Випадкові поля та стохастичні диференціальні рівняння. Вирішення стохастичних диференціальних рівнянь

Матеріал із synset

Ці матеріали є скороченою електронною версієюкниги "Стохастичний світ". Після конвертації з LaTex з'явилися неминучі артефакти, які поступово усуватимуться. Про помилки або помилки, знайдені в останньої версії переконливе проханняповідомляти, наприклад, в закладці "обговорення" вгорі на цій сторінці або поштою mathсайт. Ви цим дуже допоможете у покращенні книги. Вітаються також коментарі загального плану: що сподобалося, а що ні. Для читання книги у web-браузері варто прочитати пораду щодо налаштування браузера для більш комфортного перегляду формул.

З повагою Степанов Сергій Сергійович.

Випадкові події

Стохастичні рівняння

Середні значення стохастичних процесів

Ймовірності стохастичних процесів

Стохастичні інтеграли

Системи рівнянь

Стохастична природа

Стохастичне суспільство

Короткий зміст

Випадкові події

Абсолютно детермінованих подій та процесів не буває. Всесвіт розмовляє з нами мовою теорії ймовірностей. Передбачається, що Читач добре знайомий з нею, тому нагадуються тільки факти, необхідні для подальшого вивченняпредмета.

Перший розділ є вступним, він підводить до необхідності використання стохастичних. диференціальних рівняньщодо різних систем. Потім обговорюється поняття щільності ймовірностей, що дозволяє обчислювати величини, що спостерігаються в середньому. Гауссова ймовірність є основою шуму, що впливає детерміновану динаміку. Стохастичний зв'язок між випадковими величинами і, навпаки, їхня незалежність важливі при виявленні закономірностей між різними об'єктами та їх характеристиками. Ключовим розділом глави є Модель адитивної блукання. Саме узагальнення цієї простої моделі призведе нас у наступному розділі до стохастичних диференціальних рівнянь. Останній розділ Мартингали та безкоштовний сирмістить низку формальних визначень, які за бажання можна опустити.

Стохастичні рівняння

Цей розділ є ключовим. У ній запроваджується основний математичний об'єкт нашого інтересу – стохастичні диференціальні рівняння. Ми будемо використовувати максимально неформальний, інтуїтивний шлях, вважаючи, що отримання конкретних практичних результатів важливіше, ніж математично суворе їхнє обґрунтування.

Стохастичні рівняння є досить природною безперервною за часом межею дискретних випадкових процесів, розглянутих у попередньому розділі. Навіть вирішуючи безперервне рівняння, ми постійно повертатимемося до його дискретного аналогу, як отримання загальних аналітичних результатів, так чисельного моделювання. Винятково важливим результатомглави є лема Іто, за допомогою якої ми навчимося знаходити точні розв'язки рівнянь у деяких простих, але важливих для практичних додатківзадачах. Потім обговорюються способи обчислення автокореляційної функції випадкового процесу та його спектральні властивості. На закінчення ми торкнемося теми систем рівнянь, до якої послідовніше повернемося в шостому розділі.

Середні значення

Диференціальне рівняння для випадкової функції x(t) - це лише одна з можливих мов опису стохастичного процесу. У ситуації, коли система еволюціонує згодом, середні значення також змінюються і підпорядковуються певним диференціальним рівнянням. Фактично, їхнє рішення є найбільш прямим способом отримання практично корисних результатів.

Ми почнемо цей розділ із виведення динамічного рівняння для середніх. З його допомогою буде отримано простий вираз для щільності ймовірності ситуації, коли система має стаціонарний режим. Потім ми докладно проаналізуємо дві стохастичні завдання: рівняння Феллера та логістичне рівняння. На закінчення будуть розглянуті метод розкладання середніх величин статечний рядза часом та квазідетерміноване наближення.

Ймовірності

Ще одним способом отримання інформації про поведінку стохастичного процесу є вирішення рівнянь для умовної щільності ймовірності, яким присвячена ця глава.

на простих прикладахбудуть продемонстровані методи розв'язання таких рівнянь. Потім ми розглянемо питання про граничні умови, які найбільше природним чиномобліковуються за допомогою рівняння Фоккера-Планка. Буде обчислено середній час досягнення кордону та побудовано простий метод розв'язання рівняння Фоккера-Планка за наявності граничних умов. Розв'язання рівнянь x(t) ми часто записуємо за допомогою гаусової випадкової змінної.

Стохастичні інтеграли

Як і звичайному аналізі, якщо визначено стохастичне диференціювання, то природно запровадити і стохастичне інтегрування. Відповідна техніка дасть нам ще один інструмент отримання співвідношень для іноді досить загальних випадкових процесів. Це дуже гарний розділ стохастичної математики, який до того ж активно використовується у навчальній та науковій літературі.

У диференціальних рівняннях присутні дві нескінченно малі зміни - знос, пропорційний dt, і волатильність шуму. Відповідно, можливі два види інтегралів. У першому розділі ми розглянемо стохастичні інтеграли по dt, вивчимо їх основні властивості та знайдемо уявлення деяких інтегралів через звичайні випадкові величини. У другому розділі розглядається інтеграл Іто з . Далі будуть отримані умови, за яких рішення стохастичного диференціального рівняння єдине, та розглянуто ітераційний метод побудови цього рішення.

