Рішення спростити вираз дробів. Записи з міткою "спростити вираз алгебри"

Алгебраїчне вираз у записі якого поряд з діями додавання, віднімання та множення використовують також розподіл на буквені вирази, називається дробовим виразом алгебри. Такі, наприклад, вирази

Алгебраїчним дробом ми називаємо алгебраїчний вираз, Що має вигляд приватного від поділу двох цілих виразів алгебри (наприклад, одночленів або багаточленів). Такі, наприклад, вирази

Третій з виразів).

Тотожні перетворення дробових виразів алгебри мають здебільшого своєю метою представити їх у вигляді алгебраїчного дробу. Для віднайдення спільного знаменника використовується розкладання на множники знаменників дробів - доданків з метою віднайдення їх найменшого загального кратного. При скороченні алгебраїчних дробів може порушуватися строга тотожність виразів: необхідно виключати значення величин, у яких множник, який виробляється скорочення, перетворюється на нуль.

Наведемо приклади тотожних перетворень дробових виразів алгебри.

Приклад 1. Спростити вираз

Усі доданки можна призвести до спільному знаменнику(Зручно при цьому змінити знак у знаменнику останнього доданку і знак перед ним):

Наше вираз одно одиниці при всіх значеннях крім цих значеннях воно не визначено і скорочення дробу незаконно).

Приклад 2. Подати у вигляді алгебраїчного дробу вираз

Рішення. За загальний знаменник можна прийняти вираз. Знаходимо послідовно:

Вправи

1. Знайти значення алгебраїчних виразів при вказаних значенняхпараметрів:

2. Розкласти на множники.

Літерний вираз (або вираз зі змінними) — це математичний вираз, який складається з чисел, літер та знаків математичних операцій. Наприклад, такий вираз є буквеним:

a + b + 4

За допомогою літерних виразів можна записувати закони, формули, рівняння та функції. Вміння маніпулювати літерними виразами - запорука гарного знанняалгебри та вищої математики.

Будь-яке серйозне завдання з математики зводиться до розв'язання рівнянь. А щоб уміти розв'язувати рівняння, треба вміти працювати з літерними виразами.

Щоб працювати з літерними виразами, потрібно добре вивчити базову арифметику: додавання, віднімання, множення, поділ, основні закони математики, дроби, дії з дробами, пропорції. І не просто вивчити, а зрозуміти досконало.

Змінні

Літери, які містяться в буквених виразах називаються змінними. Наприклад, у виразі a+b+4змінними є букви aі b. Якщо замість цих змінних підставити будь-які числа, то літерний вираз a+b+4звернеться до числового виразу, значення якого можна буде знайти.

Числа, які підставляють замість змінних називають значеннями змінних. Наприклад, змінимо значення змінних aі b. Для зміни значень використовується знак рівності

a = 2, b = 3

Ми змінили значення змінних aі b. Змінною aнадали значення 2 , змінною bнадали значення 3 . В результаті буквене вираз a+b+4звертається у звичайне числове вираз 2+3+4 значення якого можна знайти:

2 + 3 + 4 = 9

Коли відбувається множення змінних, вони записуються разом. Наприклад, запис abозначає те саме, що і запис a×b. Якщо підставити замість змінних aі bчисла 2 і 3 , то ми отримаємо 6

2 × 3 = 6

Також можна записати множення числа на вираз у дужках. Наприклад, замість a×(b + c)можна записати a(b + c). Застосувавши розподільчий закон множення, отримаємо a(b + c)=ab+ac.

Коефіцієнти

У літерних виразах часто можна зустріти запис, в якому число та змінна записані разом, наприклад 3a. Насправді, це короткий запис множення числа 3 на змінну aі цей запис виглядає як 3 × a .

Іншими словами, вираз 3aє твором числа 3 та змінної a. Число 3 у цьому творі називають коефіцієнтом. Цей коефіцієнт показує у скільки разів буде збільшено змінну a. Цей вираз можна прочитати як « aтричі» або «тричі а", або" збільшити значення змінної aвтричі», але найчастіше читається як «три a«

Наприклад, якщо змінна aдорівнює 5 , то значення виразу 3aдорівнюватиме 15.

3 × 5 = 15

Говорячи простою мовою, коефіцієнт це число, яке стоїть перед літерою (перед змінною).

Букв може бути кілька, наприклад 5abc. Тут коефіцієнтом є число 5 . Цей коефіцієнт показує, що добуток змінних abcзбільшується вп'ятеро. Цей вираз можна прочитати як « abcп'ять разів» або «збільшити значення виразу abcу п'ять разів», або «п'ять abc«.

Якщо замість змінних abcпідставити числа 2, 3 і 4, то значення виразу 5abcбуде одно 120

5×2×3×4 = 120

Можна уявити, як спочатку перемножилися числа 2, 3 і 4, і отримане значення збільшилося в п'ять разів:

Знак коефіцієнта належить лише коефіцієнту, і належить до змінним.

Розглянемо вираз −6b. Мінус, що стоїть перед коефіцієнтом 6 , відноситься тільки до коефіцієнта 6 , і не відноситься до змінної b. Розуміння цього факту дозволить не помилятися у майбутньому зі знаками.

Знайдемо значення виразу −6bпри b = 3.

−6b −6×b. Для наочності запишемо вираз −6bу розгорнутому вигляді та підставимо значення змінної b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

приклад 2.Знайти значення виразу −6bпри b = −5

Запишемо вираз −6bу розгорнутому вигляді

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

приклад 3.Знайти значення виразу −5a + bпри a = 3і b = 2

−5a + bце коротка форма запису від −5 × a + bтому для наочності запишемо вираз −5×a+bу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних aі b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Іноді літери записані без коефіцієнта, наприклад aабо ab. У цьому випадку коефіцієнтом є одиниця:

але одиницю за традицією не записують, тому просто пишуть aабо ab

Якщо перед літерою стоїть мінус, то коефіцієнтом є число −1 . Наприклад, вираз −aнасправді виглядає як −1a. Це твір мінус одиниці та змінної a.Воно вийшло так:

−1 × a = −1a

Тут криється невелика каверза. У виразі −aмінус, що стоїть перед змінною aнасправді належить до «невидимої одиниці», а не до змінної a. Тому під час вирішення завдань слід бути уважним.

