Що таке алгебраїчне визначення рівняння. Алгебраїчні рівняння

ТИПИ РІВНЯНЬ

Алгебраїчні рівняння.Рівняння виду f n= 0, де f n- багаточлен від однієї або декількох змінних, називаються рівняннями алгебри. Багаточленом називається вираз виду

f n = a 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +¼ + a s x p y q ... v r,

де x, y, ..., v- Змінні, а i, j, ..., r- Показники ступенів (цілі не негативні числа). Багаточлен від однієї змінної записується так:

f(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + ... + a n – 1 x + a n

або, в окремому випадку, 3 x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x- 1. Алгебраїчним рівнянням з одним невідомим називається будь-яке рівняння виду f(x) = 0. Якщо a 0 ¹ 0, то nназивається ступенем рівняння. Наприклад, 2 x+ 3 = 0 – рівняння першого ступеня; рівняння першого ступеня називаються лінійними, оскільки графік функції y = ax + bмає вигляд прямий. Рівняння другого ступеня називають квадратними, а рівняння третього ступеня – кубічними. Аналогічні назви мають і рівняння більше високих ступенів.

Трансцендентні рівняння.Рівняння, що містять трансцендентні функції, такі як логарифмічна, показова або тригонометрична функціяназиваються трансцендентними. Прикладом можуть бути такі рівняння:

де lg - логарифм на підставі 10.

Диференційне рівняння. Так називаються рівняння, що містять одну або кілька функцій та їх похідні чи диференціали. Диференціальні рівняння виявилися виключно цінним засобом точного формулювання законів природи.

Інтегральні рівняння.Рівняння, що містять невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад, f (s) = ò K (s, t) f(t) dt, де f(s) та K(s,t) задані, а f(t) Потрібно знайти.

Діофантові рівняння.Діофантовим рівнянням називається рівняння алгебри з двома або більше невідомими з цілими коефіцієнтами, рішення якого шукається в цілих або раціональних числах. Наприклад, рівняння 3 x – 5y= 1 має рішення x = 7, y= 4; взагалі ж його рішеннями служать цілі числа виду x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

РІШЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Для перелічених вище типів рівнянь загальних методів рішення немає. І все ж у багатьох випадках, особливо для алгебраїчних рівняньпевного типу, є достатньо повна теоріяїх вирішення.

Лінійні рівняння.Ці прості рівняння вирішуються шляхом їхнього зведення до еквівалентного рівняння, з якого безпосередньо видно значення невідомого. Наприклад, рівняння x+ 2 = 7 можна звести до еквівалентного рівняння x= 5 відніманням числа 2 з правої та лівої частин. Кроки, що здійснюються під час відомості простого рівняннянаприклад, x+ 2 = 7, до еквівалентного, засновані на використанні чотирьох аксіом.

1. Якщо рівні величинизбільшити на те саме число, то результати будуть рівні.

2. Якщо з рівних величин відняти одне й те число, то результати дорівнюватимуть.

3. Якщо рівні величини помножити на те саме число, то результати будуть рівні.

4. Якщо рівні величини поділити на те саме число, то результати будуть рівні.

Наприклад, щоб вирішити рівняння 2 x+ 5 = 15, ми скористаємося аксіомою 2 і віднімемо число 5 з правої та лівої частин, в результаті чого отримаємо еквівалентне рівняння 2 x= 10. Потім ми скористаємося аксіомою 4 і розділимо обидві частини отриманого рівняння на 2, у результаті вихідне рівняння зведеться до виду x= 5, що є шуканим рішенням.

Квадратні рівняння.Розв'язання загального квадратного рівняння ax 2 + bx + c= 0 можна отримати за допомогою формули

Таким чином, існують два рішення, які в окремому випадку можуть збігатися.

Інші рівняння алгебри.Явні формули, аналогічні формулі для розв'язання квадратного рівняння, можна виписати тільки для рівнянь третього та четвертого ступенів. Але ці формули складні і які завжди допомагають легко знаходить коріння. Що ж до рівнянь п'ятого ступеня чи вище, то їм, як довів М.Абель в 1824, не можна вказати загальну формулуяка виражала б коріння рівняння через його коефіцієнти за допомогою радикалів. В окремих окремих випадках рівняння вищих ступенів вдається легко вирішити, факторизуючи їх ліву частину, тобто. розкладаючи її на множники.

