив 48 км за течією за 3 год і проти течії - за 4 год. Знайдіть швидкість течії.

Різні види завдань на рух

Традиційно важкими учнів є завдання рух. Для підведення їх до поняття швидкості видалення завдання потрібно: знайти відстань між учасниками руху в 3 дії, записати числове вираз(наприклад, 3-4 + 3-5), винести загальний множник за дужки, поставити запитання: що показує сума 4 + 5?

Після цього потрібно показати рішення задачі на дві дії з використанням швидкості видалення. Аналогічно вводиться поняття швидкості зближення.

Два пішоходи одночасно вийшли в протилежних напрямкахіз одного пункту. Швидкість першого 4 км/год, швидкість другого 5 км/год. Яка відстань між ними через 3 год? На скільки кілометрів за годину пішоходи віддаляються одна від одної? (Цю величину називають швидкістю видалення).

З двох сіл, відстань між якими 36 км, вийшли одночасно назустріч один одному два пішоходи. Їх швидкості 4 км/год та 5 км/год. на скільки кілометрів за годину пішоходи зближуються один з одним? (Цю величину називають швидкістю зближення).

Завдання на тему «Раціональні числа»

Завдання на дроби є найдавнішими з тих, що дійшли до нас письмовим джерелам; їх вирішення було дуже складною проблемою до того часу, доки винайшли позначення для звичайних дробів, не розробили правила дій із нею. У Стародавньому Єгипті, наприклад, існували ієрогліфи тільки для

позначення дробів із чисельником 1. єдиним винятком

2 був дріб з 9 для якого було відповідне позначення.

На закінчення відзначимо, що при вирішенні основних завдань на дроби використання десяткових дробів не вносить нічого нового, оскільки десяткові дробиє іншим записом деяких із звичайних дробів.

Завдання на дроби:

Завдання 1. Було 600 рублів, 4 суми витратили. Скільки грошей витратили? Рішення:

Щоб знайти 4 від 600 рублів, треба цю суму розділити на 4:

600: 4 = 150 (руб.)

2 Завдання 2. Було 1000 рублів, 5 цієї суми витратили. Скільки

грошей витратили?

Рішення:

Спочатку знайдемо одну п'яту від 1000 руб., а потім дві п'яті:

1) 1000: 5 = 200 (руб.),

2) 200 2 = 400 (крб.)

Ці дві дії можна поєднати:

1000: 5-2 = 400 (руб.) 2

Щоб знайти 5 числа 1000, можна розділити 1000 на знаменник

дробу та результат помножити на її чисельник.

Завдання 2 можна вирішити за правилом:

Якщо частина цілого виражена дробом, то, щоб знайти цю частину,

можна поділити на знаменник дробу і результат помножити

на її чисельник.

Завдання 3. Витратили 50 рублів це становило 6 початкової суми грошей. Знайдіть початкову суму. Рішення:

50 грн. У 6 разів менше початкової суми, яка у 6 разів більша, ніж 50 грн. Щоб знайти цю суму, треба 50 грн. помножити на 6:

50 6 = 300 (р.).

2 Завдання 4. Витратили 600 рублів, це становило 3

первісної суми грошей. Знайдіть початкову суму.

Рішення:

умові його дві третини дорівнюють 600. Спочатку знайдемо одну третину

початкової суми, а потім і три треті:

600: 2 - 300 (р.),

300 3 = 900 (р.).

Ці дві дії можна поєднати: 600: 2 3 = 900 (р.).

Щоб знайти число, 3 якого дорівнює 600, можна розділити 600 на чисельник дробу і результат помножити на його знаменник. Завдання 4 можна вирішити за правилом:

Якщо частина цілого, що шукається, виражена дробом, то щоб знайти це ціле, можна цю частинурозділити на чисельник дробу та результат помножити на його знаменник.

Завдання на додавання та віднімання звичайних дробів

Більше уваги приділимо завданням, при вирішенні яких вся величина приймається за одиницю, причому спочатку її краще

представляти як 2 у з і т.п. величини.

2 3_

Завдання 1. Перший тракторист зорав? поля, другий -? поля.

Разом вони зорали 10 га. Визначте площу поля.

Завдання 2. На гілці сиділи горобці. Коли третина полетіла,

6. Скільки горобців було на гілці спочатку?

Для вирішення цього завдання доцільно запропонувати учням

наступне креслення:

Завдання 3. До обіду токар виконав 8 завдання, після обіду - 8 завдання, після чого йому залишилося виточити 24 деталі. Скільки деталей він мав виточити?