Наприклад, якщо дано вираз −aі нас просять знайти його значення при a = 2, то в школі ми підставляли двійку замість змінної aі отримували відповідь −2 , не особливо зациклюючись на тому, як це виходило. Насправді відбувалося збільшення мінус одиниці на позитивне число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Якщо дано вираз −aі потрібно знайти його значення при a = −2, то ми підставляємо −2 замість змінної a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Щоб не допускати помилок, спочатку невидимі одиниці можна записувати явно.

приклад 4.Знайти значення виразу abcпри a=2 , b=3і c=4

Вираз abc 1×a×b×c.Для наочності запишемо вираз abc a, bі c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Приклад 5.Знайти значення виразу abcпри a=−2 , b=−3і c=−4

Запишемо вираз abcу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних a, bі c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Приклад 6.Знайти значення виразу − abcпри a=3 , b=5 та c=7

Вираз − abcце коротка форма запису від −1×a×b×c.Для наочності запишемо вираз − abcу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних a, bі c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Приклад 7.Знайти значення виразу − abcпри a=−2 , b=−4 та c=−3

Запишемо вираз − abcу розгорнутому вигляді:

−abc = −1 × a × b × c

Підставимо значення змінних a , bі c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Як визначити коефіцієнт

Іноді потрібно вирішити завдання, у якому потрібно визначити коефіцієнт вираження. В принципі, дане завданнядуже проста. Достатньо вміти правильно множити числа.

Щоб визначити коефіцієнт у виразі, потрібно окремо перемножити числа, що входять до цього виразу, та окремо перемножити літери. Чисельний співмножник, що вийшов, і буде коефіцієнтом.

приклад 1. 7m×5a×(−3)×n

Вираз складається з кількох співмножників. Це можна чітко побачити, якщо записати вираз у розгорнутому вигляді. Тобто твори 7mі 5aзаписати у вигляді 7×mі 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Застосуємо сполучний законмноження, що дозволяє перемножувати співмножники у будь-якому порядку. А саме, окремо перемножимо числа та окремо перемножимо букви (змінні):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коефіцієнт дорівнює −105 . Після завершення літерну частину бажано розташувати в алфавітному порядку:

−105amn

приклад 2.Визначити коефіцієнт у виразі: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коефіцієнт дорівнює 6.

приклад 3.Визначити коефіцієнт у виразі:

Перемножимо окремо числа та літери:

Коефіцієнт дорівнює -1. Зверніть увагу, що одиниця не записана, оскільки коефіцієнт 1 прийнято не записувати.

Ці здавалося б найпростіші завдання можуть зіграти з нами дуже злий жарт. Часто з'ясовується, що знак коефіцієнта поставлено неправильно: або пропущено мінус або навпаки, він поставлений дарма. Щоб уникнути цих прикру помилок, повинна бути вивчена на хорошому рівні.

Доданки в буквених виразах

При додаванні кількох чисел виходить сума цих чисел. Числа, які складають називають доданками. Доданків може бути кілька, наприклад:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Коли вираз складається із доданків, обчислювати його набагато простіше, оскільки складати легше, ніж віднімати. Але у виразі може бути не тільки додавання, але й віднімання, наприклад:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

У цьому виразі числа 3 і 5 є віднімаються, а не доданками. Але нам нічого не заважає, замінити віднімання додаванням. Тоді ми знову отримаємо вираз, що складається з доданків:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не має значення, що числа −3 і −5 тепер зі знаком мінуса. Головне, що всі числа в даному виразі пов'язані знаком додавання, тобто вираз є сумою.

Обидва вирази 1 + 2 − 3 + 4 − 5 і 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) рівні одному й тому значенню - мінус одиниці

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким чином, значення виразу не постраждає від того, що ми десь замінимо віднімання додаванням.

Замінювати віднімання додаванням можна і в буквених виразах. Наприклад, розглянемо такий вираз:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

За будь-яких змінних змін a, b, c, dі sвирази 7a + 6b − 3c + 2d − 4s і 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будуть рівні одному й тому самому значенню.

Ви повинні бути готові до того, що вчитель у школі або викладач в інституті може називати доданками навіть ті числа (або змінні), які не є ними.

Наприклад, якщо на дошці буде записано різницю a − b, то вчитель не буде говорити, що a- це зменшуване, а b- Віднімається. Обидві змінні він назве одним загальним словом — доданки. А все тому, що вираз виду a − bматематик бачить як суму a + (−b). У такому разі вираз стає сумою, а змінні aі (−b)стають доданками.

Подібні доданки

Подібні доданки— це доданки, які мають однакову літерну частину. Наприклад, розглянемо вираз 7a + 6b + 2a. доданки 7aі 2aмають однакову буквену частину - змінну a. Значить доданки 7aі 2aє подібними.

Зазвичай подібні доданкискладають, щоб спростити вираз чи розв'язати якесь рівняння. Цю операцію називають приведенням подібних доданків.

Щоб навести подібні доданки, потрібно скласти коефіцієнти цих доданків, і отриманий результат помножити на загальну літерну частину.

Наприклад наведемо подібні доданки у виразі 3a + 4a + 5a. У даному випадкуподібними є всі доданки. Складемо їх коефіцієнти і результат помножимо на загальну літерну частину - на змінну a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подібні доданки зазвичай наводять в думці і результат записують відразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Також, можна міркувати так:

Було 3 змінні a до них додали ще 4 змінні a і ще 5 змінних a. У результаті отримали 12 змінних a

Розглянемо кілька прикладів для приведення подібних доданків. Враховуючи що дана темадуже важлива, спочатку записуватимемо докладно кожну дрібницю. Незважаючи на те, що тут все дуже просто, більшість людей припускаються безлічі помилок. Здебільшого через неуважність, а не через незнання.