Системи рівнянь

Одновимірні стохастичні рівняння дозволяють описувати лише порівняно прості системи. Навіть для звичайного фізичного осцилятора необхідно вирішувати систему двох рівнянь першого порядку. Реальність у загальному випадку- багатовимірна. Вона дає нам безліч прикладів досить складних, але цікавих випадкових процесів.

Як і в одновимірному випадку, ми почнемо з дискретних процесів, узагальнення яких безперервний випадок приведе нас до системи стохастичних диференціальних рівнянь. Фактично, цей розділ повторює більшість результатів попередніх розділів. Для тих, хто впевнено володіє тензорною та матричною алгеброю, відповідні узагальнення є лише способом повторення вже відомого матеріалу. Після виведення основних багатовимірних рівнянь буде розглянуто розв'язання деяких завдань.

Стохастична природа

У цьому розділі наведено приклади природних систем, які природно описуються за допомогою стохастичних диференціальних рівнянь. Ці системи охоплюють широкий спектр додатків від фізики до біології, проте вимагають глибоких знань у відповідних областях. Більшість розділів не пов'язані один з одним і можуть бути прочитані в будь-якому порядку незалежно один від одного. Перше стохастичне диференціальне рівняння в 1908 записав Поль Ланжевен (Paul Langevin). Саме з нього починається цей розділ.

Стохастичне суспільство

У цьому розділі зібрано деякі приклади застосування стохастичних методів до фінансових ринків та економіки. Волатильний характер цін та економічних індикаторів призводить до того, що динаміка відповідних систем є суттєво стохастичною, і член у рівняннях ІТО грає провідну роль.

Спочатку ми зробимо невеликий екскурсу фінансові ринки та емпіричні властивостіЦіни фінансових інструментів. Потім розглянемо теорію диверсифікації та бета – коефіцієнти. Стохастичні методи виявляються дуже корисними щодо складних фінансових інструментів. Приклад такого інструменту є опціон. Ми розглянемо основні його властивості та двома у різний спосібвиведемо формулу Блека-Шоулза. Після цього буде розглянуто просту однофакторну модель кривої прибутковості.

У цьому параграфі досліджуються багато фундаментальних питань, що стосуються випадкових процесів, зокрема перетворення процесів у нелінійних системах. ці труднощі долаються шляхом запровадження стохастичного обчислення та стохастичних диференціальних рівнянь.

Білий шум.Багато реальних випадкових процесів є приблизно нормальними і приблизно стаціонарними. Часто вони мають енергетичний спектр, що мало відрізняється від рівномірного в смузі частот, набагато більшої, ніж смуга пропускання досліджуваної системи. Замість таких процесів з математичної точки зору зручно використовувати білий шум, навіть незважаючи на те, що такий процес позбавлений фізичного сенсуоскільки для його генерування потрібно нескінченно велика потужність. Поняття білого шуму можна віднести до тієї ж сукупності категорій, якою належить поняття імпульсного відгуку лінійної системи. Важливу роль відіграють імпульсні функції – дельта-функції Дірака, які часто визначаються як межі деяких послідовностей функцій. Аналогічно можна розглядати і білий шум.

Будемо говорити, що безперервний нормальний процес є білим шумом із нульовим середнім значенням, якщо

Це визначення не є суворим, тому що дельта-функція Дірака може бути суворо визначена тільки в термінах інтегральних виразів, таких як

(4.63)

Дельта-функцію Дірака можна розглядати як межу звичайних функцій часу, які є, наприклад, симетричними при скільки завгодно малому позитивне значення :

(4.64)

При малих значеннях можна також ввести процес з дискретним часом, що володіє основними властивостямибілого шуму:

При або за межі отримуємо імпульсну функцію і безперервний білий шум відповідно.

У попередньому розділі для системи, що описується рівнянням

і збуджуваної некорельованим з нормальним білим шумом з нульовим середнім значенням, шляхом диференціювання виразу

(4.67)

було отримано наступне рівняння для коварійної матриці:

Скориставшись тепер позначенням коварійної матриці, запишемо

Так як для , то доданки, що характеризують взаємну кореляцію, можуть бути записані в наступній формі:

Оскільки -функція тут розташовується на кінці інтервалу інтегрування, то значення цього інтеграла залежить від типу дельта-функції, що використовується. У цьому розділі використовується симетрична дельта-функція, інтеграл від якої області, що лежить праворуч від точки , дорівнює 1/2 і дорівнює інтегралу області зліва від цієї точки. У цьому випадку рівність (4.69) набуває вигляду

. (4.70)

Аналогічні міркування призводять також до рівності

. (4.71)

Таким чином, отримуємо вже відомий результат:

з початковою умовою.

Якщо дельта-функцію визначити як несиметричну функцію, для якої

(4.73)

(4.75)

Отже, знову отримуємо рівняння

Правильна відповідь для ковариационной матриці виходить навіть за різних уявленнях матриць: и .

