Логарифми з однаковими. Логарифми: приклади та рішення

Наведено основні властивостінатурального логарифму, графік, область визначення, безліч значень, основні формули, похідна, інтеграл, розкладання в статечний рядта подання функції ln x за допомогою комплексних чисел.

Визначення

Натуральний логарифм- це функція y = ln x, зворотна до експоненти , x = e y , що є логарифмом на основі числа е : ln x = log e x.

Натуральний логарифм широко використовується в математиці, оскільки його похідна має найпростіший вид: (ln x)′ = 1/ x.

Виходячи з визначення, основою натурального логарифму є число е:
е ≅ 2,718281828459045...;
.

Графік функції y = ln x.

Графік натурального логарифму (функції y = ln x) Виходить з графіка експоненти дзеркальним відображеннямщодо прямої y = x.

Натуральний логарифм визначено при позитивних значенняхзмінної x. Він монотонно зростає у своїй області визначення.

При x → 0 межею натурального логарифму є мінус нескінченність (-∞).

При x → + ∞ межею натурального логарифму є плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих логарифм зростає досить повільно. Будь-яка статечна функція x a з позитивним показником ступеня a зростає швидше за логарифму.

Властивості натурального логарифму

Область визначення, безліч значень, екстремуми, зростання, спадання

Натуральний логарифм є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості натурального логарифму представлені у таблиці.

Значення ln x

ln 1 = 0

Основні формули натуральних логарифмів

Формули, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Будь-який логарифм можна виразити через натуральні логарифми за допомогою формули заміни основи:

Докази цих формул представлені у розділі "Логарифм".

Зворотня функція

Зворотною для натурального логарифму є експонента.

Якщо то

Якщо то .

Похідна ln x

Похідна натурального логарифму:
.
Похідна натурального логарифму від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Інтеграл

Інтеграл обчислюється інтегруванням частинами:
.
Отже,

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексної змінної z:
.
Виразимо комплексну змінну zчерез модуль rта аргумент φ :
.
Використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або
.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Якщо покласти
де n - ціле,
то буде тим самим числом при різних n .

Тому натуральний логарифм як функція від комплексного змінного є неоднозначною функцією.

Розкладання в статечний ряд

При має місце розкладання:

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Логарифм числа b (b > 0) на підставі a (a > 0, a ≠ 1)- Показник ступеня, в який потрібно звести число a, щоб отримати b.

Логарифм числа b на підставі 10 можна записати як lg(b), а логарифм на основі e (натуральний логарифм) – ln(b).

Часто використовується при вирішенні задач з логарифмами:

Властивості логарифмів

Існує чотири основні властивості логарифмів.

Нехай a > 0, a ≠ 1, x > 0 та y > 0.

Властивість 1. Логарифм твору

Логарифм твору дорівнює сумілогарифмів:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Властивість 2. Логарифм приватного

Логарифм приватного дорівнює різницілогарифмів:

log a (x / y) = log a x - log a y

Властивість 3. Логарифм ступеня

Логарифм ступеня дорівнює творуступеня на логарифм:

Якщо ступеня знаходиться основа логарифму, то діє інша формула:

Властивість 4. Логарифм кореня

Даною властивість можна отримати з властивості логарифм ступеня, так як корінь n-ого ступеня дорівнює ступеню 1/n:

Формула переходу від логарифму в одній підставі до логарифму при іншій основі

Ця формула також часто застосовується при вирішенні різних завданьна логарифми:

Окремий випадок:

Порівняння логарифмів (нерівності)

Нехай у нас є 2 функції f(x) та g(x) під логарифмами з однаковими основами і між ними стоїть знак нерівності:

Щоб їх порівняти, потрібно спочатку подивитися на основу логарифмів a:

Якщо a > 0, то f(x) > g(x) > 0
Якщо 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Як вирішувати задачі з логарифмами: приклади

Завдання з логарифмамивключені до складу ЄДІ з математики для 11 класу у завданні 5 та завданні 7, ви можете знайти завдання з рішеннями на нашому сайті у відповідних розділах. Також завдання з логарифмами зустрічаються у банку завдань з математики. Всі приклади можна знайти через пошук по сайту.

Що таке логарифм

Логарифми завжди вважалися складною темоюу шкільному курсі математики. існує багато різних визначеньлогарифма, але більшість підручників чомусь використовують найскладніші та найневдаліші з них.

Ми ж визначимо логарифм просто та наочно. Для цього складемо таблицю:

Отже, маємо ступеня двійки.

Логарифми – властивості, формули, як вирішувати

Якщо взяти число з нижнього рядка, можна легко знайти ступінь, у якому доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести до четвертого ступеня. А щоб отримати 64, треба два звести на шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер – власне, визначення логарифму:

на підставі a від аргументу x - це ступінь, у якому треба звести число a, щоб отримати число x.

Позначення: log a x = b, де a - основа, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (логарифм на підставі 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 = 8). З тим самим успіхом log 2 64 = 6, оскільки 2 6 = 64.

Операцію знаходження логарифму числа за заданою основою називають. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

На жаль, не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм лежатиме десь на відрізку . Тому що 2 2< 5 < 2 3 , а чем більше ступіньдвійки, тим більше вийде число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати нескінченно, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важливо розуміти, що логарифм - це вираз із двома змінними (підстава та аргумент). Багато хто спочатку плутає, де знаходиться підстава, а де - аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

Перед нами - не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм – це ступінь, В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент. Саме основа зводиться у ступінь - на картинці воно виділено червоним. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правилоя розповідаю своїм учням на першому ж занятті – і жодної плутанини не виникає.