Завдання на множення та поділ звичайних дробів

Завдання 1. Щодня турист проходить з наміченого маршруту.

Яку частину маршруту він пройде за 2 дні; за 2 дні; за 4 дні?

2 Завдання 2. Знайдіть 5 числа 60.

3_ 4

Завдання 3. Що більше ніж 5 від 45 м або 5 від 30 м?

Завдання 4. Знайдіть число, 5 якого дорівнює 60.

Завдання на спільну роботу

Завдання 1. На птахоферму привезли корм, якого вистачило б качкам на 30 днів, а гусакам на 45 днів. Розрахуйте, на скільки днів вистачить привезеного корму качкам і гусакам разом?

Задача 2. (З «Арифметики» Л.Ф. Магніцького.) Одна людина вип'є кадь напиття в 14 днів, а з дружиною вип'є ту ж кадь в 10 днів. Питається, скільки днів дружина його окремо вип'є ту ж кадь?

Завдання 3. Перша та друга бригади могли б виконати завдання за 9 днів; друга та третя бригади – за 18 днів; перша та третя бригади – за 12 днів. За скільки днів це завдання можуть виконати три бригади, працюючи разом?

Товарний поїзд пройшов 720 км. зі швидкістю 80 км/год. Яка відстань пройде за той самий час пасажирський поїзд, швидкість якого 60 км/год? Шлях пропорційний швидкості при постійному часі руху,

80 80

отже, зі зменшенням швидкості у 60 разів шлях зменшиться у 60 разів.

80 720-60

720: 60 = 80 = 540 (км).

Таким самим прийомом вирішується завдання, якщо швидкість не зменшилася, а збільшилася, якщо величини не прямо, а обернено пропорційні.

Завдання на пропорції.

Прості задачі на пропорції

Завдання 1. За кілька однакових олівців заплатили 8 карбованців. Скільки потрібно заплатити за такі самі олівці, якщо їх купили у 2 рази менше?

Завдання 2. За кілька однакових олівців заплатили 8 карбованців. Скільки потрібно заплатити за такі ж олівці, кожен з яких у 2 рази дорожчий?

Завдання 3. Є гроші для придбання 30 олівців. Скільки зошит можна купити на ті ж гроші, якщо зошит дешевше олівця в 2 рази?

Завдання 4. Велосипедист за кілька годин проїхав 36 км. Яка відстань пройде за той самий час пішохід, швидкість якого в 3 рази менша за швидкість велосипедиста?

Завдання 5. Певну відстань велосипедист проїхав за 3 години. За скільки годин цю відстань проїде мотоцикліст, швидкість якого в 5 разів більша за швидкість велосипедиста? Перейдемо вирішення завдань з допомогою пропорцій.

Завдання 6. За 6 годин поїзд пройшов 480 км. Який шлях пройшов поїзд за перші 2 години, якщо його швидкість стала? Потрібно короткий записумови завдання:

У процесі усного обговорення з'ясували, що час і шлях зменшилися в одне й те саме число разів, оскільки при постійної швидкостіці величини прямо пропорційні.

Завдання 7. Відстань між двома містами пасажирський поїзд пройшов зі швидкістю 80 км/год за 3 години. За скільки годин товарний поїзд пройде та сама відстань зі швидкістю 40 км/год?

Завдання 8. За 2 год зловили 12 карасів. Скільки карасів зловлять за 3:00?

Завдання 9. Три півні розбудили 6 людей. Скільки людей розбудять 5 півнів?

Завдання 10. Коли Вася прочитав 10 сторінок книги, йому залишилося прочитати ще 90 сторінок. Скільки сторінок йому залишиться прочитати, коли він прочитає 30 сторінок?

Залежність числа прочитаних сторінок книги і числа сторінок, що залишилися, часто приймають за зворотну пропорційність: чим більше сторінок прочитано, тим менше залишилося прочитати.

Але збільшення однієї сторінки та зменшення іншої відбувається не в те саме число разів.

Складні задачі на пропорції

Старовинне завдання. Артель землекопів у 26 осіб, що працює машинами по 12 годин на день, може вирити канал у 96 м довжини, 20 м ширини та 12 дм глибини протягом 40 днів. Який довжини канал можуть викопати 39 землекопів, працюючи протягом 80 днів по 10 год на день, якщо ширина каналу має бути 10 м, а глибина 18 дм?

Довжина каналу збільшиться від збільшення кількості людей у ​​26 разів, від

30 18-

збільшення числа днів у 40 разів та від зменшення ширини у 12 разів.