Можна було б навести розумні міркування користь використання симетричної дельта-функции. Наприклад, дельта-функція часто використовується як коваріаційна функція, яка обов'язково повинна бути симетричною. Такий підхід при акуратному обігу може бути використаний без особливих труднощів при дослідженні лінійних систем. Однак у разі нелінійних систем необхідно розвинути новий спосібвирішення цієї проблеми.

Корисно також повторити наведений вище висновок, почавши з дискретного часу, і перейти потім до межі, збільшуючи число відліків на інтервалі спостереження з тим, щоб перевірити, чи виникає при цьому вже зазначена складність неоднозначності. Розглянемо дискретний аналог рівняння системи (4.66) у формі (див. § 3.5):

Так як , то рівняння для ковариационной матриці, відповідної ур-нию (4.77), виходячи з результатів § 3.5 набуде вигляду

Тепер зі збільшенням числа відліків отримуємо рівняння

яке є рівнянням для коваріаційної матриці за безперервного часу. При виведенні цього рівняння труднощі, що мала місце при виведенні аналогічного співвідношення відразу для безперервного часу, не виникла тому, що Якщо покласти та

то рівняння (4.66) можна записати так:

Хоча ф-лу (4.82) можна отримати формальним множенням ур-ня (4.66) на , надалі буде показано, що це слабке відмінність виявляється надзвичайно важливим. Стохастичний процес, що визначається співвідношенням

, (4.84)

називається вінерйвським процесом, властивості якого досить докладно обговорюються надалі.

Вінерівськийпроцес.У подальшому викладі вінерівський процес дуже грає важливу роль. Цей процес був запроваджений Н. Вінером як проста модель броунівського руху. Нехай позначає положення деякої частки в момент часу , яка знаходилася на початку координат. Броунівська частка пересувається під впливом зіткнень з аналогічними частинками. Зміщення деякої частки протягом інтервалу часу , що набагато перевищує середній час між двома наступними другза одним зіткненнями, можна розглядати як суму великої кількості малих зсувів. Отже, тут є можливість застосувати центральну граничну теорему, що дозволить функцію розподілу збільшення апроксимувати нормальним розподілом.

Вінерівський процес окреслюється інтеграл від стаціонарного нормального білого шуму , має нульове середнє значення, тобто.

, (4.85)

Легко показати, що

; (4.87)

Крім того, для збільшення можна записати

. (4.89)

Звідси випливає, що збільшення вініврівського процесу має середнє значення, рівне нулю, та дисперсію

Вінерівський процес часто називають також процесом броунівського руху або процесом Вінера-Леві. Цей процес має багато цікавих властивостей, у тому числі тут відзначимо лише такі:

1. Вінерівський процес є процесом з незалежними приростами, тобто якщо прийняти, то випадкові величини незалежні для . Оскільки випадково величина має ту ж функцію розподілу, що і збільшення , то вінерівський процес можна назвати процесом зі стаціонарними незалежними збільшеннями.

2. Вінерівський процес є марківським процесом, оскільки

(4.91)

Це співвідношення легко доводиться, якщо записати

Звідси отримуємо

Такі самі значення мають і .

3. Вінерівський процес є мартингальним процесом, тобто його умовне математичне очікування в момент часу при фіксованих значеннях дорівнює останньому значенню, що спостерігається Таким чином,

Зазначимо, що марківський процес не обов'язково є мартингальним процесом.

4. Вінерівський процес має властивість осциляції Леві, тобто якщо - розбиття інтервалу таке, що , то

, (4.93)

де збіжність суми розуміється у середньоквадратичному сенсі.

Наведені співвідношення використовуватимуться надалі під час обговорення перетворень випадкових процесів у нелінійних системах.

Стохастичний інтеграл та стохастичні диференціальні рівняння.

Вінерівський процес був визначений вище як інтеграл від білого шуму, а саме, . Дж. Дуб показав, що реалізації вінеровського процесу є безперервними функціями, але не мають обмеженої варіації та майже ніде не диференційовані. Причину недиференційованості реалізацій частково пояснює співвідношення (4.90), з якого випливає, що , отже середньоквадратичне значення прирощення має порядок.

Таким чином, якщо - вінерівський процес, то похідної важко надати якийсь розумний зміст. Можна також спробувати відповісти на запитання, чи визначено для довільної безперервної функції наступний інтеграл Рімана:

. (4.94)

Інтеграли такого типу вже зустрічалися раніше, коли досліджувався відгук лінійної системи на вплив як білого шуму. Якщо система описується рівнянням, то

, (4.95)

Сенс останнього інтеграла незрозумілий, оскільки поки що не було суворе визначеннядля похідної.

Один з можливих способівподолання цієї проблеми полягає в тому, щоб спробувати використати поняття інтеграла Лебега-Стілтьєса, записавши

. (4.96)

Однак цей спосіб не усуває труднощі, тому що не є функцією з обмеженою варіацією, а отже, інтеграл Лебега-Стілтьєса виявляється невизначеним.

Природним статистичним узагальненням інтеграла Лебега-Стилтьєса є стохастичний інтеграл, щодо якого послідовність інтегральних сум сходиться до значення інтеграла по ймовірності. Саме заміна збіжності у звичайному нестатистичному сенсі збіжністю ймовірно дозволяє подолати зазначену вище труднощі.

