Теорія ймовірності випадкових подій. Дії над імовірностями

Якщо вас цікавить питання заголовка, ви, напевно, студент або школяр, що зіткнувся з новим для себе предметом. Завдання теорії ймовірностей зараз вирішують і школярі п'ятих класів просунутих шкіл, і старшокласники перед ЄДІ, і студенти практично всіх спеціальностей — від географів до математиків. Що це за предмет такий, і як до нього підійти?

Імовірність. Що це?

Теорія імовірностіЯк випливає з назви, має справу з ймовірностями. Нас оточують безліч речей і явищ, про які, як би не була розвинена наука, не можна зробити точних прогнозів. Ми не знаємо, яку карту витягнемо з колоди навмання чи скільки днів у травні йтиме дощ, але, маючи деяку додаткову інформацію, можемо будувати прогнози та обчислювати ймовірності цих випадкових подій.

Таким чином, ми стикаємося з основним поняттям випадкової події- явища, поведінку якого неможливо передбачити, досвіду, результат якого заздалегідь неможливо обчислити тощо. Саме ймовірності подій обчислюються в типових завданьах. Імовірність - це деяка, строго кажучи, функція, що приймає значення від 0 до 1 і характеризує цю випадкову подію. 0 - подія практично неможливо, 1 - подія практично достовірно, 0,5 (або "50 на 50") - з рівною ймовірністюподія відбудеться чи ні.

Алгоритм вирішення типових завдань на знаходження ймовірності

Докладніше з основами теорії ймовірностей можна ознайомитися, наприклад, онлайн підручнику. А тепер не будемо ходити навколо та навколо, і сформулюємо зразкову схему , за якою слід вирішувати стандартні навчальні завданняна обчислення ймовірності випадкової події, а потім на прикладах нижче проілюструємо її застосування.

• Уважно прочитати завдання та зрозуміти, що саме відбувається (що з якого ящика витягується, що де лежало, скільки приладів працює тощо)
• Знайти основне питання завдання на кшталт «обчислити ймовірність того, що …» і ось це багатокрапка записати у вигляді події, ймовірність якої треба знайти.
• Подія записана. Тепер треба зрозуміти, до якої «схеми» теорії ймовірностей належить завдання, щоб правильно вибрати формули для розв'язання.

  Ймовірність

  Дайте відповідь на тестові питаннятипу:

  • відбувається одне випробування (наприклад, викидання двох кісток) або кілька (наприклад, перевірка 10 приладів);
  • якщо випробувань кілька, чи залежні результати одного від інших (залежність чи незалежність подій);
  • подія відбувається в єдиній ситуації або завдання говорить про кілька можливих гіпотезах(наприклад, шар виймається з будь-якого ящика з трьох, або з конкретного).

  Чим більше досвідвирішення завдань, тим легше визначити, які формули підходять.

• Вибрано формулу (або кілька) для вирішення. Записуємо всі ці завдання і підставляємо в цю формулу.
• Вуаля, ймовірність знайдено.

Готові рішення задачз будь-яких розділів теорії ймовірностей, понад 10000 прикладів! Знайди своє завдання:

Як вирішувати завдання: класична ймовірність

приклад 1.У групі з 30 студентів на контрольної роботи 6 студентів отримали «5», 10 студентів – «4», 9 студентів – «3», решта – «2». Знайти ймовірність того, що 3 студенти, викликані до дошки, отримали контрольну роботу «2».

Починаємо рішення щодо пунктів, описаних вище.

• У завданні мова йдепро вибір 3 студентів із групи, які задовольняють певним умовам.
• Вводимо основну подію $X$ = (Всі 3 студенти, викликані до дошки, отримали контрольну роботу «2»).
• Так як у завданні відбувається лише одне випробування і воно пов'язане з відбором/вибором за певною умовою, йдеться про класичне визначення ймовірності. Запишемо формулу: $P=m/n$, де $m$ – число наслідків, які сприяють здійсненню події $X$, а $n$ – число всіх рівноможливих елементарних результатів.
• Тепер потрібно знайти значення $m$ і $n$ для цього завдання. Спочатку знайдемо число всіх можливих наслідків- Число способів вибрати 3 студентів з 30. Так як порядок вибору не має значення, це число поєднань з 30 по 3: $ $ n = C_ (30) ^ 3 = \ frac (30){3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$!}
• Отримуємо можливість: $$P(X)=\frac(m)(n)=\frac(10)(4060)=0,002.$$ Завдання вирішене.

Ще приклади: Вирішені завдання класичне визначення ймовірності.

Як розв'язувати задачі: формула Бернуллі

приклад 2.Якою є ймовірність того, що при 8 киданнях монети герб випаде 5 разів?

Знову за схемою розв'язання задач на ймовірність розглядаємо це завдання:

• У задачі йдеться про серію однакових випробувань - кидання монети.
• Вводимо основну подію $X$ = (При 8 киданнях монети герб випаде 5 разів).
• Так як у задачі відбувається кілька випробувань, і ймовірність появи події (герба) однакова у кожному випробуванні, йдеться про схему Бернуллі. Запишемо формулу Бернуллі, яка описує ймовірність того, що з $n$ кидків монет герб випаде рівно $k$ разів: $$ P_(n)(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^ (n-k).$$
• Записуємо дані з умови завдання: $ n = 8, p = 0,5 $ (імовірність випадання герба в кожному кидку дорівнює 0,5) і $ k = 5 $
• Підставляємо та отримуємо ймовірність: $$ P(X)=P_(8)(5)=C_8^5 \cdot 0,5^5 \cdot (1-0,5)^(8-5)=\frac(8{5!3!}\cdot 0,5^8=\frac{6\cdot 7 \cdot 8}{1\cdot 2 \cdot 3} \cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.!}

Ще приклади: Розв'язані задачі на формулу Бернуллі, рішник задач з теорії ймовірності.

І це все? Звичайно, ні.

Вище ми згадали тільки малу частину тем і формул теорії ймовірностей, для більш докладного вивченняви можете переглянути підручник онлайн на даному сайті (або завантажити класичні підручники по ТБ), ознайомитися зі статтями щодо вирішення ймовірнісних завдань, безкоштовними прикладами, скористатися онлайн калькуляторами. Успіхів!

Дякую, що читаєте та ділитесь з іншими

Інші корисні статті з теорії ймовірностей

Статті про вирішення математичних завдань

Спостереження явища, досвід, експеримент, які можна провести багаторазово, теоретично ймовірностей прийнято називати випробуванням . Результат, результат випробування називається подією .

Приклад 1 . Складання іспиту - це випробування; отримання певної позначки- Подія. Постріл – це випробування; попадання у певну область мішені – подія. Кидання грального кубика – це випробування; поява того чи іншого числа очок на кинутій гральній кістці - подія.

Види випадкових подій

Події називаються несумісними , якщо поява однієї з них виключає появи інших подій у тому самому випробуванні.

Приклад 2 :

• несумісні події : день і ніч, людина читає та людина спить, число ірраціональне та парне;
• спільні події : йде дощі йде сніг, людина їсть і людина читає, число ціле та парне.

Декілька подій утворюють повну групу (простір результатів) якщо в результаті випробування з'явиться хоча б одне з них. Іншими словами, поява хоча б однієї з подій повної групи є достовірною подією.

Приклад 3 .

Урок алгебри Випадкові події. Імовірність випадкової події.

При здачі заліку можливі такі результати: «зараховано», «не зараховано», «не з'явився»; при підкиданні монети - "орел", "решка".

Приклад 4 . Нехай у урні міститься 6 однакових куль, причому 2 з них - червоні, 3 — сині та 1 - Білий. Яка можливість вийняти навмання з урни кольорову кулю? Чи можна охарактеризувати цю можливість числом?

Виявляється, можна. Це число і називається ймовірністю події А (Появи кольорової кулі). Таким чином, ймовірність є число, яке характеризує ступінь можливості появи події .

Кожен із можливих результатів випробування (у прикладі 4, випробування полягає у вилученні кулі з урни) називається елементарним результатом .

Ті елементарні результати, у яких цікава для нас подія настає, називаються сприятливими цій події. У прикладі 4 сприяють події А (Поява кольорової кулі) 5 результатів.

Події називаються рівноможливими якщо є підстави вважати, що не одне з них не є більш можливим, ніж інше.

Приклад 5 . Поява тієї чи іншої кількості очок на кинутому гральному кубику – рівноможливі події.

Імовірністю P(A) події А називають відношення числа сприятливих для цієї події результатів до загальному числувсіх рівноможливих несумісних елементарних наслідків, що утворюють повну групу.

Можливість P(A) події А визначається за формулою

де m - Число елементарних результатів, сприятливих A ; n - Число всіх можливих елементарних результатів випробування.