Наприклад, рівняння x 3 + 1 = 0 можна записати у факторизованому вигляді ( x + 1)(x 2 – x+ 1) = 0. Рішення ми знаходимо, вважаючи кожен з множників рівним нулю:

Таким чином, коріння дорівнює x= -1, , тобто. всього 3 корені.

Якщо рівняння не факторизується, слід скористатися наближеними рішеннями. Основні методи знаходження наближених рішень розробили Горнером, Ньютоном і Греффе. Однак у всіх випадках існує тверда впевненість у тому, що рішення існує: рівняння алгебри n-й ступеня має рівно nкоріння.

Системи лінійних рівнянь. Два лінійні рівняння з двома невідомими можна записати у вигляді

Рішення такої системи знаходиться за допомогою визначників

Воно має сенс, якщо Якщо ж D= 0, то можливі два випадки. (1) Принаймні один із визначників і відмінний від нуля. І тут рішення рівнянь немає; рівняння несумісні. Чисельний приклад такої ситуації – система

(2) Обидва визначники дорівнюють нулю. У цьому випадку друге рівняння просто кратне першому і існує біс кінцеве числорішень.

Загальна теоріярозглядає mлінійних рівнянь з nзмінними:

Якщо m = nта матриця ( a ij) невироджена, то рішення єдине і може бути знайдено за правилом Крамера:

де A ji – алгебраїчне доповненняелемента a ijу матриці ( a ij). У більш загальному планіІснують такі теореми. Нехай r– ранг матриці ( a ij), s– ранг облямованої матриці ( a ij; b i), яка виходить з a ijприєднанням стовпця з чисел b i. Тоді: (1) якщо r = s, то існує n – rлінійно незалежних рішень; (2) якщо r< s , то рівняння несумісні та рішень не існує.

, ДВДГУ,

, Математичний ліцей

Алгебраїчні рівняння та методи їх вирішення

П.1 Багаточлен та його коріння

Розглянемо набір із (n+1) дійсних чисел, багаточленному (поліномному) ступені nіз зазначеними вище коефіцієнтами називають вираз виду:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" width="257" height="25 src="> (2)

називають алгебраїчним рівнянням ступеня n.

Коріння рівняння (2) також називають корінням багаточлена.

Наведемо кілька фактів, що належать до коріння багаточленів.

факт 1. Будь-який многочлен непарної міри має хоча б один дійсний корінь.

Зауваження. Навіть знаючи, що рівняння має корінь, знайти цей корінь буває дуже непросто.

приклад 1.Рівняння очевидно має коріння 0 та p.

приклад 2.Встановити коріння рівняння, яке, безумовно, є досить складне завдання.

факт 2. Якщо коефіцієнти многочлена є цілими числами, то раціональне корінняцього рівняння (якщо є) мають вигляд , де числа k і m – натуральні, причому k – дільник вільного члена , m – дільник головного коефіцієнта .

приклад 3. https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" height="41 src="> (повторювані числа скорочені).

Перевірка показує, що підходять числа 2 і .

Завдання з відділення раціонального коріннязначно спрощується, якщо старший коефіцієнт у багаточлені дорівнює одиниці. У цьому випадку можливе раціональне коріння рівняння може бути лише цілими числами, на які ділиться вільний член полінома.

приклад 4.У многочлена можливі такі цілі коріння: . Перевіряючи можливе коріння (це можна досить швидко робити за допомогою Схеми Горнера) переконуємось, що єдиний ціле коріннярівняння дорівнює 2.

факт 3. Якщо число - корінь багаточлена, то цей многочлен можна представити у вигляді твору можна, наприклад, застосовуючи Спосіб розподілу «куточком», дуже схожий на той, який застосовують до звичайних чисел.

Наведемо приклад.

Приклад 5.Поділимо на:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" Зауважимо, що перший множник має негативний дискримінант, тому він (і вихідний поліном) більше коренів не має.

факт 4.Будь-який многочлен із дійсними коефіцієнтами можна представити у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 height="24"> - кратність кореня, - квадратні тричлени, які не мають дійсних коренів(їх називають непривідними).