Нехай - векторний випадокний процес з компонентами, а - довільна матрична функція, шматково-безперервна при всіх і залежить, щонайбільше, від сьогодення та минулих значення процесу , тобто. від . Це обмеження можна записати так:

Позначимо через безліч функцій, на якому може бути визначена ймовірнісна міра. У безлічі виділимо наступні три підмножини:

1. - безліч функцій з , кусково-постійних на інтервалі .

2. - безліч функцій з , інтегрованих у квадраті на інтервалі ,

3. - безліч функцій з , інтегрованих у квадраті на інтервалі з ймовірністю 1.

Для будь-якої функції існують точки такі, що при; безліч є безліччю точок, у яких функція має стрибки. Стохастичний інтеграл або інтеграл Іто для таких функцій можна визначити так:

. (4.97)

Якщо , але не належить підмножині , для узагальнення визначення (4.97) використовується традиційний граничний перехід

, (4.98)

де позначає межу в середньому (при ), і ;

, для всіх .

Слід зазначити, що стохастичний інтеграл можна визначити й дещо іншими способами. Наприклад,

, (4.99)

де , або при довільно малому позитивному

. (4.100)

У загальному випадку визначення (4.99) та (4.100) не еквівалентні визначенню (4.98). Якщо належить безлічі, то неважко бачити, що три зазначених визначенняприводять до одного і того ж результату, це можна сказати і щодо інших можливих визначень. Однак, якщо не є елементом підмножини, то ці визначення не є, власне кажучи, еквівалентними через властивість осциляції Леві. Хоча визначення (4.99) і (4.100) мають деякі переваги, далі буде показано, що визначення (4.98) зазвичай є більш придатним. Зв'язок між різними визначеннямистохастичного інтеграла та звичайним нестатистичним визначенням більш докладно буде обговорюватись пізніше.

Інтеграл, визначений за допомогою співвідношення (4.98), називатимемо інтегралом Іто. Його можна розглядати як лінійне перетворення, тобто.

для кожної пари допустимих функцій і для будь-яких дійсних матриць і.

Якщо належить підмножині , a є вінеровським процесом , то інтеграл має наступні дві властивості, корисні для наступного викладу:

; (4.101)

. (4.102)

Докази цих властивостей ґрунтуються на тому факті, що збільшення статистично не залежить від за умовою і від , Відповідно до властивості вінеровського процесу про незалежність прирощень на інтервалах, що не перетинаються. Для простоти тут наведемо доказ лише випадку, коли докази більш загальних випадків проводяться аналогічно.

Розглянемо спочатку рівність (4.101). Використовуючи (4.97), запишемо

Так як і статистично незалежні, то середнє значення твору можна записати як витвір середніх значень. Тоді

.

Так як середнє значення прирощень вінеровського процесу дорівнює нулю, то права частинаостанньої рівності також виявляється рівною нулю, що доводить справедливість рівності (4.101).

Аналогічно проводиться доказ справедливості співвідношення (4.102). Скориставшись спочатку визначенням (4.97), запишемо

Через незалежність прирощень маємо

Знову, використовуючи незалежність прирощень та рівність (4.90), можна записати

Таким чином, для отримуємо

.

Оскільки є елементом підмножини, то права частина останньої рівності може бути записана як звичайний інтеграл , що завершує підтвердження.

Якщо не належить підмножині і використовується відмінне від (4.98) правило інтегрування, то рівність (4.101) і (4.102) можуть виявитися несправедливими. Це одна з головних причин, через які в цій книзі вибирається визначення (4.98), оскільки співвідношення (4.101) і (4.102) будуть часто використовуватися надалі. Необхідно також, щоб функція належала підмножин або , тому що в іншому випадку інтегральні суми не будуть, взагалі кажучи, сходитися по ймовірності або з ймовірністю 1 відповідно.

Надалі знадобиться вираз для дисперсії диференціального збільшення. З (4.90) можна записати . Якщо тепер покласти, то приріст можна записати як. Тоді при отримуємо подання

, (4.103)

Цей результат ще раз підтверджує, що приріст має порядок, внаслідок чого похідна не існує.

Неважко показати, що для величини всі моменти, починаючи з другого, мають більший порядок трошки порівняно з . Отже, за досить малих значень отримуємо, що і для . Звідси випливає, що величина фактично є детермінованою та рівною для нескінченно малих значень. Тим самим встановлено наступне важливе співвідношення:

,

з якого випливає

Таким чином, вінерівський процес дійсно є незвичайним процесом. Будучи скрізь безперервним, він майже ніде не диференціюємо; дисперсія збільшення значень цього процесу на нескінченно малому інтервалі збігається з квадратом збільшення. Аналогічним чином можна показати також, що

Цікава також така властивість вінеровського процесу. Якщо функція залежить від , то інтеграл Іто, визначений співвідношенням (4.98), є мартингалом, тобто.

Ця властивість стає очевидною, якщо розглянути рівність (4.101). Справді, оскільки

,

то умовне середнє величини , що стоїть у лівій частині рівності (4.106), можна записати у вигляді

У першому інтегралі функція і відома усім інтервалі інтегрування, оскільки він входить в умову. Тому цей інтеграл не є стохастичним. У той же час у другому інтегралі умова не відіграє вже подібної ролі в силу незалежності прирощень процесу і на інтервалах, що не перетинаються. Тому на підставі ф-ли (4.101) другий доданок у правій частині останньої рівності дорівнює нулю. В результаті отримуємо

.

