Спрощення виразів алгебри приклади з рішенням. Спрощення логічних виразів

Літерний вираз (або вираз зі змінними) — це математичний вираз, який складається з чисел, літер та знаків математичних операцій. Наприклад, такий вираз є буквеним:

a + b + 4

За допомогою літерних виразів можна записувати закони, формули, рівняння та функції. Вміння маніпулювати літерними виразами - запорука гарного знанняалгебри та вищої математики.

Будь-яке серйозне завдання з математики зводиться до розв'язання рівнянь. А щоб уміти розв'язувати рівняння, треба вміти працювати з літерними виразами.

Щоб працювати з літерними виразами, потрібно добре вивчити базову арифметику: додавання, віднімання, множення, поділ, основні закони математики, дроби, дії з дробами, пропорції. І не просто вивчити, а зрозуміти досконало.

Змінні

Літери, які містяться в буквених виразах називаються змінними. Наприклад, у виразі a+b+4змінними є букви aі b. Якщо замість цих змінних підставити будь-які числа, то літерний вираз a+b+4звернеться до числове вираз, значення якого можна знайти.

Числа, які підставляють замість змінних називають значеннями змінних. Наприклад, змінимо значення змінних aі b. Для зміни значень використовується знак рівності

a = 2, b = 3

Ми змінили значення змінних aі b. Змінною aнадали значення 2 , змінною bнадали значення 3 . В результаті буквене вираз a+b+4звертається у звичайне числове вираз 2+3+4 значення якого можна знайти:

2 + 3 + 4 = 9

Коли відбувається множення змінних, вони записуються разом. Наприклад, запис abозначає те саме, що і запис a×b. Якщо підставити замість змінних aі bчисла 2 і 3 , то ми отримаємо 6

2 × 3 = 6

Також можна записати множення числа на вираз у дужках. Наприклад, замість a×(b + c)можна записати a(b + c). Застосувавши розподільчий закон множення, отримаємо a(b + c)=ab+ac.

Коефіцієнти

У літерних виразах часто можна зустріти запис, в якому число та змінна записані разом, наприклад 3a. Насправді, це короткий запис множення числа 3 на змінну aі цей запис виглядає як 3 × a .

Іншими словами, вираз 3aє твором числа 3 та змінної a. Число 3 у цьому творі називають коефіцієнтом. Цей коефіцієнт показує у скільки разів буде збільшено змінну a. Цей вираз можна прочитати як « aтричі» або «тричі а", або" збільшити значення змінної aвтричі», але найчастіше читається як «три a«

Наприклад, якщо змінна aдорівнює 5 , то значення виразу 3aдорівнюватиме 15.

3 × 5 = 15

Говорячи простою мовою, коефіцієнт це число, яке стоїть перед літерою (перед змінною).

Букв може бути кілька, наприклад 5abc. Тут коефіцієнтом є число 5 . Цей коефіцієнт показує, що добуток змінних abcзбільшується вп'ятеро. Цей вираз можна прочитати як « abcп'ять разів» або «збільшити значення виразу abcу п'ять разів», або «п'ять abc«.

Якщо замість змінних abcпідставити числа 2, 3 і 4, то значення виразу 5abcбуде одно 120

5×2×3×4 = 120

Можна уявити, як спочатку перемножилися числа 2, 3 і 4, і отримане значення збільшилося в п'ять разів:

Знак коефіцієнта належить лише коефіцієнту, і належить до змінним.

Розглянемо вираз −6b. Мінус, що стоїть перед коефіцієнтом 6 , відноситься тільки до коефіцієнта 6 , і не відноситься до змінної b. Розуміння цього факту дозволить не помилятися у майбутньому зі знаками.

Знайдемо значення виразу −6bпри b = 3.

−6b −6×b. Для наочності запишемо вираз −6bу розгорнутому вигляді та підставимо значення змінної b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

приклад 2.Знайти значення виразу −6bпри b = −5

Запишемо вираз −6bу розгорнутому вигляді

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

приклад 3.Знайти значення виразу −5a + bпри a = 3і b = 2

−5a + bце коротка форма запису від −5 × a + bтому для наочності запишемо вираз −5×a+bу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних aі b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Іноді літери записані без коефіцієнта, наприклад aабо ab. У цьому випадку коефіцієнтом є одиниця:

але одиницю за традицією не записують, тому просто пишуть aабо ab

Якщо перед літерою стоїть мінус, то коефіцієнтом є число −1 . Наприклад, вираз −aнасправді виглядає як −1a. Це твір мінус одиниці та змінної a.Воно вийшло так:

−1 × a = −1a

Тут криється невелика каверза. У виразі −aмінус, що стоїть перед змінною aнасправді належить до «невидимої одиниці», а не до змінної a. Тому під час вирішення завдань слід бути уважним.

Наприклад, якщо дано вираз −aі нас просять знайти його значення при a = 2, то в школі ми підставляли двійку замість змінної aі отримували відповідь −2 , не особливо зациклюючись на тому, як це виходило. Насправді відбувалося збільшення мінус одиниці на позитивне число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Якщо дано вираз −aі потрібно знайти його значення при a = −2, то ми підставляємо −2 замість змінної a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Щоб не допускати помилок, спочатку невидимі одиниці можна записувати явно.

приклад 4.Знайти значення виразу abcпри a=2 , b=3і c=4

Вираз abc 1×a×b×c.Для наочності запишемо вираз abc a, bі c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Приклад 5.Знайти значення виразу abcпри a=−2 , b=−3і c=−4

Запишемо вираз abcу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних a, bі c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Приклад 6.Знайти значення виразу − abcпри a=3 , b=5 та c=7

Вираз − abcце коротка форма запису від −1×a×b×c.Для наочності запишемо вираз − abcу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних a, bі c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Приклад 7.Знайти значення виразу − abcпри a=−2 , b=−4 та c=−3

Запишемо вираз − abcу розгорнутому вигляді:

−abc = −1 × a × b × c

Підставимо значення змінних a , bі c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Як визначити коефіцієнт

Іноді потрібно вирішити завдання, у якому потрібно визначити коефіцієнт вираження. В принципі, дане завданнядуже проста. Достатньо вміти правильно множити числа.