У прикладі 4 всього елементарних результатів 6 ; з них 5 сприяють події А . Отже, ймовірність того, що взята куля виявиться кольоровою, дорівнює P(A) = 5/6 .

Приклад 6 . Визначити можливість випадання непарного числа очок на кістки.

Рішення.При киданні кістки подія A – «випало непарне числоокулярів» можна записати як підмножина (1, 3, 5) простору результатів (1, 2, 3, 4, 5, 6) (рис. 1).

Число всіх рівноможливих результатів n = 6, а кількість сприятливих подію A – m = 3. Отже,

Приклад 7 . В урні знаходиться 7 куль: 2 білих, 4 чорний і 1 червоний. Виймається одна куля навмання. Яка ймовірність того, що вийнята куля буде чорною?

Рішення.Занумеруємо кулі. Нехай, наприклад, кулі з номерами 1 і 2 – білі, з номерами 3, 4, 5 і 6 – чорні, а червоній кулі надамо номер 7 .

Так як ми можемо вийняти тільки одну з семи куль, то загальна кількість рівноможливих результатів дорівнює семи ( n = 7 ). З них 4 результату – поява куль із номерами 3, 4, 5 і 6 – приведуть до того, що вийнята куля буде чорною ( m = 4 ). Тим самим, ймовірність події А , що полягає у появі чорної кулі, дорівнює

Обчисліть ймовірність того, що вийнята куля буде білою.

Приклад 8 .

Обчислити ймовірність випадання у сумі 10 окулярів під час кидання пари кісток.

Рішення.Розглянемо всі рівноможливі наслідки в результаті кидання двох кісток (їх число одно 36 - Рекомендуємо записати у вигляді таблиці). Випадання у сумі 10 очок (подія А ) можливо в трьох випадках – 4 окуляри на першій кістці і 6 на другий, 5 очок на першій та 5 на другий, 6 очок на першій та 4 на другий. Тому ймовірність події А (випадання у сумі 10 очок) дорівнює

Властивість 1. Ймовірність достовірного події А дорівнює одиниці: Р(А) = 1 .

Властивість 2. Ймовірність неможливого події А дорівнює нулю: Р(А) = 0 .

Властивість 3. Імовірність випадкової події є додатне число, укладене між нулем і одиницею :

0 £ P (A) £ 1.

Приклад 9 . Так як ймовірність випадання 13 очок при киданні пари кісток - неможлива подія, її ймовірність дорівнює нулю .

Класичне визначення ймовірності передбачає, що кількість елементарних результатів випробування звісно. Насправді ж часто зустрічаються випробування, число можливих результатів яких нескінченно. Крім цього, часто неможливо уявити результат випробування у вигляді сукупності елементарних подій. Ще важче вказати підстави, що дозволяють вважати елементарні події рівноможливими. З цієї причини, поряд з класичним визначенням ймовірності використовують інші визначення, зокрема статистичне визначення .

Статистичне визначення ймовірності

Відносна частота поряд із ймовірністю належить до основних понять теорії ймовірностей.

Відносною частотою події А називають відношення числа випробувань, у яких подія з'явилася, до загального числа фактично здійснених випробувань:

де m - Число появи події А , n – загальна кількість випробувань.

Класична ймовірність обчислюється до досвіду, а відносна частота після досвіду .

Тривалі спостереження показали, що якщо в однакових умовах виробляють досліди, у кожному з яких кількість випробувань велика, то відносна частота виявляє властивість стійкості .

Ця властивість полягає в тому, що в різних дослідах відносна частота змінюється мало (тим менше, чим більше зроблено випробувань), коливаючись біля деякого постійного числа. Це постійне числоі є можливість появи події.

Таким чином, при досить великій кількості випробувань як статистичної ймовірностіподії приймають відносну частоту чи число, близьке до неї.

Приклад 10 . Натураліст К. Пірсон терпляче підкидав монету і після кожного кидання не лінувався записувати отриманий результат. Зробивши цю операцію 24 000 разів, він виявив, що герб випадав у 12 012 випадках. Обчислюючи відносну частоту випадання герба, він отримав , Що майже дорівнює 1/2.

Багатьох цікавить питання: чи можливо вплинути на випадкові події, виявити якусь закономірність подій, отримати той результат, який є бажаним. Усі явища, які оточують нас, відбуваються і змінюються з якоюсь часткою випадковості, невизначеності.

З випадковими подіями ми зустрічаємося частіше, ніж прийнято вважати. Випадкові фактори лежать в основі довкілля, економіки, політики, соціальної та суспільного життя, вони визначають перебіг будь-якого процесу масового обслуговування- торгівлі, телефонного зв'язку, транспортних послуг та медичної допомоги. Завдання управління різного родупроцесами, яка найбільш гостро стоїть перед сучасним суспільством, У тому, щоб навчитися орієнтуватися у світі випадковостей і активно діяти, спираючись на приховані специфічні закономірності.

Усі явища навколишньої дійсності можна розглядати з погляду ймовірності їх наступу. Коли студент іде на іспит, ймовірність отримання хорошої оцінки залежить від кількох причин: підготовленості студента, вдало обраного квитка, самопочуття, настрою.

Економіста може цікавити ймовірність того, що ціни на товар не зростуть, якщо не знизиться обсяг його виробництва, чи ймовірність того, що застрахований автомобіль не потрапить в аварію.

Всі ці події є випадковими і можуть наступити чи ні з деякою часткою невизначеності. Кількісним заходом такої невизначеності є ймовірність настання випадкової події, під якою розуміють число, яке виражає ступінь впевненості у настанні тієї чи іншої випадкової події.

Випадковими подіями називають можливі результатиодиничної операції, або випробування.

Під випробуванням слід розуміти процес, що включає в себе певні умовиі що призводить до одного з кількох можливих наслідків.

Наприклад: випробування – кидання монети, випадкова подія – випадання герба. Випробування – народження дитини, випадкова подія – стать дитини – чоловіча.

Результатом досвіду може бути результат спостереження, виміру, оцінки.

Випадкова подія може складатися з кількох елементарних подій .

Одиничний, окремий результат випробування називається елементарною подією.

Подія називається випадковою, якщо в результаті випробування (досвіду) вона може статися, а може і не статися.

Наприклад, стрілок, що робить постріл, може потрапити або не потрапити в ціль. І тут випробування - це постріл, а можливі елементарні результати - потрапляння чи непопадання ціль. Футбольна команда може брати участь у матчі – це випробування, в результаті якого можуть настати результати, або елементарні події: виграш, програш чи нічия.

Оцінка студента на іспиті – це випадкова подія, яка складається з елементарних подій: отримання оцінки «відмінно», отримання оцінки «добре», отримання оцінки «задовільно», отримання оцінки «незадовільно».

Елементарні події можна класифікувати в міру їхньої невизначеності як достовірні, неможливі та випадкові.

Достовірним називають подію, яка обов'язково відбудеться за певного комплексу умов.

Наприклад, якщо в ящику знаходяться лише стандартні деталі, то вилучення з нього стандартної деталі є достовірною подією. Достовірним є і те, що в прямокутному трикутникуквадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів.

Подія, яка не може статися в результаті цього випробування, називається неможливою.

Якщо в ящику всі деталі стандартні, вилучення з нього нестандартної деталі є подія неможлива. Квадрат речового числаможе бути негативним. Достовірні та неможливі події, взагалі кажучи, не є випадковими.

Випадкові події Можливість (стор. 1)

Фундаментом для наукового підходудо пошуку відповідей на такі питання є теорія ймовірностей.

Зародження теорії ймовірностей і формування перших понять цієї галузі математики відбулося в середині 17 століття, коли Паскаль, Ферма, Бернуллі спробували здійснити аналіз завдань пов'язаних з азартними іграми новими методами. Незабаром стало ясно, що теорія, що виникає, знайде широке колозастосування для вирішення багатьох завдань, що виникають в різних сферахдіяльності людини.

Виробляючи достатньо велика кількістьдослідів чи випробувань, можна визначити, як часто з'являється подія, та обчислити ймовірність її наступу. Імовірність, визначену таким чином, називають статистичною чи післядосвідченою. У деяких випадках можна визначити досвідчену ймовірність, яку називають класичною.

Імовірністю появи події А називають відношення числа наслідків, що сприяють появі цієї події, до загального числа всіх можливих і несумісних елементарних наслідків. Позначимо число сприятливих події А результатів через М, а число всіх можливих результатів N. тоді визначення ймовірності можна використовувати формулу Р (А) = М/N .

Я провела експеримент: спробувала витягнути з 15 кульок, 2 з яких червоні, інші зелені, довільним чином 2 кульки. Намагалася визначити ймовірність того, що обидві кульки виявляться червоними; обидві кульки будуть зеленими; одна кулька буде червона, інша зелена.