Ще одна корисна властивість інтеграла Іто полягає в тому, що його конструкція припускає визначення інтеграла

де - довільна безперервна функція, a - мірний безперервний випадковий процес. З цього визначення випливає, зокрема, що якщо - мірний нестаціонарний вінерівський процес , для якого , то справедливо (в середньоквадратичному сенсі, з ймовірністю 1) рівність

(4.108)

Звернемося тепер до вивчення процесу на виході нелінійної системи, що описується рівнянням

, (4.109)

якщо на її вході діє -мірний векторний нормальний білий шум, для якого

Тут - мірний випадковий векторстани; - -мірна нелінійна векторна функція від ; - матрична функція розмірності.

Формальним інтегруванням ур-ня (4.109) можна знайти наступне неявне вираз для відгуку або вектора стану системи

, (4.110)

де – вінерівський процес; , для котрого ; . Зауважимо, перший інтеграл у ф-ле (4.110) є звичайним, тоді як другий - стохастичним. Якщо випадковий векторний процес із ймовірністю 1 задовольняє отриманому стохастичному інтегральному рівнянню, то ур-ня (4.110) можна записати у наступній символічній формі:

Це рівняння надалі називатимемо стохастичним диференціальним рівнянням. Цю рівність можна розглядати як зручний спосібзаписи ур-ния (4.110) у разі, коли функції і , визначені при всіх допустимих значеннях, належать підмножини.

Надалі буде показано, що з перетвореннях інтеграла Іто необхідно використовувати правила, від правил перетворень звичайних інтегралів. Вважатимемо, що є процесом Іто; припустимо далі, що - функція від і , що має, безперервні приватні похідні другого порядку з і . Використовуючи правило диференціювання Іто, отримуємо, що також є процесом Іто і задовольняє рівняння

в якому для простоти запису використані наступні скорочені позначення

Це рівняння відіграє важливу роль при отриманні багатьох результатів теорії випадкових процесів; воно, наприклад, використовується при відшуканні характеристичних функцій випадкових процесів

Стохастичне диференціальне ур-ня (4.111) можна переписати в дещо іншому вигляді, якщо скористатися введеними вище позначеннями:

Тут вінерівський процес має середнє значення, що дорівнює нулю, та коварійну матрицю

. (4.114)

Детальний і зручний за формою доказ правила диференціювання. скалярного випадкудано у роботі. Узагальнення цього підтвердження векторний випадок не зустрічає важливих труднощів. Тут наведемо лише спрощені несуворі міркування. Інтегрування (4.112) призводить до рівняння (для )

яка також є корисною.

Розкладемо функцію в ряд Тейлора щодо точки і:

де доданок містить члени порядку або вищого порядку. Використовуючи тепер ф-лу (4.110) і враховуючи, що - нескінченно мала величина, внаслідок чого в розкладанні через властивості осциляції Леві з'являються доданки типу

отримуємо ур-ня (4.115), яке еквівалентне ур-нію (4.112). Іноді зручніше правилодиференціювання Іто записувати у вигляді

де зазвичай називається зворотним диференціальним оператором:

Таким чином, є диференціальним генератором процесу.

Приклад 4.3. Досліджуємо процес на виході нелінійної системи, що описується рівняннями

на вхід якої впливає нормальний білий шум з підступною матрицею.

Використовуючи звичайне правило інтегрування, отримуємо

,

т е процес є винеровским процесом, що слід було очікувати Для обчислення необхідно використовувати інтеграл Іто, оскільки

.

Використання звичайного правила інтегрування призвело до результату

. (4.119)

Однак інтеграл, що розглядається, є стохастичним, і тут необхідно скористатися визначенням (4.98).

.

Остання рівність за допомогою простих алгебраїчних перетвореньнаводиться до вигляду

.

Перша сума легко обчислюється, даючи в результаті . Оскільки , то

.

Другий доданок можна легко обчислити, якщо скористатися властивістю осциляції Леві [див. рівність (4.93)] Так як , то для отримуємо

.

Використовуючи (4 104), цей вираз можна переписати у вигляді

.

Звичайний інтеграл у правій частині цієї рівності легко обчислюється, так що для остаточно отримуємо .

Щоб показати, що визначення (4.99) у випадку нееквівалентне визначенню (4.98), обчислимо тепер , скориставшись правилом (4.98) Для цього покладемо . Тоді значення можна приблизно покласти рівним і записати

Подальші обчислення, що проводяться так само, як вище, призводять до наступного результату

Цей результат збігається з рішенням, що отримується при звичайному обчисленні при , і збігається з рішенням, заснованому на використанні інтеграла Іто, при .

Інший спосіб отримання коректного виразу для ґрунтується на використанні правила диференціювання. лінійну систему

, (4.119а)

де - білий нормальний шум з нульовим середнім значенням. Відповідний процес. .

Покладемо . Так як правило диференціювання Іто [див. (4.112)] записується у вигляді

де для розглянутого завдання , так що , а , то в даному випадку

(оскільки ). Інтегрування отримуємо

.