Зауваження.При розв'язанні рівнянь і нерівностей можна скорочувати на тричлени, що не наводяться.

П.2. Угруповання як спосіб знаходження коренів полінома

На жаль, (і це доведено), не існує універсального алгоритму, що дозволяє (на кшталт квадратного тричлена) знаходити коріння будь-якого полінома. Існують спеціальні формули для вирішення рівнянь третього та четвертого ступеня, проте вони трудомісткі і в шкільному курсіне вивчаються. Тому часто використовуються інші методи, такі як відділення коренів (розглянутий у першому пункті), метод угруповання та його окремий випадок- Виділення повних квадратів.

Суть методу угруповання в наступному: члени многочлена розбивають на групи (звідси і назва) так, що після приведення подібних кожна група розкладеться на множники, причому один з множників утримуватиметься в кожній групі. Цей загальний множниквиноситься за дужки і вихідний багаточлен розкладається на твір двох багаточленів нижчого ступеня.

Розглянемо приклад.

Приклад 6.Розкласти на множники методом угруповання багаточлен

https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" width="272" height="24 src=">

(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" height="21">, перший доданок включимо в першу групу, другий доданок - в третю).

https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" height="24">, знаходимо розкладання:

.

Обидва квадратних тричленамають негативні дискримінантитому подальше їх розкладання неможливе.

Приклад 7.Розкласти на множники поліном:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" height="21"> потрібно виділити частину, кратну 14: це, наприклад, 70-1, 84-15, 98-29 або 42 + 27. Перший варіант призводить до глухого кута.Розглянемо другий варіант.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" width="603" height="24">.

Таким чином,

П.3. Приклади вирішення найпростіших рівнянь алгебри

Багаточлени є найпростішими рівняннями алгебри. У цьому пункті ми розглянемо деякі приклади розв'язання таких рівнянь.

Приклад 8.Знайти коріння рівняння

https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" width="89" height="19 src=">.

Почнемо з самого невеликого числа- Трійки.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 height=23" height="23"> - один з коренів рівняння. Щоб знайти решту коріння, розділимо ліву частину рівняння на :

Використовуючи, наприклад, формули Вієта, отримуємо два інші корені: .

Відповідь: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" width="124" height="21 src=">.

Рішення.Завдання можна звести до біквадратного рівняння, але спробуємо використовувати розкладання на множники..gif" width="616" height="24 src=">.

Коріння першого співмножника: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63".

Далі розглянемо приклад рівняння, яке зводиться до раціонального. Особливість таких рівнянь – обов'язкова вимога перевірки знайденого коріння області допустимих значень. Наприклад, на ЄДІ кілька років тому пропонувалося «просте» завдання.

приклад 10.Вирішити рівняння

DIV_ADBLOCK37">

П. 4. Дробові рівняння алгебри

Найпростіше дробове алгебраїчний виразмає вигляд:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" width="40" height="23 src=">.gif" width="111" height="41 src=">.

Рішення:наведемо дроби до спільного знаменника:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" width="207" height="41">.

Обидва корені чисельника не є корінням знаменника (переконайтеся в цьому, безпосередньо підставивши обидва корені у знаменник), тому вони є рішеннями розглянутого рівняння.

Якщо дробово-раціональне рівняннямістить багато елементарних виразів, то, після перетворень, у чисельнику може утворитися досить громіздкий вираз, відшукання коренів якого буде дуже скрутним. Але в деяких випадках можливо звести складне рівняннядо простішого, використовуючи, наприклад, заміну змінних. Розглянемо приклад.

приклад 12.Вирішити рівняння

https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" height="41"> є взаємно-зворотними (їх твір одно одиниці). Введемо наступну заміну: . Вихідне рівняння прийме вигляд:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" height="16">, отримаємо квадратне рівняння:

Виконаємо зворотну заміну. ​​Отримаємо і вирішимо сукупність двох рівнянь: 2. Індекс, адреса місця проживання. , електронна пошта(якщо є), телефон (домашній чи мобільний)

3. Дані про школу (наприклад: МБОУ №1 п. Бікін)

4. Прізвище, І. О. вчителя математики (наприклад: вчитель математики)

М 10.2.1.Розв'яжіть рівняння, розклавши багаточлен на множники:

М 10.2.2.Розв'яжіть дробово-раціональне рівняння

а) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" width="209". Вказівка: перемножте спочатку перший множник із четвертим і другий із третім. Перший твір позначтеy, другий твір тоді представиться як y+2. Розв'яжіть квадратне рівняння, що вийшло, і зробіть зворотну заміну.)

в) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" width="165". Вказівка: спробуйте додати до перших двох складових деяке число так, щоб сума виявилася дробом, зворотним тим, що стоїть на третьому місці з множником -10. Далі дивіться приклади 12 та 13.)

1. Алгебраїчним рівнянням ступеня називається рівняння виду

де старший коефіцієнт

Найпростіші види рівнянь алгебри - рівняння 1-го і 2-го ступеня і навіть деякі спеціальні види рівнянь 3-го ступеня - математики могли вирішувати ще в стародавньому Вавилоніприблизно 4000 років тому. Правда, в ті далекі часи вчені ще не знали сучасної математичної символіки та записували і саме рівняння та процес його вирішення словами, а не формулами

2. Довільне рівняння першого ступеня

завжди має, і до того ж єдине, рішення

У шкільному курсі алгебри доводиться така теорема про вирішення довільного квадратного рівняння

Якщо число то рівняння має рівно два корені, які даються формулою

Якщо , то корінь лише один:

Якщо ж , то коріння серед дійсних чисел немає.

Математики завжди намагаються уникнути такого поділу випадків - їх кількість тільки збільшилася б при переході до рівнянь вищого ступеня. Бажане було б, звичайно, формулювання: «Рівняння другого ступеня має два корені». Її можна досягти, якщо, з одного боку, так розширити поняття числа, що було б можливим витягувати квадратне коріння з негативних чисел, а з іншого - вважати деякі корені «кілька разів» (ввести поняття кратного кореня).

І те, й інше можна акуратно зробити.

3. Загальне рівняння третього ступеня має вигляд

Розділивши обидві частини цього рівняння на старший коефіцієнт А – рішення від цього, очевидно, не змінюються – приходимо до рівняння виду

Введенням нової невідомої величини можна позбутися доданку, що містить невідому в другому ступені, тобто привести рівняння до виду

званому редукованим рівнянням третього ступеня.

Відомості про історію відкриття формули коренів кубічного рівняння неповні та суперечливі. Очевидно, першим (близько 1515) знайшов метод рішення кубічних рівняньпрофесор університету у Болоньї С. Ферро (1465-1526). Незалежно від нього (близько 1535) цей метод відкрив Н. Тарталья (1500-1557). Однак першим опублікував формулу коренів кубічного рівняння Дж. Кардано (1501-1576) (його робота вийшла 1545 р.), і тому ця формула має його ім'я. Зазначимо, що, можливо, Кардано був знайомий з роботами Тартальї та Ферро.

У сучасних позначеннях метод розв'язання рівняння (1) полягає в наступному.

Введемо дві нові невідомі; поклавши маємо

Якщо невідомі задовольняють системі

вони також задовольняють рівнянню (2). Вирішити систему дуже просто. Зведемо перше рівняння куб і підставимо замість його вираз із другого рівняння; отримаємо, що задовольняє квадратне рівняння

Отже,

і наостанок,

Це і є формула Кардано для вирішення редукованого кубічного рівняння (1).

Відразу виникають питання:

1) Що робити, якщо вираз

2) Скільки коренів має кубічне рівняння?

3) Чи дає формула Кардано (4) усі рішення рівняння (1)?

Запитання ці взаємопов'язані. Легко, наприклад, переконатися, що рівняння

має рішення -5, 2, 3, а саме в цьому випадку

так що квадратне коріння у формулі Кардано втрачає сенс і три вказаних кореняцією формулою не виражаються.

Все говорить про те, що тут ще більше, ніж у випадку квадратних рівнянь, не можна обійтися без будь-яких «нових чисел», для яких вилучення квадратного кореня завжди можливе. Такі числа поступово запровадили протягом XVI-XIX ст. Вони називаються комплексними числами. У комплексних числах будь-яке рівняння алгебри має рівне коріння.

