Узагальнений закон звуку, матриці жорсткості та пружності. Сили та напруги в суцільному середовищі

Розділ 39

ПРУГІ МАТЕРІАЛИ

§ 1. Тензор деформації

§ 2. Тензор пружності

§ З. Руху в пружному тілі

§ 4. Непружна поведінка

§ 1. Тензор деформації

У попередньому розділіми говорили про обурення пружних тілу найпростіших випадках. У цьому розділі ми подивимося, що може відбуватися всередині пружного матеріалу в загальному випадку. Як описати умови напруги та деформації у великому шматку желе, скрученому та стиснутому якимось дуже складним чином? Для цього необхідно описати локальну деформаціюу кожній точці пружного тіла, а це можна зробити, задавши в ній набір шести чисел – компонент симетричного тензора. Раніше (у гол. 31) ми говорили про тензор напруг, тепер нам буде потрібно тензор деформації.

Припустимо, що ми взяли недеформований матеріал і, прикладаючи напругу, спостерігаємо за рухом маленької цятки домішки, що потрапила всередину. Пляма, яке спочатку знаходилося в точці Рі мало становище г=(x, у, z), пересувається в нову точку Р",тобто в положення r" = (х", у", z"), як це показано на фіг. 39.1.

Фіг. 39.1. Пляшка домішки в матеріалі з точки Р недеформованого кубика після деформації переміщається в точку Р".

Ми будемо позначати через і вектор переміщення з точки Ру крапку Р",тобто.

u = r"-r.(39.1)

Переміщення і залежить, звичайно, від точки Р,з якої воно виходить так, що є векторна функція від г або від (х, у, z).

Спочатку розглянемо найпростіший випадокколи деформація по всьому матеріалу постійна, тобто те, що називається однорідною деформацією.Припустимо, наприклад, що ми взяли балку з якогось матеріалу і поступово її розтягнули. Інакше кажучи, ми просто поступово змінили її розмір в одному напрямку, скажімо в напрямку осі х(Фіг. 39.2).

Фіг. 39.2. Однорідна деформація розтягування.

Переміщення u xцятка з координатою хпропорційно самому х.

Справді,

Ми будемо записувати u xнаступним чином:

і x =е хх х.

Зрозуміло, константа пропорційності е хх - це те, що наше старе ставлення Dl/l. (Незабаром ви побачите, чому нам знадобився подвійний індекс.)

Якщо ж деформація неоднорідна, то зв'язок між хі u xу матеріалі змінюватиметься від точки до точки. У такому загальному випадку ми визначимо е ххяк свого роду локальну величину Dl/l, тобто.

Це число, яке тепер буде функцією х, уі z описує величину розтягування в напрямку осі хпо всьому шматку желе. Можливі, звісно, розтягнення й у напрямі осей уі z.Ми описуватимемо їх величинами

Крім того, нам слід описати деформації типу зрушень. Уявіть, що в спочатку незбуреному желе ви виділили невеликий кубик. Натиснувши на желе, ми змінюємо його форму і наш кубик може перетворитися на паралелограм (фіг. 39.3).

Фіг. 39.3. Однорідна деформація зсуву.

За такої деформації переміщення у напрямку хкожної частки пропорційно її координаті у:

а переміщення у напрямку упропорційно х:

u y = (q/2) x. (39.5)

Таким чином, деформацію типу зсуву можна описати за допомогою

u x = e xy y u у =e yx x,

Тепер ви вважаєте, що з неоднорідної деформації узагальнену деформацію зсуву можна описати, визначивши величини е xyі е yxнаступним чином:

Однак тут є певна трудність. Припустимо, що переміщення u хі u yмають вигляд

Вони нагадують рівняння (39.4) і (39.5), за винятком того, що при u yстоїть зворотний знак. При такому переміщенні маленький кубик із желе зазнає простого повороту на кут q/2 (фіг. 39.4).

Фіг. 39.4.Однорідний поворот. Жодних деформацій немає.

Жодної деформації тут взагалі немає, а є просто обертання у просторі. При цьому жодного обурення матеріалу не відбувається, а відноснестановище всіх атомів зовсім не змінюється. Потрібно якось зробити так, щоб чисте обертання не входило в наше визначення деформації зсуву. Вказівкою може бути те, що якщо дu y /дхі дu x /дурівні та протилежні, ніякої напруги немає; цього можна досягти, визначивши

Для чистого обертання обидва вони дорівнюють нулю, але для чистого зсуву ми отримуємо, як і хотіли, е ху =е у x .

У найбільш загальному випадку обурення, яке поряд зі зрушенням може включати розтягування або стиснення, ми будемо визначатистан деформації завданням дев'яти чисел:

Вони утворюють компоненти деформації тензора.Оскільки тензорцей симетричний(згідно з нашим визначенням, е хузавжди одно е ух), то насправді різних чиселтут лише шість. Ви пам'ятаєте (див. гл. 31) загальну властивість всіх тензорів - елементи його перетворюються при повороті подібно до твору компонентів двох векторів. (Якщо А і В - вектори, то З ij =А i У j - тензор.) А кожне наше e ijє твір (або сума таких творів) компонент вектора

u= (u х , u у , u z ) та оператора С=( д/д x, д/д y, д/д z), який, як

ми знаємо, перетворюється подібно до вектора. Давайте замість х, ута z писати x 1 , x 2 і x 3 , а замість u х , u yі u гписати u 1 , u 2 та u 3 ; тоді загальний вигляделемента тензора e ijвиглядатиме так:

де індекси iі j можуть набувати значення 1, 2 або 3.

Коли ми маємо справу з однорідною деформацією, яка може включати як розтягування, так і зрушення, то все e ij - постійні, і ми можемо написати

u х =е хх х+е ху y+е х z м.(39.9)

(Початок координат вибрано в точці, де й дорівнює нулю.) У цих випадках тензор деформації e ijдає співвідношення між двома векторами - вектором координати r=(x, y, z)та вектором переміщення u= (u х , u у , u г ).

Якщо деформація неоднорідна, то будь-який шматочок желе може бути якось спотворений і, крім того, можуть виникнути місцеві повороти. Коли всі обурення малі, ми отримуємо

де w ij , - антисиметричнийтензор

описує поворот. Нам нема чого турбуватися про повороти; займемося лише деформацією, що описується симетричним тензором е ij .

§ 2. Тензор пружності

Тепер, щоб описати деформації, ми повинні пов'язати їх із внутрішніми силами - з напругою в матеріалі. Ми припускаємо, що закон Гука справедливий для будь-якого шматочка матеріалу, тобто, що напруги всюди пропорційні деформаціям. У гол. 31 ми визначили тензор напруг S ijяк i-ю компонентусили, що діє на одиничному майданчику, перпендикулярної осі j. Закон Гука каже, що кожна компонента S ij лінійно пов'язана з кожноюкомпонентом напруги. Але оскільки Sі lмістять по дев'яти компонент, то для опису пружних властивостей матеріалу потрібно 9X9=81 можливий коефіцієнт. Якщо матеріал однорідний, всі ці коефіцієнти будуть постійними. Ми позначимо їх C ijklвизначивши за допомогою рівняння

де кожен значок i, j, kі lможе набувати значення 1, 2 або 3. Оскільки коефіцієнти З ijklпов'язують один тензор з іншим, вони теж утворюють тензор – цього разу тензор четвертого рангу.Ми можемо назвати його тензором пружності.