Передбачений перед проведенням експерименту результат виправдався: найбільш можливим результатом є витягування 2 зелених кульок, найменш можливим результатом є витягування 2 червоних кульок.

При порівнянні практичної та теоретичної ймовірності виявилося досить велике розбіжність, причиною якого є мала кількість проведених випробувань.

Для отримання більш точного результату бажано проводити якнайбільше випробувань, розглядати всілякі результати випробувань та сприятливі результати. Не забувати, що перевірити це можна і теоретично. При цьому ймовірності до проведення досвіду та після проведення мають збігатися.

Провівши дослідження з даному питаннюя прийшла до висновку: теорія ймовірності не впливає на випадкові події, вона тільки дозволяє з'ясувати ступінь його наступу, а ймовірність, порахована під час експерименту, тим точніше, чим більше проведено випробувань.

Література:

1. Кібзун А. І. Теорія ймовірностей та математична статистика. Базовий курсз прикладами та завданнями / А. І. Кібзун. – М.: Фізматліт, 2002. – 224 с.
2. Кочетков Є. С., Смерчинська С. О., Соколов В. В. Теорія ймовірностей та математична статистика. – М.: ФОРУМ: ІНФРА-М, 2006. – 240 с.
3. Письмовий Д. Т. Конспект лекцій з теорії ймовірностей, математичної статистикиі випадковим процесам. – М.: Айріс-прес, 2007. – 288 с.

Дякую, що читаєте та ділитесь з іншими

Основним поняттям теорії ймовірностей є поняття випадкової події. Випадковою подієюназивається подія, яка при здійсненні деяких умов може статися чи не відбутися. Наприклад, попадання в деякий об'єкт або промах при стрільбі з цього об'єкта з даної зброї є випадковою подією.

Подія називається достовірнимякщо в результаті випробування воно обов'язково відбувається. Неможливимназивається подія, яка в результаті випробування відбутися не може.

Випадкові подіїназиваються несуміснимиу цьому випробуванні, якщо жодні з них не можуть з'явитися разом.

Випадкові події утворюють повну групуякщо при кожному випробуванні може з'явитися будь-яка з них і не може з'явитися якась інша подія, несумісна з ними.

Розглянемо повну групу рівноможливих несумісних випадкових подій. Такі події називатимемо результатами. Вихід називається сприятливимпояві події $А$, якщо поява цієї події спричиняє появу події $А$.

приклад.В урні знаходиться 8 пронумерованих куль (на кожній кулі поставлено по одній цифрі від 1 до 8).

Кулі з цифрами 1, 2, 3 червоні, решта – чорні. Поява кулі з цифрою 1 (або цифрою 2 або цифрою 3) є подією, що сприяє появі червоної кулі. Поява кулі з цифрою 4 (або цифрою 5, 6, 7, 8) є подією, що сприяє появі чорної кулі.

Ймовірністю події$A$ називають відношення числа $m$ сприятливих цієї події результатів до загального числа $n$ всіх рівноможливих несумісних елементарних результатів, що утворюють повну групу $$P(A)=\frac(m)(n). \quad(1)$$

Властивість 1.Імовірність достовірної події дорівнює одиниці
Властивість 2.Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.
Властивість 3.Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.

Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійну нерівність$0 \le P(A) \le 1$ .

Онлайн-калькулятори

Великий пласт завдань, розв'язуваних за допомогою формули (1), відноситься до теми гіпергеометричної ймовірності. Нижче за посиланнями ви можете знайти опис популярних завдань та онлайн-калькулятори для їх вирішення:

• Завдання про кулі (в урні знаходиться $k$ білих і $n$ чорних куль, виймають $m$ куль…)
• Завдання про деталі (у ящику знаходиться $k$ стандартних і $n$ бракованих деталей, виймають $m$ деталей…)
• Завдання про лотерейні квитки(У лотереї беруть участь $k$ виграшних та $n$ безвиграшних квитків, куплено $m$ квитків…)

Приклади розв'язування задач на класичну ймовірність

приклад.В урні 10 пронумерованих куль з номерами від 1 до 10. Вийняли одну кулю. Яка ймовірність того, що номер витягнутої кулі не перевищує 10?

Рішення.Нехай подія А= (Номер витягнутої кулі вбирається у 10). Кількість випадків, що сприяють появі події Адорівнює числу всіх можливих випадків m=n=10. Отже, Р(А) = 1. Подія А достовірне.. Кількість елементарних результатів (кількість карт)

Шукана ймовірність
.

Формули з теорії ймовірності онлайн

У даному розділіви знайдете формули з теорії ймовірностей в онлайн-варіанті (завантажити можна на сторінці Таблиці та формули з теорії ймовірностей). Якщо слово підкреслено, натиснувши на посилання, ви перейдете до докладний опистерміна, прикладів або обчислення на онлайн-калькуляторі. Використовуйте ці можливості!

А також для вивчення тервера у нас є:

Дякую, що читаєте та ділитесь з іншими

I. Випадкові події. Основні формули онлайн

1. Основні формули комбінаторики

Число перестановок $$ P_n = n!

Підручник з теорії ймовірностей

1\cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot (n-1) \cdot n$$

Кількість розміщень $$A_m^n = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n-m+1)$$

Число поєднань $$C_n^m =\frac(A_n^m)(P_m)=\frac(n{m! \cdot (n-m)!}$$!}

2. Класичне визначення ймовірності

$$P(A) = \frac(m)(n),$$ де $m$ — кількість сприятливих подій $A$ результатів, $n$ — кількість всіх елементарних рівноможливих результатів.

Докладніше про класичної ймовірностідив. в онлайн-підручнику та калькуляторах рішень.

3. Імовірність суми подій

Теорема складання ймовірностей не спільних подій:

$$ P(A+B) = P(A)+P(B) $$

Теорема складання ймовірностей спільних подій:

$$ P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) $$

Приклади рішень та теорія з алгебри подій тут.

4. Імовірність добутку подій

Теорема множення ймовірностей незалежних подій:

$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B) $$

Теорема множення ймовірностей залежних подій:

$$ P(Acdot B) =P(A)cdot P(B|A), P(Acdot B) =P(B)cdot P(A|B). $$

$P(A|B)$ — умовна ймовірність події $A$ за умови, що сталася подія $B$,

$P(B|A)$ — умовна ймовірність події $B$ за умови, що сталася подія $A$.

Детальніше про умовної ймовірності.

5. Формула повної ймовірності

$$ P(A)=\sum_(k=1)^(n) P(H_k)\cdot P(A|H_k), $$

6. Формула Байєса (Бейєса). Обчислення апостеріорних ймовірностей гіпотез

$$ P(H_m|A) = frac(P(H_m)\cdot P(A|H_m))(P(A)) = \frac(P(H_m)\cdot P(A|H_m))(\ sum\limits_(k=1)^(n) P(H_k)\cdot P(A|H_k)), $$

де $ H_1, H_2, …, H_n $ - повна група гіпотез.

Приклади та теорія на цю тему.

7. Формула Бернуллі

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = \frac(n{k! \cdot (n-k)!}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$ вероятность появления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании.!}

Ще корисне за формулою Бернуллі теорія та приклади, онлайн-калькулятори.

8. Найімовірніше число настання події

Найімовірніше число $k_0$ появи події при $n$ незалежних випробуваннях (де $p$ - ймовірність появи події при одному випробуванні):

$$ np-(1-p) \le k_0 \le np+p. $$

Обчислити найімовірніше значення онлайн.

9. Локальна формула Лапласа

$$ P_n(k) = \frac(1)(\sqrt(npq)) \varphi\left(\frac(k-np)(\sqrt(npq)) \right) $$

ймовірність появи події рівно $k$ разів при $n$ незалежних випробуваннях, $p$ - ймовірність появи події при одному випробуванні $q=1-p$.

Значення функції $\varphi(x)$ беруться з таблиці.

10. Інтегральна формула Лапласа

$$ P_n(m_1, m_2) = \Phi\left(\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)) \right)-\Phi\left(\frac(m_1-np)(\sqrt(npq)) ) \right) $$

ймовірність появи події щонайменше $m_1$ і трохи більше $m_2$ разів за $n$ незалежних випробуваннях, $p$ — ймовірність появи події при одному випробуванні, $q=1-p$.
Значення функції $\Phi(x)$ беруться з таблиці.

Теорія та приклади на формули Муавра-Лапласа.

11. Оцінка відхилення відносної частоти від постійної ймовірності $p$

$$ P\left(\left| \frac(m)(n) -p\right| \le \varepsilon\right) = 2 \Phi\left(\varepsilon\cdot \frac(n)(\sqrt(p) (1-p))) \right) $$

$\varepsilon$ - величина відхилення, $p$ - ймовірність появи події.