Щоб визначити коефіцієнт у виразі, потрібно окремо перемножити числа, що входять до цього виразу, та окремо перемножити літери. Чисельний співмножник, що вийшов, і буде коефіцієнтом.

приклад 1. 7m×5a×(−3)×n

Вираз складається з кількох співмножників. Це можна чітко побачити, якщо записати вираз у розгорнутому вигляді. Тобто твори 7mі 5aзаписати у вигляді 7×mі 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Застосуємо сполучний законмноження, що дозволяє перемножувати співмножники у будь-якому порядку. А саме, окремо перемножимо числа та окремо перемножимо букви (змінні):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коефіцієнт дорівнює −105 . Після завершення літерну частину бажано розташувати в алфавітному порядку:

−105amn

приклад 2.Визначити коефіцієнт у виразі: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коефіцієнт дорівнює 6.

приклад 3.Визначити коефіцієнт у виразі:

Перемножимо окремо числа та літери:

Коефіцієнт дорівнює -1. Зверніть увагу, що одиниця не записана, оскільки коефіцієнт 1 прийнято не записувати.

Ці здавалося б найпростіші завдання можуть зіграти з нами дуже злий жарт. Часто з'ясовується, що знак коефіцієнта поставлено неправильно: або пропущено мінус або навпаки, він поставлений дарма. Щоб уникнути цих прикру помилок, повинна бути вивчена на хорошому рівні.

Доданки в буквених виразах

При додаванні кількох чисел виходить сума цих чисел. Числа, які складають називають доданками. Доданків може бути кілька, наприклад:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Коли вираз складається із доданків, обчислювати його набагато простіше, оскільки складати легше, ніж віднімати. Але у виразі може бути не тільки додавання, а й віднімання, наприклад:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

У цьому виразі числа 3 і 5 є віднімаються, а не доданками. Але нам нічого не заважає, замінити віднімання додаванням. Тоді ми знову отримаємо вираз, що складається з доданків:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не має значення, що числа −3 і −5 тепер зі знаком мінуса. Головне, що всі числа в даному виразі пов'язані знаком додавання, тобто вираз є сумою.

Обидва вирази 1 + 2 − 3 + 4 − 5 і 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) рівні одному й тому значенню - мінус одиниці

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким чином, значення виразу не постраждає від того, що ми десь замінимо віднімання додаванням.

Замінювати віднімання додаванням можна і в буквених виразах. Наприклад, розглянемо такий вираз:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

За будь-яких змінних змін a, b, c, dі sвирази 7a + 6b − 3c + 2d − 4s і 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будуть рівні одному й тому самому значенню.

Ви повинні бути готові до того, що вчитель у школі або викладач в інституті може називати доданками навіть ті числа (або змінні), які не є ними.

Наприклад, якщо на дошці буде записано різницю a − b, то вчитель не буде говорити, що a- це зменшуване, а b- Віднімається. Обидві змінні він назве одним загальним словом — доданки. А все тому, що вираз виду a − bматематик бачить як суму a + (−b). У такому разі вираз стає сумою, а змінні aі (−b)стають доданками.

Подібні доданки

Подібні доданки— це доданки, які мають однакову літерну частину. Наприклад, розглянемо вираз 7a + 6b + 2a. доданки 7aі 2aмають однакову буквену частину - змінну a. Значить доданки 7aі 2aє подібними.

Зазвичай подібні доданки складають, щоб спростити вираз або вирішити якесь рівняння. Цю операцію називають приведенням подібних доданків.

Щоб навести подібні доданки, потрібно скласти коефіцієнти цих доданків, і отриманий результат помножити на загальну літерну частину.

Наприклад наведемо подібні доданки у виразі 3a + 4a + 5a. У даному випадкуподібними є всі доданки. Складемо їх коефіцієнти і результат помножимо на загальну літерну частину - на змінну a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подібні доданки зазвичай наводять в думці і результат записують відразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Також, можна міркувати так:

Було 3 змінні a до них додали ще 4 змінні a і ще 5 змінних a. У результаті отримали 12 змінних a

Розглянемо кілька прикладів для приведення подібних доданків. Враховуючи що дана темадуже важлива, спочатку записуватимемо докладно кожну дрібницю. Незважаючи на те, що тут все дуже просто, більшість людей припускаються безлічі помилок. Здебільшого через неуважність, а не через незнання.

приклад 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Складемо коефіцієнти в даному виразі та отриманий результат помножимо на загальну буквену частину:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Конструкцію (3+2+6+8)×aможна не записувати, тому одразу запишемо відповідь

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

приклад 2.Навести подібні доданки у виразі 2a + a

Другий доданок aзаписано без коефіцієнта, але насправді перед ним стоїть коефіцієнт 1 , який ми не бачимо через те, що його не записують. Отже, вираз виглядає так:

2a + 1a

Тепер наведемо подібні доданки. Тобто складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишемо рішення коротше:

2a + a = 3a

2a+a, Можна міркувати і по-іншому:

приклад 3.Навести подібні доданки у виразі 2a − a

Замінимо віднімання додаванням:

2a + (−a)

Другий доданок (−a)записано без коефіцієнта, але насправді воно виглядає як (−1a).Коефіцієнт −1 знову ж таки невидимий через те, що його не записують. Отже, вираз виглядає так:

2a + (−1a)

Тепер наведемо подібні доданки. Складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Зазвичай записують коротше:

2a − a = a

Наводячи подібні доданки у виразі 2a−aможна міркувати і по-іншому:

Було 2 змінні a, відняли одну змінну a, в результаті залишилася одна єдина змінна a

приклад 4.Навести подібні доданки у виразі 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Тепер наведемо подібні доданки. Складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишемо рішення коротше:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Зустрічаються вирази, які містять кілька різних груп подібних доданків. Наприклад, 3a + 3b + 7a + 2b. Для таких виразів справедливі самі правила, як і інших, саме складання коефіцієнтів і множення отриманого результату загальну буквенную часть. Але щоб не допустити помилок, зручно різні групидоданків підкреслити різними лініями.