приклад 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Складемо коефіцієнти в даному виразі та отриманий результат помножимо на загальну буквену частину:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Конструкцію (3+2+6+8)×aможна не записувати, тому одразу запишемо відповідь

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

приклад 2.Навести подібні доданки у виразі 2a + a

Другий доданок aзаписано без коефіцієнта, але насправді перед ним стоїть коефіцієнт 1 , який ми не бачимо через те, що його не записують. Отже, вираз виглядає так:

2a + 1a

Тепер наведемо подібні доданки. Тобто складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишемо рішення коротше:

2a + a = 3a

2a+a, Можна міркувати і по-іншому:

приклад 3.Навести подібні доданки у виразі 2a − a

Замінимо віднімання додаванням:

2a + (−a)

Другий доданок (−a)записано без коефіцієнта, але насправді воно виглядає як (−1a).Коефіцієнт −1 знову ж таки невидимий через те, що його не записують. Отже, вираз виглядає так:

2a + (−1a)

Тепер наведемо подібні доданки. Складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Зазвичай записують коротше:

2a − a = a

Наводячи подібні доданки у виразі 2a−aможна міркувати і по-іншому:

Було 2 змінні a, відняли одну змінну a, в результаті залишилася одна єдина змінна a

приклад 4.Навести подібні доданки у виразі 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Тепер наведемо подібні доданки. Складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишемо рішення коротше:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Зустрічаються вирази, які містять кілька різних груп подібних доданків. Наприклад, 3a + 3b + 7a + 2b. Для таких виразів справедливі самі правила, як і інших, саме складання коефіцієнтів і множення отриманого результату загальну буквенную часть. Але щоб не допустити помилок, зручно різні групидоданків підкреслити різними лініями.

Наприклад, у виразі 3a + 3b + 7a + 2bті доданки, які містять змінну a, можна підкреслити однією лінією, а ті доданки, які містять змінну b, можна підкреслити двома лініями:

Тепер можна навести подібні доданки. Тобто скласти коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну літерну частину. Зробити це потрібно для обох груп доданків: для доданків, що містять змінну aі для доданків, що містять змінну b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Знову ж таки повторимося, вираз нескладний, і подібні доданки можна приводити в думці:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Приклад 5.Навести подібні доданки у виразі 5a − 6a −7b + b

Замінимо віднімання додавання там, де це можна:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Підкреслимо подібні доданки різними лініями. Доданки, що містять змінні aпідкреслимо однією лінією, а складові зміст змінні b, підкреслимо двома лініями:

Тепер можна навести подібні доданки. Тобто скласти коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну буквену частину:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Якщо у виразі містяться звичайні числабез буквених співмножників, то вони складаються окремо.

Приклад 6.Навести подібні доданки у виразі 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Наведемо подібні доданки. Числа −5 і 7 не мають буквених співмножників, але вони є подібними доданками - їх необхідно просто скласти. А доданок 2bзалишиться без змін, оскільки воно єдине в даному виразі, що має буквений співмножник b,і його нема з чим складати:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишемо рішення коротше:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Доданки можна впорядковувати, щоб ті доданки, які мають однакову літерну частину, розташовувалися в одній частині виразу.

Приклад 7.Навести подібні доданки у виразі 5t+2x+3x+5t+x

Оскільки вираз є сумою з кількох доданків, це дозволяє нам обчислювати їх у будь-якому порядку. Тому доданки, що містять змінну t, можна записати на початку виразу, а доданки, що містять змінну xв кінці виразу:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Тепер можна навести такі складові:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишемо рішення коротше:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сума протилежних чиселдорівнює нулю. Це правило працює і для буквених виразів. Якщо у виразі зустрінуться однакові доданки, але з протилежними знаками, то їх можна позбутися на етапі приведення подібних доданків. Іншими словами, просто викреслити їх з виразу, оскільки їхня сума дорівнює нулю.

Приклад 8.Навести подібні доданки у виразі 3t − 4t − 3t + 2t

Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

доданки 3tі (−3t)є протилежними. Сума протилежних доданків дорівнює нулю. Якщо вилучити цей нуль з виразу, то значення виразу не зміниться, тому ми його і приберемо. А приберемо ми його звичайним викреслюванням доданків 3tі (−3t)

У результаті у нас залишиться вираз (−4t) + 2t. У цьому виразі можна навести подібні доданки та отримати остаточну відповідь:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишемо рішення коротше:

Спрощення виразів

«спростіть вираз» і далі наводиться вираз, який потрібно спростити. Спростити вираззначить зробити його простіше та коротше.

Насправді ми займалися спрощенням виразів, коли скорочували дроби. Після скорочення дріб ставав коротшим і простіше для сприйняття.

Розглянемо наступний приклад. Спростити вираз.

Це завдання буквально можна зрозуміти так: "Застосуйте до цього виразу будь-які допустимі дії, але зробіть його простіше" .

В даному випадку можна здійснити скорочення дробу, а саме розділити чисельник і знаменник дробу на 2:

Що ще можна зробити? Можна обчислити отриманий дріб. Тоді ми отримаємо десятковий дріб 0,5

У результаті дріб спростився до 0,5.

Перше питання, яке потрібно собі ставити при вирішенні подібних завдань, повинен бути "А що можна зробити?" . Тому що є дії, які можна робити, і є дії, які робити не можна.

Ще один важливий момент, Про яке потрібно пам'ятати, полягає в тому, що значення вираз не повинно змінитися після спрощення виразу. Повернемося до виразу. Даний вираз є поділ, який можна виконати. Виконавши цей поділ, ми отримуємо значення даного виразу, яке дорівнює 0,5

Але ми спростили вираз і отримали новий спрощений вираз. Значення нового спрощеного виразу, як і раніше, дорівнює 0,5

Але вираз ми теж спробували спростити, обчисливши його. У результаті отримали остаточну відповідь 0,5.

Таким чином, як би ми не спрощували вираз, значення одержуваних виразів, як і раніше, дорівнює 0,5. Отже спрощення виконувалося правильно кожному етапі. Саме цього потрібно прагнути при спрощенні висловів — значення висловлювання має постраждати від наших дій.

Часто потрібно спрощувати буквені вирази. Їх справедливі самі правила спрощення, як і для числових виразів. Можна виконувати будь-які допустимі дії, аби не змінилося значення виразу.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.Спростити вираз 5,21s × t × 2,5

Щоб спростити цей вираз, можна окремо перемножити числа та окремо перемножити букви. Це завдання дуже схоже на те, що ми розглядали, коли вчилися визначати коефіцієнт:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким чином, вираз 5,21s × t × 2,5спростилося до 13,025st.