Розглянемо як приклад рівняння

Воно грає важливу рольтеоретично і знадобиться нам надалі.

В полі комплексних чиселце рівняння має різних рішень, Які називаються корінням ступеня з одиниці:

Для запису рішень кубічного рівняння потрібне коріння 3-го ступеня з 1. Відповідно до формул (6) це будуть наступні комплексні числа:

Можна показати, що три корені редукованого кубічного рівняння є

Тут буквою позначений - корінь 3-го ступеня з того, як неважко бачити, так само і є остаточні формули Кардано.

4. У разі рівнянь 1-го, 2-го та 3-го ступеня нам відомі формули, що виражають коріння через коефіцієнти рівняння за допомогою раціональних операцій операції вилучення квадратного кореня (у разі квадратного рівняння), операцій вилучення квадратного та кубічного коренів (у разі кубічного рівняння). Подібні правила були вказані і для рівнянь 4-го ступеня учнем Дж. Кардано італійським алгебраїстом Л. Феррарі (1522-1565). У них також беруть участь лише раціональні операції та операції Усі спроби протягом майже трьох століть (XVI-XVIII) знайти подібні правила для рівнянь 5-го та більш високих ступенів за допомогою раціональних операцій та операцій не увінчалися успіхом.

Поступово стали підозрювати, що, можливо, взагалі не можна висловити коріння рівняння ступеня через коефіцієнти лише за допомогою операцій і для довільних натуральних , тобто не можна звести рішення таких рівнянь раціональними операціями до послідовного вирішення рівнянь спеціального виду. Коріння рівнянь , тобто те, що зазвичай позначають через , прийнято називати радикалами, і тому завдання про можливість зведення знаходження коренів довільного рівняння до знаходження рівнянь виду прийнято називати завданням про вираження коренів рівняння радикалами.

Спроби довести чи спростувати цю гіпотезу особливо почастішали у другій половині XVIII століттяі привели на початку XIX століттядо доказу неможливості рішення загального рівняння 5-й і вищих ступенів у радикалах.

Серед робіт XVIII століття у зазначеному напрямі ясністю думки виділяється мемуар знаменитого французького математика Ж. Л. Лагранжа (1736-1813), озаглавлений «Міркування про рішення рівнянь алгебри» (1771-1772). У ньому автор докладно і уважно проаналізував відомі методи вирішення рівнянь 2-го, 3-го та 4-го ступеня в радикалах, щоб з'ясувати, як і чому в цих випадках таке рішення вдається. При цьому він відзначив таку обставину: у всіх зазначених випадках є деякі функції від коренів, які задовольняють рівнянням нижчого ступеня та про які вже відомо, що вони вирішуються у радикалах. Коріння вихідного рівняння, у свою чергу, може бути знайдено з цих проміжних функційзнов-таки з рівнянь, розв'язуваних радикалах.

Далі, Лагранж досліджує питання, яким чином знаходяться подібні функції від коріння в відомих випадках. Виявилося, що це поліноми від коренів які при всіляких перестановках коренів - а їх число, як відомо, дорівнює - приймають не менше значення, і навіть менше, ніж - ступінь досліджуваного рівняння). Це станеться тоді, коли не змінюється при деяких перестановках коріння.

Ось яким чином перестановки з'явилися у питанні вирішення рівняння в радикалах!

Якщо функція від коріння приймає лише k різних значеньто коефіцієнти многочлена

за однією відомою вже давно, теоремі – це так звана основна теорема про симетричні функції – повинні раціонально виражатися через коефіцієнти досліджуваного рівняння

4 Приклади. 1. Нехай - знакозмінна функція

від коріння рівняння ступеня. Вона приймає при всіляких перестановках коріння лише два значення залежно від того, чи буде перестановка парною чи непарною. Отже, дискримінант рівняння не змінюється за всіляких перестановок і виражається раціонально через коефіцієнти досліджуваного рівняння. Для квадратного рівняння

для редукованого кубічного рівняння

Знакозмінна функція від коріння задовольняє рівнянь

відповідно. Ми дізнаємося вирази під квадратним коренем у формулі для розв'язання квадратного рівняння та з точністю до постійного множникау формулі Кардано.