Припустимо, що всі C ijklвідомі і що до тіла якоїсь довільної форми ми доклали складні сили. При цьому виникнуть усі сорти деформацій – тіло якось спотвориться. Якими будуть переміщення? Ви розумієте, що це досить складна задача. Якщо ви знаєте деформації, то з рівняння (39.12) можна знайти напруги, і навпаки. Але напруги та деформації, які виникли в будь-якій точці, залежать від того, що відбувається у всій іншій частині матеріалу.

Найпростіший спосіб підступитися до такого завдання – це подумати про енергію. Коли сила Fпропорційна переміщенню х,скажемо F=kx,то робота, витрачена на будь-яке переміщення х,дорівнює kx 2 /2. Подібним чином енергія w,запасена в будь-якій одиниці обсягудеформованого матеріалу, виявляється рівною

Повна ж робота W,витрачена на деформацію всього тіла, буде інтегралом від wпо всьому його обсягу:

Отже, це і є потенційна енергія, запасена в внутрішніх напругматеріалу. Коли тіло перебуває в рівновазі, ця внутрішня енергіяповинна бути мінімальної.Таким чином, проблема визначення деформацій у тілі може бути вирішена знаходженням таких переміщень і по всьому тілу, за яких Wмінімальна. У гол. 19 (вип. 6) я говорив вам про деяких спільних ідеяхваріаційного обчислення, що застосовується при вирішенні завдань на мінімізацію такого роду. Однак зараз ми більше не вдаватимемося до подробиць цього завдання.

Зараз нас головним чином буде цікавити те, що можна сказати щодо загальних властивостейтензора пружності. Насамперед ясно, що насправді в C ijklміститься не 81 різний параметр. Оскільки S ijі e ij- симетричні тензори, кожен з яких включає лише шість різних елементів, то C ijklскладається максимум із 36 різних компонентів. Зазвичай їх набагато менше.

Розглянемо спеціальний випадок кубічного кристала. Щільність енергії wдля нього виходить такий:

тобто всього 81 доданок! Але кубічний кристал має певні симетрії. Зокрема, якщо кристал повернути на 90°, то його Фізичні властивостізалишаться тими самими. Наприклад, у нього має бути та сама жорсткість щодо розтягування як у напрямку осі у,так і в напрямку осі х.Отже, якщо ми змінимо наші визначення осей координат хі уу рівнянні (39.15), то енергія має змінитися. Тому для кубічного кристала

C хххх =З уууу =C zzzz . (39.16)

Ми можемо ще показати, що компоненти на кшталт З ххху , мають бути нулями. Кубічний кристал має ту властивість, що він симетричний при відображенніщодо будь-якої площини, перпендикулярної до однієї з осей координат. Якщо ми замінимо уна -y, нічого не повинно змінитися. Але зміна уна - узмінює е xyна - е xy , тому що переміщення в напрямку + убуде тепер переміщенням у напрямку - у.Щоб енергія при цьому не змінювалася, З хххумає переходити в - З хххуАле відбитий кристал буде тим самим, що й раніше, тому З хх xyповинно бути таким же,як і - З ххху . Це може статися лише тоді, коли обидва вони дорівнюють нулю.

Але ви можете сказати: «Міркуючи так само, можна зробити і C yyyy =0!» Це не вірно. Адже тут у нас чотириігрека. Кожен узмінює знак, а чотири мінуси дають плюс. Якщо узустрічається дваабо чотирирази, то такі компоненти не повинні дорівнювати нулю. Нулю рівні лише ті компоненти, у яких узустрічається або один,або трирази. Таким чином, для кубічного кристала не дорівнюють нулю. З,у яких один і той самий значок зустрічається парне числоразів.(Міркування, які ми провели для у,мають силу і для хі для z.) Таким чином, виживають лише компоненти типу З ххуу , З хуху , З хуухі т. д. Однак ми вже показали, що якщо змінити все хна уі навпаки(або всі z на x і т. д.), то для кубічного кристала ми повинні отримати те саме число. Це означає, що залишаються всього три різніненульові можливості:

Щільність енергії для кубічного кристала виглядає так:

У ізотропного, т. е. некристалічного, матеріалу симетрія ще вище. Числа Зповинні бути тими самими при будь-комувибір осей координат. При цьому, як виявляється, існує інший зв'язок між коефіцієнтами З:

C хххх =C ххуу +C хуху (39.19)

Це можна побачити з наступних загальних міркувань. Тензор напруг S ijповинен бути пов'язаний з e ijспособом, який зовсім не залежить від напрямку осей координат, тобто він повинен бути пов'язаний лише за допомогою скалярнихвеличин. "Це дуже просто", - скажете ви. « Єдиний спосіботримати S ijз e ij - помножити останнє на постійну скалярну. Вийде саме закон Гука: S ij = (постійна) Xе ij». Однак це не зовсім правильно. Додатково тут можна вставити одиничний тензор d ij, помножений на деякий скаляр, лінійно пов'язаний з е ij . Єдиний інваріант, який можна скласти і який лінійний е,- це Se jj . (Він перетворюється подібно х 2 +y 2 +z 2 , а значить є скаляром.) Таким чином, найбільш загальною формоюрівняння, що зв'язує S ijз e ijдля ізотропного матеріалу, буде

(Перша константа зазвичай записується як 2m; при цьому коефіцієнту дорівнює модулюзсуву, визначеному нами у попередньому розділі.) Постійні (m, l називаються пружними постійними лямами.Порівнюючи рівняння (39.20) із рівнянням (39.12), ви бачите, що

Таким чином, ми довели, що рівняння (39.19) справді правильне. Ви бачите також, що пружні властивості ізотропного матеріалу, як говорилося в попередньому розділі, повністю задаються двома постійними.

Коефіцієнти Зможуть бути виражені через будь-які дві з постійних пружних, які використовувалися раніше, наприклад через модуль Юнга Y і відношення Пуассона s.На вашу частку залишаю показати, що

§ 3. Рухи в пружному тілі

Ми підкреслювали, що в пружному тілі, що знаходиться в рівноваги,внутрішні напруги розподіляються так, щоб енергія була мінімальною. Подивимося тепер, що відбувається, якщо внутрішні сили не врівноважені.Візьмемо маленький шматочокматеріалу всередині деякої поверхні А(Фіг. 39.5).

Фіг. 39.5. Маленький елемент об'єму V, обмежений поверхнею А,

Якщо цей шматочок знаходиться в рівновазі, то повна сила, що діє на нього F повинна дорівнювати нулю. Можна вважати, що ця сила складається з двох частин, одна з яких обумовлена «зовнішніми» силами, подібними до гравітації, що діють на відстані на речовину нашого шматочка і приводять до величини сили на одиницю обсягуfзовнішн. Повна ж зовнішня сила Fзовнішн дорівнює інтегралу від fзовнішній по всьому об'єму шматочка:

У рівновазі ці сили балансуються повною силою Fвсередину, що діє поверхнею Аз боку навколишнього матеріалу. Коли ж цей шматочок неперебуває у рівновазі, а рухається, сума внутрішніх та зовнішніх сил дорівнюватиме добутку маси на прискорення. При цьому ми отримуємо

де r-щільність матеріалу, а а- Його прискорення. Тепер ми можемо скомбінувати рівняння (39.23) та (39.24) та написати

Наш запис можна спростити, поклавши

Тоді рівняння (39.25) запишеться у вигляді

Розмір, названий нами Fвсередину, пов'язана з напругою в матеріалі. Тензор напруг S ijбуло визначено нами в гол. 31 таким чином, що x-компонента сили dF, що діє на елемент поверхні da знормаллю n, задається виразом

Звідси х-компонента сили Fвсередину, що діє на наш шматочок, дорівнює інтегралу від dF xпо всій поверхні. Підставляючи це в x-компоненту рівняння (39.27), отримуємо

Виявилося, що поверхневий інтеграл пов'язаний з інтегралом за обсягом, а це нагадує нам щось знайоме з розділів про електрику. Зауважте, що якщо не зважати на перший значок х вкожному з S у лівій частині (39.29), вона виглядає точно як інтеграл від величини (S·n), тобто. нормальні компоненти вектор по поверхні. Вона дорівнювала потоку S через обсяг. А використовуючи теорему Гауса, потік можна було б записати як об'ємний інтеграл від дивергенції S. Насправді все це справедливо незалежно від того, чи є у нас індекс хчи ні. Це просто математична теорема, яка доводиться інтегруванням частинами. Іншими словами, рівняння (39.29) можна перетворити на

Тепер можна відкинути інтеграли за обсягом та написати диференціальне рівняннядля будь-якої компоненти f:

Воно говорить нам, як пов'язана сила, що діє на одиницю об'єму з тензором напруги S ij .