приклад 2.Спростити вираз −0,4 × (−6,3b) × 2

Другий твір (−6,3b)можна перевести у зрозумілий нам вигляд, саме записати як ( −6,3)×b ,потім окремо перемножити числа та окремо перемножити літери:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Таким чином, вираз −0,4 × (−6,3b) × 2 спростилося до 5,04b

приклад 3.Спростити вираз

Розпишемо цей вираз докладніше, щоб добре побачити, де числа, а де букви:

Тепер окремо перемножимо числа та окремо перемножимо літери:

Таким чином, вираз спростилося до −abc.Дане рішення можна записати коротше:

При спрощенні виразів, дроби можна скорочувати в процесі рішення, а не в самому кінці, як ми це робили з звичайними дробами. Наприклад, якщо в ході рішення ми натрапимо на вираз виду, то зовсім необов'язково обчислювати чисельник і знаменник і робити щось на зразок цього:

Дроб можна скоротити, вибираючи по множнику в чисельнику і в знаменнику і скорочувати ці множники на їх найбільший спільний дільник. Іншими словами, використовувати , в якій ми не розписуємо докладно, на що був розділений чисельник і знаменник.

Наприклад, в чисельнику множник 12 і в знаменнику множник 4 можна скоротити на 4.

Тепер можна перемножити маленькі множники. В даному випадку їх небагато і можна перемножити в думці:

Згодом можна виявити, що вирішуючи те чи інше завдання, вирази починають «товстіти», тому бажано привчитися до швидким обчисленням. Те, що можна обчислити в умі, потрібно обчислювати в умі. Те, що можна швидко скоротити, потрібно швидко скорочувати.

приклад 4.Спростити вираз

Таким чином, вираз спростилося до

Приклад 5.Спростити вираз

Перемножимо окремо числа та окремо букви:

Таким чином, вираз спростилося до mn.

Приклад 6.Спростити вираз

Запишемо цей вираз докладніше, щоб добре побачити, де числа, а де букви:

Тепер окремо перемножимо числа та окремо букви. Для зручності обчислень десятковий дріб −6,4 та змішане числоможна перевести в прості дроби:

Таким чином, вираз спростилося до

Рішення для цього прикладу можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

Приклад 7.Спростити вираз

Перемножимо окремо числа та окремо букви. Для зручності обчислення змішане число та десяткові дроби 0,1 і 0,6 можна перевести у прості дроби:

Таким чином, вираз спростилося до abcd. Якщо пропустити подробиці, то дане рішенняможна записати значно коротше:

Зверніть увагу на те, як скоротився дріб. Нові множники, які утворюються внаслідок скорочення попередніх множників, теж допускається скорочувати.

Тепер поговоримо про те, що робити не можна. При спрощенні виразів категорично не можна перемножувати числа і букви, якщо вираз є сумою, а чи не твором.

Наприклад, якщо потрібно спростити вираз 5a + 4b, то не можна записувати так:

Це рівнозначно тому, що якби нас попросили скласти два числа, а ми їх перемножували б замість того, щоб складати.

При підстановці будь-яких значень змінних aі bвираз 5a +4bзвертається у звичайне числове вираз. Припустимо, що змінні aі bмають такі значення:

a = 2, b = 3

Тоді значення виразу дорівнюватиме 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Спочатку виконується множення, а потім отримані результати складають. А якби ми спробували спростити цей вираз, перемноживши числа та літери, то вийшло б таке:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Виходить зовсім інше значення виразу. У першому випадку вийшло 22 , у другому випадку 120 . Це означає, що спрощення виразу 5a + 4bбуло виконано неправильно.

Після спрощення виразу, його значення не повинно змінюватися при одних і тих же змінних змін. Якщо при підстановці в початковий вираз будь-яких значень змінних виходить одне значення, то після спрощення виразу має виходити те саме значення, що й до спрощення.

З виразом 5a + 4bнасправді нічого робити не можна. Воно не спрощується.

Якщо у виразі містяться подібні доданки, їх можна скласти, якщо нашою метою є спрощення висловлювання.

Приклад 8.Спростити вираз 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

або коротше: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Таким чином, вираз 0,3a−0,4a+aспростилося до 0,9a

Приклад 9.Спростити вираз −7,5a − 2,5b + 4a

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

або коротше −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

доданок (−2,5b)залишилося без змін, оскільки його не було з чим складати.

приклад 10.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Коефіцієнт був зручності обчислення.

Таким чином, вираз спростилося до

Приклад 11.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Таким чином, вираз спростилося до .

У даному прикладідоцільніше було б скласти перший і останній коефіцієнт насамперед. У цьому випадку ми отримали б коротке рішення. Виглядало воно буде так:

приклад 12.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Таким чином, вираз спростилося до .

Доданок залишився без зміни, оскільки його не було з чим складати.

Це рішення можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

У короткому рішенніпропущено етапи заміни віднімання додаванням та докладний запис, як дроби приводилися до спільного знаменника.

Ще одна відмінність полягає в тому, що в докладне рішеннявідповідь виглядає як , а короткому як . Насправді, це один і той самий вислів. Відмінність у тому, що в першому випадку віднімання замінено додаванням, оскільки на початку коли ми записували рішення у детальному вигляді, ми скрізь де можна замінили віднімання додаванням, і ця заміна збереглася і для відповіді.

Тотожності. Тотожно рівні вирази

Після того, як ми спростили будь-який вираз, воно стає простіше і коротше. Щоб перевірити, чи правильно спрощено вираз, достатньо підставити будь-які значення змінних спочатку у попередній вираз, який потрібно спростити, а потім у новий, який спростили. Якщо значення обох висловлюваннях буде однаковим, то вираз спрощено правильно.

Розглянемо найпростіший приклад. Нехай потрібно спростити вираз 2a × 7b. Щоб спростити цей вираз, можна окремо перемножити числа та літери:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Перевіримо чи ми спростили вираз. Для цього підставимо будь-які значення змінних aі bспочатку в перший вираз, який потрібно спростити, а потім у другий, який спростили.