Як рахувати логарифми

З визначенням розібралися - залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливі факти:

Аргумент і основа завжди повинні бути більше нуля. Це випливає з визначення ступеня раціональним показником, До якого зводиться визначення логарифму.
Підстава повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею. Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеження називаються областю допустимих значень (ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифму має такий вигляд: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

Тепер розглянемо загальну схемуобчислення логарифмів. Вона складається із трьох кроків:

Подати основу a та аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою підставою, великі одиниці. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;
Вирішити щодо змінної рівняння: x = a b ;
Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо одразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25

Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Отримали відповідь: 2.

Завдання. Обчисліть логарифм:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64

Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Отримали відповідь: 3.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1

Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Отримали відповідь: 0.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14

Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
Відповідь – без змін: log 7 14.

Невелике зауваження до останньому прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто - достатньо розкласти його на прості множники. Якщо в розкладанні є хоча б два різні множники, число не є точним ступенем.

Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;

Зауважимо також, що самі прості числазавжди є точними ступенями самих себе.

Десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.

від аргументу x - це логарифм на підставі 10, тобто. ступінь, у який треба звести число 10, щоб одержати число x. Позначення lg x.

Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.

Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x

Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.

Натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Мова йдепро натуральний логарифм.

від аргументу x - це логарифм на основі e, тобто. ступінь, у якому треба звести число e, щоб одержати число x. Позначення: ln x.

Багато хто спитає: що ще за число e? Це ірраціональне число, його точне значеннязнайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459 ...

Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x

Отже, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 – ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числаірраціональний. Крім, зрозуміло, одиниці: ln1 = 0.

Для натуральних логарифмівсправедливі всі правила, які правильні для звичайних логарифмів.

Дивіться також:

Логарифм. Властивості логарифму (ступінь логарифму).

Як уявити число у вигляді логарифму?

Використовуємо визначення логарифму.

Логарифм - це показник ступеня, в який треба звести основу, щоб отримати число, що стоїть під знаком логарифму.

Таким чином, щоб представити деяке число c у вигляді логарифму на підставі a, треба під знак логарифму поставити ступінь з тією самою основою, що й основа логарифму, а в показник ступеня записати це число c:

У вигляді логарифму можна представити абсолютно будь-яке число - позитивне, негативне, ціле, дробове, раціональне, ірраціональне:

Щоб у стресових умовах контрольної або іспиту не переплутати a та c, можна скористатися таким правилом для запам'ятовування:

те, що внизу йде вниз, те, що вгорі, йде вгору.

Наприклад, потрібно подати число 2 у вигляді логарифму на підставі 3.

У нас є два числа – 2 і 3. Ці числа – основа та показник ступеня, який ми запишемо під знак логарифму. Залишається визначити, яке з цих чисел потрібно записати вниз, в основу ступеня, а яке вгору, в показник.

Основа 3 в записі логарифму стоїть внизу, значить, коли ми представлятимемо двійку у вигляді логарифму на підставі 3, 3 також запишемо вниз, в основу.

2 стоїть вище за трійку. І в записі ступеня двійку запишемо вище за трійку, тобто, в показник ступеня:

Логарифми. Початковий рівень.

Логарифми

Логарифмом позитивного числа bна підставі a, де a > 0, a ≠ 1, називається показник ступеня, в який треба звести число a, Щоб отримати b.

Визначення логарифмуможна коротко записати так:

Ця рівність справедлива за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Його зазвичай називають логарифмічним тотожністю.
Дія знаходження логарифму числа називають логарифмування.

Властивості логарифмів:

Логарифм твору:

Логарифм приватного від поділу:

Заміна основи логарифму:

Логарифм ступеня:

Логарифм кореня:

Логарифм зі статечним підґрунтям:

Десяткові та натуральні логарифми.

Десятичним логарифмомчисла називають логарифм цього числа на підставі 10 і пишуть lg b
Натуральним логарифмомчисла називають логарифм цього числа на підставі e, де e- Ірраціональне число, приблизно дорівнює 2,7. При цьому пишуть ln b.

Інші нотатки з алгебри та геометрії

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими основами: log a x та log a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

log a x + log a y = log a (x · y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий моменттут - однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний виразнавіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Log 6 4 + Log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Та що контрольні подібні висловлюванняна повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Неважко помітити, що останнє правилослід їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс при дотриманні ОДЗлогарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчіться застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму.

Як вирішувати логарифми

Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм log a x. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічаються у звичайних числових виразів. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише за рішенням логарифмічних рівняньта нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу.

У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

log a a = 1 - це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
log a 1 = 0 - це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 це прямий слідствоіз визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

Цим відео я починаю довгу серію уроків про логарифмічні рівняння. Зараз перед вами одразу три приклади, на основі яких ми вчитимемося вирішувати самі прості завдання, які так і називаються найпростіші.

log 0,5 (3x − 1) = −3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Нагадаю, що найпростішим логарифмічним рівнянням називається таке:

log a f(x) = b

При цьому важливо, щоб змінна х присутня тільки всередині аргументу, тобто тільки функції f (x ). А числа а і b є саме числами, а в жодному разі не функціями, що містять змінну х.

Основні методи вирішення

Існує безліч способів розв'язання таких конструкцій. Наприклад, більшість вчителів у школі пропонують такий спосіб: Відразу висловити функцію f(x) за формулою f ( x) = a b. Т. е. коли ви зустрічаєте найпростішу конструкцію, відразу без додаткових дій і побудов можете перейти до вирішення.

Так, безумовно, рішення вийде правильним. Однак проблема цієї формули полягає в тому, що більшість учнів не розуміютьзвідки вона береться і чому саме букву а ми зводимо в букву b.

В результаті я часто спостерігаю дуже образливі помилки, коли, наприклад, ці літери змінюються місцями. Цю формулуТреба або зрозуміти, або зубрити, причому другий спосіб призводить до помилок у найневідповідніші і найвідповідальніші моменти: на іспитах, контрольних і т. д.

Саме тому всім своїм учням я пропоную відмовитися від стандартної шкільної формули та використати для вирішення логарифмічних рівнянь другий підхід, який, як ви вже напевно здогадалися з назви, називається канонічною формою.