Якщо тепер врахувати, що вінерівський процес, то останнє рівняння можна переписати наступним чином:

.

Звідси, так що коректне рішення має вигляд

.

Тут знову результати, отримані за допомогою звичайного обчислення та стохастичного обчислення, не збігаються. Причиною цього розбіжності, звісно, ​​і те, що з обчислення стохастичного інтеграла звичайні методи, взагалі кажучи, застосовувати не можна.

Для того щоб отримати алгоритми оцінювання в будь-якій фізичній задачі оцінювання, доводиться виконувати два найважливіші етапи досліджень. У першому їх вирішується завдання моделювання чи вибору стохастичного диференціального рівняння, яке описувало б аналізований фізичний процес. Ця модель, яка в кінцевому підсумку представляє певний процес, є в загальному випадку компромісом між математичною точністю та простотою обчислень.

Мета другого етапу – знайти алгоритми оцінювання. Цей етап виконується лише після того, як обрано математична модельпроцесу. Нижче розглядаються деякі аспекти другого етапу.

Раніше вже було зазначено, що стохастичний інтеграл (інтеграл, що містить добуток двох випадкових процесів), не можна у всіх випадках розглядати як звичайний інтеграл. Наведені вище два приклади досить ясно ілюструють різницю між цими інтегралами. Якщо для моделювання алгоритмів оцінювання використовуються цифрові обчислювальні машини, то відповідна інтерпретація стохастичного інтеграла перестав бути очевидною. Тут можливі два підходи. Один з них ґрунтується на звичайному обчисленні, інший – на стохастичному обчисленні. Спеціальний розгляд цих двох підходів буде проведено у гол. 9. Тут же наведемо лише деякі рекомендації для вибору одного з них:

1. Якщо функція залежить від , то звичайне і стохастичне обчислення призводять до одним і тим самим результатами необхідність спеціального дослідження стохастичних інтегралів просто відпадає. Подібний факт згадувався раніше. Той самий випадок зустрінеться щодо проблеми побудови лінійних оцінок, на яку виявляться можливими істотні спрощення.

2. Якщо проблема оцінювання має бути сформульована строго в математичному відношенні, слід використовувати стохастичне обчислення.

3. Якщо ур-ня (4.111) розглядається як апроксимація відповідного дискретного рівняння або як межа рівняння

при необмеженому збільшенні числа відліків на будь-якому кінцевому інтервалі, необхідно використовувати стохастичне обчислення.

4. Якщо в рівній (4.109) вхідний білий шум використовується замість шуму з малим інтервалом кореляції, слід застосовувати методи звичайного обчислення.

Відмінність між цими двома підходами з обчислювальної точки зору також неважко виявити (див.). Якщо використовувати поняття звичайного обчислення при знайденні рішення ур-ня (4.111), то буде отримано рішення рівняння

У великому числівипадків рішення ур-нія (4.121), отримане методами звичайного обчислення, з досить високою точністю збігатиметься з рішенням диференціального стохастичного ур-нія (4.111) (зауважимо, що якщо не залежить від , то, як уже зазначалося вище, методи звичайного обчислення наводять до точного рішення).

При заданому значенні. Диференціюючи рівність (4.126) за

Таким чином, знову отримано рівняння у приватних похідних Фоккера-Планку. Це рівняння може бути використане для відшукання щільності ймовірності змінної станунелінійної системи, що описується ур-ням (4.111) і збуджується нормальним білим шумом. Вектор змінних станів такої системи є марківським процесом. В основі цього висновку лежить правило диференціювання ІТО. На жаль, немає прямого способу вибору функції . У багатьох випадках корисною виявляється така функція, яка виходить під час використання звичайного інтеграла Рімана.

Одна з незручностей, пов'язаних зі стохастичними інтегралами та стохастичними диференціальними рівняннями, полягає в тому, що для останніх можуть виявитися несправедливими правила перетворень звичайного обчислення. Звичайно, стохастичний інтеграл можна було б визначити і таким чином, щоб звичайні правила обчислень, як, наприклад, інтегрування частинами, залишилися справедливими. На перший погляд такий підхід може здатися привабливим і природнішим, ніж визначення Іто. Однак, як буде показано, насправді це не так. Для простоти обмежимося розглядом лише скалярного випадку Дослідження багатовимірного випадку проводиться аналогічно і не зустрічає принципово нових труднощів.

Звичайне правило інтегрування взагалі призводить до іншого значення цього інтеграла. Точно таке ж значення можна отримати тільки в тому випадку, якщо в розкладанні ряду Тейлора підінтегральної функції обмежитися членами другого порядку і використовувати запис [див. (4.104)]. Тобто для скалярної функції, яка залежить тільки від, повинна бути справедлива рівність

Аналогічно має виконуватися співвідношення

(4.134)

для звичайного обчислення, щоб правила обчислення звичайного та стохастичного обчислень призводили до тих самих результатів.

Якщо стохастичний інтеграл визначити так, щоб результати, що виходять при цьому, виявилися сумісними з результатами звичайного обчислення, то рівності (4.101) і (4.102) порушаться, що дуже небажано. Дійсно, ці дві рівності надзвичайно корисні у тому відношенні, що вони дозволяють суттєво спростити обчислення математичних очікувань.