Нехай значення змінних a , bбудуть наступними:

a = 4, b = 5

Підставимо їх у перший вираз 2a × 7b

Тепер підставимо ті ж значення змінних у вираз, що вийшло внаслідок спрощення 2a×7b, А саме у вираз 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Бачимо, що за a=4і b=5значення першого виразу 2a×7bта значення другого виразу 14abрівні

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Те саме станеться і для будь-яких інших значень. Наприклад, нехай a=1і b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Таким чином, за будь-яких значень змінних виразів 2a×7bі 14abрівні одному й тому самому значенню. Такі вирази називають тотожно рівними.

Робимо висновок, що між виразами 2a×7bі 14abможна поставити знак рівності, оскільки вони рівні тому самому значенню.

2a × 7b = 14ab

Рівністю називають будь-який вираз, який з'єднаний знаком рівності (=).

А рівність виду 2a×7b = 14abназивають тотожністю.

Тотожністю називають рівність, яка вірна за будь-яких значень змінних.

Інші приклади тотожностей:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Так, закони математики, які ми вивчали, є тотожністю.

Вірні числові рівностітакож є тотожності. Наприклад:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Вирішуючи складне завдання, щоб полегшити собі обчислення, складне вираз замінюють більш просте вираз, тотожно рівне попередньому. Таку заміну називають тотожним перетворенням виразуабо просто перетворенням виразу.

Наприклад, ми спростили вираз 2a × 7b, і отримали більш простий вираз 14ab. Це спрощення можна називати тотожним перетворенням.

Часто можна зустріти завдання, у якому сказано «доведіть, що рівність є тотожністю» і далі наводиться рівність, яку потрібно довести. Зазвичай ця рівність складається з двох частин: лівої та правої частини рівності. Наше завдання полягає в тому, щоб виконати тотожні перетворення з однієї з частин рівності та отримати іншу частину. Або виконати тотожні перетворення з обома частинами рівності і зробити так, щоб в обох частинах рівності виявилися однакові вирази.

Наприклад, доведемо, що рівність 0,5a × 5b = 2,5abє тотожністю.

Спростимо ліву частину цієї рівності. Для цього перемножимо числа та літери окремо:

0,5×5×a×b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результаті невеликого тотожного перетворення, ліва частинарівності стала рівна правій частині рівності. Отже ми довели, що рівність 0,5a × 5b = 2,5abє тотожністю.

З тотожних перетворень ми навчилися складати, віднімати, множити і ділити числа, скорочувати дроби, наводити подібні доданки, і навіть спрощувати деякі висловлювання.

Але це далеко не всі тотожні перетворення, які існують у математиці. Тотожних перетворень набагато більше. У майбутньому ми ще не раз у цьому переконаємось.

Завдання для самостійного вирішення:

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

На початку уроку ми повторимо основні властивостіквадратних коренів, а потім розглянемо кілька складних прикладівна спрощення виразів, що містять квадратне коріння.

Тема:Функція. Властивості квадратного кореня

Урок:Перетворення та спрощення більше складних виразівз корінням

1. Повторення властивостей квадратного коріння

Коротко повторимо теорію і нагадаємо основні властивості квадратного коріння.

Властивості квадратного коріння:

1. , отже, ;

3. ;

4. .

2. Приклади на спрощення виразів із корінням

Перейдемо до прикладів використання цих властивостей.

Приклад 1. Спростити вираз .

Рішення. Для спрощення число 120 необхідно розкласти на прості множники:

Квадрат суми розкриємо за відповідною формулою:

Приклад 2. Спростити вираз .

Рішення. Врахуємо, що цей вираз має сенс не при всіх можливих значеннях змінної, тому що в даному виразі присутні квадратні корені та дроби, що призводить до «звуження» області допустимих значень. ОДЗ: ().

Наведемо вираз у дужках до спільного знаменника і розпишемо чисельник останнього дробу як різницю квадратів:

Відповідь. при.

Приклад 3. Спростити вираз .

Рішення. Видно, що друга дужка чисельника має незручний вигляд і потребує спрощення, спробуємо розкласти її на множники за допомогою методу угруповання.

Для можливості виносити загальний множникми спростили коріння шляхом їхнього розкладання на множники. Підставимо отриманий вираз у вихідний дріб:

Після скорочення дробу застосовуємо формулу різниці квадратів.

3. Приклад на порятунок від ірраціональності

Приклад 4. Звільнитися від ірраціональності (коренів) у знаменнику: а); б).

Рішення. а) Для того щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику, застосовується стандартний метод домноження і чисельника і знаменника дробу на пов'язаний до знаменника множник (таке ж вираз, але зі зворотним знаком). Це робиться для доповнення знаменника дробу до різниці квадратів, що дозволяє позбавитися коріння в знаменнику. Виконаємо цей прийом у нашому випадку:

б) виконаємо аналогічні дії:

4. Приклад на доказ і виділення повного квадрата в складному радикалі

Приклад 5. Доведіть рівність .

Доведення. Скористаємося визначенням квадратного кореня, з якого випливає, що квадрат правого виразу має дорівнювати підкореному виразу:

. Розкриємо дужки за формулою квадрата суми:

, Здобули правильну рівність.

Доведено.

Приклад 6. Спростити вираз.

Рішення. Зазначений вираз прийнято називати складним радикалом (корінь під коренем). У цьому прикладі необхідно здогадатися виділити повний квадрат з підкореного виразу. Для цього зауважимо, що з двох доданків є претендентом на роль подвоєного твору у формулі квадрата різниці (різниці, тому що є мінус). Розпишемо його у вигляді такого твору: тоді на роль одного з доданків повного квадратапретендує , але в роль другого - 1.

Підставимо цей вислів під корінь.

Вирази, перетворення виразів

Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення

У цій статті ми поговоримо про перетворення виразів зі ступенями. Спочатку ми зупинимося на перетвореннях, які виконуються з виразами будь-яких видів, у тому числі й статечними виразами, таких як розкриття дужок, приведення подібних доданків. А далі розберемо перетворення, властиві саме виразам зі ступенями: робота з основою та показником ступеня, використання властивостей ступенів тощо.