Ідея канонічної формипроста. Давайте ще раз подивимося на наше завдання: ліворуч у нас є log a, при цьому під буквою a мається на увазі саме число, а в жодному разі не функція, що містить змінну х. Отже, на цю літеру поширюються всі обмеження, що накладаються на основу логарифму. а саме:

1 ≠ a > 0

З іншого боку, з того ж рівняння ми бачимо, що логарифм має бути дорівнює числу b , і ось на цю літеру жодних обмежень не накладається, тому що він може набувати будь-яких значень — як позитивних, так і негативних. Все залежить від того, які значення набуває функція f(x).

І ось тут ми згадуємо наше чудове правило, що будь-яке число b може бути представлене у вигляді логарифму на підставі а від ступеня b :

b = log a a b

Як запам'ятати цю формулу? Так, дуже просто. Давайте запишемо таку конструкцію:

b = b · 1 = b · log a a

Вочевидь, що у своїй виникають усі обмеження, які ми записали спочатку. А тепер давайте скористаємося основною властивістю логарифму, і внесемо множник b як ступінь а. Отримаємо:

b = b · 1 = b · log a a = log a a b

У результаті вихідне рівняння перепишеться у такому вигляді:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

От і все. Нова функціявже не містить логарифму і вирішується стандартними прийомами алгебри.

Звичайно, хтось зараз заперечить: а навіщо взагалі було вигадувати якусь канонічну формулу, навіщо виконувати два додаткові непотрібні кроки, якщо можна було одразу перейти від вихідної конструкції до підсумкової формули? Та вже хоча б тому, що більшість учнів не розуміють, звідки береться ця формула і, як наслідок, регулярно припускаються помилок при її застосуванні.

А ось така послідовність дій, що складається з трьох кроків, дозволяє вам вирішити вихідне логарифмічне рівняння, навіть якщо ви не розумієте, звідки береться та сама підсумкова формула. До речі, канонічною формулоюназивається саме цей запис:

log a f(x) = log a a b

Зручність канонічної форми полягає ще й у тому, що її можна застосовувати для вирішення дуже широкого класу логарифмічних рівнянь, а не лише найпростіших, які ми сьогодні розглядаємо.

Приклади рішення

А тепер давайте розглянемо реальні приклади. Отже, вирішуємо:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Давайте перепишемо його так:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Багато учнів поспішають і намагаються одразу звести число 0,5 у ступінь, який прийшов до нас із вихідного завдання. І справді, коли ви вже добре натренуєтеся у вирішенні подібних завдань, ви можете одразу виконувати цей крок.

Однак якщо зараз ви тільки приступаєте до вивчення цієї теми, краще нікуди не поспішати, щоб не допускати образливих помилок. Отже, маємо канонічна форма. Маємо:

3x − 1 = 0,5 −3

Це вже не логарифмічне рівняння, а лінійне щодо змінної x. Щоб розв'язати його, давайте спочатку розберемося з числом 0,5 у ступені −3. Зауважимо, що 0,5 – це 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Усе десяткові дробиПереводьте у звичайні, коли ви вирішуєте логарифмічне рівняння.

Переписуємо та отримуємо:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Все, ми отримали відповідь. Перше завдання вирішено.

Друге завдання

Переходимо до другого завдання:

Як бачимо, це рівняння вже не є найпростішим. Вже хоча б тому, що ліворуч стоїть різниця, а не один-єдиний логарифм з однієї основи.

Отже, потрібно якимось чином позбутися цієї різниці. У даному випадкувсе дуже просто. Давайте уважно подивимося на підстави: зліва стоїть число під коренем:

Загальна рекомендація: у всіх логарифмічних рівняннях намагайтеся позбавитися радикалів, тобто від записів з корінням і переходити до статечних функцій, просто тому що показники цих ступенів легко виносяться за знак логарифму і в кінцевому рахунку такий запис істотно спрощує і прискорює обчислення. Ось давайте так і запишемо:

Тепер згадуємо чудова властивістьлогарифма: з аргументу, і навіть з підстави можна виносити ступеня. У разі підстави відбувається таке:

log a k b = 1/k loga b

Інакше кажучи, число, яке стояло ступеня підстави, виноситься вперед і навіть перевертається, т. е. стає зворотним числом. У нашому випадку стояла ступінь основи з показником 1/2. Отже, ми можемо винести її як 2/1. Отримаємо:

5 · 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Зверніть увагу: у жодному разі не можна позбавлятися логарифмів на цьому кроці. Згадайте математику 4—5 класу та порядок дій: спочатку виконується множення, а лише потім — додавання та віднімання. В даному випадку ми з 10 елементів віднімаємо один такий:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Тепер наше рівняння виглядає як слід. Це найпростіша конструкція, і ми вирішуємо його за допомогою канонічної форми:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

От і все. Друге завдання вирішено.

Третій приклад

Переходимо до третього завдання:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Нагадаю таку формулу:

lg b = log 10 b

Якщо вас з якихось причин бентежить запис lg b, то при виконанні всіх обчислень ви можете записати просто log 10 b. З десятковими логарифмами можна працювати так само, як і з іншими: виносити ступеня, складати та подавати будь-які числа у вигляді lg 10.

Ось саме цими властивостями ми зараз і скористаємося для вирішення завдання, оскільки вона не є найпростішою, яку ми записали на початку нашого уроку.

Для початку зауважимо, що множник 2, що стоїть перед lg 5, може бути внесений і стане ступенем основи 5. Крім того, вільний доданок 3 також представимо у вигляді логарифму - це дуже легко спостерігати з нашого запису.

Судіть самі: будь-яке число можна подати у вигляді log на підставі 10:

3 = log 10 10 3 = lg 10 3

Перепишемо вихідне завдання з урахуванням отриманих змін:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 · 25
lg (x − 3) = lg 25 000

Перед нами знову канонічна форма, причому ми отримали її, минаючи стадію перетворень, тобто найпростіше логарифмічне рівняння ми ніде не спливало.