Ось як працює ця теорія внутрішніх рухів твердого тіла. Якщо спочатку нам відомі переміщення, що задаються, скажімо, вектором і, то можна знайти деформації e ij . З деформацій за допомогою рівняння (39.12) можна отримати напругу. Потім за допомогою рівняння (39.31) ми з напруги можемо знайти щільності сил f. А знаючи f, ми з рівняння (39.26) отримуємо прискорення rу матеріалі, який підкаже нам, як зміняться переміщення. Збираючи все це разом, ми отримуємо жахливо складні рівняннярухи пружного твердого тіла. Я просто напишу відповідь для ізотропного матеріалу. Якщо ви скористаєтеся для S ijрівнянням (39.20) та запишете e ijу вигляді 1/2 (du i /dx j +du j ]dx i ), то остаточно отримайте векторне рівняння:

Ви можете дуже просто переконатися, що рівняння повинномати таку форму. Сила повинна залежати від другої похідної – переміщення та. Але які можна скласти похідні і так, щоб вони були векторами? Одна з них (С·u); це справжнісінький вектор. Є ще одна така комбінація - це З 2 u. Тож найбільш загальною формою сили буде

що дає (39.32) з іншим визначенням постійних. Вас може здивувати, чому у нас немає третього складового СXСXu, який теж вектор. Але згадайте, що СXСXu

в точності дорівнює 2 u-С(С·u), тобто це лінійна комбінація двох вже написаних доданків. Тож воно не додасть нічого нового. Ми ще раз довели, що в ізотропному матеріалі є лише дві постійні пружні.

Для отримання рівняння руху матеріалу ми можемо покласти вираз (39.32), рівним r д 2 u /дt 2 і, нехтуючи об'ємними силами типу сили тяжіння, написати

Це рівняння виглядає схожим на хвильове рівняння, з яким ми познайомилися в електромагнетизмі, за винятком одного доданого доданку, що ускладнює справу. Для матеріалів, пружні властивості яких скрізь однакові, ми можемо побачити, що схоже загальне рішення. Ви, напевно, пам'ятаєте, що будь-яке векторне поле може бути записане у вигляді суми двох векторів, один з яких нулю дорівнює дивергенція, а інший - ротор. Іншими словами, можна покласти

Підставляючи замість uу рівнянні (39.33) u 1 +u 2 , отримуємо

Взявши дивергенцію цього рівняння, ми можемо виключити з нього u 1:

Оскільки оператори З 2 і З можуть бути переставлені, можна винести оператор дивергенції та отримати

А оскільки СX u 2 , за визначенням, дорівнює нулю, то ротор виразу у фігурних дужках також буде нулем, так що вираз у дужках сам по собі тотожно дорівнює нулю і

Це векторне хвильове рівняння для хвиль, що рухаються зі швидкістю 2 = Ц(l+2m)/r. Оскільки ротор u 2 є нуль, то ці хвилі не пов'язані зі зрушенням, а представляють просто хвилі стиснення на кшталт звукових, які ми вивчали в попередніх розділах і швидкість яких саме дорівнює знайденої нами для С прод.

Подібним чином, беручи ротор рівняння (39.36), можна показати, що u 1 задовольняє рівняння

Це знову векторне хвильове рівняння для хвиль, що розповсюджуються зі швидкістю C 2 =Цm/r.Оскільки З · u 1 дорівнює нулю, то переміщення u 1 не призводить до зміни густини; вектор u 1 відповідає поперечним або зсувним хвиль, які зустрічалися нам у попередньому розділі, а

C 2 = Зсув.

Якщо ми хочемо знати статична напругав ізотропному матеріалі, то в принципі їх можна знайти, розв'язуючи рівняння (39.32) з f, рівним нулю(або рівним статичним об'ємним силам, обумовленим силою тяжкості, такий, як rg) за певних умов, пов'язаних із силами, що діють на поверхні нашого великого шматка матеріалу. Зробити це трохи складніше, ніж у відповідних завданнях електромагнетизму. По-перше, це важче тому, що самі рівняння дещо складніші, і, по-друге, форми тих пружних тіл, якими ми зазвичай цікавимося, набагато складніші. На лекціях з електрики ми часто цікавилися рішенням рівнянь Максвелла в областях порівняно простий геометричної форми, таких, як циліндр, сфера і т. д. У теорії пружності, нам доводиться займатися об'єктами набагато більше складної форми, наприклад, гаком підйомного крана, або колінчастим автомобільним валом, або ротором газової турбіни. Такі завдання іноді можна наближено вирішити чисельним методом, скориставшись принципом мінімальної енергії, про який ми згадали раніше. Інший спосіб - це скористатися моделями предметів та вимірювати внутрішні напруження експериментально за допомогою поляризованого світла.

Метод цей полягає у наступному. Коли шмат пружного ізотропного матеріалу, наприклад прозору пластмасу типу плексигласу, піддають напрузі, в ній виникає подвійне променезаломлення. Якщо пропускати через цю пластмасу поляризоване світло, то площина поляризації повернеться на величину, пов'язану з напругою. Вимірюючи кут поверхні поляризації, можна виміряти напругу. На фіг. 39.6 показано приблизний виглядцього пристрою, а на фіг. 39.7 наведено фотографію пружної моделі складної форми під напругою.

Фіг. 39.6. Вимірювання внутрішньої напруги за допомогою поляризованого світла.

Фіг. 39.7. Вид напруженої пластмасової моделі між двома схрещеними поляроїдами.

§ 4. Непружна поведінка

У всьому, що досі говорилося, ми припускали, що напруга пропорційна деформації, а це взагалі не так. На фіг. 39.8 наведено типову діаграму напруга - деформація пружного матеріалу.

Фіг. 39.8. Типова діаграма напруги - деформація для великих деформацій.

Для малих деформацій напруга пропорційна до деформації. Однак після деякої точки залежність напруги від деформації починає відхилятися від прямої лінії. Для багатьох матеріалів, які ми назвемо «тендітними», руйнація настає, коли деформація дещо перевищить ту точку, де крива починає загинатися. В загальному випадку в діаграмі напруга - деформація є й інші ускладнення. Наприклад, коли ви деформуєте предмет, існуючі великі напруги можуть повільно зменшитися з часом. Якщо ви досягнете високих напруг, однак нижче точки розриву, а потім зменшуватимете деформацію, то напруги повертатимуться назад вже по іншій кривій. Виникає невеликий гістерезисний ефект (на зразок того, що ми бачили у зв'язку між Уі Ну магнітних матеріалах).