Стратонович у роботі запровадив «симетризований» стохастичний інтеграл, у якому

Подібне визначення стохастичного інтеграла дано також у роботі, де було прийнято

У роботі запропоновано апроксимуючу формулу

, (4.137)

у якій - виділена сукупність точок на інтервалі інтегрування. Можна було б також розглянути апроксимацію виду

Хоча кожне з цих чотирьох визначень призводить до деяких корисним властивостямстохастичного інтеграла, всі вони мають серйозний недолік: рівності (4.101) та (4.102) виявляються несправедливими. Отже, багато наступних співвідношення мають бути модифіковані. Наприклад, якщо у визначенні стохастичного інтеграла використовується рівність (4.136), то рівняння Фоккера-Планка (4.128) виявляється несправедливим, а середнє значення останнього інтеграла у правій частині рівності (4.124) не дорівнює нулю, оскільки при новому визначенні величини рівність (4) порушується. Можна показати, що «нове» рівняння Фоккера – Планка, яке відповідає співвідношенню (4 136), має вигляд

(4.139)

Зміна рівняння Фоккера-Планка при такому переході набагато суттєвіша, ніж це можна було очікувати спочатку. Обчислювати моменти тепер набагато складніше. Стохастичні диференціальні рівняння, які виходять при використанні будь-якого із співвідношень (4.135)-(4.138), призводять до випадкових процесів, що не є більш марковськими. Тому надалі у цьому розділі й у гол. 9 без особливих застережень будемо використовувати обчислення Іто, що ґрунтується на визначенні (4.98).

Вирішення стохастичних диференціальних рівнянь проілюструємо наступними прикладами.

Приклад 7.1. Процес x(t) арифметичного броунівського руху визначається початковою умовою x(0)=x 0 та стохастичним диференціальним рівнянням

Рішення. Застосовуючи визначення (7.3), отримаємо

Приклад 7.2. Процес геометричного броунівського руху аналогічно визначається початковою умовою x( 0 )=x 0 та стохастичним диференціальним рівнянням

Рішення. Розглянемо процес

застосовуючи до якого формулу диференціювання Іто, отримаємо

тобто h( t) є процесом арифметичного броунівського руху, тому в силу прикладу 7.1 його можна записати у вигляді

,

тоді через заміну (7.9) процес x( t) представимо у вигляді

.

Так як, , то остаточно запишемо

.

отже

,

тому через заміну (7.10) можна записати

Приклад 7.4. Для процесу броунівського мосту

.

Рішення. У цьому рівнянні виконаємо заміну

Застосовуючи формулу диференціювання Іто отримаємо

отже

,

тому через заміну (7.11) можна записати

,

отже

тому з чинності (7.12) можна записати

.

Знайдемо математичне очікування та дисперсію цього процесу

,

зокрема, отримаємо

Так як прирости вінеровського процесу на інтервалах, що не перетинаються, незалежні, їх математичні очікування дорівнюють нулю, а дисперсії дорівнюють довжинам цих інтервалів, то

,

і, зокрема,

У силу рівностей (7.14) і (7.13) можна говорити, що броунівський міст з'єднує в середньому квадратичної точки і що виправдовує назву цього дифузійного випадкового процесу.

Література

1. Баруча-Рід А.Т. Елементи теорії марківських процесів та їх застосування. - М.: Вид-во "Наука", 1969. - 512 с.

2. Волков І.К., Зуєв С.М., Цвєткова Г.М. Випадкові процеси: Навч. для вузів. М: Вид-во МДТУ ім. н.е. Баумана, 1999. - 448 с.

3. Гнєденко Б.В., Коваленко І.М. Введення у теорію масового обслуговування. Вид. 3-тє, испр. та дод. - М.: КомКнига, 2005. - 400 с.

4. Гнєденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. М.: Наука, 1969. - 448 с.

5. Маталицький М.А. Елементи теорії випадкових процесів: Навч. допомога. - Гродно: ГрДУ, 2004. - 326 с.

6. Міллер Б.М., Панков А.Р. Теорія випадкових процесів у прикладах та завданнях. - М.: ФІЗМАТЛІТ,2002. - 320 с.

7. Назаров А.А., Терпугов А. Ф. Теорія ймовірностей та випадкових процесів: навч. допомога. - Томськ: Вид-во НТЛ, 2006. - 204 с.

8. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теорія масового обслуговування: Навчальний посібник. - Томськ: Вид-во НТЛ, 2004.

9. Сааті Т.Л. Елементи теорії масового обслуговування та її застосування. - М.: Рад. Радіо, 1971.

Вступ. 1

Глава 1. Елементи теорії випадкових процесів. 2

Визначення та опис випадкового процесу. 2

Завдання для самостійного рішення. 5

Статистичні середні показники випадкових процесів. 8

Стаціонарні випадкові процеси.

Властивості функції кореляції. 11

Ергодичні випадкові процеси.

Завдання для самостійного вирішення. 16

Глава 2. Ланцюги Маркова з дискретним часом.

Основні визначення. 21

Ланцюги Маркова з дискретним часом.