Саме про це я й говорив на початку уроку. Канонічна форма дозволяє вирішувати ширший клас завдань, ніж стандартна шкільна формула, яку пропонують більшість шкільних вчителів.

Ну і все, позбавляємося знаку десяткового логарифму, і отримуємо просту лінійну конструкцію:

x + 3 = 25000
x = 24997

Всі! Завдання вирішено.

Зауваження щодо області визначення

Тут би хотілося навести важливе зауваження щодо області визначення. Напевно зараз знайдуться учні та вчителі, які скажуть: «Коли ми вирішуємо висловлювання з логарифмами, необхідно обов'язково пам'ятати, що аргумент f(x) має бути більшим за нуль!» У зв'язку з цим виникає логічне питання: чому в жодному з розглянутих завдань ми не вимагали, щоб ця нерівність виконувалася?

Не хвилюйтесь. Жодного зайвого коріння в цих випадках не виникне. І це ще одна чудова хитрість, що дозволяє прискорити рішення. Просто знайте, що якщо в задачі змінна х зустрічається лише в одному місці (а точніше - в одному-єдиному аргументі одного-єдиного логарифму), і більше ніде в нашому випадку немає змінної х, то записувати область визначення не потрібнотому, що вона буде виконуватися автоматично.

Судіть самі: у першому рівнянні ми отримали, що 3х - 1, тобто аргумент має дорівнювати 8. Це автоматично означає, що 3х - 1 буде більше нуля.

З тим самим успіхом ми можемо записати, що в другому випадку х повинен дорівнювати 5 2 , тобто він свідомо більше за нуль. А в третьому випадку, де х + 3 = 25 000, тобто знову ж таки свідомо більше нуля. Іншими словами, область визначення виконується автоматично, але лише за умови, що х зустрічається лише в аргументі лише одного логарифму.

Ось і все, що потрібно знати для вирішення найпростіших завдань. Вже одне це правило разом із правилами перетворення дозволить вам вирішувати дуже широкий клас завдань.

Але будьмо чесними: для того, щоб остаточно розібратися з цим прийомом, щоб навчитися застосовувати канонічну форму логарифмічного рівняння, недостатньо просто подивитися один відеоурок. Тому прямо зараз завантажте варіанти для самостійного рішення, які додаються до цього відеоуроку та почніть вирішувати хоча б одну з цих двох самостійних робіт.

Часу у вас піде буквально кілька хвилин. А ось ефект від такого навчання буде набагато вищим у порівнянні з тим, якби ви просто переглянули даний відеоурок.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам розібратися з логарифмічними рівняннями. Застосовуйте канонічну форму, спрощуйте висловлювання за допомогою правил роботи з логарифмами — і жодні завдання вам не будуть страшні. А в мене сьогодні все.

Облік області визначення

Тепер поговоримо про область визначення логарифмічної функції, а також про те, як це впливає на розв'язання логарифмічних рівнянь. Розглянемо конструкцію виду

log a f(x) = b

Такий вираз називається найпростішим - у ньому лише одна функція, а числа а і b - це саме числа, а в жодному разі не функція, яка залежить від змінної х. Вирішується воно дуже просто. Достатньо лише використати формулу:

b = log a a b

Дана формула є однією з ключових властивостей логарифму, і при підстановці в наш вихідний вираз ми отримаємо наступне:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Це вже знайома формула з шкільних підручників. У багатьох учнів напевно виникне питання: оскільки у вихідному вираженні функція f (x ) стоїть під знаком log, на неї накладаються такі обмеження:

f(х) > 0

Це обмеження діє тому, що логарифм від негативних чиселне існує. То, можливо, внаслідок цього обмеження слід запровадити перевірку на відповіді? Можливо, їх треба підставляти у вихідник?

Ні, у найпростіших логарифмічних рівняннях додаткова перевірка зайва. І ось чому. Погляньте на нашу підсумкову формулу:

f(x) = a b

Справа в тому, що число а в будь-якому випадку більше 0 - ця вимога також накладається логарифмом. Число а є основою. При цьому кількість b ніяких обмежень не накладається. Але це й неважливо, тому що в який би ступінь ми не зводили б позитивне число, на виході ми все одно отримаємо позитивне число. Таким чином, вимога f(х) > 0 виконується автоматично.

Що дійсно варто перевіряти, то це область визначення функції, що стоїть під знаком log. Там можуть зустрічатися досить складні конструкції, і в процесі вирішення за ними обов'язково потрібно стежити. Давайте подивимося.

Перше завдання:

Перший крок: перетворимо дріб справа. Отримаємо:

Позбавляємося знаку логарифму та отримуємо звичайне ірраціональне рівняння:

З отриманого коріння нас влаштовує лише перший, тому що другий корінь менше нуля. Єдиною відповіддю буде число 9. Все, завдання вирішено. Ніяких додаткових перевірок того, що вираз під знаком логарифму більше 0, не потрібно, тому що воно не просто більше 0, а за умовою рівняння воно дорівнює 2. Отже, вимога більше нуля виконується автоматично.

Переходимо до другого завдання:

Тут все те саме. Переписуємо конструкцію, замінюючи трійку:

Позбавляємося знаків логарифму та отримуємо ірраціональне рівняння:

Зводимо обидві частини в квадрат з урахуванням обмежень та отримуємо:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Вирішуємо отримане рівняння через дискримінант:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Але x = −6 нас не влаштовує, тому що якщо ми підставимо це число до нашої нерівності, то отримаємо:

−6 + 4 = −2 < 0

У нашому випадку потрібно, щоб було більше, ніж 0 або в крайньому випадкуодно. А ось x = −1 нам підходить:

−1 + 4 = 3 > 0

Єдиною відповіддю у нашому випадку буде x = −1. Ось і все рішення. Давайте повернемося до самого початку наших обчислень.