2. Інший приклад з'явився у згадуваній вище роботі Лагранжа. Це звані резольвенти Лагранжа. Ми розглянемо їх, як і сам Лагранж, для випадку рівняння 3-го ступеня. За допомогою кубічних коренів з 1

вони визначаються так:

Тут коріння досліджуваного кубічного рівняння. Звернімо увагу на другу та третю резольвенти. Як неважко бачити, при циклічній перестановці коренів вони лише множаться відповідно. Отже, витримують циклічні перестановки і тому виражаються раціонально через коефіцієнти рівняння та через А. Відповідні уявлення можна підрахувати. Вилученням кубічного кореняможна отримати . По теоремі Вієта - це коефіцієнт при зі зворотним знаком, тобто у разі редукованого кубічного рівняння. Знаючи із системи лінійних рівнянь (7), можна отримати Якщо здійснити зазначені обчислення, можна переконатися, що обчислюються за формулами Кардано.

Аналогічно, тільки технічно складніше, можна отримати рішення у радикалах рівняння 4-го ступеня. Що ж до рівняння 5-го ступеня, то аналогічну зведення до рівнянь нижчих ступенів отримати не вдалося. Однак Лагранж не відкидав його можливості.

Що таке зниження принципово неможливе, показав 1799 р. у роботі «Загальна теорія рівнянь, у якій доводиться неможливість алгебраїчного рішеннязагальних рівнянь вище четвертого ступеня» італійський математик П. Руффіні (1765–1822). Однак у його доказі містилися прогалини, які йому не вдалося усунути. Акуратне доказ було дано лише 1826 р. у роботі норвезького математика М. Р. Абеля (1802-1829) «Доказ неможливості алгебраїчної розв'язності рівнянь, ступінь яких перевищує четверту».

Глибоку причину неіснування функцій від коренів, що задовольняють рівнянням нижчого ступеня, ніж аналізоване (виняток становить завжди знакозмінна функція, що задовольняє квадратному рівнянню) розкрив геніальний французький математик Еваріст Галуа (1811-1832). Галуа зіставив кожному рівнянню групу тих перестановок його коріння, які змінюють значення всіх поліномів від коренів з коефіцієнтами, залежать раціонально від коефіцієнтів заданого рівняння. Цю групу називають тепер групою Галуа рівняння, що розглядається.

Поняття групи Галуа рівняння можна ввести в такий спосіб. Нехай - рівняння алгебри деякою мірою (ліва частина цього рівняння) - поліном ступеня .

Коефіцієнти полінома - числа повинні належати одночасно якомусь числовому полю - непустому безлічі чисел, замкненому щодо операцій складання, множення, віднімання та поділу на число, відмінне від 0. Числовим полем є, наприклад, безліч Q всіх раціональних чисел. Оскільки необхідні поняття вводяться всім числових полів однаково, досить розглянути лише одне їх. Тому вважатимемо, що коефіцієнти многочлена - раціональні числа. Крім того, можна припускати (це доводиться в курсах алгебри), що всі коріння багаточлена - різні, тобто рівняння має різні, взагалі кажучи, комплексного коріння

Раціональним ставленням між корінням називається будь-яка рівність виду

де - знак підсумовування, сума, що стоїть у лівій частині цієї рівності, береться за якимись наборами показників, а всі коефіцієнти - раціональні числа. Іншими словами, в лівій частині раціонального відношення (8) стоїть деякий багаточлен від раціональними коефіцієнтами. Безліч всіх раціональних відносин між корінням рівняння залежить лише від многочлена. Зрозуміло, що почленная сума і почленное твір раціональних відносин між корінням деякого многочлена теж раціональними відносинами між його корінням. Оскільки приклад ненульового раціонального відношення легко вказати для будь-якого рівняння, звідси отримуємо, що довільному рівняннювідповідає безліч раціональних відносин між його корінням.

Нехай тепер

Певна перестановка на безлічі коренів рівняння. Подіємо цією перестановкою на ліву частину виразу (8). Кожен одночлен під впливом перестановки перетворюється на одночлен (коефіцієнти за всіх одночленах залишаються незмінними).