Вирішені завдання з теорії ймовірностей

Потрібна готове завданняпо терверу? Знайдіть на сайті-решільнику:

Каталог формул з теорії ймовірності онлайн

Повний список сторінок із формулами:

Дякую, що читаєте та ділитесь з іншими

Підручник з теорії ймовірності: зміст

Розділ 1. Випадкові події. Обчислення ймовірності

1.1. Елементи комбінаторики

1.2. Класичне визначення ймовірності

1.3. Геометричне визначення ймовірності

1.4. Складання та множення ймовірностей

1.5. Умовна ймовірність

1.6. Формула повної ймовірностіта формула Байєса

1.7. Незалежні випробування. Формула Бернуллі

1.8. Найімовірніше число успіхів

1.9. Формула Пуассона

1.10. Теореми Муавра-Лапласа

1.1. Елементи комбінаторики

Розглянемо кілька Х, що складається з nелементів. Вибиратимемо з цієї множини різні впорядковані підмножини з kелементів.

Розміщенням з nелементів множини Хпо kелементам назвемо будь-який упорядкований набір елементів множини Х.

Якщо вибір елементів множини з Хвідбувається із поверненням, тобто. кожен елемент множини Хможе бути обраний кілька разів, то число розміщень з nпо kзнаходиться за формулою ( розміщення з повтореннями ).

Якщо вибір робиться без повернення, тобто. кожен елемент множини Хможна вибирати тільки один раз, то кількість розміщень з nпо kпозначається та визначається рівністю

(розміщення без повторень ).

приклад.Нехай дані шість цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Визначити скільки трицифрових чиселможна скласти із цих цифр.

Рішення.Якщо цифри можуть повторюватися, кількість тризначних чисел буде . Якщо цифри не повторюються, то .

приклад.Студенти інституту вивчають у кожному семестрі по десять дисциплін. До розкладу занять включаються щодня по 3 дисципліни. Скільки різних розкладів може становити диспетчерська?

Рішення. Розклад щодня може відрізнятися або предметами, або порядком розташування цих предметів, тому маємо розміщення:

Окремий випадок розміщення при n=kназивається перестановкою з nелементів. Число всіх перестановок з nелементів одно
.

приклад. 30 книг стоїть на книжковій полиці, з них 27 різних книг та одного автора три книги. Скільки можна розставити ці книги на полиці так, щоб книги одного автора стояли поруч?

Рішення.Вважатимемо три книги одного автора за одну книгу, тоді число перестановок буде . А три книги можна переставляти між собою способами, тоді за правилом твору маємо, що кількість способів, що шукається, дорівнює: *=3!*28!

Нехай тепер з множини Хвибирається невпорядковане підмножина (порядок елементів у підмножині не має значення). Поєднаннями з nелементів по kназиваються підмножини з kелементів, що відрізняються один від одного хоча б одним елементом. Загальна кількість всіх поєднань з nпо kпозначається і одно
.

Справедливі рівності: , , .

приклад.У групі із 27 студентів потрібно обрати трьох чергових. Скільки можна це зробити?

Рішення.Так як порядок студентів не важливий, використовуємо формулу для числа поєднань: .

Під час вирішення завдань комбінаторики використовують такі правила:

Правило суми.Якщо деякий об'єкт А може бути обраний із сукупності об'єктів m способами, а інший об'єкт може бути обраний n способами, то вибрати або А, або В можна m + n способами.

Правило твору.Якщо об'єкт А можна вибрати із сукупності об'єктів m способами і після кожного такого вибору об'єкт можна вибрати n способами, то пара об'єктів (А, В) у зазначеному порядку може бути обрана m*n способами.

приклад.Наряд студентки складається з блузки, спідниці та туфель. Дівчина має у своєму гардеробі чотири блузки, п'ять спідниць та троє туфель. Скільки вбрання може мати студентка?

Рішення.Нехай спочатку студентка вибирає блузу. Цей вибір може бути здійснений чотирма способами, тому що студентка має чотири блузки, потім п'ятьма способами відбудеться вибір спідниці та трьома способами вибір туфель. За принципом множення виходить 4 * 5 * 3 = 60 нарядів (комбінацій).

1.2. Класичне визначення ймовірності

Основним поняттям теорії ймовірностей є поняття випадкової події. Випадковою подією називається подія, яка при здійсненні деяких умов може статися чи не відбутися. Наприклад, попадання в деякий об'єкт або промах при стрільбі з цього об'єкта з даної зброї є випадковою подією.

Подія називається достовірним якщо в результаті випробування воно обов'язково відбувається. Неможливим називається подія, яка в результаті випробування відбутися не може.

Випадкові події називаються несумісними у цьому випробуванні, якщо жодні з них не можуть з'явитися разом.

Випадкові події утворюють повну групу якщо при кожному випробуванні може з'явитися будь-яка з них і не може з'явитися якась інша подія, несумісна з ними.

Розглянемо повну групу рівноможливих несумісних випадкових подій. Такі події називатимемо результатами. Вихід називається сприятливим появі події Аякщо поява цієї події тягне за собою появу події А.

приклад.В урні знаходиться 8 пронумерованих куль (на кожній кулі поставлено по одній цифрі від 1 до 8). Кулі з цифрами 1, 2, 3 червоні, решта – чорні. Поява кулі з цифрою 1 (або цифрою 2 або цифрою 3) є подією, що сприяє появі червоної кулі. Поява кулі з цифрою 4 (або цифрою 5, 6, 7, 8) є подією, що сприяє появі чорної кулі.

Ймовірністю події Aназивають відношення числа m результатів, що сприяють цій події, до загальної кількості n всіх рівноможливих несумісних елементарних результатів, що утворюють повну групу

Властивість 1.Імовірність достовірної події дорівнює одиниці
Властивість 2.Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.
Властивість 3.Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.

Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійну нерівність.

приклад.В урні 10 пронумерованих куль з номерами від 1 до 10. Вийняли одну кулю. Яка ймовірність того, що номер витягнутої кулі не перевищує 10?

Рішення.Нехай подія А= (Номер витягнутої кулі вбирається у 10). Кількість випадків, що сприяють появі події Адорівнює числу всіх можливих випадків m=n=10. Отже, Р(А) = 1. Подія А достовірне.

приклад.В урні 10 куль: 6 білих та 4 чорних. Вийняли дві кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі білі?

Рішення.Вийняти дві кулі з десяти можна наступним числом способів: .
Число випадків, коли серед цих двох куль будуть дві білі, одно .
Шукана ймовірність
.

приклад.В урні 15 куль: 5 білих та 10 чорних. Яка можливість вийняти з урни синю кулю?

Рішення.Так як синіх кульв урні немає, то m=0, n=15. Отже, шукана ймовірність р=0. Подія, що полягає у вийманні синьої кулі, неможливе.

приклад.З колоди в 36 карт виймається одна карта. Якою є ймовірність появи карти червової масті?

Рішення. Кількість елементарних результатів (кількість карт) n=36. Подія А= (Поява карти червової масті). Число випадків, що сприяють появі події А, m=9. Отже,
.

приклад.У кабінеті працюють 6 чоловіків та 4 жінки. Для переїзду навмання відібрано 7 осіб. Знайти ймовірність того, що серед відібраних осіб троє жінок.

Рішення.Загальна кількість можливих результатів дорівнює числу способів, якими можна відібрати 7 чоловік із 10, тобто.
.

Знайдемо число результатів, які сприяють події, що цікавить нас: трьох жінок можна вибрати з чотирьох способами; при цьому решта чотирьох чоловік має бути чоловіками, їх можна відібрати способами. Отже, кількість сприятливих наслідків дорівнює .

Шукана ймовірність
.

1.3. Геометричне визначення ймовірності

Нехай випадкове випробування можна уявити собі як кидання точки навмання в деяку геометричну область G (на прямій, площині або просторі). Елементарні результати – це окремі точки G, будь-яка подія – це підмножина цієї області, простору елементарних результатів G. Можна вважати, що всі точки G «рівноправні» і тоді ймовірність влучення точки в деяке підмножина пропорційно його мірі (довжині, площі, об'єму) і не залежить від його розташування та форми.

Геометрична ймовірність події А визначається ставленням:
,
де m(G), m(A) – геометричні заходи (довжини, площі чи обсяги) всього простору елементарних наслідків та події А.

приклад.На площину, розграфлену паралельними смугами шириною 2d, відстань між осьовими лініями яких дорівнює 2D, навмання кинуто коло радіуса r (). Знайти ймовірність того, що коло перетне деяку смугу.

Рішення.Як елементарний результат цього випробування вважатимемо відстань xвід центру кола до осьової лінії найближчої до кола смуги. Тоді весь простір елементарних наслідків – це відрізок . Перетин кола зі смугою відбудеться у разі, якщо його центр потрапить у смугу, тобто. , або буде від краю смуги з відривом меншому ніж радіус, тобто. .

