Розмноження правильного дробу на неправильний. Правила множення дробів на число

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковій спільнотіпоки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки я розумію, математичний апаратзастосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницяхвимірювання часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу рівний першомуАхіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне рішенняпроблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадоксдолається дуже просто - достатньо уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моментичасу, але з них не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точокпростору в один момент часу, але за ними не можна визначити факт руху (звісно, ​​ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагуТак це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі - це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібна логіка абсурду розумним істотамне зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняттяЄ одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх з реальністю. Цією пуповиною є гроші. математичну теоріюмножин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількістьбруду, кристалічна структурата розташування атомів у кожної монети унікально...

А тепер у мене самий цікаве питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що і як ми робимо для того, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так ось, у різних системахобчислення сума цифр однієї й тієї числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З більшим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницямивимірювання. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної діїне залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурою, не знає фізику. Просто у неї дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

ОБІЙ ВЖЕ ЦІ ГРАБЛІ! 🙂

Множення та розподіл дробів.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно не дуже. »
І для тих, хто дуже навіть. »)

Ця операція набагато приємніша за складання-віднімання! Бо простіше. Нагадую: щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (це буде знаменник). Тобто:

Все дуже просто. І, будь ласка, не шукайте спільного знаменника! Не треба його тут…

Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перевернути другу(це важливо!) дріб і їх перемножити, тобто:

Якщо трапилося множення чи поділ із цілими числами та дробами – нічого страшного. Як і при додаванні, робимо з цілого числа дріб з одиницею в знаменнику - і вперед! Наприклад:

У старших класах часто доводиться мати справу з триповерховими (або навіть чотириповерховими!) дробами. Наприклад:

Як цей дріб привести до пристойного вигляду? Так, дуже просто! Використовувати поділ через дві точки:

Але не забувайте про порядок розподілу! На відміну від множення, це дуже важливо! Звичайно, 4:2, або 2:4, ми не сплутаємо. А ось у триповерховому дробі легко помилитись. Зверніть увагу, наприклад:

У першому випадку (вираз зліва):

У другому (вираз праворуч):

Відчуваєте різницю? 4 та 1/9!

А чим визначається порядок розподілу? Або дужками, або (як тут) довжиною горизонтальних рис. Розвивайте окомір. А якщо немає ні дужок, ні рисок, типу:

то ділимо-множимо по порядку, зліва направо!

І ще дуже простий і важливий прийом. У діях зі ступенями він вам ох як знадобиться! Поділимо одиницю на будь-який дріб, наприклад, на 13/15:

Дріб перекинувся! І так завжди буває. При розподілі 1 на будь-який дріб, в результаті отримуємо той же дріб, тільки перевернутий.

Ось і всі події з дробами. Річ досить проста, але помилок дає більш ніж достатньо. Візьміть до уваги практичні поради, і їх (помилок) буде менше!

1. Найголовніше при роботі з дрібними виразами - акуратність і уважність! Це не загальні слова, Не благі побажання! Це сувора потреба! Усі обчислення на ЄДІ робіть як повноцінне завдання, зосереджено та чітко. Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж накосячіть при розрахунку в умі.

2. У прикладах з різними видамидробів - переходимо до звичайних дробів.

3. Усі дроби скорочуємо до упору.

4. Багатоповерхові дробові виразизводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).

Ось вам завдання, які потрібно обов'язково вирішувати. Відповіді наведено після всіх завдань. Використовуйте матеріали цієї теми та практичні поради. Накиньте, скільки прикладів ви змогли вирішити правильно. З першого разу! Без калькулятора! І зробіть правильні висновки.

Пам'ятайте - правильна відповідь, отриманий з другого (тим більше – третього) разу – не рахується!Таке суворе життя.

Отже, вирішуємо в режимі іспиту ! Це вже підготовка до ЄДІ, між іншим. Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все — перевірили знову з першого до останнього. І тільки потімдивимося відповіді.

Шукаємо відповіді, які збігаються із вашими. Я спеціально їх безладно записав, подалі від спокуси, так би мовити. Ось вони, відповіді, через крапку з комою записані.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – радий за вас! Елементарні обчисленняз дробами - не ваша проблема! Можна зайнятися серйознішими речами. Якщо ні.

Значить у вас одна з двох проблем. Або обидві відразу.) Нестача знань та (або) неуважність. Але. Це розв'язувані проблеми.

У Особливому розділі 555 «Дроби» розібрано всі ці (і не лише!) приклади. З докладними поясненнями, що, навіщо і як. Такий розбір чудово допомагає при нестачі знань та навичок!

Та й з другої проблеми там є дещо.) Цілком практична порада, як стати уважніше. Так Так! Порада, яка може застосувати кожен.

Крім знань та уважності для успіху потрібен певний автоматизм. Де його взяти? Чую важке зітхання ... Так, тільки в практиці, більше ніде.

Можете для тренування зайти на веб-сайт 321start.ru. Там у опції «Спробувати» є 10 прикладів для всіх бажаючих. З миттєвою перевіркою. Для зареєстрованих користувачів – 34 приклади від простих до суворих. Це лише з дробів.

Якщо вам подобається цей сайт.

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Ось тут можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

А ось тут можна познайомитися з функціями та похідними.

Правило 1.

Щоб помножити дріб на натуральне число, треба її чисельник помножити цього числа, а знаменник залишити без зміни.

Правило 2

Щоб помножити дріб на дріб, треба:

1. знайти добуток чисельників та добуток знаменників цих дробів

2. перший твір записати чисельнику, а другий - знаменником.

Правило 3

Для того, щоб виконати множення змішаних чисел, треба записати їх у вигляді неправильних дробів, а потім скористатися правилом множення дробів.

Правило 4

Щоб розділити один дріб в інший, треба ділене помножити число, зворотне дільнику.

приклад 1.

Обчисліть

приклад 2.

Обчисліть

приклад 3.

Обчисліть

приклад 4.

Обчисліть

Математика. Інші матеріали

Зведення числа до раціонального ступеня. (

Зведення числа до натурального ступеня. (

Узагальнений метод інтервалів під час вирішення алгебраїчних нерівностей (Автор Колчанов А.В.)

Метод заміни множників під час вирішення алгебраїчних нерівностей (Автор Колчанов А.В.)

Ознаки ділимості (Лунгу Альона)

Перевір себе на тему 'Умноження і розподіл звичайних дробів'

Розмноження дробів

Розмноження звичайних дробів розглянемо у кількох можливих варіантах.

Розмноження звичайного дробу на дріб

Це найпростіший випадок, у якому потрібно скористатися наступними правилами множення дробів.

Щоб помножити дріб на дріб, Треба:

Перш ніж перемножувати чисельники та знаменники перевірте, чи не можна скоротити дроби. Скорочення дробів при розрахунках значно полегшить ваші обчислення.

Розмноження дробу на натуральне число

Щоб дріб помножити на натуральне числотреба чисельник дробу помножити цього числа, а знаменник дробу залишити без зміни.

Якщо в результаті множення вийшов неправильний дріб, не забудьте перетворити його на змішане число, тобто виділити цілу частину.

Розмноження змішаних чисел

Щоб перемножити змішані числа, Треба спочатку перетворити їх на неправильні дроби і після цього помножити за правилом множення звичайних дробів.

Інший спосіб множення дробу на натуральне число

Іноді при розрахунках зручніше скористатися іншим способом множення звичайного дробуна число.

Щоб помножити дріб на натуральне число, потрібно знаменник дробу розділити на це число, а чисельник залишити тим самим.

Як бачимо з прикладу, цим варіантом правила зручніше користуватися, якщо знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.

Розподіл дробу на число

Як розділити дріб на число найшвидше? Розберемо теорію, зробимо висновок і на прикладах подивимося, як поділ дробу на число можна виконувати за новим коротким правилом.

Зазвичай розподіл дробу на число виконують за правилом розподілу дробів. Перше число (дріб) множимо на число, зворотне другому. Оскільки друге число ціле, зворотне до нього число - дріб, чисельник якого дорівнює одиниці, А знаменник - даному числу. Схематично розподіл дробу на натуральне число виглядає так:

Звідси робимо висновок:

щоб розділити дріб на число, треба знаменник помножити на це число, а чисельник залишити тим самим. Правило можна сформулювати ще коротше:

при розподілі дробу на число йде в знаменник.