Основний висновок із цього уроку: перевіряти обмеження для функції у найпростіших логарифмічних рівняннях не потрібно. Тому що в процесі вирішення всі обмеження виконуються автоматично.

Однак це в жодному разі не означає, що про перевірку можна взагалі забути. У процесі роботи над логарифмічним рівнянням цілком може перейти в ірраціональне, в якому будуть свої обмеження та вимоги до правої частини, в чому ми сьогодні переконалися на двох різних прикладах.

Сміливо вирішуйте такі завдання та будьте особливо уважні, якщо в аргументі стоїть корінь.

Логарифмічні рівняння з різними підставами

Продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо ще два досить цікаві прийоми, за допомогою яких модно вирішувати більше складні конструкції. Але для початку згадаємо, як вирішуються найпростіші завдання:

log a f(x) = b

У цьому записі а і b є саме числами, а функції f (x ) повинна бути змінна х, і тільки там, тобто х повинен знаходитися тільки в аргументі. Перетворювати такі логарифмічні рівняння ми за допомогою канонічної форми. Для цього зауважимо, що

b = log a a b

Причому a b це саме аргумент. Давайте перепишемо цей вислів так:

log a f(x) = log a a b

Ми саме цього і домагаємося, щоб і ліворуч, і праворуч стояв логарифм на підставі а. У цьому випадку ми можемо, образно кажучи, закреслити знаки log, а з точки зору математики ми можемо сказати, що ми прирівнюємо аргументи:

f(x) = a b

В результаті ми отримаємо новий вираз, який вирішуватиметься набагато простіше. Давайте застосуємо це правило до наших сьогоднішніх завдань.

Отже, перша конструкція:

Насамперед, зазначу, що справа стоїть дріб, у знаменнику якого знаходиться log. Коли ви бачите такий вираз, не зайвим буде згадати чудову властивість логарифмів:

Перекладаючи російською мовою, це означає, що будь-який логарифм може бути представлений у вигляді приватного двох логарифмів з будь-якою основою с. Зрозуміло, 0< с ≠ 1.

Так ось: у цієї формули є один чудовий окремий випадок, коли змінна дорівнює змінній b. У цьому випадку ми отримаємо конструкцію виду:

Саме таку конструкцію ми спостерігаємо від знаку праворуч у нашому рівнянні. Давайте замінимо цю конструкцію на log a b, отримаємо:

Іншими словами, у порівнянні з вихідним завданням, ми поміняли місцями аргумент та основу логарифму. Натомість нам довелося перевернути дріб.

Згадуємо, що будь-який ступінь можна виносити з основи за таким правилом:

Іншими словами, коефіцієнт k, який є ступенем основи, виноситься як перевернутий дріб. Давайте винесемо її як перевернутий дріб:

Дробний множник не можна залишати спереду, тому що в цьому випадку ми не зможемо представити цей запис як канонічну форму (адже в канонічній формі перед другим логарифмом додатковий множник не варто). Отже, давайте внесемо дріб 1/4 у аргумент у вигляді ступеня:

Тепер ми прирівнюємо аргументи, підстави яких однакові (а підстави у нас дійсно однакові), та записуємо:

x + 5 = 1

x = −4

От і все. Ми отримали відповідь до першого логарифмічного рівняння. Зверніть увагу: у вихідному завданні змінна х зустрічається лише в одному log, причому стоїть у його аргументі. Отже, перевіряти область визначення не потрібно, і наше число х = −4 є дійсно відповіддю.

Тепер переходимо до другого виразу:

lg 56 = lg 2 log 2 7 − 3lg (x + 4)

Тут крім звичайних логарифмів нам доведеться працювати з lg f (x ). Як розв'язувати таке рівняння? Непідготовленому учневі може здатися, що це якась бляха, але насправді все вирішується елементарно.

Уважно подивіться на доданок lg 2 log 2 7. Що ми можемо про нього сказати? Підстави та аргументи log і lg збігаються, і це має наводити на деякі думки. Давайте ще раз пригадаємо, як виносяться ступені з-під знака логарифму:

log a b n = nlog a b

Іншими словами, те, що було ступенем при числі b в аргументі, стає множником перед самим log. Давайте застосуємо цю формулу для вираження lg 2 log 2 7. Нехай вас не лякає lg 2 - це звичайнісінький вираз. Можна переписати його так:

Для нього справедливі всі правила, які діють будь-якого іншого логарифму. Зокрема, множник, що стоїть попереду, можна внести до міри аргументу. Давайте запишемо:

Дуже часто учні впритул не бачать цієї дії, тому що погано вносити один log під знак іншого. Насправді нічого кримінального у цьому немає. Більш того, ми отримуємо формулу, яка легко вважається, якщо пам'ятати важливе правило:

Цю формулу можна розглядати і як визначення, і як одну з його властивостей. У будь-якому випадку, якщо ви перетворюєте логарифмічне рівняння, цю формулу ви повинні знати так само, як і уявлення будь-якого числа у вигляді log.

Повертаємось до нашого завдання. Переписуємо його з урахуванням того факту, що перший доданок праворуч від знака рівності буде дорівнює просто lg 7. Маємо:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Давайте перенесемо lg 7 вліво, отримаємо:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Віднімаємо вирази зліва, тому що вони мають одну й ту саму основу:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Тепер уважно подивимося на рівняння, яке ми отримали. Воно практично є канонічною формою, проте справа є множник −3. Давайте внесемо його до аргументу правого lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння, тому викреслюємо знаки lg і прирівнюємо аргументи:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

От і все! Ми вирішили друге логарифмічне рівняння. При цьому жодних додаткових перевірок не потрібно, тому що у вихідному завданні х був присутній лише в одному аргументі.

Перелічу ще раз ключові моменти цього уроку.