Наприклад, у виразі 3a + 3b + 7a + 2bті доданки, які містять змінну a, можна підкреслити однією лінією, а ті доданки, які містять змінну b, можна підкреслити двома лініями:

Тепер можна навести подібні доданки. Тобто скласти коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну літерну частину. Зробити це потрібно для обох груп доданків: для доданків, що містять змінну aі для доданків, що містять змінну b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Знову ж таки повторимося, вираз нескладний, і подібні доданки можна приводити в думці:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Приклад 5.Навести подібні доданки у виразі 5a − 6a −7b + b

Замінимо віднімання додавання там, де це можна:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Підкреслимо подібні доданки різними лініями. Доданки, що містять змінні aпідкреслимо однією лінією, а складові зміст змінні b, підкреслимо двома лініями:

Тепер можна навести подібні доданки. Тобто скласти коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну буквену частину:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Якщо у виразі містяться звичайні числабез буквених співмножників, то вони складаються окремо.

Приклад 6.Навести подібні доданки у виразі 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Наведемо подібні доданки. Числа −5 і 7 не мають буквених співмножників, але вони є подібними доданками - їх необхідно просто скласти. А доданок 2bзалишиться без змін, оскільки воно єдине в даному виразі, що має буквений співмножник b,і його нема з чим складати:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишемо рішення коротше:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Доданки можна впорядковувати, щоб ті доданки, які мають однакову літерну частину, розташовувалися в одній частині виразу.

Приклад 7.Навести подібні доданки у виразі 5t+2x+3x+5t+x

Оскільки вираз є сумою з кількох доданків, це дозволяє нам обчислювати їх у будь-якому порядку. Тому доданки, що містять змінну t, можна записати на початку виразу, а доданки, що містять змінну xв кінці виразу:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Тепер можна навести такі складові:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишемо рішення коротше:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сума протилежних чиселдорівнює нулю. Це правило працює і для буквених виразів. Якщо у виразі зустрінуться однакові доданки, але з протилежними знаками, то їх можна позбутися на етапі приведення подібних доданків. Іншими словами, просто викреслити їх з виразу, оскільки їхня сума дорівнює нулю.

Приклад 8.Навести подібні доданки у виразі 3t − 4t − 3t + 2t

Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

доданки 3tі (−3t)є протилежними. Сума протилежних доданків дорівнює нулю. Якщо вилучити цей нуль з виразу, то значення виразу не зміниться, тому ми його і приберемо. А приберемо ми його звичайним викреслюванням доданків 3tі (−3t)

У результаті у нас залишиться вираз (−4t) + 2t. У цьому виразі можна навести подібні доданки та отримати остаточну відповідь:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишемо рішення коротше:

Спрощення виразів

«спростіть вираз» і далі наводиться вираз, який потрібно спростити. Спростити вираззначить зробити його простіше та коротше.

Насправді ми займалися спрощенням виразів, коли скорочували дроби. Після скорочення дріб ставав коротшим і простіше для сприйняття.

Розглянемо наступний приклад. Спростити вираз.

Це завдання буквально можна зрозуміти так: "Застосуйте до цього виразу будь-які допустимі дії, але зробіть його простіше" .

В даному випадку можна здійснити скорочення дробу, а саме розділити чисельник і знаменник дробу на 2:

Що ще можна зробити? Можна обчислити отриманий дріб. Тоді ми отримаємо десятковий дріб 0,5

У результаті дріб спростився до 0,5.

Перше питання, яке потрібно собі ставити при вирішенні подібних завдань, повинен бути "А що можна зробити?" . Тому що є дії, які можна робити, і є дії, які робити не можна.

Ще один важливий момент, Про яке потрібно пам'ятати, полягає в тому, що значення вираз не повинно змінитися після спрощення виразу. Повернемося до виразу. Даний вираз є поділ, який можна виконати. Виконавши цей поділ, ми отримуємо значення даного виразу, яке дорівнює 0,5

Але ми спростили вираз і отримали новий спрощений вираз. Значення нового спрощеного виразу, як і раніше, дорівнює 0,5

Але вираз ми теж спробували спростити, обчисливши його. У результаті отримали остаточну відповідь 0,5.

Таким чином, як би ми не спрощували вираз, значення одержуваних виразів, як і раніше, дорівнює 0,5. Отже спрощення виконувалося правильно кожному етапі. Саме цього потрібно прагнути при спрощенні висловів — значення висловлювання має постраждати від наших дій.

Часто потрібно спрощувати буквені вирази. Їх справедливі самі правила спрощення, як і числових выражений. Можна виконувати будь-які допустимі дії, аби не змінилося значення виразу.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.Спростити вираз 5,21s × t × 2,5

Щоб спростити цей вираз, можна окремо перемножити числа та окремо перемножити букви. Це завдання дуже схоже на те, що ми розглядали, коли вчилися визначати коефіцієнт:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким чином, вираз 5,21s × t × 2,5спростилося до 13,025st.