Виконати розподіл дробу на число:

Щоб розділити дріб на число, чисельник перепишемо без змін, а знаменник помножимо на це число. Скорочуємо 6 та 3 на 3.

При розподілі дробу на число чисельник переписуємо, а знаменник множимо цього числа. Скорочуємо 16 та 24 на 8.

При розподілі дробу на число йде в знаменник, тому чисельник залишаємо таким же, а знаменник множимо на дільник. Скорочуємо 21 та 35 на 7.

Множення та поділ дробів

У Минулого разуми навчилися складати і віднімати дроби (див. урок «Складання та віднімання дробів»). Найбільш складним моментом у тих діях було приведення дробів до спільному знаменнику.

Тепер настав час розібратися з множенням та поділом. Хороша новинаполягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання та віднімання. Для початку розглянемо найпростіший випадок, коли є дві позитивні дробибез виділеної цілої частини.

Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники та знаменники. Перше число буде чисельником нового дробу, а друге – знаменником.

Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернутий» другий.

З визначення випливає, що розподіл дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, досить поміняти місцями чисельник та знаменник. Тому весь урок ми розглядатимемо переважно множення.

В результаті множення може виникнути (і найчастіше дійсно виникає) скоротитий дріб - його, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявився неправильним, у ньому слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: жодних методів «хрест-навхрест», найбільших множників та найменших спільних кратних.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

За визначенням маємо:

Розмноження дробів з цілою частиною та негативних дробів

Якщо в дробах є ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеними вище.

Якщо в чисельнику дробу, у знаменнику або перед ним стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:

1. Плюс мінус дає мінус;
2. Мінус на мінус дає плюс.

Досі ці правила зустрічалися тільки при складанні та відніманні негативних дробівколи потрібно було позбутися цілої частини. Для твору їх можна узагальнити, щоб спалювати відразу кілька мінусів:

3. Викреслюємо мінуси парами доти, доки вони повністю не зникнуть. У крайньому випадкуодин мінус може вижити - той, якому не знайшлося пари;
4. Якщо мінусів не залишилося, операція виконана – можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закреслено, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативний дріб.

Усі дроби переводимо в неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо за звичайними правилами. Отримуємо:

Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом із виділеним цілою частиною, відноситься саме до всього дробу, а не тільки до її цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).

Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають у дужки. Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити весь запис більш обережним.

Скорочення дробів «на льоту»

Множення - дуже трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання, можна спробувати скоротити ще до множення. Адже по суті чисельники і знаменники дробів - це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:

У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.

Зверніть увагу: у першому випадку множники скоротилися повністю. На їхньому місці залишилися одиниці, які, власне кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення досягти не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.

Однак у жодному разі не використовуйте цей прийом при складанні та відніманні дробів! Так, іноді там трапляються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:

Так робити не можна!

Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельнику дробу з'являється сума, а не добуток чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості мова йдесаме про множення чисел.

Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне рішенняпопереднього завдання виглядає так:

Як бачите, правильна відповідь виявилася не такою гарною. Загалом будьте уважні.

Розподіл дробів.

Розподіл дробу на натуральне число.

Приклади поділу дробу на натуральне число

Розподіл натурального числа на дріб.

Приклади поділу натурального числа на дріб

Розподіл звичайних дробів.

Приклади поділу звичайних дробів

Розподіл змішаних чисел.

Щоб поділити одне змішане число на інше, треба:
• перетворити змішані дроби на неправильні;
• помножити перший дріб на дріб, зворотний другий;
• скоротити отриманий дріб;
• якщо вийшов неправильний дріб перетворити неправильний дрібу змішану.

Приклади поділу змішаних чисел

1 1 2: 2 2 3 = 1 · 2 + 1 2: 2 · 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 · 3 8 = 3 · 3 2 · 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 · 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 · 5 3 = 15 · 5 7 · 3 = 5 · 5 7 = 25 7 = 7 · 3 + 4 7 = 3 4 7

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені до чорного списку!

Ласкаво просимо в OnlineMSchool.
Мене звуть Довжик Михайло Вікторович. Я власник та автор цього сайту, мною написаний весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправита калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Дроби. Множення та розподіл дробів.

Розмноження звичайного дробу на дріб.

Щоб перемножити звичайні дроби, необхідно помножити чисельник на чисельник (отримаємо чисельник твору) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).

Формула множення дробів:





Перед тим, як приступити до множення чисельників та знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу. Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше далі робити розрахунки.

Зверніть увагу! Тут не потрібно шукати спільний знаменник!

Розподіл звичайного дробу на дріб.

Розподіл звичайного дробу на дріб відбувається так: перевертаєте другий дріб (тобто змінюєте чисельник і знаменник місцями) і після цього дроби перемножуються.

Формула поділу звичайних дробів:





Розмноження дробу на натуральне число.

Зверніть увагу!При множенні дробу на натуральне число чисельник дробу множиться на наше натуральне число, а знаменник дробу залишаємо тим самим. Якщо результатом твору виявився неправильний дріб, то обов'язково виділіть цілу частину, перетворивши неправильний дріб на змішаний.



Розподіл дробів за участю натурального числа.

Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:



Розмноження змішаних дробів.

Правила множення дробів (змішаних):

• перетворюємо змішані дроби на неправильні;
• перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
• скорочуємо дріб;
• якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.

Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дріб на інший змішаний дріб, потрібно, спершу, привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.



Другий спосіб множення дробу на натуральне число.

Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.

Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне число необхідно знаменник дробу розділити це число, а чисельник залишити без зміни.



З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.

Багатоповерхові дроби.

У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:

Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:



Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.

Зверніть увагу, наприклад:

При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:

Практичні поради при множенні та розподілі дробів:

1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Усі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядківу чернетці, чим заплутатися у розрахунках в умі.

2. У завданнях із різними видами дробів — переходьте до виду звичайних дробів.

3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.

4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.

• Недо- і не до- Перероблена пісня "Весняне танго" (Приходить час - птахи з півдня прилітають) - муз. Валерій Міляєв Недочув, недозрозумів, недогнав, у сенсі тому, що я не здогадався, всі дієслова не роздільно написав, про приставку недоя не знав. Буває так, […]
• Сторінка не знайдена У третьому остаточному читанні було прийнято пакет документів Уряду, які передбачають створення спеціальних адміністративних районів(САР). Внаслідок виходу з Євросоюзу, Великобританія не буде включена до Європейську зонуПДВ та […]
• Об'єднаний слідчий комітетз'явиться вже восени Об'єднаний слідчий комітет з'явиться вже восени Слідство всіх силових структурзберуть під одним дахом із четвертої спроби Вже восени 2014-го, за даними «Известий», президент Володимир Путін […]
• Патент на алгоритм Як патент на алгоритм виглядає Як патент на алгоритм готується Підготовка технічних описівспособів зберігання, обробки, передачі, сигналів та/або даних саме для цілей патентування особливих складнощів зазвичай не представляє, і […]
• ЩО ВАЖЛИВО ЗНАТИ ПРО НОВИЙ ЗАКОНОПРОЕКТ ПРО ПЕНСІЇ 12 грудня 1993 року КОНСТИТУЦІЯ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ (з урахуванням поправок, внесених Законами Російської Федераціїпро поправки до Конституції Російської Федерації від 30.12.2008 N 6-ФКЗ, від 30.12.2008 N 7-ФКЗ, від […]
• Частинки про пенсію жінці прикольні для ювіляра чоловіки для ювіляра чоловіки - хором для ювіляра жінки - посвята у пенсіонери жінки жартівливе Будуть цікаві конкурси для пенсіонерів Ведучий: Дорогі друзі! Хвилинку уваги! Сенсація! Тільки […]

Розмноження звичайних дробів розглянемо у кількох можливих варіантах.

Розмноження звичайного дробу на дріб

Це найпростіший випадок, у якому потрібно скористатися наступними правилами множення дробів.