Головна формула, яка вивчається у всіх уроках на цій сторінці, присвяченій розв'язанню логарифмічних рівнянь, – це канонічна форма. І нехай вас не лякає те, що у більшості шкільних підручників вас вчать вирішувати подібні завданняпо іншому. Цей інструментпрацює дуже ефективно і дозволяє вирішувати набагато ширший клас завдань, ніж найпростіші, які ми вивчали на початку нашого уроку.

Крім того, для вирішення логарифмічних рівнянь корисно знатиме основні властивості. А саме:

Формулу переходу до однієї основи та окремий випадок, коли ми перевертаємо log (це дуже знадобилося нам у першому завданні);
Формулу внесення та винесення ступенів з-під знака логарифму. Тут багато учнів зависають і впритул не бачать, що ступінь, що виноситься і вноситься, сам може містити log f (x ). Нічого страшного у цьому немає. Ми можемо вносити один log на знак іншого і при цьому суттєво спрощувати розв'язання задачі, що ми й спостерігаємо у другому випадку.

У висновку хотів би додати, що перевіряти область визначення у кожному з цих випадках не потрібно, тому що скрізь змінна х є тільки в одному знаку log, і при цьому знаходиться в його аргументі. Як наслідок, всі вимоги області визначення виконуються автоматично.

Завдання зі змінною основою

Сьогодні ми розглянемо логарифмічні рівняння, які для багатьох учнів здаються нестандартними, а то й зовсім нерозв'язними. Йдеться про висловлювання, на основі яких стоять не числа, а змінні і навіть функції. Вирішувати такі конструкції ми будемо за допомогою нашого стандартного прийому, А саме через канонічну форму.

Для початку пригадаємо, як вирішуються найпростіші завдання, на основі яких стоять звичайні числа. Отже, найпростішою називається конструкція виду

log a f(x) = b

Для вирішення таких завдань ми можемо використати таку формулу:

b = log a a b

Переписуємо наш вихідний вираз і отримуємо:

log a f(x) = log a a b

Потім ми прирівнюємо аргументи, тобто записуємо:

f(x) = a b

Таким чином, ми позбавляємося знаку log і вирішуємо вже звичайне завдання. При цьому одержані при вирішенні корені і будуть корінням вихідного логарифмічного рівняння. Крім того, запис, коли і ліворуч, і праворуч стоїть по тому самому логарифму з однією і тією ж підставою, якраз і називається канонічною формою. Саме до такого запису ми намагатимемося звести сьогоднішні конструкції. Тож поїхали.

Перше завдання:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Замінюємо 1 на log x − 2 (x − 2) 1 . Той ступінь, який ми спостерігаємо в аргументу, це, насправді, то число b, яке стояло праворуч від знака рівності. Таким чином, перепишемо наш вираз. Отримаємо:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Що ми бачимо? Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння, тому ми можемо сміливо прирівняти аргументи. Отримаємо:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Але на цьому рішення не закінчується, бо дане рівнянняне рівносильно вихідному. Адже отримана конструкція складається з функцій, які визначені по всій числовій прямій, а наші вихідні логарифми визначені не скрізь і не завжди.

Тому ми маємо окремо записати область визначення. Давайте не мудруватимемо і для початку запишемо всі вимоги:

По-перше, аргумент кожного з логарифмів повинен бути більшим за 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

По-друге, основа має бути не тільки більше 0, але і відмінно від 1:

x − 2 ≠ 1

У результаті отримаємо систему:

Але ви не лякайтеся: при обробці логарифмічних рівнянь таку систему можна значно спростити.

Судіть самі: з одного боку, від нас потрібно, щоб квадратична функція була більша за нуль, а з іншого боку — ця квадратична функція прирівнюється до якогось лінійного виразу, від якого також потрібно, щоб воно було більше за нуль.

У такому разі, якщо ми вимагаємо, щоб x − 2 > 0, то автоматично буде виконуватись і вимога 2x 2 − 13x + 18 > 0. Тому ми можемо сміливо закреслити нерівність, що містить квадратичну функцію. Таким чином, кількість виразів, що міститься у нашій системі, зменшиться до трьох.

Зрозуміло, з тим самим успіхом ми могли б закреслити і лінійна нерівність, Т. е. викреслити x − 2 > 0 і вимагати, щоб 2x 2 − 13x + 18 > 0. Але погодьтеся, що вирішити найпростішу лінійну нерівність набагато швидше і простіше, ніж квадратична, нехай навіть за умови, що в результаті рішення всієї цієї системи ми отримаємо те саме коріння.

Загалом, наскільки можна намагайтеся оптимізувати обчислення. І у випадку з логарифмічними рівняннями викреслюйте найскладніші нерівності.

Давайте перепишемо нашу систему:

Ось така система із трьох висловів, із двома з яких ми, по суті, вже розібралися. Давайте окремо випишемо квадратне рівнянняі вирішимо його:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Перед нами наведений квадратний тричлені, отже, ми можемо скористатися формулами Вієта. Отримаємо:

(х - 5) (х - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

А тепер повертаємося до нашої системи і виявляємо, що х = 2 нас не влаштовує, тому що від нас вимагається, щоб х був більшим, ніж 2.

А ось х = 5 нас цілком влаштовує: число 5 більше, ніж 2, і при цьому 5 не дорівнює 3. Отже, єдиним рішеннямданої системи буде х = 5.

Все завдання вирішено, в т. ч. з урахуванням ОДЗ. Переходимо до другого рівняння. Тут на нас чекають більш цікаві та змістовні викладки:

Перший крок: як і в Минулого разу, наводимо всю цю справу до канонічної форми. Для цього число 9 ми можемо записати так:

Підставу з коренем можна не чіпати, а ось аргумент краще перетворити. Давайте перейдемо від кореня до рівня з раціональним показником. Запишемо:

Давайте я не переписуватиму все наше велике логарифмічне рівняння, а просто відразу прирівняю аргументи:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Перед нами знову наведений квадратний тричлен, скористаємося формулами Вієта і запишемо:

(х + 3) (х + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Отже, ми одержали коріння, але ніхто нам не гарантував, що вони підійдуть до початкового логарифмічного рівняння. Адже знаки log накладають додаткові обмеження (тут ми мали б записати систему, але через громіздкість всієї конструкції я вирішив порахувати область визначення окремо).