Напруги, у яких відбувається руйнація, сильно змінюються від матеріалу до матеріалу. Деякі матеріали руйнуються за максимального розтягуючомунапрузі. Інші ж руйнуються за певної величини напруги зсуву.Скажімо, крейда набагато слабше протистоїть розтягуванню, тим зрушенню. Якщо ви потягнете за кінці палички крейди, вона зламається перпендикулярно напрямку прикладеної сили (фіг. 39.9, праворуч).

Фіг. 39.9. Зламаний шматочок крейди:

Праворуч розтягуванням за "кінці",зліва - скручуванням.

Адже крейда - це лише спресовані частинки, які легко розтягуються убік, тому він ламається перпендикулярно докладеної сили. А щодо зсуву цей матеріал набагато міцніший, тому що в цьому випадку частинки заважають один одному. Згадайте тепер, що коли ми скручуємо стрижень, то у будь-якому його поперечному перерізівиникають зрушення. Ми показали, крім того, що зсув еквівалентний комбінації розтягування та стиснення під кутом 45°. З цієї причини при скручуванняшматочок крейди розламається по складній поверхні, яка розташована під кутом 45° до утворюючих. На фіг. 39.9 (зліва)наведена фотографія шматка крейди, зламаної таким способом. Крейда ламається там, де напруги максимальні.

Є й інші матеріали, які поводяться дуже дивним та складним чином. Чим складніше матеріал, тим химерніша його поведінка. Якщо ми візьмемо лист саранча, зім'ятаємо його і кинемо на стіл, то поступово він розправиться і прийме свою первісну плоску форму. На перший погляд здається спокусливим вважати, що тут основну роль відіграє пружність. Але простий підрахунок покаже, що вона надто слабка (на кілька порядків слабша), щоб якось впливати на цей ефект. Виявляється, що тут змагаються два механізми; «щось» усередині матеріалу «пам'ятає» початкову форму і «намагається» повернутися до старого вигляду, а «щось» інше «воліє» нову формуі пручається поверненню до старої.

Я не хочу вдаватися до подробиць і описувати той механізм, який відіграє роль у поведінці зім'ятого листа саранча, але отримати уявлення про те, як такі ефекти відбуваються, ви можете наступним моделі.Уявіть собі матеріал, виготовлений з довгих гнучких, але міцних ниток упереміш з пустотілими осередками, заповненими в'язкою рідиною. Уявіть також, що між кожним осередком і сусідніми з нею є вузькі проходи, якими рідина може повільно проникати з одного осередку до іншого. Якщо ми зім'ятим лист такого матеріалу, то довгі нитки деформуються, рідина з одного осередку буде вичавлюватися і переходити в інші осередки, які виявилися розтягнутими. Коли ж ми відпускаємо лист, то довгі нитки прагнутимуть повернутись до своєї первісної форми. Однак, щоб зробити це, вони повинні змусити рідину повернутися на своє колишнє місце, що відбувається досить повільно через її в'язкість. Сили, які ми докладаємо, комя лист, набагато більше сил, що розвиваються нитками. Зім'яти лист можна дуже швидко, а ось повернутися до колишнього вигляду він зможе набагато повільніше. Безсумнівно, тут основну роль грає комбінація великих, жорстких молекул і дрібніших, але рухливіших. Цей механізм узгоджується також з тим фактом, що матеріал швидше набуває своєї первісної форми, якщо він нагрітий, і повільніше в холодному стані: тепло збільшує рухливість (зменшує в'язкість) дрібних молекул.

Хоча ми обговорювали, як відбувається порушення закону Гука, але, мабуть, найбільш дивно все ж таки не порушення цього закону при великих деформаціях, а його універсальність. Деяке поняття про те, чому так відбувається, можна отримати, розглядаючи енергію деформації матеріалу. Твердження про те, що напруга пропорційна деформації, рівносильна твердженню, що енергія деформації змінюється як квадрат напруги. Припустимо, що ми скрутили стрижень на малий кут q. Якщо справедливий закон Гука, то енергія деформації має бути пропорційна квадрату q. Припустимо, що енергія є деякою довільною функцією кута. Ми можемо записати її у вигляді розкладання Тейлора близько нуля:

U(q) =U(0)+U"(0)q + 1 / 2 U''(0)q 2 + 1 / 6 U""(q)q 3 + -.. . (39.40)

Момент сили t представляє похідну Uпо кутку, тому

t(q)=U"(0)+U"(0) q+ 1 / 2 U’’’(0)q 2 + ... . (39.41)

Якщо тепер відраховувати кут від положення рівноваги,то перший доданок дорівнюватиме нулю. Таким чином, перше залишок доданок пропорційно q і при досить малих кутах воно буде перевищувати доданок з q 2 . [Насправді, внутрішньо матеріали достатньо симетричні, так що t(q)=-t(-q); доданок з q 2 виявляється нулем, а відхилення від лінійності відбувається тільки через доданок з q 3 . Однак немає причин, через які це було б правильно для розтягування та стиснення.] Єдине, що ми не пояснили, чому матеріали зазвичай руйнуються незабаром після того, як стають суттєвими члени вищого порядку.

§ 5. Обчислення пружних постійних

Останнє питання теорії пружності, який я розберу,- це спроба обчислити пружні постійні матеріалу, Виходячи з деяких властивостей атомів, що становлять цей матеріал. Ми розглянемо простий випадок іонногокубічний кристал типу хлористого натрію. Розмір чи форма деформованого кристала змінюються. Такі зміни призводять до збільшення потенційної енергії кристала. Для обчислення зміни енергії деформації слід знати, куди йдекожний атом. Щоб зробити повну енергію якнайменше, атоми у ґратах складних кристалів перегруповуються дуже складним чином. Це дуже ускладнює обчислення енергії деформації. Але зрозуміти, що виходить у разі простого кубічного кристала, таки можна. Обурення всередині кристала будуть геометрично подібні до обурення його зовнішніх граней.

Пружні постійні кубічні кристали можна обчислити наступним чином. Насамперед ми припустимо наявність певного закону взаємодії між кожною парою атомів у кристалі. Потім обчислимо зміну внутрішньої енергії кристала за відхилення від рівноважної форми. Це дасть нам співвідношення між енергією та деформацією, яка квадратична за деформаціями. Порівнюючи енергію, отриману таким способом, з рівнянням (39.13), можна ідентифікувати коефіцієнти при кожному доданку з пружними постійними C ijkl .

У нашому прикладі ми припускатимемо наступний простий закон взаємодії: між сусідніми атомами діють центральнісили, маючи на увазі, що вони діють по лінії, що з'єднує два сусідні атоми. Ми очікуємо, що сили в іонних кристалах повинні бути саме такого типу, бо в їх основі лежить проста кулонівська взаємодія. (Прі ковалентного зв'язкусили зазвичай складніші, бо вони призводять і до бокового тиску сусідні атоми; але нам всі ці ускладнення ні до чого.) Крім того, ми збираємося врахувати лише силу взаємодії кожного атома з найближчимдо нього і наступнимипоблизу сусідів. Іншими словами, ми робитимемо наближення, в якому знехтуємо силами між далекими атомами. На фіг. 39.10 а показані сили в площині ху,які ми враховуватимемо. Слід ще врахувати відповідні сили у площинах yz та zx.

Оскільки нас цікавлять лише пружні постійні, які описують малі деформації, і, отже, у вираженні енергії нам потрібні лише складові, квадратичні по деформаціям, можна вважати, що сили між кожною парою атомів змінюються з переміщенням лінійно.

Фіг. 39.10. Прийняті нами до уваги міжатомні сили (а) та модель, в якій атоми пов'язані пружинками (б).