Щоб помножити дріб на дріб, Треба:

• чисельник першого дробу помножити на чисельник другого дробу та його добуток записати до чисельника нового дробу;
• знаменник першого дробу помножити на знаменник другого дробу та його добуток записати у знаменник нового дробу;

Перш ніж перемножувати чисельники та знаменники перевірте, чи не можна скоротити дроби. Скорочення дробів при розрахунках значно полегшить ваші обчислення.



Розмноження дробу на натуральне число

Щоб дріб помножити на натуральне числотреба чисельник дробу помножити цього числа, а знаменник дробу залишити без зміни.

Якщо в результаті множення вийшов неправильний дріб, не забудьте перетворити його на змішане число, тобто виділити цілу частину.



Розмноження змішаних чисел

Щоб перемножити змішані числа, треба спочатку перетворити їх на неправильні дроби і після цього помножити за правилом множення звичайних дробів.



Інший спосіб множення дробу на натуральне число

Іноді при розрахунках зручніше скористатися іншим способом множення звичайного дробу на число.

Щоб помножити дріб на натуральне число, потрібно знаменник дробу розділити на це число, а чисельник залишити тим самим.



Як бачимо з прикладу, цим варіантом правила зручніше користуватися, якщо знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.

Дії з дробами

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Додавання дробів буває двох видів:

• Складання дробів з однаковими знаменниками
• Складання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо додавання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни. Наприклад, складемо дроби та . Складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:



Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:

приклад 2.Скласти дроби та .

Знову ж складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:



У відповіді вийшов неправильний дріб. Якщо настає кінець завдання, то неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбутися не правильного дробупотрібно виділити в ній цілу частину. У нашому випадку ціла частина виділяється легко - два розділити на два одно одиниці:



Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:

Приклад 3. Скласти дроби та .



Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:

приклад 4.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.

Як бачите у додаванні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:

1. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим;
2. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити в ньому цілу частину.

Додавання дробів з різними знаменниками

Тепер навчимося складати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів мають бути однаковими. Але однаковими вони не завжди.

Наприклад, дроби і скласти можна, оскільки вони мають однакові знаменники.

А ось дроби і одразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо лише один із них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.

Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається найменша загальна кратна (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другим дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник.

Потім чисельники та знаменники дробів множаться на свої додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо.

Приклад 1. Складемо дроби та

Ці дроби мають різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Насамперед знаходимо найменше загальне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу - число 2. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 6

НОК (2 та 3) = 6

Тепер повертаємось до дробів та . Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу та отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.

Отримане число 2 це перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу та отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.

Отримане число 3 це другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж таки робимо невелику косу лінію над другим дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Тепер у нас все готове до складання. Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники:



Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:



Отже, приклад завершується. Додати виходить.

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца та ще одна шоста піци:

Приведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити малюнком. Привівши дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби і . Ці два дроби зображатимуться тими ж шматками піци. Відмінність буде лише в тому, що цього разу вони будуть поділені на однакові частки (наведені до однакового знаменника).



Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки із шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки із шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків із шести). Цей дріб неправильний, тому ми виділили в ньому цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу та ще одну шосту піци).

Зазначимо, що ми з вами розписали даний прикладнадто докладно. У навчальних закладахне прийнято писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників та додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на чисельники та знаменники. Знаходячись у школі, цей приклад нам довелося б записати так:



Але є і Зворотній бікмедалі. Якщо перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають виникати питання роду «А звідки от та цифра?», «Чому дроби раптом перетворюються зовсім на інші дроби? «.

Щоб легше було складати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:

3. Знайти НОК знаменників дробів;
4. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу;
5. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники;
6. Скласти дроби у яких однакові знаменники;
7. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити її цілу частину;

приклад 2.Знайти значення виразу .

Скористайтеся схемою, яку ми навели вище.

Крок 1. Знайти НОК для знаменників дробів

Знаходимо НОК для знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 та 4. Потрібно знайти НОК для цих чисел:

Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу

Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 12, а знаменник третього дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третім дробом:

Крок 3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники

Помножуємо чисельники та знаменники на свої додаткові множники:

Крок 4. Скласти дроби, у яких однакові знаменники

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. Складаємо:



Додавання не помістилося на одному рядку, тому ми перенесли вираз, що залишився, на наступний рядок. Це допускається у математиці. Коли вираз не міститься на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (=) на кінці першого рядка та на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження виразу, який був на першому рядку.

Крок 5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити її цілу частину

У нас у відповіді вийшов неправильний дріб. Ми маємо виділити в неї цілу частину. Виділяємо:



Отримали відповідь

Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Віднімання дробів буває двох видів:

8. Віднімання дробів з однаковими знаменниками
9. Віднімання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від числа першого числа вирахувати чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.

Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб вирішити цей приклад, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім. Так і зробимо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 2.Знайти значення виразу.

Знову ж таки з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо тим самим:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 3.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. З чисельника першого дробу треба відняти чисельники інших дробів:

У відповіді вийшов неправильний дріб. Якщо приклад завершено, то неправильного дробу прийнято позбавлятися. Давайте і ми позбудемося неправильного дробу у відповіді. Для цього виділимо її цілу частину:

Як бачите у відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:

Віднімання дробів з різними знаменниками

Наприклад, від дробу можна відняти дріб, оскільки у цих дробів однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дріб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Загальний знаменник знаходять за тим самим принципом, яким ми користувалися при складанні дробів із різними знаменниками. Насамперед знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник, який записується над першим дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник, який записується над другим дробом.

Потім дроби множаться на додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо.

приклад 1.Знайти значення виразу:

Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу - число 4. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 12

НОК (3 та 4) = 12

Тепер повертаємось до дробів і

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першим дробом:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другим дробом:

Тепер у нас все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отримали відповідь

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци

Це докладна версія рішення. Перебуваючи в школі, нам довелося б вирішити цей приклад коротше. Виглядало б таке рішення в такий спосіб:

Приведення дробів і до спільного знаменника може бути зображено за допомогою малюнка. Привівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби та . Ці дроби будуть зображуватись тими ж шматочками піци, але цього разу вони будуть розділені на однакові частки (приведені до однакового знаменника):

Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків із дванадцяти), а другий малюнок - дріб (три шматочки із дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочки ми отримуємо п'ять шматочків із дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.

приклад 2.Знайти значення виразу

Ці дроби мають різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Знайдемо НОК знаменників цих дробів.

Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник кожного дробу.

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для третього дробу. Розділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 30, а знаменник третього дробу - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третім дробом:

Тепер все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішуємо цей приклад.

Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (=) на новому рядку:

У відповіді вийшов правильний дріб, і начебто нас все влаштовує, але він занадто громіздкий і некрасивий. Треба зробити її простіше і естетичніше. А що можна зробити? Можна скоротити цей дріб. Нагадаємо, що скороченням дробу називається розподіл чисельника та знаменника на найбільший спільний дільникчисельника та знаменника.

Щоб грамотно скоротити дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на найбільший спільний дільник (НОД) чисел 20 і 30.

Не можна плутати НОД із НОК. Найпоширеніша помилка багатьох новачків. НОД – це найбільший спільний дільник. Його ми знаходимо для скорочення дробу.

А НОК – це найменше загальне кратне. Його ми знаходимо для того, щоб привести дроби до однакового (загального) знаменника.

Зараз ми знаходитимемо найбільший спільний дільник (НДД) чисел 20 та 30.

Отже, знаходимо НОД для чисел 20 та 30:

НОД (20 і 30) = 10

Тепер повертаємось до нашого прикладу і ділимо чисельник і знаменник дробу на 10:

Отримали гарну відповідь

Розмноження дробу на число

Щоб помножити дріб на число, потрібно чисельник цього дробу помножити на це число, а знаменник залишити тим самим.

Приклад 1. Помножити дріб на число 1 .

Помножимо чисельник дробу на число 1

Запис можна розуміти як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци

З законів множення знаємо, що й множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір як і раніше буде рівним. Знову ж таки спрацьовує правило перемноження цілого числа і дробу:

Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є одна ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножимо чисельник дробу на 4

Вираз можна розуміти як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци

А якщо поміняти множимо і множник місцями, то отримаємо вираз . Воно теж дорівнюватиме 2. Цей вираз можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:

Розмноження дробів

Щоб перемножити дроби, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильний дріб, потрібно виділити в ньому цілу частину.