приклад 2.Спростити вираз −0,4 × (−6,3b) × 2

Другий твір (−6,3b)можна перевести у зрозумілий нам вигляд, саме записати як ( −6,3)×b ,потім окремо перемножити числа та окремо перемножити літери:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Таким чином, вираз −0,4 × (−6,3b) × 2 спростилося до 5,04b

приклад 3.Спростити вираз

Розпишемо цей вираз докладніше, щоб добре побачити, де числа, а де букви:

Тепер окремо перемножимо числа та окремо перемножимо літери:

Таким чином, вираз спростилося до −abc.Дане рішення можна записати коротше:

При спрощенні виразів, дроби можна скорочувати в процесі рішення, а не в самому кінці, як ми це робили з звичайними дробами. Наприклад, якщо в ході рішення ми натрапимо на вираз виду, то зовсім необов'язково обчислювати чисельник і знаменник і робити щось на зразок цього:

Дроб можна скоротити, вибираючи по множнику в чисельнику і в знаменнику і скорочувати ці множники на їхній найбільший спільний дільник. Іншими словами, використовувати , в якій ми не розписуємо докладно, на що був розділений чисельник і знаменник.

Наприклад, в чисельнику множник 12 і в знаменнику множник 4 можна скоротити на 4.

Тепер можна перемножити маленькі множники. В даному випадку їх небагато і можна перемножити в думці:

Згодом можна виявити, що вирішуючи те чи інше завдання, вирази починають «товстіти», тому бажано привчитися до швидких обчислень. Те, що можна обчислити в умі, потрібно обчислювати в умі. Те, що можна швидко скоротити, потрібно швидко скорочувати.

приклад 4.Спростити вираз

Таким чином, вираз спростилося до

Приклад 5.Спростити вираз

Перемножимо окремо числа та окремо букви:

Таким чином, вираз спростилося до mn.

Приклад 6.Спростити вираз

Запишемо цей вираз докладніше, щоб добре побачити, де числа, а де букви:

Тепер окремо перемножимо числа та окремо букви. Для зручності обчислень десятковий дріб −6,4 та змішане числоможна перевести в прості дроби:

Таким чином, вираз спростилося до

Рішення для цього прикладу можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

Приклад 7.Спростити вираз

Перемножимо окремо числа та окремо букви. Для зручності обчислення змішане число та десяткові дроби 0,1 і 0,6 можна перевести у прості дроби:

Таким чином, вираз спростилося до abcd. Якщо пропустити подробиці, то дане рішенняможна записати значно коротше:

Зверніть увагу на те, як скоротився дріб. Нові множники, які утворюються внаслідок скорочення попередніх множників, теж допускається скорочувати.

Тепер поговоримо про те, що робити не можна. При спрощенні виразів категорично не можна перемножувати числа і букви, якщо вираз є сумою, а чи не твором.

Наприклад, якщо потрібно спростити вираз 5a + 4b, то не можна записувати так:

Це рівнозначно тому, що якби нас попросили скласти два числа, а ми їх перемножували б замість того, щоб складати.

При підстановці будь-яких значень змінних aі bвираз 5a +4bзвертається у звичайне числове вираз. Припустимо, що змінні aі bмають такі значення:

a = 2, b = 3

Тоді значення виразу дорівнюватиме 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Спочатку виконується множення, а потім отримані результати складають. А якби ми спробували спростити цей вираз, перемноживши числа та літери, то вийшло б таке:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Виходить зовсім інше значення виразу. У першому випадку вийшло 22 , у другому випадку 120 . Це означає, що спрощення виразу 5a + 4bбуло виконано неправильно.

Після спрощення виразу, його значення не повинно змінюватися при одних і тих же змінних змін. Якщо при підстановці в початковий вираз будь-яких значень змінних виходить одне значення, то після спрощення виразу має виходити те саме значення, що й до спрощення.

З виразом 5a + 4bнасправді нічого робити не можна. Воно не спрощується.

Якщо у виразі містяться подібні доданки, їх можна скласти, якщо нашою метою є спрощення висловлювання.

Приклад 8.Спростити вираз 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

або коротше: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Таким чином, вираз 0,3a−0,4a+aспростилося до 0,9a

Приклад 9.Спростити вираз −7,5a − 2,5b + 4a

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

або коротше −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

доданок (−2,5b)залишилося без змін, оскільки його не було з чим складати.

приклад 10.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Коефіцієнт був зручності обчислення.

Таким чином, вираз спростилося до

Приклад 11.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Таким чином, вираз спростилося до .

У даному прикладідоцільніше було б скласти перший і останній коефіцієнт насамперед. У цьому випадку ми отримали б коротке рішення. Виглядало воно буде так:

приклад 12.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Таким чином, вираз спростилося до .

Доданок залишився без зміни, оскільки його не було з чим складати.

Це рішення можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

У короткому рішенніпропущено етапи заміни віднімання додаванням та докладний запис, як дроби приводилися до спільного знаменника.

Ще одна відмінність полягає в тому, що в докладне рішеннявідповідь виглядає як , а короткому як . Насправді, це один і той самий вислів. Відмінність у тому, що в першому випадку віднімання замінено додаванням, оскільки на початку коли ми записували рішення у детальному вигляді, ми скрізь де можна замінили віднімання додаванням, і ця заміна збереглася і для відповіді.

Тотожності. Тотожно рівні вирази

Після того, як ми спростили будь-який вираз, воно стає простіше і коротше. Щоб перевірити, чи правильно спрощено вираз, достатньо підставити будь-які значення змінних спочатку у попередній вираз, який потрібно спростити, а потім у новий, який спростили. Якщо значення обох висловлюваннях буде однаковим, то вираз спрощено правильно.

Розглянемо найпростіший приклад. Нехай потрібно спростити вираз 2a × 7b. Щоб спростити цей вираз, можна окремо перемножити числа та літери:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Перевіримо чи ми спростили вираз. Для цього підставимо будь-які значення змінних aі bспочатку в перший вираз, який потрібно спростити, а потім у другий, який спростили.

Нехай значення змінних a , bбудуть наступними:

a = 4, b = 5

Підставимо їх у перший вираз 2a × 7b

Тепер підставимо ті ж значення змінних у вираз, що вийшло внаслідок спрощення 2a×7b, А саме у вираз 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Бачимо, що за a=4і b=5значення першого виразу 2a×7bта значення другого виразу 14abрівні

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Те саме станеться і для будь-яких інших значень. Наприклад, нехай a=1і b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Таким чином, при будь-яких значеннях змінних виразів 2a×7bі 14abрівні одному й тому самому значенню. Такі вирази називають тотожно рівними.