Ліва частина співвідношення (8) перетворюється на наступне вираз:

Це число може виявитися відмінним від нуля. Усі перестановки із симетричної групи на безлічі коренів рівняння можна розділити на дві частини - ті, що зберігають раціональне ставлення (8), і ті, що порушують його. Якщо перестановки зберігають раціональне ставлення (8), то очевидно, що їх твір та зворотна перестановка до кожної з них також перетворюватимуть цю рівність у верхнє співвідношення. такого ж виду. Іншими словами, безліч різноманітних перестановок, що зберігають співвідношення (8) (оскільки воно не порожнє!), утворює групу. Ця група називається групою Галуа рівняння

За властивостями цієї групи Галуа можна визначити, чи дане рівняння буде вирішено в радикалах чи ні. Отримана ознака містить у вигляді частих випадків усі раніше відомі відомості про розв'язання або нерозв'язність у радикалах рівнянь алгебри.

Але не виключається, що деякі рівняння з числовими коефіцієнтамиможна розв'язати в радикалах. Можливо, це чи ні, встановлюється знову-таки на підставі ознаки, знайденої Галуа.

Дослідження властивостей груп Галуа виходить за межі нашого викладу. Відзначимо тільки, що якщо група Галуа даного рівняння є абелевою, то рівняння можна розв'язати в радикалах. Дозволеними в радикалах будуть рівняння, група Галуа яких є однією з груп діедра, групою симетрій тетраедра та куба. Це приклади про розв'язуваних груп, т. е. груп Галуа рівнянь, розв'язуваних радикалах. Найбільш «маленьким» прикладом нерозв'язної групи є знакозмінна група, що складається з 60 перестановок; Нерозв'язною є також і група, що містить її Можна сказати, що в нерозв'язності загального рівняння 5-го ступеня в радикалах «винні» саме ці групи: серед рівнянь 5-го ступеня є такі, група Галуа яких збігається з або Прикладом такого рівняння є

Оскільки група Галуа рівняння є такою важливою його характеристикою, виникає питання, як будувати цю групу за рівнянням? Виявляється, що немає необхідності перевіряти, чи всі раціональні відносини від коренів рівняння витримують дану перестановку його коренів. Достатньо обмежитися такою перевіркою для кінцевої та цілком доступної для огляду частини цих відносин. З доказом останнього та інших згаданих тут тверджень можна познайомитись за однією з книг, присвячених викладу теорії Галуа та вказаних у списку літератури.

Вправи

1. Використовуючи дискримінант D кубічного рівняння, неможливо встановити, всі коріння цього рівняння збігаються, - або ж збігаються лише два з них. Наведіть приклад виразу; складеного з коріння цього рівняння, яке дозволяло б це робити.

5. Навести приклади числових полів, відмінних від поля раціональних чисел Q. Перевірити, що різноманітні числа виду

утворюють числове поле.

6. Довести, що якщо квадратний коріньз дискримінанта многочлена є раціональним числом, то група Галуа цього багаточлена повністю складається з парних перестановок.

Алгебраїчні рівняння – рівняння виду

де - багаточлен від змінних. Ці змінні називають невідомими. Упорядкований набір чисел задовольняє цього рівняння, якщо заміні на , на і т.д. виходить вірне числова рівність(наприклад, упорядкована трійка чисел (3, 4, 5) задовольняє рівняння , оскільки ). Число, що задовольняє рівняння алгебри з одним невідомим, називають коренем цього рівняння. Багато наборів чисел, що задовольняють даному рівнянню, є безліч рішень цього рівняння. Два рівняння алгебри, що мають одне і те ж безліч рішень, називаються рівносильними. Ступінь многочлена називається ступенем рівняння. Наприклад, - рівняння першого ступеня, - другого ступеня, а - четвертого ступеня. Рівняння першого ступеня називають лінійними (див. Лінійні рівняння).

Алгебраїчне рівняння з одним невідомим має кінцеве число коренів, а безліч рішень рівняння алгебри з більшим числомневідомих може являти собою нескінченну множину певних наборівчисел. Тому зазвичай розглядають не окремі рівняння алгебри з невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, одночасно задовольняють всім рівнянням даної системи. Сукупність усіх цих наборів утворює безліч рішень системи. Наприклад, безліч розв'язків системи рівнянь , таке: .