приклад 1.Знайти значення виразу.

Отримали відповідь. Бажано скоротити цей дріб. Дроб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішеннянабуде наступного вигляду:

Вираз можна розуміти як взяття піци від половини піци. Допустимо у нас є половина піци:

Як узяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:

І взяти від цих трьох шматочків два:

У нас вийде піци. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:

Один шматок від цієї піци та взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:

Іншими словами, йдеться про один і той же розмір піци. Тому значення виразу дорівнює

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

приклад 3.Знайти значення виразу

У відповіді вийшов правильний дріб, але буде добре, якщо його скоротити. Щоб скоротити цей дріб, його потрібно розділити на НОД чисельника та знаменника. Отже, знайдемо НОД чисел 105 і 450:

НОД для (105 і 150) дорівнює 15

Тепер ділимо чисельник і знаменник нашої відповіді на НОД:

Подання цілого числа у вигляді дробу

Будь-яке ціле число можна подати у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна як . Від цього п'ятірка свого значення не змінить, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо, одно п'ятірці:

Зворотні числа

Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темоюу математиці. Вона називається «зворотні числа».

Визначення. Зворотнім до a називається число, яке при множенні на a дає одиницю.

Давайте підставимо на це визначення замість змінної aчисло 5 і спробуємо прочитати визначення:

Зворотнім до 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.

Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5 дає одиницю? Виявляється, можна. Представимо п'ятірку у вигляді дробу:

Потім помножити цей дріб на саму себе, тільки поміняти місцями чисельник та знаменник. Іншими словами, помножити дріб на саму себе, тільки перевернутий:

Що вийде внаслідок цього? Якщо ми продовжимо вирішувати цей приклад, то отримаємо одиницю:

Значить зворотним до 5, є число , оскільки при множенні 5 виходить одиниця.

Зворотне число можна знайти також будь-якого іншого цілого числа.

• зворотним числа 3 є дріб
• зворотним числа 4 є дріб

Знайти зворотне число можна також для будь-якого іншого дробу. Для цього достатньо перевернути її.

§ 87. Додавання дробів.

Додавання дробів має багато подібності зі складанням цілих чисел. Додавання дробів є дія, що полягає в тому, що декілька даних чисел (доданків) з'єднуються в одне число (суму), що містить у собі всі одиниці та частки одиниць доданків.

Ми послідовно розглянемо три випадки:

1. Додавання дробів з однаковими знаменниками.
2. Додавання дробів з різними знаменниками.
3. Додавання змішаних чисел.

1. Додавання дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо приклад: 1/5 + 2/5.

Візьмемо відрізок АВ (рис. 17), приймемо його за одиницю та розділимо на 5 рівних частин, Тоді частина АС цього відрізка дорівнюватиме 1 / 5 відрізка АВ, а частина того ж відрізка CD дорівнюватиме 2 / 5 АВ.

З креслення видно, що й узяти відрізок AD, він дорівнюватиме 3 / 5 АВ; Проте відрізок AD таки є сума відрізків АС і CD. Отже, можна записати:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Розглядаючи дані доданку та отриману суму, бачимо, що чисельник суми вийшов від складання чисельників доданків, а знаменник залишився без зміни.

Звідси отримуємо наступне правило: щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники та залишити той самий знаменник.

Розглянемо приклад:

2. Додавання дробів з різними знаменниками.

Складемо дроби: 3/4 + 3/8 Попередньо їх потрібно привести до найменшого спільного знаменника:

Проміжне ланка 6/8 + 3/8 можна було б і не писати; ми написали його тут для більшої ясності.

Таким чином, щоб скласти дроби з різними знаменниками, потрібно заздалегідь привести їх до найменшого спільного знаменника, скласти їх чисельники та підписати спільний знаменник.

Розглянемо приклад (додаткові множники писатимемо над відповідними дробами):

3. Додавання змішаних чисел.

Складемо числа: 2 3/8 + 3 5/6 .

Наведемо спочатку дрібні частини наших чисел до спільного знаменника і знову їх перепишемо:

Тепер складемо послідовно цілі та дробові частини:

§ 88. Віднімання дробів.

Віднімання дробів визначається так само, як і віднімання цілих чисел. Це є дію, з допомогою якого з цієї сумі двох доданків і одному їх перебуває інше доданок. Розглянемо послідовно три випадки:

1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками.
2. Віднімання дробів із різними знаменниками.
3. Віднімання змішаних чисел.

1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо приклад:

13 / 15 - 4 / 15

Візьмемо відрізок АВ (рис. 18), приймемо його за одиницю та розділимо на 15 рівних частин; тоді частина АС цього відрізка буде 1/15 від АВ, а частина AD того ж відрізка буде відповідати 13/15 AB. Відкладемо ще відрізок ED, що дорівнює 4/15 АВ.

Нам потрібно відняти з 13/15 дріб 4/15. На кресленні це означає, що від відрізка AD потрібно відібрати відрізок ED. В результаті залишиться відрізок AЕ, який становить 9/15 відрізка АВ. Отже, ми можемо написати:

Зроблений нами приклад показує, що чисельник різниці вийшов від віднімання чисельників, а знаменник залишився той самий.

Отже, щоб зробити віднімання дробів з однаковими знаменниками, потрібно відняти чисельник віднімається з чисельника зменшуваного і залишити колишній знаменник.

2. Віднімання дробів із різними знаменниками.

приклад. 3/4 - 5/8

Попередньо приведемо ці дроби до найменшого спільного знаменника:

Проміжна ланка 6/8 - 5/8 написана тут для більшої ясності, але її можна надалі пропускати.

Таким чином, щоб відняти дріб з дробу, потрібно попередньо привести їх до найменшого спільного знаменника, потім від чисельника зменшуваного відняти чисельник віднімається і під їх різницею підписати спільний знаменник.

Розглянемо приклад:

3. Віднімання змішаних чисел.

приклад. 10 3/4-7 2/3.

Наведемо дробові частини зменшуваного і віднімається до найменшого спільного знаменника:

Ми відняли ціле з цілого та дріб із дробу. Але бувають випадки, коли дробова частинавіднімається більше дробової частини зменшуваного. У разі потрібно взяти одну одиницю з цілої частини зменшуваного, роздробити їх у ті частки, у яких виражена дробова частина, і додати до дробової частини зменшуваного. А потім віднімання виконуватиметься так само, як і в попередньому прикладі:

§ 89. Множення дробів.

При вивченні множення дробів ми розглядатимемо такі питання:

1. Розмноження дробу на ціле число.
2. Знаходження дробу цього числа.
3. Множення цілого числа на дріб.
4. Розмноження дробу на дріб.
5. Збільшення змішаних чисел.
6. Поняття про відсоток.
7. Знаходження відсотків цього числа. Розглянемо їх послідовно.

1. Розмноження дробу на ціле число.

Множення дробу на ціле число має той самий сенс, що й множення цілого числа на ціле. Помножити дріб (множинне) на ціле число (множник) - означає скласти суму однакових доданків, в якій кожен доданок дорівнює множині, а число доданків дорівнює множнику.

Значить, якщо потрібно 1/9 помножити на 7, то це можна виконати так:

Ми легко отримали результат, оскільки дія звелася до додавання дробів з однаковими знаменниками. Отже,

Розгляд цієї дії показує, що множення дробу на ціле число рівносильне збільшенню цього дробу в стільки разів, скільки одиниць міститься в цілому. Оскільки збільшення дробу досягається або шляхом збільшення її чисельника

або шляхом зменшення її знаменника ,то ми можемо або помножити чисельник ціле, або розділити нею знаменник, якщо таке розподіл можливо.

Звідси отримуємо правило:

Щоб помножити дріб на ціле число, потрібно помножити на це ціле число чисельник і залишити той самий знаменник або, якщо можливо, розділити на це число знаменник, залишивши без змін чисельник.