Навігація на сторінці.

Що таке статечні вирази?

Термін «статечні висловлювання» практично не зустрічається шкільних підручникахматематики, але досить часто фігурує у збірниках завдань, особливо призначених підготовки до ЄДІ та ОГЭ, наприклад, . Після аналізу завдань, у яких потрібно виконати будь-які дії зі статечними виразами, стає зрозуміло, що під статечними виразами розуміють вирази, що містять у своїх записах ступеня. Тому для себе можна прийняти таке визначення:

Визначення.

Ступінні вирази- Це вирази, що містять ступеня.

Наведемо приклади статечних виразів. Причому будемо їх представляти відповідно до того, як відбувається розвиток поглядів на ступінь натуральним показникомдо ступеня із дійсним показником.

Як відомо, спочатку відбувається знайомство зі ступенем числа з натуральним показником, на цьому етапі з'являються перші найпростіші статечні вирази типу 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 тощо.

Трохи пізніше вивчається ступінь числа з цілим показником, що призводить до появи статечних виразів із цілими негативними ступенями, на кшталт наступних: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .

У старших класах знову повертаються до ступенів. Там вводиться ступінь з раціональним показником, що тягне за собою появу відповідних статечних виразів: , , і т.п. Нарешті, розглядаються ступеня з ірраціональними показниками і їх висловлювання: , .

Перерахованими статечними виразами справа не обмежується: далі в показник ступеня проникає змінна, і виникають, наприклад, такі вирази 2 x 2 +1 або . А після знайомства з , починають зустрічатися вирази зі ступенями і логарифмами, наприклад, x 2 lgx −5 x lgx .

Отже, ми розібралися з питанням, що є статечними виразами. Далі вчитимемося перетворювати їх.

Основні види перетворень статечних виразів

Зі статечними виразами можна виконувати будь-які з основних тотожних перетворень виразів. Наприклад, можна розкривати дужки, замінювати числові вирази їх значеннями, наводити подібні доданки тощо. Природно, при цьому варто дотримуватися прийнятого порядку виконання дій. Наведемо приклади.

приклад.

Обчисліть значення статечного виразу 23 · (42-12).

Рішення.

Відповідно до порядку виконання дій спочатку виконуємо дії у дужках. Там, по-перше, замінюємо ступінь 4 2 її значенням 16 (за потреби дивіться ), і по-друге, обчислюємо різницю 16-12=4 . Маємо 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В отриманому вираженні замінюємо ступінь 2 3 її значенням 8 після чого обчислюємо твір 8 · 4 = 32 . Це і є потрібне значення.

Отже, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Відповідь:

2 3 · (4 2 -12) = 32 .

приклад.

Спростити вирази зі ступенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7.

Рішення.

Вочевидь, що це вираз містить подібні доданки 3·a 4 ·b −7 і 2·a 4 ·b −7 , і ми можемо навести їх: .

Відповідь:

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1.

приклад.

Подайте вираз зі ступенями у вигляді твору.

Рішення.

Впоратися з поставленим завданням дозволяє подання числа 9 у вигляді ступеня 3 2 і подальше використання формули скороченого множення різниця квадратів:

Відповідь:

Також існує ряд тотожних перетворень, властивих саме статечним виразам. Далі ми їх і розберемо.

Робота з основою та показником ступеня

Зустрічаються ступеня, в основі та/або показнику яких знаходяться не просто числа або змінні, а деякі вирази. Як приклад наведемо записи (2+0,3·7) 5−3,7 та (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

При роботі з подібними виразами можна як вираз у підставі ступеня, так і вираз у показнику замінити тотожно рівним виразомна ОДЗ його змінних. Іншими словами, ми можемо за відомими нам правилами окремо перетворювати основу ступеня, і окремо – показник. Зрозуміло, що в результаті цього перетворення вийде вираз, що тотожно дорівнює вихідному.

Такі перетворення дозволяють спрощувати вирази зі ступенями або досягати інших потрібних нам цілей. Наприклад, у згаданому вище статечному вираженні (2+0,3·7) 5-3,7 можна виконати дії з числами на підставі та показнику, що дозволить перейти до ступеня 4,1 1,3 . А після розкриття дужок і приведення подібних доданків на підставі ступеня (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) ми отримаємо статечний вираз. простого вигляду a 2 · (x + 1) .

Використання властивостей ступенів

Один із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями – це рівності, що відображають . Нагадаємо основні із них. Для будь-яких позитивних чисел a і b і довільних дійсних чисел r і s справедливі такі властивості ступенів:

• a r · a s = a r + s;
• a r: as = a r−s;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r = r:b r ;
• (a r) s = a r · s.

Зауважимо, що з натуральних, цілих, і навіть позитивних показниках ступеня обмеження числа a і b може бути менш строгими. Наприклад, для натуральних чисел m і n рівність a m ·a n =a m+n вірно як для позитивних a , але й негативних, й у a=0 .

У школі основну увагу при перетворенні статечних виразів зосереджено саме на вмінні вибрати відповідну властивість і правильно її застосувати. При цьому основи ступенів зазвичай позитивні, що дозволяє використовувати властивості ступенів без обмежень. Це саме стосується і перетворення виразів, що містять в підставах ступенів змінні – область допустимих значень змінних зазвичай така, що на ній підстави приймають лише позитивні значеннящо дозволяє вільно використовувати властивості ступенів. Взагалі, потрібно постійно ставити питання, а чи можна в даному випадку застосовувати будь-яку властивість ступенів, адже неакуратне використання властивостей може призводити до звуження ОДЗ та інших неприємностей. Детально і на прикладах ці моменти розібрані у статті перетворення виразів з використанням властивостей ступенів. Тут ми обмежимося розглядом кількох простих прикладів.

приклад.

Подайте вираз a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 у вигляді ступеня з основою a .

Рішення.

Спочатку другий множник (a 2) −3 перетворимо за якістю зведення ступеня на ступінь: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Вихідний статечний вираз при цьому набуде вигляду a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, залишається скористатися властивостями множення та поділу ступенів з однаковою основою, маємо
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Відповідь:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Властивості ступенів при перетворенні статечних виразів використовуються як зліва направо, так і праворуч наліво.