Робимо висновок, що між виразами 2a×7bі 14abможна поставити знак рівності, оскільки вони рівні тому самому значенню.

2a × 7b = 14ab

Рівністю називають будь-який вираз, який з'єднаний знаком рівності (=).

А рівність виду 2a×7b = 14abназивають тотожністю.

Тотожністю називають рівність, яка вірна за будь-яких значень змінних.

Інші приклади тотожностей:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Так, закони математики, які ми вивчали, є тотожністю.

Вірні числові рівностітакож є тотожності. Наприклад:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Вирішуючи складне завдання, щоб полегшити собі обчислення, складний вираззамінюють більш просте вираз, тотожно рівне попередньому. Таку заміну називають тотожним перетворенням виразуабо просто перетворенням виразу.

Наприклад, ми спростили вираз 2a × 7b, і отримали більш простий вираз 14ab. Це спрощення можна називати тотожним перетворенням.

Часто можна зустріти завдання, у якому сказано «доведіть, що рівність є тотожністю» і далі наводиться рівність, яку потрібно довести. Зазвичай ця рівність складається з двох частин: лівої та правої частини рівності. Наше завдання полягає в тому, щоб виконати тотожні перетворення з однієї з частин рівності та отримати іншу частину. Або виконати тотожні перетворення з обома частинами рівності і зробити так, щоб в обох частинах рівності виявилися однакові вирази.

Наприклад, доведемо, що рівність 0,5a × 5b = 2,5abє тотожністю.

Спростимо ліву частину цієї рівності. Для цього перемножимо числа та літери окремо:

0,5×5×a×b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результаті невеликого тотожного перетворення, ліва частинарівності стала рівна правій частині рівності. Отже ми довели, що рівність 0,5a × 5b = 2,5abє тотожністю.

З тотожних перетворень ми навчилися складати, віднімати, множити і ділити числа, скорочувати дроби, наводити подібні доданки, і навіть спрощувати деякі висловлювання.

Але це далеко не всі тотожні перетворення, які існують у математиці. Тотожних перетворень набагато більше. У майбутньому ми ще не раз у цьому переконаємось.

Завдання для самостійного вирішення:

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Деякі приклади алгебриодним видом здатні наводити жах на школярів. Довгі висловлювання як лякають, а й дуже ускладнюють обчислення. Намагаючись відразу зрозуміти, що й за чим слід, недовго заплутатися. Саме з цієї причини математики завжди намагаються максимально спростити «моторошне» завдання і лише потім приступають до його вирішення. Як не дивно, такий трюк значно пришвидшує процес роботи.

Спрощення є одним із фундаментальних моментів в алгебрі. Якщо в простих задачахбез нього ще можна обійтися, то складніші для обчислення приклади можуть виявитися «не по зубах». Отут і знадобляться ці навички! Тим більше, що складних математичних знаньне потрібно: достатньо буде лише запам'ятати і навчитися застосовувати на практиці кілька базових прийомів і формул.

Незалежно від складності обчислень при вирішенні будь-якого виразу важливо дотримуватись порядку виконання операцій з числами:

1. дужки;
2. зведення в ступінь;
3. множення;
4. розподіл;
5. додавання;
6. віднімання.

Останні два пункти можна спокійно поміняти місцями і це ніяк не вплине на результат. Але складати два сусідні числа, коли поруч із одним із них стоїть знак множення категорично не можна! Відповідь якщо і вийде, то неправильна. Тому слід запам'ятати послідовність.

Застосування таких

До таких елементів відносяться числа зі змінною одного порядку або однакового ступеня. Існують і так звані вільні члени, які не мають поряд із собою буквеного позначенняневідомого.

Суть у тому, що за відсутності дужок можна спростити вираз, складаючи або віднімаючи між собою подібні.

Декілька наочних прикладів:

• 8x 2 і 3x 2 - обидва числа мають одну і ту ж змінну другого порядку, тому вони подібні і при додаванні спрощуються до (8+3)x 2 =11x 2 , тоді як при відніманні виходить (8-3)x 2 =5x 2;
• 4x 3 і 6x - а тут "х" має різний ступінь;
• 2y 7 і 33x 7 містять різні змінні, тому, як і в попередньому випадку, не відносяться до подібних.

Розкладання числа на множники

Ця маленька математична хитрість, якщо навчитися її правильно використовувати, у майбутньому неодноразово допоможе впоратися з каверзним завданням. Та й зрозуміти, як працює «система», нескладно: розкладанням називають добуток кількох елементів, обчислення якого дає вихідне значення. Таким чином, 20 можна подати як на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 або іншим способом.

На замітку: множники завжди збігаються з дільниками Тож шукати робочу «пару» для розкладання потрібно серед чисел, на які вихідне ділиться без залишку.

Робити таку операцію можна як із вільними членами, так і з цифрами за змінної. Головне, не втратити останню під час обчислень – навіть після розкладання невідома не може взяти і «піти в нікуди». Вона залишається при одному з множників:

• 15x = 3 (5x);
• 60у 2 = (15y 2)4.

Прості числа, які можна розділити лише на себе або 1, ніколи не розкладаються – у цьому немає сенсу.

Основні способи спрощення

Перше, за що чіпляється погляд:

• наявність дужок;
• дроби;
• коріння.

Алгебраїчні приклади в шкільній програмічасто складаються з огляду на те, що їх можна красиво спростити.

Обчислення у дужках

Уважно стежте за знаком, що стоїть перед дужками!Множення або розподіл застосовується до кожного елемента всередині, а мінус - змінює наявні знаки "+" або "-" на протилежні.