Тому для наочності можна уявляти, що кожна пара атомів з'єднана лінійною пружинкою (фіг. 39.10, б). Всі пружинки між атомами натрію і хлору повинні мати ту саму пружну постійну, скажімо k 1 . Пружинки між двома атомами натрію і двома атомами хлору можуть мати різні постійні, але я хочу спростити наші міркування, і тому вважатиму ці постійні рівними. Позначимо їх через k 2 . (Пізніше, коли ми подивимося, як підуть обчислення, ви зможете повернутися назад і зробити їх різними.)

Припустимо тепер, що кристал обурений однорідною деформацією, що описується тензором e ij . Загалом у нього будуть компоненти, що містять х, уі z, але для більшої наочності розглянемо лише деформації з трьома компонентами: е хх , е xyі е yy . Якщо один з атомів вибрати як початок координат, то переміщення будь-якого іншого атома визначається рівнянням типу (39.9):

Назвемо атом із координатами х = у = 0"атомом 1", а номери його сусідів показані на фіг. 39.11.

Фіг,39.11. Переміщення найближчих та наступних поблизу сусідів атома 1. (Масштаб сильно спотворений.)

Позначаючи постійну решітки через а,ми отримуємо х-та y-компоненти переміщення u x , u y , виписані у табл. 39.1.

Таблиця 39.1 ·КОМПОНЕНТИ ПЕРЕМІЩЕННЯ u x , u у

Тепер можна вирахувати енергію, запасену в пружинках, яка дорівнює добутку k 2 /2 на квадрат розтягування кожної пружинки. Так, енергія горизонтальної пружинки між атомами 1 і 2 буде рівна

Зверніть увагу, що з точністю до першого порядку y-переміщення атома 2 не змінює довжини пружинки між атомами 1 та 2.Однак, щоб отримати енергію деформації діагональної пружинки, тої, що йде до атома 3, нам потрібно обчислити зміну довжини як вертикального, так і горизонтального переміщень. Для малих відхилень від початку координат куба зміна відстані до атома 3 можна записати у вигляді суми компонент u хі u v вдіагональному напрямку:

Скориставшись величинами u хі u y . можна отримати вираз для енергії

Для повної енергії всіх пружинок у площині хунам потрібна сума восьми членів типу (39.43) та (39.44). Позначаючи цю енергію через U 0 , отримуємо

Щоб знайти повну енергію всіх пружинок, пов'язаних з атомом 1, ми маємо зробити якусь добавку до рівняння (39.45). Хоча нам потрібні тільки х-та y-компоненти деформації, внесок у них дає ще деяка додаткова енергія, пов'язана з діагональними сусідами поза площиною ху.Ця додаткова енергія дорівнює

Пружні постійні пов'язані із щільністю енергії wрівнянням (39.13). Енергія, яку ми вирахували, пов'язана з одним атомом, точніше це подвоєнаенергія, що припадає на один атом, бо на кожен із двох атомів, з'єднаних пружинкою, має припадати по 1/2 її енергії. Оскільки в одиниці об'єму знаходиться 1/a 3 атомів, то wі U 0 пов'язані співвідношенням

w=U 0 /2a 3 .

Щоб знайти пружні постійні C ijkl , потрібно тільки звести в квадрат суми в дужках у рівнянні (39.45), додати (39.46) і порівняти коефіцієнти при е ij е klвідповідними коефіцієнтами у рівнянні (39.13). Наприклад, збираючи доданки з е 2 XXі е 2 yy , ми знаходимо, що множник при ньому дорівнює

У решті доданків нам зустрінеться невелике ускладнення. Оскільки ми не можемо відрізнити твори е хх е yyвід е yy е хх , то коефіцієнт при ньому у виразі для енергії дорівнює сумідвох членів у рівнянні (39.13). Коефіцієнт при е хх е yyв рівнянні (39.45) дорівнює 2k 2 так що отримуємо

Однак через симетрію вираження енергії при перестановці двох перших значень з двома останніми можна вважати, що З кхуу =С уухх , тому

У такий же спосіб можна отримати

Зауважте, що будь-який член, що містить один раз значок хабо у,дорівнює нулю, як це було знайдено раніше з міркувань симетрії. Підсумуємо наші результати:

Отже, виявилося, що ми здатні пов'язати макроскопічні пружні постійні атомними властивостями, які проявляються у постійних k 1 і k 2 . У нашому окремому випадку C ху x у =C ххуу . Ці члени для кубічного кристала, як ви, ймовірно, помітили з ходу обчислень, виявляються завждирівними, які б сили ми не брали до уваги, але тільки за умови,що сили діють вздовж лінії, що з'єднує кожну пару атомів, тобто до тих пір, поки сили між атомами подібні до пружинок і не мають бічної складової (яка безсумнівно існує при ковалентному зв'язку).

Наші обчислення можна порівняти з експериментальними вимірамипружних постійних. У табл. 39.2 наведені величини трьох пружних коефіцієнтів для деяких кубічних кристалів. Ви, ймовірно, звернули увагу на те, що З xyyy , взагалі кажучи, не одно З xyxy . Причина полягає в тому, що в металах, подібних до натрію і калію, міжатомні сили не спрямовані по лінії, що з'єднує атоми, як передбачалося в нашій моделі. Алмаз теж не підкоряється цьому закону, бо сили в алмазі - це ковалентні сили, які мають особливою властивістюспрямованості: «пружинки» вважають за краще зв'язувати атоми, розташовані у вершинах тетраедра. Такі іонні кристали, як фтористий літій або хлористий натрій і т. д., мають майже всі фізичні властивості, припущені в нашій моделі; згідно з даними табл. 39.2, постійні З xyyyі З xyxy уних майже рівні.

Таблиця 39.2 ·пружні постійні

КУБІЧНИХ КРИСТАЛІВ

Тільки хлористе срібло чомусь не хоче підкорятися умові З ххуу =C xyxy ..

* У літературі ви часто зіткнетеся з іншими позначеннями. Так, багато хто пишуть:

* Пластик з складною назвою «полівініліденхлорид», що застосовується для обгортки.- Прим. ред.

* Припустимо на хвилину, що повний кутзсуву q ділиться на дві рівні частини, щоб деформація була симетричною щодо осей x та y.

Література: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 2nd ed., New York, 1956. (Є переклад: Ч. Кіттель, Введення у фізику твердого тіла, Фізматгіз, М., 1962.)

Тепер, щоб описати деформації, ми повинні пов'язати їх із внутрішніми силами - з напругою в матеріалі. Ми припускаємо, що закон Гука справедливий для будь-якого шматочка матеріалу, тобто, що напруги всюди пропорційні деформаціям. У гол. 31 ми визначили тензор напруг як компоненту сили, що діє на одиничній площадці, перпендикулярної осі . Закон Гука говорить, що кожен компонент лінійно пов'язаний з кожною компонентою напруги. Але оскільки і містять дев'ять компонент, то для опису пружних властивостей матеріалу потрібен можливий коефіцієнт. Якщо матеріал однорідний, всі ці коефіцієнти будуть постійними. Ми позначимо їх , визначивши за допомогою рівняння

, (39.12)

де кожен значок , , може приймати значення 1, 2 чи 3. Оскільки коефіцієнти пов'язують один тензор з іншим, вони теж утворюють тензор – цього разу тензор четвертого рангу. Ми можемо назвати його тензором пружності.