П£ 39 80 20 12 18

х = 96: -: -

26 40 10 10 12

Остаточно маємо х = 320.

Знаходження відсотка від числа

Завдання 11. Товар коштував 5000 грн. Його ціна зросла на 20%. На скільки карбованців підвищилася ціна? Яка нова ціна товару?

Завдання 12. Банк виплачує дохід із розрахунку 2% вкладеної суми на рік. Скільки рублів опинялося на рахунку за рік, якщо на нього поклали: 100 р.; 200 р.; 1000 р.; 12000 р.?

Завдання 13. Бажаючи блиснути знанням відсотків, Вася сказав, що 60% книга він прочитав минулого тижня, а 50%, що залишилися, на цьому. Вася не наплутав?

Задача 14. У школі 400 учнів, 52% цього числа становлять дівчатка, Скільки хлопчиків у школі?

Завдання 15. Збільште число 200 на 10%. Отримане число зменшіть на 10%. Чи вийде знову число 200? Чому?

Знаходження числа за його відсотком

Завдання 16. До магазину електротоварів привезли лампочки. Серед них виявилося 16 розбитих лампочок, що становило 2% їх числа. Скільки лампочок привезли до магазину?

Завдання 17. Знайдіть число, 110% якого 33.

Завдання 18.60% класу пішли у кіно, а решта 12 осіб на виставку. Скільки учнів у класі?

Завдання 19. Трава при сушінні втрачає 80% своєї маси. Скільки тонн сіна вийде із 4 т свіжої трави? Скільки тонн трави потрібно накосити, щоби насушити 4 т сіна? 100 – 80 – 20 (%) – маси трави становить маса сіна; 4 0,2 = 0,8 (т) – сіна вийде з 4 т трави; 4: 0,2 = 20 (т) – трави треба накосити.

Знаходження відсоткового відношення

Завдання 20. Із 16 кг свіжих груш одержали 4 кг сушених. Яку частину маси свіжих груш складає маса сушених? Виразіть цю частину у відсотках. Скільки відсотків маси втрачається при сушінні?

Завдання 21. Скільки відсотків числа 50 становить 40? Скільки відсотків числа 40 становить 50?

Завдання 22. У місяці було 12 сонячних та 18 похмурих днів. Скільки відсотків місяця становлять сонячні дні? похмурі дні?

Завдання 23. Ціна товару знизилася з 40 грн. до 30 грн. На скільки карбованців знизилася ціна? На скільки відсотків знизилася ціна?

Усі завдання з цього розділу є необов'язковими тому, що не потрібно добиватися від усіх учнів уміння їх вирішувати. Використовуйте їх настільки, наскільки це буде цікаво вашим учням, наскільки ви зможете організувати навчальну діяльністьшколярів, що сприяє їхньому розвитку. Перші завдання хороші для фронтальної роботиз класом. Після роботи з ними учні вивчаються краще розрізняти пряму та зворотну пропорційність, відчувають менше труднощів із завданнями на просте потрійне правило.

278 .* 3 курки за 3 дні знесли 3 яйця. Скільки яєць знесуть 12 курей за 12 днів?

Учні дуже здивуються, коли дізнаються, що «очевидна» відповідь «12 яєць» невірна. Розв'язання першого завдання з цього розділу краще розібрати колективно, можливо, після домашнього обмірковування. Наведені питання дано у розділі «Відповіді та поради». Записав коротко умови завдання:

курей днів яєць

12 12 х,

в ході діалогу потрібно з'ясувати, у скільки разів збільшилася кількість курей (вчетверо); як при цьому змінилося число яєць, якщо число днів не змінилося (збільшилось у 4 рази); у скільки разів збільшилась кількість днів (у 4 рази); як у своїй змінилося число яєць (збільшилося 4 разу). У результаті кількість яєць дорівнює:

x = 3 · 4 · 4 = 48.

279 .* 100 синиць за 100 днів з'їдають 100 кгзерна. Скільки кілограмів зерна з'їдять 10 синиць за 10 днів?

280 .* 3 маляри за 5 днів можуть пофарбувати 60 вікон.

а) Скільки малярів треба поставити на фарбування вікон, щоб вони за 2 дні пофарбували 64 вікна?

б) Скільки вікон пофарбують 5 малярів за 4 дні?

в) За скільки днів 2 маляри пофарбують 48 вікон?

281 .* а) 2 землекопи за 2 годвикопають 2 мканави. Скільки землекопів за 5 годвикопають 5 мканави?