Насамперед згадуємо, що аргументи мають бути більше 0, а саме:

Це і є вимоги, що накладаються областю визначення.

Відразу зауважимо, що оскільки ми прирівнюємо перші два вирази системи один до одного, то будь-яке з них ми можемо викреслити. Давайте викреслимо першу, тому що вона виглядає більш загрозливо, ніж друга.

Крім того, зауважимо, що рішенням другої та третьої нерівності будуть одні й ті множини (куб якогось числа більше нуля, якщо саме це число більше нуля; аналогічно і з коренем третього ступеня — ці нерівності повністю аналогічні, тому одну з них ми можемо викреслити).

А ось із третьою нерівністю таке не пройде. Позбавимося знака радикала, що стоїть зліва, для чого зведемо обидві частини в куб. Отримаємо:

Отже, ми отримуємо такі вимоги:

− 2 ≠ x > −3

Яке з наших коренів: x 1 = −3 або x 2 = −1 відповідає цим вимогам? Очевидно, що тільки х = −1, тому що х = −3 не задовольняє першу нерівність (бо нерівність у нас сувора). Отже, повертаючись до нашого завдання, ми отримуємо один корінь: х = −1. Ось і все, завдання вирішено.

Ще раз ключові моменти цієї задачі:

Не соромтеся застосовувати та вирішувати логарифмічні рівняння за допомогою канонічної форми. Учні, які роблять такий запис, а не переходять безпосередньо від вихідного завдання до конструкції типу log a f (x ) = b допускають набагато менше помилок, ніж ті, які кудись поспішають, пропускаючи проміжні кроки обчислень;
Як тільки у логарифмі з'являється змінна основа, Завдання перестає бути найпростішим. Отже, при його вирішенні необхідно враховувати область визначення: аргументи повинні бути більшими за нуль, а підстави — не тільки більше 0, але ще вони не повинні дорівнювати 1.

Накладати останні вимоги на підсумкові відповіді можна по-різному. Наприклад, можна вирішувати цілу систему, що містить усі вимоги до області визначення. З іншого боку, можна спочатку вирішити саме завдання, а потім згадати область визначення, окремо пропрацювати її у вигляді системи і накласти на отримані корені.

Який спосіб вибирати при вирішенні конкретного логарифмічного рівняння вирішувати тільки вам. У будь-якому випадку відповідь вийде та сама.

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log a xта log a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

log a x+ log a y= log a (x · y);
log a x− log a y= log a (x : y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Log 6 4 + Log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x> 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:
[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

[Підпис до малюнка]

Перехід до нової основи

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай дано логарифм log a x. Тоді для будь-якого числа cтакого, що c> 0 та c≠ 1, вірна рівність:
[Підпис до малюнка]
Зокрема, якщо покласти c = x, Отримаємо:
[Підпис до малюнка]

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

[Підпис до малюнка]

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

[Підпис до малюнка]

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

[Підпис до малюнка]

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число nстає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число nможе бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається: основна логарифмічна тотожність.

Справді, що буде, якщо число bзвести в такий ступінь, що число bу цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Завдання. Знайдіть значення виразу:
[Підпис до малюнка]

[Підпис до малюнка]

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ:)

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

log a a= 1 – це логарифмічна одиниця. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи aвід цього підстави дорівнює одиниці.
log a 1 = 0 – це логарифмічний нуль. Заснування aможе бути будь-яким, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 - це прямий наслідок визначення.

У співвідношенні

може бути завдання знайти будь-якого з трьох чисел за двома іншими, заданим. Якщо дані а то N знаходять дією зведення в ступінь. Якщо дані N і то а знаходять вилученням кореня ступеня х (або зведенням у ступінь). Тепер розглянемо випадок, коли з заданим а і N потрібно знайти х.

Нехай число N позитивно: число а позитивно і дорівнює одиниці: .

Визначення. Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня, в який потрібно звести а, щоб отримати число N; логарифм позначається через

Таким чином, у рівності (26.1) показник ступеня знаходять як логарифм N на підставі а. Записи

мають однаковий зміст. Рівність (26.1) іноді називають основною тотожністю теорії логарифмів; насправді воно висловлює визначення поняття логарифму. за даному визначеннюоснова логарифму завжди позитивно і від одиниці; логарифмується N позитивно. Негативні числа та нуль логарифмів не мають. Можна довести, що всяке число при даній підставі має певний логарифм. Тому рівність тягне за собою. Зауважимо, що тут істотно умова інакше висновок було б обгрунтований, оскільки рівність вірно за будь-яких значеннях х і у.

Приклад 1. Знайти

Рішення. Для отримання числа слід звести основу 2 у ступінь Тому.

Можна проводити записи при вирішенні таких прикладів у такій формі:

Приклад 2. Знайти.

Рішення. Маємо

У прикладах 1 і 2 ми легко знаходили шуканий логарифм, представляючи число, що логарифмується, як ступінь підстави з раціональним показником. У загальному випадкунаприклад для і т. д., цього зробити не вдасться, так як логарифм має ірраціональне значення. Звернімо увагу на одне пов'язане з цим твердженням питання. У п. 12 ми дали поняття про можливість визначення будь-якої дійсного ступеняданого позитивного числа. Це було необхідне запровадження логарифмів, які, взагалі кажучи, може бути ірраціональними числами.

Розглянемо деякі властивості логарифмів.

Властивість 1. Якщо число і основа рівні, то логарифм дорівнює одиниці, і, якщо логарифм дорівнює одиниці, то число і основа рівні.