Припустимо, що всі відомі і що до тіла якоїсь довільної форми ми доклали складних сил. При цьому виникнуть усі сорти деформацій – тіло якось спотвориться. Якими будуть переміщення? Ви знаєте, що це досить складне завдання. Якщо ви знаєте деформації, то з рівняння (39.12) можна знайти напруги, і навпаки. Але напруги та деформації, які виникли в будь-якій точці, залежать від того, що відбувається у всій іншій частині матеріалу.

Найпростіший спосіб підійти до такого завдання – це подумати про енергію. Коли сила пропорційна переміщенню, скажімо, то робота, витрачена на будь-яке переміщення, дорівнює. Подібним чином енергія , запасена в будь-якій одиниці обсягу деформованого матеріалу, виявляється рівною

. (39.13)

Повна ж робота, витрачена на деформацію всього тіла, буде інтегралом від усього його обсягу:

. (39.14)

Отже, це і є потенційна енергія, запасена у внутрішніх напругах матеріалу. Коли тіло перебуває у рівновазі, ця внутрішня енергія має бути мінімальною. Таким чином, проблема визначення деформацій у тілі може бути вирішена знаходженням таких переміщень по всьому тілу, за яких мінімальна. У гол. 19 (вип. 6) я говорив вам про деякі спільні ідеї варіаційного обчислення, що застосовується при вирішенні завдань на мінімізацію такого роду. Однак зараз ми більше не вдаватимемося до подробиць цього завдання.

Зараз нас переважно цікавитиме те, що можна сказати щодо загальних властивостей тензора пружності. Насамперед ясно, що насправді міститься не 81 різний параметр. Оскільки і - симетричні тензори, кожен з яких включає лише шість різних елементів, складається максимум з 36 різних компонент. Зазвичай їх набагато менше.

Розглянемо особливий випадок кубічного кристала. Щільність енергії для нього виходить такою:

(39.15)

тобто всього 81 доданок! Але кубічний кристал має певні симетрії. Зокрема, якщо кристал повернути на 90°, всі його фізичні властивості залишаться тими ж. Наприклад, у нього повинна бути та сама жорсткість щодо розтягування як у напрямку осі , так і в напрямку осі . Отже, якщо ми змінимо наші визначення осей координат і рівняння (39.15), то енергія має змінитися. Тому для кубічного кристала

. (39.16)

Ми ще можемо показати, що компоненти, на кшталт , повинні бути нулями. Кубічний кристал має ту властивість, що він симетричний при відображенні щодо будь-якої площини, перпендикулярної до однієї з осей координат. Якщо ми замінимо на , то нічого не повинно змінитися. Але зміна змінює на , оскільки переміщення у бік буде тепер переміщенням у бік . Щоб енергія при цьому не змінювалася, має переходити до . Але відбитий кристал буде тим самим, що й раніше, тому має бути таким самим, як і . Це може статися лише тоді, коли обидва вони дорівнюють нулю.

Але ви можете сказати: «Міркуючи таким же чином, можна зробити і!» Це не вірно. Адже тут у нас чотири гріки. Кожен змінює знак, а чотири мінуси дають плюс. Якщо зустрічається два або чотири рази, то такі компоненти не повинні дорівнювати нулю. Нулю рівні ті компоненти, які мають або один, або три рази. Таким чином, для кубічного кристала не дорівнюють нулю тільки ті, у яких один і той же значок зустрічається парне число разів. (Міркування, які ми провели для , мають силу і для і для .) Таким чином, виживають тільки компоненти типу , , і т. д. Однак ми вже показали, що якщо змінити все на і навпаки (або все на і т. д. .), то для кубічного кристала ми повинні отримати те саме число. Це означає, що залишаються лише три різні ненульові можливості:

(39.17)

Щільність енергії для кубічного кристала виглядає так:

У ізотропного, т. е. некристалічного, матеріалу симетрія ще вище. Числа повинні бути тими самими за будь-якого вибору осей координат. При цьому, як виявляється, існує інший зв'язок між коефіцієнтами:

. (39.19)

Це можна побачити з наступних загальних міркувань. Тензор напруг має бути пов'язаний із способом, який зовсім не залежить від напрямку осей координат, тобто він повинен бути пов'язаний лише за допомогою скалярних величин. "Це дуже просто", - скажете ви. «Єдиний спосіб отримати - помножити останнє на скалярну постійну. Вийде саме закон Гука: ». Однак це не зовсім правильно. Додатково тут можна вставити одиничний тензор, помножений на деякий скаляр, що лінійно пов'язаний з . Єдиний інваріант, який можна скласти і який лінійний по - це . (Він перетворюється подібно , а значить є скаляром.) Таким чином, найбільш загальною формою рівняння, що зв'язує з ізотропного матеріалу, буде

Коефіцієнти можуть бути виражені через будь-які дві з постійних пружних, які використовувалися раніше, наприклад через модуль Юнга і відношення Пуассона . На вашу частку залишаю показати, що

(39.22)

Тензор напруг

Тензор деформацій описує деформацію тіла з кінематичної точки зору, тобто безвідносно причин, що її породили. Для розгляду цих причин (що діють тіло сил) необхідно визначити поняття напруги як сили, що діє на одиницю площі перерізу деталі. Розглянемо плоский зріз тіла, що деформується, що проходить через точку Pз нормаллю n. Нехай f- сила, що діє на маленьку ділянку площини A, що містить точку P.

Тоді межа існує і називається напругою в точці Pвздовж вектора n. Для визначення напруги в довільному напрямку використовується тензор напруги, який задає напругу в довільному напрямку nяк tn = n. Для більшості матеріалів тензор задається симетричною матрицею. Фізичний зміст тензора напруг ілюструється на прикладі зрізів, паралельних координатним площинам(Рис. 31).

Узагальнений закон Гука, матриці жорсткості та пружності

У попередній лекції ми розглядали динаміку руху твердого тіла, що не деформується. Як відомо, вона описується рівняннями Ньютона-Ейлера (заснованими на другому законі Ньютона), які пов'язують лінійне та кутове прискореннятіла з силами, що діють на нього, за допомогою маси і тензора інерції. Аналогічну роль завдання теорії пружності грає узагальнений закон Гука. Відкритий XVII столітті англійським математиком Гуком (Hooke) закон розтягування для тонкого стрижня має вигляд F = kx, де F - діюча на стрижень сила, x - величина розтягування, а k - коефіцієнт пружності. Величину коефіцієнта пружності можна пов'язати з фізичними розмірами стрижня таким чином: k = ES/L, де S - площа поперечного перерізу стрижня, L - його довжина, а E - модуль Юнг. З введенням понять відносного подовження x/L та нормальної напруги у поперечному перерізі = F/S закон Гука набуває вигляду E. Як ми вже знаємо, у загальному випадку напруга та деформація визначаються симетричними тензорами розміру 3х3. Проте, між цими тензорними сутностями діє те саме лінійне співвідношення, як і між скалярними, зване узагальненим законом Гука: . Тензор четвертого порядку Cу цій формулі задається 81 коефіцієнтом (34), але оскільки він пов'язує симетричні 3х3-матриці, кожна з яких визначається шістьма скалярними величинами, то може бути представлений у вигляді 6х6-матриці жорсткості Dяка пов'язує вектор деформацій з вектором напруг

Це лінійне співвідношення справедливе для малих деформацій. зворотна матрицядо матриці жорсткості ( D-1) називається матрицею пружності. Зауважимо, що матриця жорсткості (пружності) повністю визначається властивостями матеріалу і залежить від конкретних навантажень на тіло. Пружні властивості матеріалу можуть бути описані за допомогою двох параметрів, що вимірюються в заданих напрямках: модуля Юнга E, який визначає відношення напруги до внутрішньої деформації та коефіцієнта Пуассона н, який характеризує відношення відносного поперечного звуження відносного поздовжнього подовження. Для лінійно-еластичних ізотропних матеріалів (таких як метали, скло, поліпропілен і поліетилен, гума - у разі малих деформацій) модуль Юнга та коефіцієнт Пуассона є константами, які не залежать від напрямку та точки вимірювання, а матриця жорсткості має наступний вигляд.