б) 10 насосів за 10 хввикачують 10 тводи. За скільки хвилин 25 насосів викачають 25 тводи?

282 .* Курси іноземної мови орендують у школі приміщення для занять. У першому півріччі за оренду 4 класних кімнат по 6 днів на тиждень школа отримувала 336 нар.в місяць. Якою буде орендна плата за місяць у другому півріччі за 5 класних кімнат по 5 днів на тиждень за тих самих умов?

283 .* З «Арифметики» Л.Ф. Магницького. Хтось мав 100 р. у купецтві 1 рік і придбав ними лише 7 нар.А коли віддав у купецтво 1000 нар.на 5 років, скільки ними придбає?

284 .* Із «Загальної арифметики» І. Ньютона. Якщо писар може за 8 днів написати 15 аркушів, скільки знадобиться писарів, щоб написати 405 аркушів за 9 днів?

285 .* Старовинне завдання. Переписувач протягом 4 днів може переписати 40 аркушів, працюючи по 9 годв день. У скільки днів він перепише 60 аркушів, працюючи по 12 годв день?

286 .* У господині запитали:

Чи добре мчать Ваші кури?

Вважайте самі, – була відповідь, – півтори курки за півтора дня несуть півтора яйця, а всього у мене 12 курей.

Скільки яєць несуть кури на день?

287 .* а) У першій бригаді землекопів 4 особи - вони за 4 годвикопали 4 мканави. У другій бригаді землекопів 5 осіб – вони за 5 годвикопали 5 мканави. Яка бригада працює краще?

б) У першої господині 3 курки за 3 дні знесли 6 яєць, а у другої господині 4 курки за 4 дні знесли 8 яєць. У якої господині краще мчать кури?

288 .* Старовинні завдання.а) На утримання 45 осіб витримано у 56 днів 2040 року нар.Скільки потрібно витратити на утримання 75 осіб протягом 70 днів?

б) На надрукування книги, що містить по 32 рядки на сторінці та по 30 літер у рядку, потрібно 24 аркуші паперу на кожен екземпляр. Скільки потрібно аркушів паперу, щоб надрукувати цю книгу в тому ж форматі, але щоб на сторінці було 36 рядків і в рядку 32 літери?

Розглянемо складніші завдання з чотирма і навіть шістьма величинами. Їх можна задати як необов'язкове домашнє завдання найсильнішим учням, які люблять розплутувати головоломні завдання.

289 .* З «Арифметики» А.П. Кисельова.

а) Для освітлення 18 кімнат у 48 днів витрачено 120 фунтів гасу, причому у кожній кімнаті горіло по 4 лампи. На скільки днів дістане 125 фунтів гасу, якщо освітлюватиме 20 кімнат і в кожній кімнаті горітиме по 3 лампи?

б) На 5 однакових гасів, що горіли 24 дні по 6 годщодня, витрачено 120 лгасу. Наскільки днів вистачить 216 лгасу, якщо 9 таких же гасів горітимуть по 8 годв день?

290 .* Старовинне завдання.Артель землекопів 26 осіб, що працює машинами по 12 годна день, може вирити канал у 96 мдовжини, 20 мширини та 12 дмглибини протягом 40 днів. Який довжини канал можуть викопати 39 землекопів, працюючи протягом 80 днів по 10 годна день, якщо ширина каналу повинна бути 10 м, глибина 18 дм?

Завдання 290 С.І. Шохор-Троцький вважав такою, що не задовольняє життєвих умов і не підходить для шкільної практики, він розглядав її у своїй «Методиці арифметики» (1935 р.) «для себе». Застосуємо вдосконалену нами «остаточну формулу». У сильному класіцей спосіб можна показати учням, але тільки за їх активну участьу рішенні - інакше робота буде безглуздою. Нижче записано коротку умову завдання і дано міркування, паралельно якому на дошці може вестися запис, показаний праворуч.

Дл. чол. Дн. Година. Шир. Гол.

96 26 40 12 20 12

х 39 80 10 10 18

Довжина каналу збільшиться від

збільшення числа осіб у 39 / 26 рази, х = 96· 39 / 26

від збільшення числа днів у 80 / 40 рази х = 96· 39/26 · 80/40

і від зменшення ширини 20 / 10 рази; х = 96· 39/26 · 80/40 .

Довжина каналу зменшиться від

зменшення числа годин у 12 / 10 рази та х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10

і від збільшення глибини в 18 / 12 рази: х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12 .

Остаточно маємо: х = 320. Це означає, що 39 землекопів можуть викопати канал завдовжки 320 м-коду.