Для шуканої ймовірності отримуємо: .

1.4. Складання та множення ймовірностей

Подія Аназивається окремим випадком події Уякщо при наступі Анастає і У. Те, що Ає окремим випадком У, записуємо.

Події Аі Уназиваються рівними, якщо кожне з них є окремим випадком іншого. Рівність подій Аі Узаписуємо А = В.

Сумою подій Аі Уназивається подія А+В, яке настає тоді і лише тоді, коли настає хоча б одна з подій: Аабо Ст.

Теорема про складання ймовірностей.Імовірність появи одного з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Зауважимо, що сформульована теорема справедлива для будь-якої кількості несумісних подій:

.

Якщо випадкові події утворюють повну групу несумісних подій, має місце рівність

Твором подій Аі Уназивається подія АВ, яке настає тоді і тільки тоді, коли наступають обидві події: Аі Уодночасно. Випадкові події Аі Bназиваються спільними якщо при цьому випробуванні можуть відбутися обидві ці події.

Теорема про складання ймовірностей 2.Ймовірність суми спільних подій обчислюється за формулою

Події подій Аі Уназиваються незалежними якщо поява одного з них не змінює ймовірності появи іншого. Подія Аназивається залежним від події Уякщо ймовірність події Азмінюється в залежності від того, сталася подія Учи ні.

Теорема про збільшення ймовірностей.Імовірність твору незалежних подій Аі Уобчислюється за такою формулою:

Імовірність добутку залежних подій обчислюється за формулою умовної ймовірності (див. наступний розділ).

приклад.У першому ящику 1 біла і 5 чорних куль, у другій 8 білих і 4 чорні кулі. З кожного ящика вийняли по кулі. Знайти ймовірність того, що одна з вийнятих куль біла, а інша – чорна.

Рішення.Позначимо події: А- Вийняли білу кулю з першого ящика,
;

Вийняли чорну кулю з першої скриньки,
;

У- біла куля з другого ящика,
;

Чорна куля з другої скриньки,
.

Нам потрібно, щоб сталася одна з подій або . За теоремою про множення ймовірностей
, .
Тоді шукана ймовірність з теореми складання буде
.

приклад.Імовірність влучення в ціль у першого стрільця 0,8, у другого – 0,9. Стрілки роблять за пострілом. Знайти ймовірність: а) подвійного влучення; б) хоча б одного влучення; г) одного влучення.

Рішення.

Нехай А- Попадання першого стрілка, ;

У- Попадання другого стрілка, .

Тоді - промах першого, ;

Промах другого, .

Знайдемо потрібні можливості.

а) АВ- подвійне влучення,

б) - подвійний промах, .

в) А+У– хоч би одне влучення,

г) – одне влучення,

приклад.Студент розшукує потрібну йому формулу у трьох довідниках. Імовірність того, що формула міститься в першому, другому та третьому довідниках дорівнюють 0,6; 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що формула міститься 1) тільки в одному довіднику; 2) лише у двох довідниках; 3) у всіх трьох довідниках.

Рішення.

А– формула міститься у першому довіднику;

У– формула міститься у другому довіднику;

З- Формула міститься в третьому довіднику.

Скористаємося теоремами складання та множення ймовірностей.

Нехай в результаті випробування можуть з'явитися n подій, незалежних у сукупності, або деякі з них (зокрема, тільки одна або жодна), причому ймовірність появи кожної з подій відома. Як знайти ймовірність того, що настане хоча б одна з цих подій? Наприклад, якщо в результаті випробування можуть з'явитися три події, то поява хоча б однієї з цих подій означає наступ одного або двох, або трьох подій. Відповідь на поставлене запитання дає така теорема.

Теорема.Ймовірність появи хоча б однієї з подій , незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком ймовірностей протилежних подій

Якщо події мають однакову ймовірність, то формула набуває простого вигляду:

.

приклад.Імовірності влучення в ціль при стрільбі з трьох знарядь такі: p 1 = 0,8;p 2 = 0,7; p 3 = 0,9. Знайти ймовірність хоча б одного влучення (подія А) при одному залпі з усіх знарядь.

Рішення.Імовірність влучення в ціль кожній з гармат не залежить від результатів стрілянини з інших знарядь, тому події, що розглядаються (попадання першої зброї), (попадання другої зброї) і (попадання третьої зброї) незалежні в сукупності.

Імовірності подій, протилежних подіям, і (тобто ймовірності промахів), відповідно рівні:

, ,

Шукана ймовірність.

приклад.У друкарні є 4 плоскодрукарські машини. Для кожної машини ймовірність того, що вона працює в Наразі, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що зараз працює хоча б одна машина (подія А).

Рішення.Події "машина працює" та "машина не працює" (в даний момент) - протилежні, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

Звідси ймовірність того, що машина зараз не працює, дорівнює

Шукана ймовірність

Так як отримана ймовірність дуже близька до одиниці, то на підставі слідства з принципу практичної неможливості малоймовірних подій ми маємо право укласти, що зараз працює хоча б одна з машин.

приклад.Імовірність того, що при одному пострілі стрілок потрапляє в ціль, дорівнює 0,4. Скільки пострілів повинен зробити стрілок, щоб із ймовірністю не менше 0,9 він потрапив у ціль хоча б один раз?

Рішення.Позначимо через А подію "при n пострілах стрілок потрапляє в ціль хоча б один раз". Події, що перебувають у попаданні в ціль при першому, другому пострілах і т. д., незалежні в сукупності, тому може бути застосована формула .

Зваживши на те, що, за умовою, (отже, ), отримаємо

Прологарифмуємо цю нерівність на підставі 10:

Отже, , тобто. стрілок повинен зробити не менше 5 пострілів.

1.5. Умовна ймовірність

Випадкова подія визначена як подія, яка при здійсненні сукупності умов експерименту може статися або не статися. Якщо при обчисленні ймовірності події жодних інших обмежень, крім умов експерименту, не накладається, то таку ймовірність називають безумовною ; якщо ж накладаються інші додаткові умови, то ймовірність події називають умовної . Наприклад, часто обчислюють ймовірність події Уза додаткової умови, що сталася подія А.

Умовною ймовірністю (два позначення) називають ймовірність події У, обчислену у припущенні, що подія Авже настало.

Ймовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну вірогідність другого, обчислену за умови, що перша подія сталася, тобто.

Зокрема, звідси отримуємо
.

приклад.В урні знаходяться 3 білі кулі та 2 чорні. З урни виймається одна куля, а потім друга. Подія У- Поява білої кулі при першому вийманні. Подія А- Поява білої кулі при другому вийманні.

Рішення.Очевидно, що ймовірність події А, якщо подія Усталося, буде
.
Ймовірність події Аза умови, що подія Уне сталося, буде
.

приклад.В урні 3 білих та 3 чорні кулі. З урни двічі виймають по одній кулі, не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність появи білої кулі при другому випробуванні (подія В), якщо при першому випробуванні було вилучено чорну кулю (подію А).

Рішення. Після першого випробування в урні залишилося 5 куль, їх 3 білих. Шукана умовна ймовірність.

Цей же результат можна отримати за формулою
.

Дійсно, ймовірність появи білої кулі при першому випробуванні
.

Знайдемо ймовірність того, що в першому випробуванні з'явиться чорна куля, а в другому – біла. Загальна кількість результатів - спільної появи двох куль, байдуже якого кольору, дорівнює кількості розміщень . З цього числа наслідків події сприяють наслідків. Отже, .

Шукана умовна ймовірність

Результати збіглися.

приклад.У трамвайному парку є 15 трамваїв маршруту №1 та 10 трамваїв маршруту №2. Якою є ймовірність того, що другим за рахунком на лінію вийде трамвай маршруту №1?

Рішення. Нехай А- подія, яка полягає в тому, що на лінію вийшов трамвай маршруту №1, У– маршруту №2.

Розглянемо всі події, які можуть бути при цьому (в умовах нашого завдання): . З них нас цікавитимуть лише перше та третє, коли другим вийде трамвай маршруту №1.

Оскільки всі ці події спільні, то:

;

;

звідси шукана ймовірність

приклад.Яка ймовірність того, що 2 карти, витягнуті з колоди в 36 карт, виявляться однією масті?

Рішення. Спочатку підрахуємо ймовірність того, що дві карти виявляться однієї певної масті (наприклад, «піки»). Нехай А- поява першої карти такої масті, У- Поява другої карти тієї ж масті. Подія Узалежить від події А, т.к. його ймовірність змінюється від того, відбулася чи ні подія А. Тому доведеться скористатися теоремою множення в її загальної форми:

,
де (після виймання першої карти залишилося 35 карт, їх тієї ж масті, як і перша - 8).