Дужки обчислюються за правилами або за формулами скороченого множення, після чого наводяться такі.

Скорочення дробів

Скорочувати дробитеж нескладно. Вони самі через раз «охоче тікають», варто зробити операції з приведенням таких членів. Але спростити приклад можна ще раніше: звертайте увагу на чисельник та знаменник. Вони часто містять явні або приховані елементи, які можна взаємно скоротити. Правда, якщо в першому випадку потрібно лише викреслити зайве, у другому доведеться подумати, наводячи частину виразу для спрощення. Використовувані методи:

• пошук та винесення за дужки найбільшого спільного дільникау чисельника та знаменника;
• розподіл кожного верхнього елемента на знаменник.

Коли вираз або його частина знаходиться під коренем, Першорядне завдання спрощення практично аналогічна випадку з дробами. Необхідно шукати способи повністю його позбутися або, якщо це неможливо, максимально скоротити знак, що заважає обчисленням. Наприклад, до ненав'язливого √(3) чи √(7).

Вірний спосібспростити підкорене вираз- Спробувати розкласти його на множники, частина у тому числі виноситься межі знака. Наочний приклад: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Інші маленькі хитрощі та нюанси:

• цю операцію спрощення можна проводити з дробами, виносячи її за знак як цілком, так і окремо чисельник чи знаменник;
• розкладати та виносити за межі кореня частину суми чи різниці не можна;
• при роботі зі змінними обов'язково враховуйте її ступінь, він повинен бути рівним або кратним кореню для можливості винесення: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)=√(x 2 ×x)=x√( x);
• іноді допускається звільнення від підкореної змінної шляхом зведення її в дробовий ступінь: √(y 3)=y 3/2 .

Спрощення статечного вираження

Якщо у випадку простих обчисленьна мінус або плюс приклади спрощуються за рахунок приведення подібних, то як бути при множенні або розподілі змінних з різними ступенями? Їх можна легко спростити, запам'ятавши два основні моменти:

1. Якщо між змінними стоїть знак множення – ступеня складаються.
2. Коли вони діляться один на одного - зі ступеня чисельника віднімається вона ж знаменника.

Єдина умова для такого спрощення – однакова основав обох членів. Приклади для наочності:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13-11 =20x 9 +y 2 ;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Зазначаємо, що операції з числовими значеннями, що стоять перед змінними, відбуваються за звичайними математичними правилами. І якщо придивитися, то стає зрозуміло, що статечні елементи вираження «працюють» аналогічно:

• зведення члена в ступінь означає множення його на самого себе певну кількістьразів, т. е. x 2 =x×x;
• розподіл аналогічно: якщо розкласти ступінь чисельника і знаменника, то частина змінних скоротиться, тоді як ті, що залишилися, «збираються», що рівносильно віднімання.

Як і в будь-якій справі, при спрощенні виразів алгебри необхідне не тільки знання основ, але і практика. Вже через кілька занять приклади, що колись здаються складними, скорочуватимуться без особливих зусиль, перетворюючись на короткі і легко розв'язувані.

Відео

Це відео допоможе вам розібратися та запам'ятати, як спрощуються вирази.

Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковій спільнотіпоки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки я розумію, математичний апаратзастосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницяхвимірювання часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу рівний першомуАхіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне рішенняпроблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадоксдолається дуже просто - достатньо уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моментичасу, але з них не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точокпростору в один момент часу, але за ними не можна визначити факт руху (звісно, ​​ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагуТак це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі - це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібна логіка абсурду розумним істотамне зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх з реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількістьбруду, кристалічна структурата розташування атомів у кожної монети унікально...

А тепер у мене самий цікаве питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що і як ми робимо для того, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так ось, у різних системахобчислення сума цифр однієї й тієї числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З більшим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницямивимірювання. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної діїне залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурою, не знає фізику. Просто у неї дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

I. Вирази, у яких поряд із літерами можуть бути використані числа, знаки арифметичних дійі дужки, називаються виразами алгебри.

Приклади виразів алгебри:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Так як букву в алгебраїчному виразі можна замінити якимись різними числами, то букву називають змінною, а саме вираз алгебри — виразом зі змінною.

ІІ. Якщо в алгебраїчному виразі літери (змінні) замінити їх значеннями та виконати зазначені дії, то отримане в результаті число називається значенням виразу алгебри.

приклади. Знайти значення виразу:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) | + | y ​​| -|z| при х = -8; y = -5; z = 6.

Рішення.

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Замість змінних підставимо їх значення. Отримаємо:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | + | y ​​| -|z| при х = -8; y = -5; z = 6. Підставляємо вказані значення. Пам'ятаємо, що модуль негативного числадорівнює протилежному йому числу, а модуль позитивного числадорівнює самому цьому числу. Отримуємо:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

ІІІ.Значення літери (змінної), у яких алгебраїчне вираз має сенс, називають допустимими значеннями літери (змінної).

приклади. При яких значеннях змінної вираз немає сенсу?

Рішення.Ми знаємо, що на нуль ділити не можна, тому кожен з цих виразів не матиме сенсу при тому значенні літери (змінної), яка звертає знаменник дробу в нуль!

У прикладі 1) це значення а = 0. Справді, якщо замість а підставити 0, потрібно буде число 6 ділити на 0, а цього робити не можна. Відповідь: вираз 1) немає сенсу при а = 0.

У прикладі 2) знаменник х - 4 = 0 при х = 4, отже, це значення х = 4 і не можна брати. Відповідь: вираз 2) немає сенсу при х = 4.

У прикладі 3) знаменник х + 2 = 0 за х = -2. Відповідь: вираз 3) немає сенсу при х = -2.

У прикладі 4) знаменник 5-|x| = 0 за |x| = 5. Оскільки |5| = 5 та |-5| = 5, то не можна брати х = 5 та х = -5. Відповідь: вираз 4) немає сенсу при х = -5 і за х = 5.
IV. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо за будь-яких допустимих значенняхЗмінні відповідні значення цих виразів рівні.