Доведення. Нехай За визначенням логарифму маємо а звідки

Назад, нехай Тоді за визначенням

Властивість 2. Логарифм одиниці з будь-якої основи дорівнює нулю.

Доведення. За визначенням логарифму (нульовий ступінь будь-якої позитивної основи дорівнює одиниці, див. (10.1)). Звідси

що й потрібно було довести.

Правильно і зворотне затвердження: якщо , то N = 1. Дійсно, маємо .

Перш ніж сформулювати таку властивість логарифмів, умовимося говорити, що два числа а і b лежать по одну сторону від третього числа с, якщо вони обидва або більше, або менше с. Якщо одне з цих чисел більше с, а інше менше с, то говоритимемо, що вони лежать по різні сторонивід с.

Властивість 3. Якщо число і основа лежать з одного боку від одиниці, то логарифм позитивний; якщо число та основа лежать по різні боки від одиниці, то логарифм негативний.

Доказ властивості 3 заснований на тому, що ступінь а більше одиниці, якщо основа більше одиниці і показник позитивний або основа менше одиниці і показник негативний. Ступінь менше одиниці, якщо основа більша за одиницю і показник від'ємний або основа менша за одиницю і показник позитивний.

Потрібно розглянути чотири випадки:

Обмежимося розбором першого їх, інші читач розгляне самостійно.

Нехай тоді рівності показник ступеня може бути ні негативним, ні рівним нулю, отже, він позитивний, т. е. що потрібно було довести.

Приклад 3. З'ясувати, які із наведених нижче логарифмів позитивні, які негативні:

Рішення, а) оскільки число 15 і основа 12 розташовані по один бік від одиниці;

б) , оскільки 1000 та 2 розташовані по один бік від одиниці; при цьому несуттєво, що підстава більша за число, що логарифмується;

в) , оскільки 3,1 та 0,8 лежать по різні боки від одиниці;

г); чому?

д); чому?

Наступні властивості 4-6 часто називають правилами логарифмування: вони дозволяють, знаючи логарифми деяких чисел, знайти логарифми їхнього твору, приватного, ступеня кожного з них.

Властивість 4 (правило логарифмування твору). Логарифм добутку кількох позитивних чисел з цієї підстави дорівнює сумі логарифмів цих чисел з тієї ж підстави.

Доведення. Нехай дані позитивні числа.

Для логарифму їхнього твору напишемо визначальну логарифм рівність (26.1):

Звідси знайдемо

Порівнявши показники ступеня першого та останнього виразів, отримаємо необхідну рівність:

Зауважимо, що умова суттєво; логарифм добутку двох негативних чисел має сенс, але в цьому випадку отримаємо

У випадку, якщо добуток кількох співмножників позитивно, його логарифм дорівнює сумі логарифмів модулів цих співмножників.

Властивість 5 (правило логарифмування приватного). Логарифм приватного позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника, взятих з тієї ж підстави. Доведення. Послідовно знаходимо

що й потрібно було довести.

Властивість 6 (правило логарифмування ступеня). Логарифм ступеня якогось позитивного числа дорівнює логарифму цього числа, помноженого на показник ступеня.

Доведення. Запишемо знову основну тотожність (26.1) для числа:

що й потрібно було довести.

Слідство. Логарифм кореня з позитивного числа дорівнює логарифму підкореного числа, поділеному на показник кореня:

Довести справедливість цього слідства можна, представивши, як і скориставшись властивістю 6.

Приклад 4. Прологарифмувати на підставі а:

а) (передбачається, що всі величини b, с, d, е позитивні);

б) (передбачається, що).

Рішення, а) Зручно перейти в даному виразі до дробових ступенів:

На підставі рівностей (26.5)-(26.7) тепер можна записати:

Ми зауважуємо, що над логарифмами чисел виконуються дії простіші, ніж над самими числами: при множенні чисел їх логарифми складаються, при розподілі - віднімаються і т.д.

Саме тому логарифми набули застосування у обчислювальній практиці (див. п. 29).

Дія, зворотне логарифмування, називається потенціюванням, а саме: потенціюванням називається дія, за допомогою якого за даним логарифмом числа знаходиться саме це число. По суті потенціювання не є якоюсь особливою дією: воно зводиться до зведення підстави в ступінь ( рівну логарифмучисла). Термін "потенціювання" можна вважати синонімом терміна "зведення в ступінь".

При потенціювання треба користуватися правилами, зворотними по відношенню до правил логарифмування: суму логарифмів замінити логарифмом твору, різниця логарифмів - логарифмом приватного і т. д. Зокрема, якщо перед знаком логарифму знаходиться якийсь множник, то його при потенці ступінь під знак логарифму.

Приклад 5. Знайти N, якщо відомо, що

Рішення. У зв'язку з щойно висловленим правилом потенціювання множники 2/3 і 1/3, які стоять перед знаками логарифмів у правій частині цієї рівності, перенесемо до показників ступеня під знаками цих логарифмів; отримаємо

Тепер різницю логарифмів замінимо логарифмом приватного:

для отримання останнього дробу у цьому ланцюжку рівностей ми попередній дріб звільнили від ірраціональності у знаменнику (п. 25).

Властивість 7. Якщо основа більше одиниці, то більша кількістьмає більший логарифм (а менше - менший), якщо основа менше одиниці, то більше число має менший логарифм (а менше - більший).

Цю властивість формулюють також як правило логарифмування нерівностей, обидві частини яких позитивні:

При логарифмуванні нерівностей на підставі, більшому одиниці, знак нерівності зберігається, а при логарифмуванні на підставі, меншій одиниці, знак нерівності змінюється на протилежний (див. також п. 80).

Доказ заснований на властивості 5 і 3. Розглянемо випадок, коли Якщо , то і, логарифмуючи, отримаємо

(а та N/М лежать по один бік від одиниці). Звідси

Випадок отже, читач розбере самостійно.