Тепер, щоб описати деформації, ми повинні пов'язати їх із внутрішніми силами — з напругою у матеріалі. Ми припускаємо, що закон Гука справедливий для будь-якого шматочка матеріалу, тобто, що напруги всюди пропорційні деформаціям. У гол. 31 ми визначили тензор напруг S¡j як i-ю компоненту сили, що діє на одиничному майданчику, перпендикулярної до осі j. Закон Гука каже, що кожен компонент S¡j лінійно пов'язана з кожноюкомпонентом напруги. Але оскільки S і I містять по дев'яти компонент, то для опису пружних властивостей матеріалу потрібно 9 X 9 = 81 можливий коефіцієнт. Якщо матеріал однорідний, всі ці коефіцієнти будуть постійними. Ми позначимо їх C ijkl , визначивши за допомогою рівняння

де кожен значок i, j, kі I може набувати значення 1, 2 або 3. Оскільки коефіцієнти C¡jk l пов'язують один тензор з іншим, вони теж утворюють тензор - цього разу тензор четвертого рангу.Ми можемо назвати його тензором пружності.

Припустимо, що всі C¡jk l відомі і що до тіла якоїсь довільної форми ми доклали складних сил. При цьому виникнуть усі сорти деформацій – тіло якось спотвориться. Якими будуть переміщення? Ви знаєте, що це досить складне завдання. Якщо ви знаєте деформації, то з рівняння (39.12) можна знайти напруги, і навпаки. Але напруги та деформації, які виникли в будь-якій точці, залежать від того, що відбувається у всій іншій частині матеріалу.

Найпростіший спосіб підійти до такого завдання — це подумати про енергію. Коли сила F пропорційна переміщенню х,скажемо F = kx, то робота, витрачена на будь-яке переміщення х,дорівнює kх 2/2.Подібним чином енергія w, запасена в будь-якій одиниці обсягудеформованого матеріалу, виявляється рівною

Повна ж робота W, витрачена на деформацію всього тіла, буде інтегралом від w по всьому його обсягу:

Отже, це і є потенційна енергія, запасена у внутрішніх напругах матеріалу. Коли тіло перебуває у рівновазі, ця внутрішня енергія має бути мінімальної.Таким чином, проблема визначення деформацій у тілі може бути вирішена знаходженням таких переміщень і по всьому тілу, за яких W мінімальна. У гол. 19 (вип. 6) я говорив вам про деякі спільні ідеї варіаційного обчислення, що застосовується при вирішенні завдань на мінімізацію такого роду. Однак зараз ми більше не вдаватимемося до подробиць цього завдання.

Зараз нас переважно цікавитиме те, що можна сказати щодо загальних властивостей тензора пружності. Насамперед ясно, що насправді в C ijkl міститься не 81 різний параметр. Оскільки S¡j і e¡j — симетричні тензори, кожен із яких включає лише шість різних елементів, то C ijkl складається максимум із 36 різних компонентів. Зазвичай їх набагато менше.

Розглянемо особливий випадок кубічного кристала. Щільність енергії w для нього виходить такий:

тобто всього 81 доданок! Але кубічний кристал має певні симетрії. Зокрема, якщо кристал повернути на 90°, всі його фізичні властивості залишаться тими ж. Наприклад, у нього має бути та сама жорсткість щодо розтягування як у напрямку осі у,так і в напрямку осі х.Отже, якщо ми змінимо наші визначення осей координат хі уу рівнянні (39.15), то енергія має змінитися. Тому для кубічного кристала

Ми можемо ще показати, що компоненти на кшталт З ххху,мають бути нулями. Кубічний кристал має ту властивість, що він симетричний при відображенніщодо будь-якої площини, перпендикулярної до однієї з осей координат. Якщо ми замінимо уна - у,то нічого не повинно змінитись. Але зміна уна - узмінює е xy на - е ху,оскільки переміщення у напрямку +убуде тепер переміщенням у напрямку - у.Щоб енергія при цьому не змінювалася, З ххху має переходити в - З ххху.Але відбитий кристал буде тим самим, що й раніше, тому З ххху повинно бути таким же,як і - З ххху . Це може статися лише тоді, коли обидва вони дорівнюють нулю.
Але ви можете сказати: «Міркуючи таким же чином, можна зробити і З уууу = 0!Це не вірно. Адже тут у нас чотириігрека. Кожен узмінює знак, а чотири мінуси дають плюс. Якщо узустрічається дваабо чотирирази, то такі компоненти не повинні дорівнювати нулю. Нулю рівні лише ті компоненти, у яких узустрічається або один,або трирази. Таким чином, для кубічного кристала не дорівнюють нулю. З,у яких один і той самий значок зустрічається парнечисло разів.(Міркування, які ми провели для у,мають силу і для хі для z.) Таким чином, виживають лише компоненти типу З ххуу, З хуху, З хуухі т. д. Однак ми вже показали, що якщо змінити все хна уі навпаки(або всі z на x і т. д.), то для кубічного кристала ми повинні отримати те саме число. Це означає, що залишаються всього три різніненульові можливості:

Щільність енергії для кубічного кристала виглядає так:

Це можна побачити з наступних загальних міркувань. Тензор напруг S¡j повинен бути пов'язаний з е¡j способом, який зовсім не залежить від напрямку осей координат, тобто він повинен бути пов'язаний лише за допомогою скалярнихвеличин. "Це дуже просто", - скажете ви. «Єдиний спосіб отримати S¡j з e¡j — помножити останнє на постійну скалярну. Вийде саме закон Гука: S¡j = (постійна) х е ¡j». Однак це не зовсім правильно. Додатково тут можна вставити одиничний тензорδ ¡j , помножений на деякий скаляр, лінійно пов'язаний з e¡j . Єдиний інваріант, який можна скласти і який лінійний е,- Це ∑e ¡j. (Він перетворюється подібно х 2+ у 2+ z 2 а значить є скаляром.) Таким чином, найбільш загальною формою рівняння, що зв'язує S¡j з е¡j для ізотропного матеріалу, буде

(Перша константа зазвичай записується як 2 μ; при цьому коефіцієнт μ дорівнює модулю зсуву, визначеному нами в попередньому розділі.) Постійні μ і λ називаються пружними постояними Ляме.Порівнюючи рівняння (39.20) із рівнянням (39.12), ви бачите, що

Коефіцієнти Зможуть бути виражені через будь-які дві з постійних пружних, які використовувалися раніше, наприклад через модуль Юнга Y та відношення Пуассона σ. На вашу частку залишаю показати, що

У МСС прийнято розділяти всі сили на зовнішніі внутрішні.

Зовнішні силивиникають у результаті взаємодії суцільного середовища коїться з іншими тілами. Такі сили викликають або можуть викликати зміну кількості руху та кінетичної енергіївиділеного обсягу. Типовим прикладом зовнішньої силидля об'єктів, що знаходяться поблизу поверхні Землі, є гравітаційна сила- сила тяжіння.