Приклад: 5 (a – b) і 5a – 5b теж однакові, оскільки рівність 5 (a – b) = 5a – 5b буде вірним за будь-яких значеннях a і b. Рівність 5 (a – b) = 5a – 5b є тотожністю.

Тотожність – це рівність, справедливе за всіх допустимих значеннях змінних, що входять до нього. Прикладами вже відомих вам тотожностей є, наприклад, властивості додавання та множення, розподільна властивість.

Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу. Тотожні перетвореннявиразів із змінними виконуються на основі властивостей дій над числами.

приклади.

a)перетворіть вираз у тотожно рівну, використовуючи розподільну властивість множення:

1) 10 · (1,2 х + 2,3у); 2) 1,5 · (a -2b + 4c); 3) a · (6m -2n + k).

Рішення. Згадаймо розподільну властивість (закон) множення:

(a+b)·c=a·c+b·c(розподільний закон множення щодо додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожне доданок помножити на це число та отримані результати скласти).
(а-b)·c=a·с-b·c(розподільний закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число, що зменшується і віднімається окремо і з першого результату відняти другий).

1) 10 · (1,2 х + 2,3у) = 10 · 1,2 х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5 · (a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a · (6m -2n + k) = 6am -2an + ak.

б)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи переміщувальне та комбінаційні властивості(закони) складання:

4) х+4,5+2х+6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с.

Рішення.Застосуємо закони (властивості) складання:

a+b=b+a(переміщувальний: від перестановки доданків сума не змінюється).
(a+b)+c=a+(b+c)(Сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с = (5,4 с -2,3 с) + (-3 -2,5) = 3,1 с -5,5.

в)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи переміщувальну та поєднувальну властивості (закони) множення:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Рішення.Застосуємо закони (властивості) множення:

a b = b a(Перемістковий: від перестановки множників твір не змінюється).
(a·b)·c=a·(b·c)(Сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.

Якщо алгебраїчне вираз дано як скоротливої ​​дробу, то користуючись правилом скорочення дробу його можна спростити, тобто. замінити тотожно рівним йому простішим виразом.

приклади. Спростіть за допомогою скорочення дробів.

Рішення.Скоротити дріб - це означає розділити її чисельник і знаменник на те саме число (вираз), відмінне від нуля. Дроб 10) скоротимо на 3b; дріб 11) скоротимо на аі дріб 12) скоротимо на 7n. Отримуємо:

Алгебраїчні вирази застосовують для складання формул.

Формула – це вираз алгебри, записаний у вигляді рівності і виражає залежність між двома або декількома змінними.Приклад: відома вам формула шляху s=v·t(s - пройдений шлях, v - швидкість, t - час). Згадайте, які формули ви знаєте.

Сторінка 1 з 1 1

Розділ 5 ВИРАЗИ ТА РІВНЯННЯ

У розділі дізнаєтесь:

ü про висловлювання та їх спрощення;

ü які властивості рівностей;

ü як розв'язувати рівняння на основі властивостей рівностей;

ü які види задач вирішуються за допомогою рівнянь; що таке перпендикулярні прямі та як їх будувати;

ü які прямі називаються паралельними та як їх будувати;

ü що таке координатна площина;

ü як визначити координати точки на площині;

ü що таке графік залежності між величинами та як його побудувати;

ü як застосувати вивчений матеріал на практиці

§ 30. ВИРАЗИ ТА ЇХ СПРОЩЕННЯ

Ви вже знаєте, що таке літерні вирази та вмієте їх спрощувати за допомогою законів складання та множення. Наприклад, 2а ∙ (-4 b) = -8 ab . В отриманому виразі число -8 називають коефіцієнтом виразу.

Чи має вираз cd коефіцієнт? Так. Він дорівнює 1, оскільки cd - 1 ∙ cd.

Згадаймо, що перетворення виразу з дужками у вираз без дужок називають розкриттям дужок. Наприклад: 5 (2х + 4) = 10х + 20.

Зворотна дія в цьому прикладі – це винесення загального множника за дужки.

Доданки, що містять однакові буквені множники, називають подібними доданками. За допомогою винесення загального множника за дужки зводять такі складові:

5х + y + 4 - 2х + 6 y - 9 =

= (5х - 2х) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B х+ 7у – 5.

Правила розкриття дужок

1. Якщо перед дужками стоїть знак «+», то при розкритті дужок знаки доданків у дужках зберігають;

2. Якщо перед дужками стоїть знак "-", то при розкритті дужок знаки доданків у дужках змінюються на протилежні.

Завдання 1 . Спростіть вираз:

1) 4х + (-7х + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y).

Рішення. 1. Перед дужками стоїть знак «+», тому при розкритті дужок знаки всіх доданків зберігаються:

4х + (-7х + 5) = 4х - 7х + 5 = -3х + 5.

2. Перед дужками стоїть знак «-», тому під час розкриття дужок: знаки всіх доданків змінюються на протилежні:

15 - (- 8 + 7у) = 15у + 8 - 7у = 8у +8.

Для розкриття дужок використовують розподільчу властивістьмноження: а( b + c) = ab + Ас. Якщо а > 0, то знаки доданків b і з не змінюють. Якщо а< 0, то знаки слагаемых b і змінюють на протилежні.

Завдання 2. Спростіть вираз:

1) 2(6 y -8) + 7 y;

2)-5(2-5х) + 12.

Рішення. 1. Множник 2 перед дужками є позитивним, тому при розкритті дужок знаки всіх доданків зберігаємо: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Множник -5 перед дужками є негативним, тому при розкритті дужок знаки всіх доданків міняємо на протилежні:

5 (2 - 5х) + 12 = -10 + 25х +12 = 2 + 25х.

Дізнайтесь більше

1. Слово «сума» походить від латинського summa що означає «підсумок», «загальна кількість».