Отримуємо
.

Події, які полягають у тому, що будуть вийняті дві карти масті «піки», масті «треф» тощо, несумісні одна з одною. Отже, для знаходження ймовірності їх об'єднання скористаємося теоремою додавання:
.

1.6. Формула повної ймовірності та формула Байєса

Якщо подія Аможе статися тільки при виконанні однієї з подій, які утворюють повну групу несумісних подій , то ймовірність події Аобчислюється за формулою

Ця формула називається формулою повної ймовірності .

Знову розглянемо повну групу несумісних подій, ймовірність появи яких. Подія Аможе статися тільки разом з будь-якою з подій, які будемо називати гіпотезами . Тоді за формулою повної ймовірності

Якщо подія Асталося, це може змінити ймовірності гіпотез .

За теоремою множення ймовірностей

.

Аналогічно для інших гіпотез

Отримана формула називається формулою Байєса (формулою Бейєса ). Ймовірності гіпотез називаються апостеріорними ймовірностями , тоді як - апріорними ймовірностями .

приклад.До магазу надійшла нова продукція з 3х предприятий.20%-продукция першого підприємства, 30% - продукція другого підприємства, 50% - продукція третього підприємства; далі, 10% продукції першого підприємства вищого ґатунку, на другому підприємстві - 5% і на третьому - 20% продукції вищого ґатунку. Знайти ймовірність того, що випадково куплена нова продукція виявиться найвищого гатунку.

Рішення.Позначимо через Уподія, що полягає в тому, що буде куплено продукцію вищого ґатунку, через позначимо події, що полягають у купівлі продукції, що належить відповідно до першого, другого та третього підприємств.

Можна застосувати формулу повної ймовірності, причому у наших позначеннях:

Підставляючи ці значення у формулу повної ймовірності, отримаємо ймовірність:

приклад.Один із трьох стрільців викликається на лінію вогню і робить два постріли. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,3, для другого - 0,5; для третього – 0,8. Мета не вражена. Знайти ймовірність того, що постріли зроблено першим стрільцем.

Рішення.Можливі три гіпотези:

А 1 - на лінію вогню викликаний перший стрілець,

А 2 - на лінію вогню викликаний другий стрілець,

А 1 – на лінію вогню викликаний третій стрілець.

Оскільки виклик на лінію вогню будь-якого стрілка рівноможливий, то

Через війну досвіду спостерігалося подія У - після зроблених пострілів мета не вражена. Умовні ймовірності цієї події при зроблених гіпотезах рівні:

за формулою Байєса знаходимо ймовірність гіпотези після досвіду:

приклад.На трьох верстатах-автоматах обробляються однотипні деталі, що надходять після обробки загальний конвеєр. Перший верстат дає 2% шлюбу, другий – 7%, третій – 10%. Продуктивність першого верстата в 3 рази більша за продуктивність другого, а третього – у 2 рази менша, ніж другого.

а) Який відсоток шлюбу на конвеєрі?

б) Які частини деталей кожного верстата серед бракованих деталей на конвеєрі?

Рішення.Візьмемо з конвеєра навмання одну деталь і розглянемо подію А – деталь бракована. Воно пов'язане з гіпотезами щодо того, де була оброблена ця деталь: - узята навмання деталь оброблена на -ом верстаті, .

Умовні ймовірності (за умови завдання вони дано у формі відсотків):

Залежності між продуктивністю верстатів означають таке:

Оскільки гіпотези утворюють повну групу, то .

Розв'язавши отриману систему рівнянь, знайдемо: .

а) Повна ймовірність того, що взята навмання з конвеєра деталь - бракована:

Іншими словами, у масі деталей, що сходять із конвеєра, шлюб становить 4%.

б) Нехай відомо, що взята навмання деталь - бракована. Користуючись формулою Байєса, знайдемо умовні ймовірності гіпотез:

Таким чином, у загальній масібракованих деталей на конвеєрі частка першого верстата становить 33%, другого – 39%, третього – 28%.

1.7. Незалежні випробування. Формула Бернуллі

При вирішенні імовірнісних завдань часто доводиться стикатися з ситуаціями, в яких одне і те ж випробування повторюється багаторазово і результат кожного випробування незалежний від інших. Такий експеримент ще називається схемою повторних незалежних випробувань або схемою Бернуллі .

Приклади повторних випробувань:

1) багаторазове вилучення з урни однієї кулі за умови, що вийнята куля після реєстрації її кольору кладеться назад у урну;

2) повторення одним стрільцем пострілів по одній і тій же мішені за умови, що ймовірність вдалого попадання при кожному пострілі приймається однаковою (роль пристрілки не враховується).

Отже, нехай у результаті випробування можливі два результати : або з'явиться подія А, Або протилежна йому подія. Проведемо n випробувань Бернуллі. Це означає, що всі n випробувань є незалежними; ймовірність появи події Ау кожному окремому або одиничному випробуванні постійна і від випробування до випробування не змінюється (тобто випробування проводяться в однакових умовах). Визначимо ймовірність появи події Ау одиничному випробуванні буквою р, тобто. , а ймовірність протилежної події (подія Ане настало) - буквою .

Тоді ймовірність того, що подія Аз'явиться в цих nвипробуваннях рівно kраз, виражається формулою Бернуллі

Розподіл числа успіхів (появ події) має назву біномного розподілу .

приклад.В урні 20 білих та 10 чорних куль. Вийняли 4 кулі, причому кожну вийняту кулю повертають в урну перед вилученням наступного і кулі в урні перемішують. Знайти ймовірність того, що з чотирьох вийнятих куль виявиться 2 білих.

Рішення.Подія А– дістали білу кулю. Тоді ймовірності
, .
За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює
.

приклад.Визначити ймовірність того, що у сім'ї, що має 5 деталей, буде не більше трьох дівчаток. Імовірності народження хлопчика та дівчинки передбачаються однаковими.

Рішення.Імовірність народження дівчинки
тоді.

Знайдемо ймовірність того, що в сім'ї немає дівчаток, народилася одна, дві чи три дівчинки:

, ,

, .

Отже, шукана ймовірність

.

приклад.Серед деталей, які обробляє робітник, буває в середньому 4% нестандартних. Знайти ймовірність того, що серед взятих на випробування 30 деталей дві будуть нестандартними.

Рішення.Тут досвід полягає у перевірці кожної із 30 деталей на якість. Подія А - «поява нестандартної деталі», його ймовірність, тоді. Звідси за формулою Бернуллі знаходимо
.

приклад.При кожному окремому пострілі із зброї ймовірність ураження мети дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 20 пострілів число вдалих буде не менше ніж 16 і не більше 19.

Рішення.Обчислюємо за формулою Бернуллі:

приклад.Незалежні випробування продовжуються до тих пір, поки подія Ане станеться kразів. Знайти ймовірність того, що потрібно nвипробувань (n k), якщо в кожному з них .

Рішення.Подія У- рівно nвипробувань до k-го появи події А- Є твір двох наступних подій:

D – у n-ом випробуванні Асталося;

С – у перших (n-1)-ом випробуваннях Аз'явилося (к-1)разів.

Теорема множення та формула Бернуллі дають необхідну ймовірність:

Слід зазначити, що використання біномного закону часто пов'язане з обчислювальними труднощами. Тому зі зростанням значень nі mстає доцільним застосування наближених формул (Пуассон, Муавра-Лапласа), які будуть розглянуті в наступних розділах.

1.8. Найімовірніше число успіхів

Біноміальний розподіл (розподіл за схемою Бернуллі) дозволяє, зокрема, встановити, яка кількість події Анайбільш ймовірно. Формула для найбільш ймовірної кількості успіхів (появ події) має вигляд:

Так як , то ці межі відрізняються на 1. Тому , що є цілим числом, може приймати або одне значення коли ціле число () , тобто коли (а звідси і ) неціле число, або два значення, коли ціле число.

приклад.При автоматичному наведенні зброї можливість попадання по меті, що швидко рухається, дорівнює 0,9. Знайти найбільше число влучень при 50 пострілах.

Рішення.Тут. Тому маємо нерівності:

Отже, .

приклад.Дані тривалої перевірки якості стандартних деталей, що випускаються, показали, що в середньому шлюб становить 7,5%. Визначити найбільш ймовірне число справних деталей у партії з 39 штук.

Рішення.Позначаючи можливість випуску справної деталі через , будемо мати і (отримання бракованої деталі та отримання справної деталі – події протилежні). Бо тут n= 39, то шукане число можна знайти з нерівностей:

Звідси найімовірніше число справних деталей дорівнює 36 або 37.

Нерівності для найімовірнішого числа успіхів дозволяють вирішити і зворотне завдання: за даним та відомим значенням рвизначити загальну кількість nвсіх випробувань.