Внутрішні силивиникають у результаті взаємодії елементів суцільного середовища. Вони не можуть змінити кількість руху цього обсягу, так усередині нього кожна внутрішня сила врівноважується рівною їй за модулем внутрішньою силою, що має протилежний напрямок. Водночас робота внутрішніх сил може змінити кінетичну та (або) потенційну енергіюоб'єму тіла, що розглядається. Прикладами внутрішніх сил є сила тиску, що діє поверхню, побудовану всередині виділеного обсягу рідини; сила тертя між шарами рідини, що рухається.

Зовнішні та внутрішні сили можуть бути об'ємними (масовими) і поверхневими .

Розмір об'ємних (масових) сил пропорційна обсягу (масі) рідини чи газу, який вони діють. Характеристикою об'ємної (масової) сили є щільність розподілу цієї сили у просторі. Це Векторна величина, Що дорівнює силі, що діє на одиницю об'єму (маси) - прискорення. Розглянемо як приклад силу тяжкості. Щільність її розподілу – вектор рівний за модулем прискорення вільного падіння. Якщо прийняти осі х і горизонтальними, а z направити вертикально вгору, то щільність розподілу сили тяжіння , де g = 9,81 м/с 2 - прискорення вільного падіння. При цьому вага об'ємна:

. (1.5.1)

Фізично поверхневі сили обумовлені силами ближньої взаємодії молекул, розташованих по різні сторонивід поверхні, що розглядається, і перенесенням молекул крізь цю поверхню в процесі їх теплового руху. Характеристика поверхневої силиє її розподілу по поверхні, яка називається напругою.

Напруга. У перерізі суцільного середовища на довільно орієнтованому майданчику з нормаллю діє вектор напруги (рис.1.10). Його можна розкласти на дві складові нормальненапруга та - дотичненапругою на даному майданчику. Якщо майданчик лежить у площині нормальної осі координат, то напруга визначається трьома величинами проекціями на відповідні осі (рис.1.11). Напруження на майданчиках, нормальних осях, визначаються залежністю:

рис.1.10 рис.1.11

Розглянемо в суцільному середовищіелементарний обсяг – силовий тетраедр (рис.1.12). Три грані якого належать координатним площинам, а четверта нормальна. Напруга , що діє на може бути охарактеризовано трьома проекціями p nx , p ny і p nz на координатні осі х, у і z і залежить від напрямку майданчика нормалі до .

Перший індекс вказує на напрямок майданчика, другий - на вісь проектування.

Застосуємо до другого закону Ньютона (сила = масі помноженої на прискорення):

Розділимо все на і переходячи до межі, з урахуванням отримаємо формули Кошідля напруги на довільно орієнтованому майданчику, що проходить через дану точку:

(1.5.2)

Силовий тетраедр. Рис.1.12

Звернемо увагу, що це вираз є добуток якогось об'єкта, що задається матрицею 3х3 на вектор одиничної нормалі. Цей об'єкт називається тензором напруг:

(1.5.3)

Складаючи три основні рівняння рівноваги тетраедра – три рівняння моменту. Зручно робити це щодо осей, що проходять через центр мас – точку з координатами. У цьому випадку в рівняннях з 12 напруг будуть присутні тільки по два дотичних, а інші будуть або паралельні обраної осі, або проходитимуть через неї. В результаті отримуємо

ці рівності виражають закон взаємності дотичних напруг, а сам тензор напруг є симетричним.

Таким чином, напружений стан суцільного середовища в будь-якій точці однозначно визначається шістьма величинами напруги, які становлять симетричний тензор.

Якщо грань тетраедра збігається з поверхнею твердого тіла, то проекції вектора напруги збігаються з проекціями зовнішнього навантаження.

(1.5.5)

Так як тензор напруги симетричний, то завжди можна вибрати таку систему координат, в якій він матиме діагональний вигляд. Для цього необхідно вирішити характеристичне (вікове)рівняння:

. (1.5.6)

Рішенням характеристичного рівняння є три величини, які називаються головною напругою, а напрями нормалей до майданчиків, на які вони діють – головними осями напруженого стану системи.

Розглянемо нескінченно малий відрізок dS(рис.1.12), проекції якого на осі декартової системикоординат dx, dy, dz. Нехай при деформації точка M зміщується, причому проекції її переміщення . Теоретично пружності розглядаються деформації і переміщення, тобто. такі величини, котрим їх творами і квадратами можна знехтувати. Тоді проекції переміщення точки M' будуть:

(1.5.7)

Проекції dS *, в який переходить відрізок dSпісля деформації:

Обчислюючи та відкидаючи члени другого порядку, отримаємо:

(1.5.9)

Дані шість величин повністю характеризують деформаційний стан тіла та становлять тензор деформації:

(1.5.10)

Розберемося з фізичним змістомцих величин. Введемо відносне подовження відрізка

Тоді для малих деформацій

або у проекціях

Таким чином, діагональнікомпоненти дорівнюють подвоєним відносним подовженням нескінченно малих відрізків, які до деформації були паралельні координатним осям.

Розглянемо, як змінюються кути під час деформації. Візьмемо площину 0zy(Рис.1.13) і подивимося як зміниться спочатку прямий кут між відрізками dyі dz. Видно, що з точність до нескінченно малих другого порядку цей кут зміниться на .

Таким чином, недіагональні складові є величина зміни спочатку прямого кутаміж відповідними нескінченно малими відрізками після деформації Величини , , прийнято називати зсувами.

Наведемо остаточний вид запису тензора деформацій:

(1.5.14)

Якщо ввести позначення, отримаємо форму запису зв'язку переміщень з компонентами тензора деформацій ( співвідношення Коші):

. (1.5.15)

Тензор деформації та тензор напруги подібні, це дозволяє виявити важливі властивостідеформованого стану.

Нехай у тілі створені напруги пропорційні деформаціям,

(1.5.16)

Було показано, що з кожної точки напруженого стану існують такі орієнтації майданчиків, у яких реалізуються головні напруги. Тоді:

(1.5.17)

Таким чином, у деформованому тілі існують три напрямки, зрушення між якими дорівнюють нулю. Прямі, проведені в цих напрямках, називаються головними осями деформованого стануу цій точці. Відносні подовження у цих напрямках називаються головними подовженнями:

Виконавши заміну в характеристичному рівнянні, отримаємо так само кубічне рівняння

(1.5.19)

Коефіцієнти у віковому рівнянні, що визначаються формулами (1.5.19) називають інваріантами тензора деформацій.

Зв'язок між тензором напруг і тензором деформацій, визначає фізичну модельсуцільного середовища (її реологію). Зокрема, для моделі ізотропних пружних тіл мають місце співвідношення узагальненого закону Гука відомі з курсу опору матеріалів. У прийнятих позначенняхкомпонентів тензорів напруг та деформацій вони такі:

(1.5.20)

Тут Еі G- модулі Юнга (модуль поздовжньої пружності) та зсуву, n – коефіцієнт Пуассона. Вони пов'язані відомою залежністю .

У результаті рішення завдань теорії пружності виникає у зворотних співвідношеннях, коли напруги виражені через деформації. У цьому випадку отримуємо

, (1.5.21)

У разі текучих середовищ зв'язок між тензорами напружень та деформацій відсутній. І на розгляд вводиться тензор швидкостей деформацій:

А модель суцільного середовища визначається залежністю між тензором напруги і тензором швидкостей деформацій. Так для ньтонівських рідин використовується співвідношення, що називається узагальнений закон Ньютона:

(1.5.23)

Найбільш простою моделлю є модель «ідеальної» рідини:

(1.5.24)

Експериментальні дані та загальні фізичні уявлення показують, що при великих температурахі тисках будь-яке середовище практично має властивості ідеальної рідини.