При множенні можливі скорочення, наприклад:

2. Знаходження дробу цього числа.Існує безліч завдань, при вирішенні яких доводиться знаходити або обчислювати частину даного числа. Відмінність цих завдань від інших полягає в тому, що в них дається кількість яких-небудь предметів або одиниць виміру і потрібно знайти частину цього числа, яка тут же вказується певним дробом. Для полегшення розуміння ми спочатку наведемо приклади таких завдань, а потім познайомимо із способом їх вирішення.

Завдання 1.У мене було 60 руб.; 1/3 цих грошей я витратив на купівлю книг. Скільки коштували книжки?

Завдання 2.Поїзд має пройти відстань між містами А та В, що дорівнює 300 км. Він уже пройшов 2/3 цієї відстані. Скільки це кілометрів?

Завдання 3.У селі 400 будинків, з них 3/4 цегляних, решта дерев'яних. Скільки всього цегляних будинків?

Ось деякі з тих численних завдань на знаходження частини від цієї кількості, з якими нам доводиться зустрічатися. Їх зазвичай називають завданнями знаходження дробу даного числа.

Розв'язання задачі 1.З 60 руб. я витратив на книги 1/3; Отже, для знаходження вартості книг потрібно число 60 розділити на 3:

Розв'язання задачі 2.Сенс завдання полягає в тому, що потрібно знайти 2/3 від 300 км. Обчислимо спочатку 1/3 від 300; це досягається за допомогою розподілу 300 км на 3:

300: 3 = 100 (це 1/3 від 300).

Для знаходження двох третин від 300 потрібно отримане приватне збільшити вдвічі, тобто помножити на 2:

100 х 2 = 200 (це 2/3 від 300).

Розв'язання задачі 3.Тут потрібно визначити кількість цегляних будинків, які становлять 3/4 від 400. Знайдемо спочатку 1/4 від 400,

400: 4 = 100 (це 1/4 від 400).

Для обчислення трьох чвертей від 400 отримане приватне потрібно збільшити втричі, тобто помножити на 3:

100 х 3 = 300 (це 3/4 від 400).

З вирішення цих завдань ми можемо вивести таке правило:

Щоб знайти величину дробу від даного числа, потрібно розділити це число на знаменник дробу та отримане приватне помножити на його чисельник.

3. Множення цілого числа на дріб.

Раніше (§ 26) було встановлено, що множення цілих чисел потрібно розуміти як додавання однакових доданків (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). У цьому параграфі (пункт 1) було встановлено, що помножити дріб на ціле число - це означає знайти суму однакових доданків, що дорівнює цьому дробу.

В обох випадках множення полягало у знаходженні суми однакових доданків.

Тепер ми переходимо до множення цілого числа на дріб. Тут ми зустрінемося з таким, наприклад, множенням: 9 2/3 . Цілком очевидно, що колишнє визначення множення не підходить до цієї нагоди. Це видно з того, що ми не можемо таке множення замінити додаванням рівних між собою чисел.

Через це нам доведеться дати нове визначення множення, тобто, іншими словами, відповісти на питання, що слід розуміти під множенням на дріб, як треба розуміти цю дію.

Сенс множення цілого числа на дріб з'ясовується з наступного визначення: помножити ціле число (множинне) на дріб (множник) - значить знайти цей дріб множимого.

Саме, помножити 9 на 2/3 – значить знайти 2/3 від дев'яти одиниць. У попередньому пункті вирішувалися такі завдання; тому легко збагнути, що в нас в результаті вийде 6.

Але тепер виникає цікавий і важливе питання: чому такі на перший погляд різні дії, як знаходження суми рівних чиселі знаходження дробу числа в арифметиці називаються одним і тим же словом «множення»?

Відбувається це тому, що колишня дія (повторення числа доданків кілька разів) та нова дія (знаходження дробу числа) дають відповідь на однорідні питання. Отже, ми виходимо з тих міркувань, що однорідні питання чи завдання вирішуються однією й тією ж дією.

Щоб це зрозуміти, розглянемо таке завдання: «1 м сукна коштує 50 руб. Скільки буде коштувати 4 м такого сукна?

Це завдання вирішується множенням числа рублів (50) на число метрів (4), тобто 50 х 4 = 200 (руб.).

Візьмемо таке саме завдання, але в ній кількість сукна буде виражена дробовим числом: «1 м сукна коштує 50 руб. Скільки буде коштувати 3/4 м такого сукна?

Це завдання теж потрібно вирішувати множенням числа рублів (50) на число метрів (3/4).

Можна ще кілька разів, не змінюючи сенсу завдання, змінити у ній числа, наприклад взяти 9 / 10 м або 2 3 / 10 м тощо.

Так як ці завдання мають один і той же зміст і відрізняються тільки числами, то ми називаємо дії, які застосовуються при їх вирішенні, одним і тим самим словом - множення.

Як виконується множення цілого числа на дріб?

Візьмемо числа, що зустрілися в останній задачі:

Відповідно до визначення ми повинні знайти 3/4 від 50. Знайдемо спочатку 1/4 від 50, а потім 3/4.

1/4 числа 50 становить 50/4;

3/4 числа 50 становлять.

Отже.

Розглянемо ще один приклад: 12 5/8 = ?

1/8 числа 12 складає 12/8,

5/8 числа 12 становлять.

Отже,

Звідси отримуємо правило:

Щоб помножити ціле число на дріб, треба помножити ціле число на чисельник дробу і цей твір зробити чисельником, а знаменником підписати знаменник даного дробу.

Запишемо це правило за допомогою букв:

Щоб це правило стало зрозумілим, слід пам'ятати, що дріб можна розглядати як приватне. Тому знайдене правило корисно порівняти з правилом множення числа на приватне, викладене в § 38

Необхідно пам'ятати, що перш ніж виконувати множення, слід робити (якщо можливо) скорочення, наприклад:

4. Розмноження дробу на дріб.Множення дробу на дріб має той самий сенс, що і множення цілого числа на дріб, тобто при множенні дробу на дріб потрібно від першого дробу (множини) знайти дріб, що стоїть у множнику.

Саме, помножити 3/4 на 1/2 (половину) – це означає знайти половину від 3/4.

Як виконується множення дробу на дріб?

Візьмемо приклад: 3/4 помножити на 5/7. Це означає, що потрібно знайти 5/7 від 3/4. Знайдемо спочатку 1/7 від 3/4, а потім 5/7

1/7 числа 3/4 висловиться так:

5/7 числа 3/4 виразиться так:

Таким чином,

Ще приклад: 5/8 помножити на 4/9.

1/9 числа 5/8 складає,

4/9 числа 5/8 становлять.

Таким чином,

З розгляду цих прикладів можна вивести таке правило:

Щоб помножити дріб на дріб, потрібно помножити чисельник на чисельник, а знаменник – на знаменник і перший твір зробити чисельником, а другий – знаменником твору.

Це правило в загальному виглядіможна записати так:

При множенні необхідно робити (якщо можливо) скорочення. Розглянемо приклади:

5. Збільшення змішаних чисел.Оскільки змішані числа можуть бути замінені неправильними дробами, то цією обставиною зазвичай користуються при множенні змішаних чисел. Це означає, що у випадках, коли множимое, чи множник, чи обидва сомножителя виражені змішаними числами, їх замінюють неправильними дробами. Перемножимо, наприклад, змішані числа: 2 1/2 та 3 1/5 . Звернімо кожне з них у неправильний дріб і потім перемножуватимемо отримані дроби за правилом множення дробу на дріб:

Правило.Щоб перемножити змішані числа, потрібно попередньо звернути їх у неправильні дроби і потім перемножити за правилом множення дробу на дріб.

Примітка.Якщо один із співмножників - ціле число, то множення може бути виконане на підставі розподільчого закону так:

6. Поняття про відсоток.При вирішенні завдань та при виконанні різних практичних розрахунківми користуємось різноманітними дробами. Але треба мати на увазі, що багато величин допускають не будь-які, а природні для них підрозділи. Наприклад, можна взяти одну соту (1/100) рубля, це буде копійка, дві сотих – це 2 коп., три сотих – 3 коп. Можна взяти 1/10 рубля, це буде "10 коп., або гривеньник. Можна взяти чверть рубля, тобто 25 коп., половину рубля, тобто 50 коп. (полтинник). Але практично не беруть, наприклад 2 / 7 рубля тому, що рубль на сьомі частки не ділиться.