приклад.При якому числі пострілів найімовірніше число влучень дорівнює 16, якщо ймовірність влучення в окремому пострілі становить 0,7? Т А до 0,5, тим точніше дані формули. При невеликих або великих значеннях ймовірності (близьких до 0 або 1) формула дає більшу похибку (порівняно з вихідною формулою Бернуллі). ., знаходимо, ймовірності виводиться по... 45 Сама теоріядосить складна і докладно викладається лише у спеціальних підручниках покорпоративним...

Випадкові події та їх ймовірності

Подія – будь-яке явище, щодо якого має сенс говорити, настало воно чи не настало внаслідок певного комплексу умов чи випадкового експерименту. Звідси випливає, що подію можна розглядати як величину, яка може набувати лише двох значень.

Можна виділити види подій.

Подія називається достовірною, якщо вона обов'язково відбувається при кожному здійсненні певної сукупностіумов. Наприклад, якщо кинута гральна кістка, то випадання не менше одного і не більше шести очок є достовірною подією.

Подія називається неможливим, якщо вона свідомо не станеться за жодного здійснення даної сукупності умов. Наприклад, якщо кинута гральна кістка, то випадання понад шість очок є неможливим подією.

Подія називається випадковою, якщо вона може статися, а може і не відбутися при здійсненні цієї сукупності умов. Наприклад, якщо кинута гральна кістка, випадання будь-якого з шести очок є випадковою подією.

Події називаються несумісними, якщо їхня одночасна поява при здійсненні даної сукупності умов неможлива, тобто поява події Ау цьому випробуванні виключає появу події Уу цьому ж випробуванні. Наприклад, якщо з урни з чорними і білими кулями випадково витягується біла куля, то її поява виключає вилучення чорної кулі в тій же спробі.

Події називаються єдино можливими, якщо поява в результаті випробування одного і лише одного з них є достовірною подією. Наприклад, якщо стрілок зробив постріл, то обов'язково відбувається одна з двох подій – попадання чи промах. Ці події єдино можливі.

Сукупність єдино можливих подій випробування називається повною групою подій.

Події називаються рівноможливими, якщо є підстави вважати, що жодна з цих подій не є більш можливою, ніж інші. Наприклад, поява герба чи решітки при киданні монети є події рівноможливі.

Якщо – якась подія, то подія, яка полягає в тому, що подія не настала, називається подією протилежною події або запереченням події і позначається.

Сумою подій і називається така подія, що позначається, яка відбувається тільки тоді, коли відбувається хоча б одна з подій або обидві разом.

Добутком подій і називається така подія, що позначається, яка відбувається тільки тоді, коли відбуваються обидві події і одночасно. Якщо й несумісні події, то подія неможлива.

Події, що відбуваються під час реалізації певного комплексу умов чи результаті випадкового експерименту, називаються елементарними результатами. Вважається, що з проведенні випадкового експерименту реалізується лише одне із можливих елементарних результатів. Безліч всіх елементарних наслідків випадкового експерименту називається простором елементарних наслідків.

Ті елементарні результати, при яких настає подія, що цікавить нас, називаються результатами, що сприяють цій події.

Імовірність події – це відношення числа сприятливих для цієї події елементарних результатів до загального числа всіх можливих і рівноможливих елементарних результатів експерименту , де - Число елементарних результатів, що сприяють події; - Число всіх можливих елементарних результатів експерименту.

Можна визначити такі властивості ймовірності:

- Імовірність достовірної події дорівнює 1;

- ймовірність неможливої ​​події дорівнює 0;

- Імовірність випадкової події є позитивне число, укладене між 0 і 1: .

Математичне поняттяймовірності випадкової події є абстрактною характеристикою, властивою не самим об'єктам, що нас цікавлять матеріального світу, А їх теоретико-множинним моделям. Потрібна деяка додаткова угода для того, щоб можна було отримувати відомості про ймовірності експериментальних даних. Відповідно до класичного визначення прийнято оцінювати ймовірність події відносною частотою сприятливих результатів досвіду. Якщо проведено Nнезалежних випробувань та nїх спостерігалося подія , то емпірична (вибіркова) оцінка ймовірності , яку можна з цієї серії, дорівнює: . При цьому вважають, що якщо число випробувань .

Основні теореми теорії ймовірностей

1. Теорема складання ймовірностей. Імовірність появи хоча б однієї з двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій за вирахуванням ймовірності їх одночасного настання

Якщо й несумісні події, то подія неможлива. Отже, . Узагальнюючи кілька попарно несумісних подій, можна записати .

Якщо події утворюють повну групу, то сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці: . Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці: .

2. Теорема множення ймовірностей.Припустимо, що із загальної кількості результатів випробування події сприяють елементарних наслідків, події сприяють елементарних наслідків, а одночасного настання подій і сприяють елементарних результатів. Якщо подія настало, то це означає, що здійснився один з сприятливих йому результатів, причому з цих результатів сприяти події будуть і ті результатів, за яких події і настають одночасно. У зв'язку з цим запроваджується поняття умовної ймовірності. Умовною ймовірністю називають ймовірність події , обчислену у припущенні, що подія вже настало. Незалежнимиподіями називаються події, якщо ймовірність одного з них не залежить від наступу чи ненастання іншого. Якщо подія незалежно від події , то . Події називаються незалежними в сукупності, якщо кожна з цих подій незалежно в парі з будь-яким твором інших подій, що містить як решту всіх подій, так і будь-яку їх частину. Незалежність подій разом тягне за собою попарну незалежність цих подій. Для двох випадкових залежних подій ймовірність твору цих подій (тобто одночасної появи в одному випробуванні) дорівнює твору ймовірностейодного з них на умовну ймовірність іншого, розраховану за умови, що перша подія вже сталася: . Якщо подія незалежно від події , то . Імовірність одночасної появи кількох попарно незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей: .

3. Теорема повної ймовірності.Нехай є група подій , Що мають такі властивості: а) всі події попарно несумісні; б) їхнє об'єднання утворює простір елементарних результатів; в) вони утворюють повну групу подій. Такі події називають гіпотезами, оскільки наперед невідомо, яка з цих подій настане. Нехай - деяка подія, яка може статися при настанні однієї і лише однієї з подій . Це означає, що . Ймовірність події , яке може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу, дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події : . Наведена формула називається формулою ймовірності.

4. Формула Байєса.Нехай, як і в попередньому випадку, маємо сукупність події та групи подій , Що мають ті ж властивості. Припустимо, що подія сталося і потрібно визначити, як у цьому сенсі змінилися ймовірності гіпотез, тобто. . Це завдання вирішується за допомогою формули Байєса . Формула Байєса дозволяє переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилася подія , Т. е. Виявити апостеріорні ймовірності. Використовуючи поняття умовної ймовірності, формулу Байєса можна інтерпретувати як ймовірність того, що причиною появи події. є подія .

5. Формула Бернуллі.Нехай проводиться незалежних випробувань, у кожному з яких подія може виникнути, або з'явитися. Вважатимемо, що ймовірність події у кожному випробуванні одна і та ж і дорівнює. Отже, ймовірність ненастання події у кожному випробуванні також постійна і рівна. Імовірність того, що за цих умов при nвипробуваннях подія станеться рівно kраз і, отже, не станеться раз визначається за формулою Бернуллі , де . Формулу Бернуллі називають також формулою біномного розподілуймовірностей, оскільки у правій її частині стоїть член бінома Ньютона.

6. Локальна теорема Лапласа.При великих формулоюБернуллі користуватися скрутно через громіздкість обчислень. Для цього випадку доведено так звану локальну теорему Лапласа, що дає асимптотичну формулу, яка дозволяє наближеній знайти ймовірність появи події раз у випробуваннях, якщо кількість випробувань досить велика , де та . Для функції складено таблиці, відповідні позитивним значеннямаргументу , оскільки . Формула Лапласа дає тим більшу точність, що більше.

Випадкова подія –

Дві події несумісні,

Теорія імовірності

Алгебра випадкових подій, діаграми В'єнна-Ейлера.

Сума подій А та Вназивається така подія, яка відбувається, коли відбувається або А, або В, або обидві події.

Добутком А і Вназивається подія, яка відбувається, якщо у досвіді відбуваються обидваподії.

Подіям Ā, протилежна подіяАназивається подія, яка відбувається щоразу, коли настає подія А.

A\B (доповнення А до)- відбувається А, але не відбувається

Класичне визначення імовірності. Комбінаторика.

- Класичне визначення ймовірності.

m– загальна кількість наслідків

n- Число результатів, що сприяють настанню події А..

Комбінаторика- Розділ математики, що вивчає розташування об'єктів відповідно до спеціальних правил і підраховує кількість способів таких розташувань. Комбінаторика виникла у 18 столітті. Розглядається як розділ теорії множин.