приклад.

Знайти значення статечного виразу.

Рішення.

Рівність (a b) r = a r b r , застосоване праворуч наліво, дозволяє від вихідного виразу перейти до твору виду і далі . А при множенні ступенів з однаковими підставамипоказники складаються: .

Можна було виконувати перетворення вихідного виразу та інакше:

Відповідь:

.

приклад.

Дано статечний вираз a 1,5 −a 0,5 −6 , введіть нову змінну t=a 0,5 .

Рішення.

Ступінь a 1,5 можна як a 0,5·3 і далі з урахуванням якості ступеня ступеня (a r) s =a r·s , застосованого праворуч наліво, перетворити її до виду (a 0,5) 3 . Таким чином, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Тепер легко ввести нову змінну t=a 0,5 одержуємо t 3 −t−6 .

Відповідь:

t 3 −t−6 .

Перетворення дробів, що містять ступеня

Ступінні вирази можуть містити дроби зі ступенями або являти собою такі дроби. До таких дробів повною мірою застосовні будь-які з основних перетворень дробів, які притаманні дробам будь-якого виду. Тобто, дроби, які містять ступеня, можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з їх чисельником та окремо зі знаменником тощо. Для ілюстрації сказаних слів розглянемо розв'язання кількох прикладів.

приклад.

Спростити статечний вираз .

Рішення.

Дане статечне вираз являє собою дріб. Попрацюємо з її чисельником та знаменником. У чисельнику розкриємо дужки і спростимо отриманий після цього вираз, використовуючи властивості ступенів, а в знаменнику наведемо такі складові:

І ще змінимо знак знаменника, помістивши мінус перед дробом: .

Відповідь:

.

Приведення дробів, що містять ступеня, до нового знаменника проводиться аналогічно до приведення до нового знаменника. раціональних дробів. При цьому знаходиться додатковий множник і виконується множення на нього чисельника і знаменника дробу. Виконуючи цю дію, варто пам'ятати, що приведення до нового знаменника може спричинити звуження ОДЗ. Щоб цього не відбувалося, потрібно, щоб додатковий множник не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.

приклад.

Наведіть дроби до нового знаменника: а) до знаменника a, б) до знаменника.

Рішення.

а) У цьому випадку досить просто збагнути, який додатковий множник допомагає досягти потрібного результату. Це множник a 0,3, тому що a 0,7 · 0,3 = a 0,7 +0,3 = a. Зауважимо, що на області допустимих значень змінної a (це є безліч усіх позитивних дійсних чисел) ступінь a 0,3 не звертається в нуль, тому ми маємо право виконати множення чисельника та знаменника заданого дробуна цей додатковий множник:

б) Придивившись уважніше до знаменника, можна виявити, що

і множення цього виразу дасть суму кубів і , тобто, . А це і є новим знаменником, до якого нам потрібно привести вихідний дріб.

Так ми знайшли додатковий множник. На ділянці допустимих значень змінних x і y вираз не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:

Відповідь:

а) , б) .

У скороченні дробів, що містять ступеня, також немає нічого нового: чисельник і знаменник представляються у вигляді деякої кількості множників, і скорочуються однакові множники чисельника та знаменника.

приклад.

Скоротіть дріб: а) б) .

Рішення.

а) По-перше, чисельник і знаменник можна скоротити на чисел 30 і 45, який дорівнює 15 . Також, очевидно, можна виконати скорочення на x 0,5+1 та на . Ось що ми маємо:

б) У цьому випадку однакових множників у чисельнику та знаменнику відразу не видно. Щоб отримати їх, доведеться виконати попередні перетворення. У разі вони полягають у розкладанні знаменника на множники по формулі різниці квадратів:

Відповідь:

а)

б) .

Приведення дробів до нового знаменника та скорочення дробів в основному використовується для виконання дій із дробами. Дії виконуються за відомими правилами. При складанні (відніманні) дробів, вони приводяться до спільного знаменника, після чого складаються (віднімаються) чисельники, а знаменник залишається тим самим. У результаті виходить дріб, чисельник якого є твір чисельників, а знаменник – твір знаменників. Розподіл на дріб є множення на дріб, зворотний їй.

приклад.

Виконайте дії .

Рішення.

Спочатку виконуємо віднімання дробів, що знаходяться в дужках. Для цього наводимо їх до спільного знаменника, який є , після чого віднімаємо чисельники:

Тепер множимо дроби:

Очевидно, можливе скорочення на ступінь x 1/2 після якого маємо .

Ще можна спростити статечний вираз у знаменнику, скориставшись формулою різниця квадратів: .

Відповідь:

приклад.

Спростіть статечний вираз .

Рішення.

Очевидно, цей дрібможна скоротити на (x 2,7 +1) 2 , це дає дріб . Зрозуміло, що ще треба щось зробити зі ступенями ікса. Для цього перетворимо отриманий дріб у твір. Це дає можливість скористатися властивістю поділу ступенів з однаковими підставами: . І на закінчення процесу переходимо від останнього творудо дробу.

Відповідь:

.

І ще додамо, що можна і в багатьох випадках бажано множники з негативними показникамиступеня переносити з чисельника у знаменник або зі знаменника до чисельника, змінюючи знак показника. Такі перетворення часто спрощують подальші дії. Наприклад, статечний вираз можна замінити на .

Перетворення виразів з корінням та ступенями

Часто у виразах, в яких потрібно провести деякі перетворення, разом зі ступенями з дробовими показникамиє і коріння. Щоб перетворити подібний вираздо потрібного вигляду, в більшості випадків достатньо перейти тільки до коренів або тільки до ступенів. Але оскільки працювати зі ступенями зручніше, зазвичай переходять від коріння до ступенів. Однак, здійснювати такий перехід доцільно тоді, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків (це ми докладно розібрали у статті перехід від коренів до ступенів і назад). вводиться ступінь з ірраціональним показникомщо дозволяє говорити і про ступінь з довільним дійсним показником. На цьому етапі у школі починає вивчатися показова функція , Яка аналітично задається ступенем, на основі якої знаходиться число, а в показнику - змінна. Так ми стикаємося зі статечними виразами, що містять числа на підставі ступеня, а в показнику - вирази зі змінними, і природно виникає необхідність виконання перетворень таких виразів.