Одиниця виміру ваги, тобто кілограм, допускає насамперед десяткові підрозділи, наприклад 1/10 кг, або 100 г. А такі частки кілограма, як 1/6, 1/11, 1/13 невживані.

Загалом наші (метричні) заходи є десятковими та допускають десяткові підрозділи.

Однак треба зауважити, що вкрай корисно та зручно у найрізноманітніших випадках користуватися однаковим (одноманітним) способом підрозділу величин. Багаторічний досвід показав, що таким поділом, що добре виправдав себе, є «сотенний» поділ. Розглянемо кілька прикладів, що стосуються найрізноманітніших галузей людської практики.

1. Ціна на книги знизилася на 12/100 колишньої ціни.

приклад. Колишня ціна книги 10 руб. Вона знизилася на 1 карбованець. 20 коп.

2. Ощадні каси виплачують протягом року вкладникам 2/100 суми, яка покладена на заощадження.

приклад. У касу належить 500 крб., дохід із цієї суми протягом року становить 10 крб.

3. Число випускників однієї школи становило 5/100 від загальної кількості учнів.

П р і м е р. У школі навчалося всього 1200 учнів, з них закінчили школу 60 осіб.

Сота частина числа називається відсотком.

Слово «відсоток» запозичене з латинської мовита його корінь «цент» означає сто. Разом із прийменником (pro centum) це слово означає «за сотню». Сенс такого висловлювання випливає з тієї обставини, що спочатку в стародавньому Римівідсотками називалися гроші, які платив боржник позикодавцю «за сотню». Слово «цент» чується у таких усім знайомих словах: центнер (сто кілограмів), центиметр (говориться сантиметр).

Наприклад, замість того, щоб говорити, що завод за місяць, що минув, дав шлюбу 1/100 від усієї виробленої ним продукції, ми говоритимемо так: завод за минулий місяць дав один відсоток шлюбу. Замість говорити: завод виробив продукції на 4/100 більше встановленого плану, ми говоритимемо: завод перевиконав план на 4 відсотки.

Викладені вище приклади можна висловити інакше:

1. Ціна на книги знизилася на 12 відсотків колишньої ціни.

2. Ощадні каси виплачують вкладникам протягом року 2 відсотки із суми, покладеної заощадження.

3. Кількість випускників однієї школи становила 5 відсотків числа всіх учнів школи.

Для скорочення листа прийнято замість слова відсоток писати значок %.

Однак слід пам'ятати, що у обчисленнях значок % зазвичай не пишеться, він може бути записаний в умові завдання та в остаточному результаті. При виконанні обчислень потрібно писати дріб зі знаменником 100 замість цілого числа з цим значком.

Потрібно вміти замінювати ціле число із зазначеним значком дробом із знаменником 100:

Назад, потрібно звикнути замість дробу зі знаменником 100 писати ціле число із зазначеним значком:

7. Знаходження відсотків цього числа.

Завдання 1.Школа здобула 200 куб. м дров, причому березові дрова становили 30%. Скільки було березових дров?

Сенс цього завдання полягає в тому, що березові дрова становили лише частину тих дров, які були доставлені до школи, і ця частина виражається дробом 30/100. Отже, маємо завдання знаходження дробу від числа. Для її вирішення ми повинні 200 помножити на 30/100 (завдання на знаходження дробу числа вирішуються множенням числа на дріб.).

Отже, 30% від 200 дорівнюють 60.

Дроб 30 / 100 , що зустрічалася у цій задачі, допускає скорочення на 10. Можна було б від початку виконати це скорочення; розв'язання завдання від цього не змінилося б.

Завдання 2.У таборі було 300 дітей різного віку. Діти 11 років становили 21%, діти 12 років становили 61% та, нарешті, 13-річних дітей було 18%. Скільки було дітей кожного віку у таборі?

У цьому вся завдання потрібно виконати три обчислення, т. е. послідовно знайти число дітей 11 років, потім 12 років і, нарешті, 13 років.

Отже, тут потрібно буде тричі знайти дріб від числа. Зробимо це:

1) Скільки було дітей 11-річного віку?

2) Скільки було дітей 12-річного віку?

3) Скільки було дітей 13-річного віку?

Після розв'язання задачі корисно скласти знайдені числа; сума їх повинна становити 300:

63 + 183 + 54 = 300

Слід також звернути увагу, що сума відсотків, даних за умови завдання, становить 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Це говорить про те що загальне числодітей, які перебували у таборі, було прийнято за 100%.

3 а да ч а 3.Робітник отримав протягом місяця 1 200 крб. З них 65% він витратив на харчування, 6% - на квартиру та опалення, 4% - на газ, електрику та радіо, 10% - на культурні потреби та 15% - зберіг. Скільки грошей витрачено на потреби, що вказані в задачі?

Для вирішення цього завдання потрібно 5 разів знайти дріб від числа 1200. Зробимо це.

1) Скільки грошей витрачено на харчування? У задачі сказано, що ця витрата становить 65% від усього заробітку, тобто 65/100 від числа 1200. Зробимо обчислення:

2) Скільки грошей сплачено за квартиру з опаленням? Розмірковуючи подібно до попереднього, ми прийдемо до наступного обчислення:

3) Скільки грошей сплатили за газ, електрику та радіо?

4) Скільки грошей витрачено на культурні потреби?

5) Скільки грошей робітник зберіг?

Для перевірки корисно скласти числа, знайдені у цих 5 питаннях. Сума повинна становити 1 200 руб. Весь заробіток прийнято за 100%, що легко перевірити, склавши числа відсотків, дані за умови завдання.

Ми вирішили три завдання. Незважаючи на те, що в цих завданнях йшлося про різні речі (доставка дров для школи, кількість дітей різного віку, витрати робітника), вони вирішувалися одним і тим же способом. Це сталося тому, що у всіх завданнях потрібно було знайти кілька відсотків даних чисел.

§ 90. Розподіл дробів.

При вивченні поділу дробів ми розглядатимемо такі питання:

1. Розподіл цілого числа на ціле.
2. Розподіл дробу на ціле число
3. Розподіл цілого числа на дріб.
4. Розподіл дробу на дріб.
5. Розподіл змішаних чисел.
6. Знаходження числа з даного його дробу.
7. Знаходження числа за його відсотками.

Розглянемо їх послідовно.

1. Розподіл цілого числа на ціле.

Як було зазначено у відділі цілих чисел, розподілом називається дія, яка полягає в тому, що за даним твором двох співмножників (ділимому) та одному з цих співмножників (ділителю) знаходиться інший співмножник.

Розподіл цілого числа на ціле ми розглядали у відділі цілих чисел. Ми зустріли там два випадки поділу: поділ без залишку, або «націло» (150: 10 = 15), і поділ із залишком (100: 9 = 11 і 1 у залишку). Ми можемо, отже, сказати, що у області цілих чисел точне розподіл який завжди можливе, оскільки ділене який завжди є твором дільника ціле число. Після введення множення на дріб ми можемо всякий випадок поділу цілих чисел вважати за можливе (виключається тільки поділ на нуль).

Наприклад, розділити 7 на 12 - це означає знайти таке число, добуток якого на 12 було б 7. Таким числом є дріб 7/12 тому що 7/12 12 =7. Ще приклад: 14: 25 = 14/25, тому що 14/25 25 = 14.

Таким чином, щоб розділити ціле число на ціле, потрібно скласти дріб, чисельник якого дорівнює ділимому, а знаменник - дільнику.

2. Розподіл дробу на ціле число.

Розділити дріб 6/7 на 3. Відповідно до цього вище визначення розподілу ми маємо тут добуток (6/7) та один із співмножників (3); потрібно знайти такий другий співмножник, який від множення на 3 дав би цей твір 6/7. Очевидно, він має бути втричі меншим від цього твору. Отже, поставлене перед нами завдання полягало в тому, щоб дріб 6/7 зменшити у 3 рази.

Ми вже знаємо, що зменшення дробу можна виконати або шляхом зменшення його чисельника, або шляхом збільшення його знаменника. Тому можна написати:

У даному випадкучисельник 6 ділиться на 3, тому слід зменшити у 3 рази чисельник.