Аксіоматична побудова теорії ймовірностей.

Аксіома 1.«аксіома невід'ємності» P(A)≥0

Аксіома 2.«аксіома нормованості» P(Ω)=1

Аксіома 3.«аксіома адитивності» Якщо події А та В несумісні (АВ=Ø), то P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема про можливість суми подій.

Для будь-яких подій Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (док-во в лекції)

Умовна можливість. Залежні та незалежні події. Теореми про ймовірність добутку подій.

Р(А|В) – ймовірність події А, якщо подія вже відбулася – умовна можливість.

Подія А називають незалежним, від події, якщо ймовірність події А не змінюється залежно від того, відбувається чи ні подія В.

Теорема множення ймовірностей:Р(АВ) = Р(А|В)·Р(В) = Р(В|А)·Р(А)

Теорема множення ймовірностей незалежних подій:Р(АВ) = Р(А)·Р(В)

За визначенням умовної ймовірності,

Формула повної ймовірності.

Є події Н 1 , Н 2, ...., Н n попарно несумісні і утворюють повну групу. Такі події називають гіпотезами. Нехай є деяка подія А. А = АН 1 + АН 2 + ... + АН n (доданки цієї суми попарно несумісні).

Формула Байєса.

Н 1, Н 2, ...., Н n A

Схема Бернуллі. Формула Бернуллі. Найімовірніше число успіхів.

Нехай проводиться кінцеве число n послідовних випробувань, у кожному з яких деяка подія А може або настати «успіх», або не настати «невдача», причому ці випробування задовольняють наступним умовам:

· Кожне випробування випадково щодо події А.т. до проведення випробування не можна сказати, з'явиться А чи ні;

· Випробування проводяться в однакових з імовірнісної точки зору умовах, тобто. ймовірність успіху в кожному окремому випробуванні дорівнює р і не змінюється від випробування до випробування;

· Випробування незалежні, тобто. результат будь-якого їх ніяк не впливає ні результати інших випробувань.

Така послідовність випробувань називається схемою Бернуллі чи біномінальною схемою, а самі випробування – випробуваннями Бернуллі.

Для розрахунку ймовірності Р n (к) те, що у серії з n випробувань Бернуллі виявиться рівно k успішних, застосовується формула Бернуллі: (k = 0,1,2,…n).

10. Поняття випадкової величини. Дискретна випадкова величина, засоби її завдання: ряд розподілу.

Випадковою величиною називається величина, яка в кожному випробуванні (при кожному спостереженні) набуває одного з безлічі своїх можливих значень, заздалегідь не відомо, яке.

Дискретна С.В.- С.В., безліч можливих значень якої звичайно або лічильно.

Ряд розподілу с.в.(Ряд розподілу ймовірності). Графік ряду розподілу задається багатокутником розподілу - ламана, яка з'єднує точки з координатами (x i , pi)

Закон розподілу с.в.: p k = P ((X = x k))

Випадкові події, їхня класифікація. Концепція ймовірності.

Випадкова подія –подія, яка за умов досвіду вона може статися, а може й не відбутися. Причому наперед невідомо, станеться воно чи ні.

Дві події несумісні,якщо поява одного з них виключає появу іншого у тому ж досвіді.

Теорія імовірностівивчає закономірності, властиві масовим випадковим явищам. Основні поняття теорії ймовірностей було закладено у листуванні Паскалем і Ферма. Ці поняття зародилися внаслідок спроб математично описати азартні ігри.

Класичне визначення ймовірності
Імовірністю події А Р(A) називається відношення числа сприятливих цієї події результатів m до загального числа всіх можливих і рівноможливих елементарних результатів n, Р(A)=.

Завдання1

З 20 екзаменаційних квитків 3 містять прості питання. П'ятеро студентів по черзі беруть квитки. Знайти ймовірність того, що хоча б одному з них дістанеться квиток із простими питаннями.

Рішення:

Для початку знайдемо ймовірність того, що жодному зі студентів не дістанеться квиток із простими питаннями.
Ця ймовірність дорівнює

Перший дріб показує ймовірність того, що першому студенту дістався квиток з складними питаннями(їх 17 з 20)
Другий дріб показує ймовірність того, що другому студенту дістався квиток зі складними питаннями (їх залишилося 16 із 19)
Третій дріб показує ймовірність того, що третьому студенту дістався квиток зі складними питаннями (їх залишилося 15 із 18)
І так далі до п'ятого студента. Можливості перемножуються т.к. за умовою потрібне одночасне виконання цих умов.

Щоб отримати ймовірність того, що хоча б одному зі студентів дістанеться квиток із простими питаннями, треба відняти отриману вище ймовірність з одиниці.

Відповідь: 0,6009.

Задача2
З множини всіх послідовностей довжини 10, що складаються з цифр 0; 1; 2; 3, навмання вибирається одна. Яка ймовірність того, що обрана послідовність містить рівно 5 нулів, причому два з них знаходяться на кінцях послідовності. Рішення

Ймовірність події A– «Вибрана послідовність містить рівно 5 нулів, причому два з них знаходяться на кінцях послідовності», згідно класичному визначенню, дорівнює P(A) = , де n- Повне число рівноймовірних результатів; m– кількість наслідків, які сприяють події A.

Число способів заповнити 10 позицій у послідовності цифрами 0; 1; 2; 3 складає, з урахуванням можливості повторення цифр, n = 410 = 220 = 1048576.

Число способів розмістити 5 нулів на 10 позиціях у послідовності за умови, що нулі обов'язково знаходяться на першому і десятому місці в послідовності, дорівнює кількості способів розмістити три нулі на восьми вільних позиціях в послідовності і дорівнює кількості поєднань з 8 елементів по 3: = = 56 .

8 – 3 = 5 позицій у послідовності, що залишилися, будуть заповнені цифрами 1; 2; 3. Число способів здійснити це, з урахуванням можливості повторення, дорівнює 35 = 243.

Т.ч., число наслідків, що сприяють події A, одно m= 35 = 56 243 = 13608.
Шукана ймовірність події Aдорівнює:
P(A) = = 0,013.
Відповідь: P(A) = = 0,013.

Завдання 3.
Є 100 однакових деталей, серед яких 3 браковані. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь без шлюбу.

Рішення.У цьому завдання проводиться випробування – витягується одна деталь. Число всіх результатів випробування дорівнює 100, тому що може бути взята будь-яка деталь зі 100. Ці результати несумісні, рівноможливі, єдино можливі. Таким чином, Подія – з'явилася деталь без шлюбу. Загалом у партії 97 деталей без шлюбу, отже, число наслідків, сприятливих появі події А дорівнює 97 . Отже, Тоді
Завдання 4.
Код банківського сейфа складається із 6 цифр. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний код містить різні цифри? Рішення.Так як на кожному з шести місць у шестизначному шифрі може стояти будь-яка з десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всіх шестизначних номерів за правилом твору буде . Номери, в яких всі цифри різні, - це розміщення з 10 елементів (10 цифр) по 6. Тому кількість сприятливих результатів. Шукана ймовірність дорівнює
Завдання 5.
Між шістьма фірмами (А, Б, В, Р, Д, Е), що займаються продажем комп'ютерної техніки, проводиться жеребкування щодо черговості пред'явлення своєї продукції виставці потенційним споживачам. Яка ймовірність того, що черга буде побудована по порядку, тобто А, Б, В, Р, Д, Е? Рішення.Результат випробування – випадкове розташування фірм у черзі. Число всіх можливих результатів дорівнює числу всіх перестановок із шести елементів (фірм), тобто. Кількість результатів, що сприяють події: m= 1, якщо черга збудована по порядку. Тоді
Завдання 6.
У компанії 10 акціонерів, із них троє мають привілейовані акції. На збори акціонерів з'явилося 6 осіб. Знайти ймовірність того, що серед акціонерів, що з'явилися:
а) усі троє акціонерів з привілейованими акціями відсутні;
б) двоє присутні і один не з'явився. Рішення
а) випробуванням є відбір 6 осіб із 10 акціонерів. Число всіх результатів випробування дорівнює кількості поєднань з 10 по 6, тобто.

Нехай подія – серед шести осіб немає жодного з привілейованими акціями. Вихід, що сприятиме події, - відбір шести осіб серед семи акціонерів, які не мають привілейованих акцій. Число всіх результатів, що сприяють події А, буде
Шукана ймовірність

б) нехай подія - серед шести акціонерів, що з'явилися, двоє з привілейованими акціями, а решта чотирьох – із загальними акціями. Число всіх результатів, Число способів вибору двох осіб з необхідних трьох Число способів вибору чотирьох акціонерів, що залишилися, серед семи із загальними акціями Тоді число всіх способів відбору за правилом твору
Шукана ймовірність дорівнює