Слід сказати, що перетворення виразів зазначеного видузазвичай доводиться виконувати при вирішенні показових рівняньі показових нерівностей , і це перетворення досить прості. У переважній кількості випадків вони базуються на властивостях ступеня і націлені переважно на те, щоб надалі ввести нову змінну. Продемонструвати їх нам дозволить рівняння 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0.

По-перше, ступеня, у показниках яких перебуває сума деякої змінної (або вирази зі змінними) та числа, замінюються творами. Це відноситься до першого і останнього доданків вирази з лівої частини:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0.

Далі виконується розподіл обох частин рівності на вираз 7 2 · x, яке на ОДЗ змінної x для вихідного рівняння набуває тільки позитивних значень (це стандартний прийомвирішення рівнянь такого виду, зараз не про нього, так що зосередьте увагу на наступних перетвореннях виразів зі ступенями):

Тепер скорочуються дроби зі ступенями, що дає .

Нарешті, ставлення ступенів з однаковими показникамизамінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння , яке рівносильне . Зроблені перетворення дозволяють ввести нову змінну, що зводить рішення вихідного показового рівняннядо розв'язання квадратного рівняння

За допомогою будь-якої мови можна висловити ту саму інформацію різними словамита оборотами. Не є винятком і математична мова. Але те саме вираз можна еквівалентним чином записати по-різному. І в деяких ситуаціях один із записів є більш простим. Про спрощення висловлювань ми й поговоримо на цьому уроці.

Люди спілкуються на різних мовах. Для нас важливим порівнянням є пара «російська - математична мова». Одну й ту саму інформацію можна повідомити різними мовами. Але, крім цього, її можна і однією мовою вимовити по-різному.

Наприклад: «Петя товаришує з Васею», «Вася товаришує з Петею», «Петя з Васею друзі». Сказано по-різному, але те саме. За будь-якою з цих фраз ми зрозуміли б, про що йдеться.

Давайте подивимося таку фразу: «Хлопчик Петя і хлопчик Вася дружать». Ми зрозуміли, про що йде мова. Проте нам не подобається, як звучить ця фраза. Чи не можемо ми її спростити, сказати те саме, але простіше? «Хлопчик і хлопчик» - можна один раз сказати: «Хлопчики Петя і Вася дружать».

Хлопчики ... Хіба за іменами не зрозуміло, що вони не дівчатка. Прибираємо «хлопчики»: «Петя та Вася дружать». А слово «дружать» можна замінити на «друзі»: «Петя та Вася – друзі». У результаті першу, довгу негарну фразу замінили еквівалентним висловлюванням, яке простіше сказати та простіше зрозуміти. Ми спростили цю фразу. Спростити - означає сказати простіше, але не втратити, не спотворити сенс.

У математичною мовоювідбувається приблизно те саме. Одне й те саме можна сказати, записати по-різному. Що означає спростити вираз? Це означає, що з вихідного висловлювання існує безліч еквівалентних виразів, тобто тих, що означають те саме. І з усієї цієї множини ми повинні вибрати найпростіше, на наш погляд, чи найпридатніше для наших подальших цілей.

Наприклад, розглянемо числове вираз . Йому еквівалентне буде.

Також буде еквівалентно першим двом: .

Виходить, що ми спростили наші вирази і знайшли найкоротший еквівалентний вираз.

Для числових виразів завжди потрібно виконувати всі дії та отримувати еквівалентний вираз у вигляді одного числа.

Розглянемо приклад літерного виразу . Очевидно, що простіше буде.

У разі спрощення буквених виразів необхідно виконати всі дії, які можливі.

Чи завжди потрібно спрощувати вираз? Ні, іноді нам зручніше буде еквівалентний, але довший запис.

приклад: від числа потрібно відібрати число .

Обчислити можна, але якби перше число було представлено своїм еквівалентним записом: , то обчислення були миттєвими: .

Тобто спрощене вираження не завжди нам вигідне для подальших обчислень.

Проте дуже часто ми стикаємося із завданням, яке так і звучить «спростити вираз».

Спростити вираз: .

Рішення

1) Виконаємо дії у перших та у других дужках: .

2) Обчислимо твори: .

Очевидно, останній вираз має простіший вигляд, ніж початковий. Ми його спростили.

Щоб спростити вираз, його необхідно замінити на еквівалентне (рівне).

Для визначення еквівалентного виразу необхідно:

1) виконати всі можливі дії,

2) користуватися властивостями додавання, віднімання, множення та поділу для спрощення обчислень.

Властивості додавання та віднімання:

1. Переміщувальна властивістьдодавання: від перестановки доданків сума змінюється.

2. Сполучна властивістьскладання: щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього числа.

3. Властивість віднімання суми з числа: щоб відняти суму з числа, можна віднімати кожен доданок окремо.

Властивості множення та поділу

1. Переміщувальна властивість множення: від перестановки множників твір не змінюється.

2. Сполучна властивість: щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.

3. Розподільча властивістьмноження: щоб число помножити на суму, потрібно його помножити на кожен доданок окремо.

Подивимося, як ми насправді робимо обчислення в умі.

Обчисліть:

Рішення

1) Уявимо як

2) Представимо перший множник як суму розрядних доданківі виконаємо множення:

3) можна уявити як і виконати множення:

4) Замінимо перший множник еквівалентною сумою:

Розподільний закон можна використовувати і в зворотний бік: .

Виконайте дії:

1) 2)

Рішення

1) Для зручності можна скористатися розподільчим законом, тільки використовувати його у зворотний бік – винести загальний множник за дужки.

2) Винесемо за дужки загальний множник

Необхідно купити лінолеум на кухню та передпокій. Площа кухні - , вітальні - . Є три види лінолеумів: по , і за . Скільки буде коштувати кожен з трьох видівлінолеуму? (Мал. 1)

Мал. 1. Ілюстрація до умови завдання

Рішення

Спосіб 1. Можна окремо знайти, скільки грошей потрібно на купівлю лінолеуму на кухню, а потім у передпокій та отримані твори скласти.