Візьмемо інший приклад: 5/8 розділити на 2. Тут чисельник 5 не ділиться націло на 2, отже, на це число доведеться помножити знаменник:

На підставі цього можна висловити правило: щоб розділити дріб на ціле число, потрібно розділити на це ціле число чисельник дробу(якщо це можливо), залишивши той же знаменник, або помножити на це число знаменник дробу, залишивши той самий чисельник.

3. Розподіл цілого числа на дріб.

Нехай потрібно розділити 5 на 1/2, тобто знайти таке число, яке після множення на 1/2 дасть твір 5. Очевидно, це число має бути більше 5, тому що 1/2 є правильний дріб, а при множенні числа на правильний дріб твір має бути меншим від множиного. Щоб це було зрозуміліше, запишемо наші дії так: 5: 1 / 2 = х , Отже, х 1 / 2 = 5.

Ми повинні знайти таке число х , яке, будучи помножено на 1/2, дало б 5. Так як помножити деяке число на 1/2 - це означає знайти 1/2 цього числа, то, отже, 1/2 невідомого числа х дорівнює 5, а все число х удвічі більше, тобто 52 = 10.

Таким чином, 5: 1/2 = 5 2 = 10

Перевіримо:

Розглянемо ще один приклад. Нехай потрібно розділити 6 на 2/3. Спробуємо спочатку знайти потрібний результат за допомогою креслення (рис. 19).

Рис.19

Зобразимо відрізок АВ, рівний 6 якимось одиницям, і розділимо кожну одиницю на 3 рівні частини. У кожній одиниці три третини (3/3) у всьому відрізку АВ у 6 разів більше,т. е. 18/3. З'єднаємо за допомогою маленьких дужок 18 отриманих відрізків по 2; вийде лише 9 відрізків. Значить дріб 2/3 міститься в б одиницях 9 разів, або, іншими словами, дріб 2/3 у 9 разів менший за 6 цілих одиниць. Отже,

Як отримати цей результат без креслення за допомогою одних лише обчислень? Будемо міркувати так: потрібно 6 розділити на 2/3, тобто потрібно відповісти на запитання, скільки разів 2/3 містяться у 6. Дізнаємося спочатку: скільки разів 1/3 міститься у 6? У цілій одиниці - 3 третини, а у 6 одиницях - у 6 разів більше, тобто 18 третин; для знаходження цього числа ми повинні 6 помножити на 3. Значить, 1 / 3 міститься в б одиницях 18 разів, а 2 / 3 містяться в б не 18 разів, а вдвічі менше разів, тобто 18: 2 = 9. Отже , при розподілі 6 на 2/3 ми виконали такі дії:

Звідси отримуємо правило розподілу цілого числа на дріб. Щоб розділити ціле число на дріб, треба це ціле число помножити на знаменник даного дробу і, зробивши цей добуток чисельником, розділити його на чисельник цього дробу.

Запишемо правило за допомогою букв:

Щоб це правило стало зрозумілим, слід пам'ятати, що дріб можна розглядати як приватне. Тому знайдене правило корисно порівняти з правилом розподілу числа на приватне, що було викладено у § 38. Зверніть увагу на те, що там була отримана така сама формула.

При розподілі можливі скорочення, наприклад:

4. Розподіл дробу на дріб.

Нехай потрібно розділити 3/4 на 3/8. Що позначатиме число, яке вийде в результаті розподілу? Воно даватиме відповідь на запитання, скільки разів дроб 3/8 міститься в дробі 3/4. Щоб розібратися у цьому питанні, зробимо креслення (рис. 20).

Візьмемо відрізок АВ, приймемо його за одиницю, розділимо на 4 рівні частини та відзначимо 3 такі частини. Відрізок АС дорівнюватиме 3/4 відрізка АВ. Розділимо тепер кожен із чотирьох початкових відрізків навпіл, тоді відрізок АВ розділиться на 8 рівних частин і кожна така частина дорівнюватиме 1/8 відрізка АВ. З'єднаємо дугами по 3 таких відрізки, тоді кожен з відрізків AD і DC дорівнюватиме 3/8 відрізка АВ. Креслення показує, що відрізок, рівний 3 / 8 міститься у відрізку, рівному 3 / 4 , рівно 2 рази; значить, результат поділу можна записати так:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Розглянемо ще один приклад. Нехай потрібно розділити 15/16 на 3/32:

Ми можемо міркувати так: потрібно знайти таке число, яке після множення на 3/32 дасть твір, що дорівнює 15/16 . Запишемо обчислення так:

15 / 16: 3 / 32 = х

3 / 32 х = 15 / 16

3 / 32 невідомого числа х становлять 15 / 16

1/32 невідомого числа х складає ,

32 / 32 числа х складають.

Отже,

Таким чином, щоб розділити дріб на дріб, потрібно чисельник першого дробу помножити на знаменник другого, а знаменник першого дробу помножити на чисельник другий і перший добуток чисельником, а другий - знаменником.

Запишемо правило за допомогою букв:

При розподілі можливі скорочення, наприклад:

5. Розподіл змішаних чисел.

При розподілі змішаних чисел їх потрібно попередньо звертати до неправильні дроби, апотім проводити розподіл отриманих дробів за правилами розподілу дробових чисел. Розглянемо приклад:

Обернемо змішані числа в неправильні дроби:

Тепер розділимо:

Таким чином, щоб розділити змішані числа, потрібно звернути їх до неправильних дробів і потім розділити за правилом поділу дробів.

6. Знаходження числа з даного його дробу.

Серед різних завданьна дроби іноді зустрічаються такі, у яких дається величина якогось дробу невідомого числа і потрібно знайти це число. Цього типу завдання будуть оберненими по відношенню до завдань на знаходження дробу даного числа; там давалося число і потрібно знайти деяку дріб від цього числа, тут дається дріб від числа і потрібно знайти саме це число. Ця думка стане ще зрозумілішою, якщо ми звернемося до вирішення такого типу завдань.

Завдання 1.У перший день шибки склали 50 вікон, що складає 1/3 всіх вікон збудованого будинку. Скільки всього вікон у цьому будинку?

Рішення.У задачі сказано, що засклені 50 вікон становлять 1/3 всіх вікон будинку, отже, всього вікон у 3 рази більше, тобто.

У будинку було 150 вікон.

Завдання 2.Магазин продав 1500 кг борошна, що становить 3/8 всього запасу борошна, що був у магазині. Яким був початковий запас борошна у магазині?

Рішення.З умови завдання видно, що продані 1500 кг борошна складають 3/8 всього запасу; значить, 1/8 цього запасу буде в 3 рази менше, тобто для її обчислення потрібно 1500 зменшити у 3 рази:

1500: 3 = 500 (це 1/8 запасу).

Очевидно, весь запас буде у 8 разів більшим. Отже,

500 8 = 4000 (кг).

Початковий запас борошна в магазині дорівнював 4 000 кг.

З розгляду цього завдання можна вивести таке правило.

Щоб знайти число за даною величиною його дробу, достатньо розділити цю величину на чисельник дробу і результат помножити на знаменник дробу.

Ми вирішили дві задачі на знаходження числа з даного дробу. Такі завдання, як це особливо добре видно з останньої, вирішуються двома діями: розподілом (коли знаходять одну частину) та множенням (коли знаходять все число).

Однак після того, як ми вивчили поділ дробів, зазначені вище завдання можна вирішувати однією дією, а саме: поділом на дріб.

Наприклад, останнє завданняможе бути вирішена однією дією так:

Надалі завдання на перебування числа з його дробу ми вирішуватимемо однією дією - поділом.

7. Знаходження числа за його відсотками.

У цих завданнях потрібно буде знайти число, знаючи кілька відсотків цього числа.

Завдання 1.На початку поточного рокуя отримав у ощадній касі 60 руб. доходу із суми, покладеної мною на заощадження рік тому. Скільки грошей я поклав до ощадної каси? (Каси дають вкладникам 2% доходу на рік.)

Сенс завдання полягає в тому, що деяка сума грошей була покладена мною до ощадної каси і пролежала там рік. Через рік я отримав з неї 60 руб. доходу, що становить 2/100 тих грошей, які я поклав. Скільки грошей я поклав?