2. Слово «плюс» походить від латинського plus , що означає "більше", а слово "мінус" - від латинського minus , що означає «менше». Знаки «+» і «-» використовують для позначення дій складання та віднімання. Ці знаки ввів чеський учений Й. Відман у 1489 р. у книзі «Швидкий та приємний рахунок для всіх торговців»(Рис. 138).

Мал. 138

Згадайте головне

1. Які доданки називають подібними? Як зводять такі складові?

2. Як розкривають дужки, перед якими стоїть знак +?

3. Як розкривають дужки, перед якими стоїть знак "-"?

4. Як розкривають дужки, перед якими стоїть позитивний множник?

5. Як розкривають дужки, перед якими стоїть негативний множник?

1374". Назвіть коефіцієнт виразу:

1) 12 а; 3)-5,6 ху;

2) 4 6; 4)-с.

1375". Назвіть доданки, які відрізняються лише коефіцієнтом:

1) 10а + 76-26 + а; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d; 4) 5х + 4у-х + у.

Як називаються такі доданки?

1376". Чи є подібними доданкиу виразі:

1) 11а + 10а; 3) 6 n + 15 n; 5) 25р – 10р + 15р;

2) 14с-12; 4) 12 m + m; 6) 8 k +10 k - n?

1377". Чи потрібно міняти знаки доданків у дужках, розкриваючи дужки у виразі:

1) 4 + (а + 3 b); 2)-c + (5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378 °. Спростіть вираз і підкресліть коефіцієнт:

1379 °. Спростіть вираз і підкресліть коефіцієнт:

1380 °. Зведіть такі складові:

1) 4а – По + 6а – 2а; 4) 10 – 4 d - 12 + 4 d;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b; 5) 5а - 12 b - 7а + 5 b;

3)-7 = + 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381 °. Зведіть такі складові:

1) 6а – 5а + 8а -7а; 3) 5с + 4-2с-3с;

2) 9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382 °. Винесіть загальний множникза дужки:

1) 1,2 а +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t;

2) 0,5 с + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6)-8р - 10 k - 6 t.

1383 °. Винесіть загальний множник за дужки:

1) 6а-12 b; 3)-1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 с + 1 4 d; А) 3р - 0,9 k + 2,7 t.

1384 °. Розкрийте дужки та зведіть подібні доданки;

1) 5+ (4а -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5с);

2) 17х-(4х-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 – 4) – (46 + 2); 6) 7(-5х + у) - (-2у + 4х) + (х - 3у).

1385 °. Розкрийте дужки і зведіть такі складові:

1) 10а + (4 – 4а); 3) (з - 5 d) - (-d + 5с);

2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386 °. Розкрийте дужки та знайдіть значення виразу:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387 °. Розкрийте дужки та знайдіть значення виразу:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388 °. Розкрийте дужки:

1) 0,5 ∙ (а + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-с ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 р + до - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2а).

1389 °. Розкрийте дужки:

1) 2,2 ∙ (х-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6-(-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Спростіть вираз:

1391. Спростіть вираз:

1392. Зведіть такі доданки:

1393. Зведіть такі складові:

1394. Спростіть вираз:

1) 2,8 - (0,5 а + 4) - 2,5 ∙ (2а - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n ) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m ) ∙ 2.

1395. Спростіть вираз:

1396. Знайдіть значення виразу;

1) 4-(0,2 а-3)-(5,8 а-16), якщо а = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), якщо = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Знайдіть значення виразу:

1) -4∙(я-2) + 2∙(6x - 1), якщо х =-0,25;

1398*. Знайдіть помилку у вирішенні:

1) 5-(а-2,4)-7 ∙ (-а+ 1,2) = 5а - 12-7а + 8,4 = -2а-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 а - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 а) = -9,2 а + 46 + 4,26 - 14,7 а = -5,5 а + 8,26.

1399*. Розкрийте дужки та спростіть вираз:

1) 2аb - 3(6(4а - 1) - 6(6 - 10а)) + 76;

1400*. Розставте дужки так, щоб здобути правильну рівність:

1) а-6-а + 6 = 2а; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b.

1401*. Доведіть, що для будь-яких чисел а та b якщо а > b , то виконується рівність:

1) (а + b) + (а-b) = 2а; 2) (а + b) - (a - b) = 2 b.

Чи буде правильною ця рівність, якщо: а) а< b; б) а = 6?

1402*. Доведіть, що для будь-кого натурального числаа середнє арифметичне попереднього та наступного за ним чисел дорівнює числу а.

ЗАСТОСУВАЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1403. Для приготування фруктового десерту для трьох осіб потрібно: 2 яблука, 1 апельсин, 2 банани та 1 ківі. Як скласти буквене вираздля визначення кількості фруктів, необхідних для приготування десерту, я для гостей? Допоможіть Маріну ці підрахувати, скільки фруктів потрібно купити, якщо до неї в гості прийдуть: 1) 5 друзів; 2) 8 друзів.

1404. Складіть літерний вираз для визначення часу, необхідного для виконання домашнього завдання з математики, якщо:

1) на розв'язання задач витрачено а мін; 2) спрощення виразів у 2 рази більше, ніж рішення завдань. Скільки часу виконував домашнє завданняВасильку, якщо на вирішення завдань він витратив 15 хв?

1405. Обід у шкільній їдальні складається з салату, борщу, голубців та компоту. Вартість салату складає 20%, борщу – 30%, голубців – 45%, компоту – 5% загальної вартості всього обіду. Складіть вираз для знаходження вартості обіду у шкільній їдальні. Скільки коштує обід, якщо ціна салату – 2 грн?

ЗАВДАННЯ НА ПОВТОРЕННЯ

1406. Розв'яжіть рівняння:

1407. На морозиво Таня витратилавсіх наявних грошей, а на цукерки -решти. Скільки грошей залишилось у Тані,

якщо цукерки коштують 12 грн?