Алгебраїчні рівняння 1-го ступеня з одним невідомим вирішували вже в Стародавньому Єгиптіта Стародавньому Вавилоні. Вавилонські переписувачі вміли вирішувати і квадратні рівняння, а також найпростіші системи лінійних рівнянь та рівнянь 2-го ступеня. За допомогою спеціальних таблиць вони вирішували і деякі рівняння 3-го ступеня, наприклад. У Стародавній Греції квадратні рівняння вирішували за допомогою геометричних побудов. Грецький математик Діофант (III ст.) розробив методи розв'язання рівнянь алгебри та систем таких рівнянь з багатьма невідомими в раціональних числах. Наприклад, він вирішив у раціональних числах рівняння , систему рівнянь і т.д. (Див. Діофантові рівняння).

Деякі геометричні завдання: подвоєння куба, трисекція кута (див. Класичні завдання давнини), побудова правильного семикутника – призводять до розв'язання кубічних рівнянь. По ходу рішення потрібно знайти точки перетину конічних перерізів (еліпсів, парабол і гіпербол). Користуючись геометричними методами, математики середньовічного Сходу досліджували розв'язання кубічних рівнянь. Однак їм не вдалося вивести формулу для їх вирішення. Першим великим відкриттям західноєвропейської математики було отримано XVI в. формула для розв'язання кубічного рівняння. Оскільки в той час негативні числа ще не набули поширення, довелося окремо розбирати такі типи рівнянь, як і т. д. Італійський математик С. дель-Ферро (1465-1526) вирішив рівняння і повідомив рішення своєму зятю і учневі А.-М . Фіоре, який викликав на математичний турнір чудового математика-самоучка Н. Тарталлю (1499-1557). За кілька днів до турніру Тарталья знайшов загальний методвирішення кубічних рівнянь і переміг, швидко вирішивши всі запропоновані йому 30 завдань. Однак знайдена Тартальєю формула для вирішення рівняння

Створення символіки алгебри та узагальнення поняття числа аж до комплексних чисел дозволили в XVII-XVIII ст. досліджувати загальні властивостіалгебраїчних рівнянь вищих ступенів, а також загальні властивості багаточленів від одного та кількох змінних.

Однією з самих важливих завданьтеорії рівнянь алгебри в XVII-XVIII ст. було відшукання формули на вирішення рівняння 5-го ступеня. Після безплідних пошуків багатьох алгебраїстських поколінь зусиллями французького вченого XVIII ст. Ж. Лагранжа (1736-1813), італійського вченого П. Руффіні (1765-1822) та норвезького математика Н. Абеля в кінці XVIII – початку XIXв. було доведено, що немає формули, з допомогою якої можна висловити коріння будь-якого рівняння 5-го ступеня через коефіцієнти рівняння, використовуючи лише арифметичні операції та вилучення коренів. Ці дослідження були завершені роботами Е. Галуа, теорія якого дозволяє для будь-якого рівняння визначити, чи виражаються його коріння в радикалах. Ще раніше К.Ф. Гаус вирішив проблему вираження у квадратних радикалах коренів рівняння, до якого зводиться завдання про побудову за допомогою циркуля та лінійки правильного -кутника. Зокрема, за допомогою цих інструментів неможливо побудувати правильний семикутник, дев'ятикутник і т.д. - така побудова можлива лише у випадку, коли - проста кількість виду або твір різних простих чиселтакого виду.

Поряд із пошуками формул для вирішення конкретних рівнянь було досліджено питання про існування коренів у будь-якого рівня алгебри. У XVIII ст. французький філософ і математик Ж. Д'Аламбер довів, що будь-яке рівняння алгебри ненульового ступеня з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. У доказі Д'Аламбера були пропуски, заповнені потім Гауссом. З цієї теореми випливало, що будь-який многочлен-й ступеня розкладається у твір лінійних множників.

В даний час теорія систем рівнянь алгебри перетворилася на самостійну область математики, звану алгебраїчною геометрією. У ній вивчаються лінії, поверхні та різноманіття вищих розмірностей, що задаються системами таких рівнянь.