Отже, знаючи частину цих грошей, виражену двома способами (у рублях і дробом), ми повинні знайти всю поки що невідому суму. Це звичайне завданняна знаходження числа з даного його дробу. Вирішуються такі завдання розподілом:

Отже, в ощадну касу було покладено 3000 крб.

Завдання 2.Рибалки за два тижні виконали місячний план на 64%, заготовивши 512 т риби. Який мали план?

З умови завдання відомо, що рибалки виконали частину плану. Ця частина дорівнює 512 т, що становить 64% від плану. Скільки тонн риби потрібно заготовити за планом, нам невідомо. У знаходженні цього числа і полягатиме розв'язання задачі.

Такі завдання вирішуються поділом:

Отже, за планом потрібно заготовити 800 тонн риби.

Завдання 3.Потяг йшов із Риги до Москви. Коли він пройшов 276-й кілометр, один із пасажирів запитав кондуктора, який проходить, яку частину шляху вони вже проїхали. На це кондуктор відповів: «Проїхали вже 30% усього шляху». Яка відстань від Риги до Москви?

З умови завдання видно, що 30% шляху від Риги до Москви становлять 276 км. Нам потрібно знайти всю відстань між цими містами, тобто по цій частині знайти ціле:

§ 91. Взаємно обернені числа. Заміна поділу множенням.

Візьмемо дріб 2/3 і переставимо чисельник на місце знаменника, вийде 3/2. Ми отримали дріб, протилежний даній.

Щоб отримати дріб, зворотний даної, потрібно її чисельник поставити місце знаменника, а знаменник - місце чисельника. Цим способом ми можемо отримати дріб, зворотний до будь-якого дробу. Наприклад:

3/4, зворотна 4/3; 5/6, зворотна 6/5

Два дроби, що володіють тією властивістю, що чисельник першої є знаменником другої, а знаменник першої є чисельником другої, називаються взаємно оберненими.

Тепер подумаємо, який дріб буде зворотним для 1/2 . Очевидно, це буде 2 / 1, або просто 2. Знаходячи дріб, зворотний даної, ми отримали ціле число. І цей випадок непоодинокий; навпаки, для всіх дробів з чисельником 1 (одиниця) оберненими будуть цілі числа, наприклад:

1/3, зворотна 3; 1 / 5 , зворотна 5

Так як при відшуканні зворотних дробів ми зустрілися і з цілими числами, то надалі ми говоритимемо не про зворотні дроби, а про зворотних числах.

З'ясуємо, як написати число, обернене до цілого числа. Для дробів це вирішується просто: потрібно знаменник поставити на місце чисельника. Цим самим способом можна отримати зворотне число і для цілого числа, тому що у будь-якого цілого числа можна мати на увазі знаменник 1. Значить, число, зворотне 7, буде 1/7, тому що 7 = 7/1; для числа 10 зворотне буде 1/10, тому що 10 = 10/1

Цю думку можна висловити інакше: число, зворотне даному числу, виходить від розподілу одиниці на це число . Таке твердження справедливе як цілих чисел, але й дробів. Насправді, якщо потрібно написати число, зворотне дроби 5/9, ми можемо взяти 1 і розділити її на 5/9, тобто.

Тепер вкажемо одне властивістьвзаємно зворотних чисел, яке буде нам корисним: добуток взаємно зворотних чисел дорівнює одиниці.Справді:

Користуючись цією властивістю, ми можемо знаходити обернені числа наступним шляхом. Нехай потрібно знайти число, яке зворотне 8.

Позначимо його літерою х тоді 8 х = 1, звідси х = 1/8. Знайдемо ще число, зворотне 7 / 12 позначимо його буквою х , тоді 7 / 12 х = 1, звідси х = 1: 7 / 12 або х = 12 / 7 .

Ми ввели тут поняття про взаємно зворотні числа для того, щоб трохи доповнити відомості про поділ дробів.

Коли ми ділимо число 6 на 3/5, то ми виконуємо такі дії:

Зверніть особливу увагу на вираз і порівняйте його із заданим: .

Якщо взяти вираз окремо, без зв'язку з попереднім, то не можна вирішити питання, звідки воно виникло: від поділу 6 на 3/5 або від множення 6 на 5/3. В обох випадках виходить те саме. Тому ми можемо сказати, що розподіл одного числа інше можна замінити множенням поділеного на число, зворотне дільнику.

Приклади, що ми даємо нижче, цілком підтверджують цей висновок.

Розмноження звичайних дробів

Розглянемо приклад.

Нехай на тарілці лежить частина яблука $\frac(1)(3)$. Потрібно знайти $\frac(1)(2)$ частина від неї. Необхідна частина є результатом множення дробів $ frac (1) (3) $ і $ frac (1) (2) $. Результат множення двох звичайних дробів - це звичайний дріб.

Розмноження двох звичайних дробів

Правило множення звичайних дробів:

Результатом множення дробу на дріб є дріб, чисельник якого дорівнює творучисельників дробів, що множаться, а знаменник дорівнює добутку знаменників:

Приклад 1

Виконати множення звичайних дробів $\frac(3)(7)$ і $\frac(5)(11)$.

Рішення.

Скористаємося правилом множення звичайних дробів:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Відповідь:$\frac(15)(77)$

Якщо в результаті множення дробів виходить скоротитий або неправильний дріб, то потрібно його спростити.

Приклад 2

Виконати множення дробів $frac(3)(8)$ і $frac(1)(9)$.

Рішення.

Використовуємо правило множення звичайних дробів:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

В результаті отримали скоротитий дріб (за ознакою поділу на $3$. Чисельник і знаменник дробу розділимо на $3$, отримаємо:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Коротке рішення:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24) \]

Відповідь:$\frac(1)(24).$

При множенні дробів скорочувати чисельники та знаменники можна до знаходження їх твору. При цьому чисельник та знаменник дробу розкладається на прості множники, після чого скорочуються множники, що повторюються, і знаходиться результат.

Приклад 3

Обчислити добуток дробів $ frac (6) (75) $ і $ frac (15) (24) $.

Рішення.

Скористаємося формулою множення звичайних дробів:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Очевидно, що в чисельнику і знаменнику є числа, які можна попарно скоротити на числа $2$, $3$ і $5$. Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники і зробимо скорочення:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Відповідь:$\frac(1)(20).$

При множенні дробів можна застосовувати переміщувальний закон:

Розмноження звичайного дробу на натуральне число

Правило множення звичайного дробу на натуральне число:

Результатом множення дробу на натуральне число є дріб, у якого чисельник дорівнює добутку чисельника дробу, що множиться на натуральне число, а знаменник дорівнює знаменнику дробу, що множиться:

де $ \ frac (a) (b) $ - звичайний дріб, $ n $ - натуральне число.

Приклад 4

Виконати множення дробу $\frac(3)(17)$ на $4$.

Рішення.

Скористаємося правилом множення звичайного дробу на натуральне число:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Відповідь:$\frac(12)(17).$

Не слід забувати про перевірку результату множення на скоротність дробу або на неправильний дріб.

Приклад 5

Помножити дріб $\frac(7)(15)$ на число $3$.

Рішення.

Скористаємося формулою множення дробу на натуральне число:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

За ознакою розподілу на число $3$) можна визначити, що отриманий дріб можна скоротити:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

В результаті отримали неправильний дріб. Виділимо цілу частину:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Коротке рішення:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Скоротити дроби також можна було заміною чисел у чисельнику та знаменнику на їх розкладання на прості множники. У такому разі рішення можна було записати так:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Відповідь:$1\frac(2)(5).$

При множенні дробу на натуральне число можна використовувати закон:

Розподіл звичайних дробів

Операція поділу є зворотною до множення і результатом її є дріб, на який потрібно помножити відомий дріб, щоб отримати відомий твірдвох дробів.

Поділ двох звичайних дробів

Правило поділу звичайних дробів:Очевидно, що чисельник і знаменник отриманого дробу можна розкласти на прості множники і скоротити:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

В результаті отримали неправильний дріб, з якого виділимо цілу частину:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Відповідь:$1\frac(5)(9).$