Класифікація станів ланцюга Маркова з дискретним часом.

Структура періодичного замкнутого класу. 29

Класифікація станів ланцюга Маркова за асимптотичними властивостями перехідних ймовірностей 30

Ергодичні теореми для ланцюгів Маркова. 31

Імовірно-тимчасові характеристики ланцюга Маркова. 33

Завдання для самостійного вирішення. 38

Глава 3. Ланцюги Маркова з безперервним часом.. 46

Диференціальні рівняння Колмогорова. 48

Фінальні ймовірності. 51

Час переходу з одного стану до іншого. 52

Статистичний змістфінальних (стаціонарних) імовірностей. 53

Час перебування ланцюга Маркова в j-ом стані. 53

Процеси загибелі та розмноження. 55

Процес чистого розмноження. 57

Найпростіший потік. 57

Основні ймовірнісні характеристики найпростішого потоку. 60

Завдання для самостійного вирішення. 64

Розділ 4. Елементи теорії масового обслуговування. 70

Система масового обслуговування, основні визначення та класифікація. 70

Система M/M/1/¥ (з чергою) 74

Система M/M/N.. 75

Завдання для самостійного вирішення. 77

Глава 5. Безперервні марківські процеси.

Визначення дифузійного випадкового процесу. 84

Зворотне рівнянняКолмогорова. 85

Пряме рівнянняКолмогорова. Рівняння Фоккер-Планка. 86

Деякі окремі випадки рівняння Фоккера-Планка. 86

Визначна модель дифузійного процесу. 89

Розділ 6. Стохастичні інтеграли.

Стохастичний інтеграл у формі Іто. 91

Особливість стохастичного інтеграла у формі Іто. 91

Стохастичний інтеграл у вигляді Стратановича. 92

Зв'язок інтегралів Іто та Стратановича. 93

Глава 7. Стохастичні диференціальні рівняння. 94

Визначення стохастичних диференціальних рівнянь. Властивості їх розв'язків. 94

Формула диференціювання Іто. 96

Вирішення стохастичних диференціальних рівнянь. 97

Анатолій Опанасович ЛЄВАКОВ

СТОХАСТИЧНІ

ДИФЕРЕНЦІЙНІ

РІВНЯННЯ

Леваков, А. А. Стохастичні диференціальні рівняння/

А. А. Леваков. Мінськ: БДУ, 2009. 231 с. ISBN 978-985-518-250-5.

У монографії викладена теорія стохастичних диференціальних рівнянь, що є одним із основних засобів дослідження випадкових процесів. Розглянуто три розділи теорії стохастичних диференціальних рівнянь: теореми існування, теорія стійкості та методи інтегрування. Наведено факти з функціонального аналізу, теорії багатозначних відображень та випадкових процесів, на яких засновано виклад книги.

Для фахівців у галузі теорії ймовірностей, теорії диференціальних рівнянь та їх додатків, а також викладачів, аспірантів та студентів математичних факультетіввишів.

Бібліогр.: 171 назв.

Друкується за рішенням Редакційно-видавничої ради Білоруської державного університету

Рецензенти: член-кореспондент НАН Білорусі,

доктор фізико-математичних наук, професор Л. А. Янович; доктор фізико-математичних наук, професор Н. В. Лазакович

ISBN 978-985-518-250-5

c Леваков А. А., 2009

2.3. Теорема існування β-слабких розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.4. Сильне та слабке існування, потраєкторна та слабка єдиність для стохастичних диференціальних рівнянь та включень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.5. Інваріантні множини. Теорема існування життєздатних розв'язків стохастичних диференціальних включень. . . . . . . . . . . . 126

2.6. Теореми існування рішень стохастичних диференціальних рівнянь із відображенням від кордону. . . . . . . . . . . 139

2.7. Одновимірні стохастичні диференціальні рівняння. . . . . . . . . 142

ГЛАВА 3. ВЛАСТИВОСТІ РІШЕНЬ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ І ВКЛЮЧЕНЬ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.1. Залежність розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь від початкових умов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.2. Дослідження стійкості стохастичних диференціальних рівнянь шляхом функцій Ляпунова. . . . . . . . . 157

3.3. Дослідження стійкості стохастичних диференціальних рівнянь з нелінійного наближення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.4. Критерій обмеженості в середньоквадратичних рішеннях лінійних стохастичних диференціальних систем. . . . . . . . . . . . . . . 174

3.5. Асимптотична еквівалентність у середньоквадратичному звичайного диференціального рівняння та обуреної стохастичної диференціальної системи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

3.6. Середньоквадратичні характеристичні показники стохастичних систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

ГЛАВА 4. МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.1. Елементарні стохастичні диференціальні системи. . . . . . . . . 188

4.2. Рівняння Колмогорова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.3. Диференціальні рівняння для умовних математичних очікувань. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЗНИК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

ПЕРЕЛІК ОСНОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ

B(x0, r)

C(R+, X)

куля в метричний простір(X, ρ) з центром у точці x0 радіуса r, (x X | ρ(x, x0 )< r}

доповнення до безлічі A

транспонована матриця

борелівська σ-алгебра топологічного простору T

замикання опуклої оболонки множини

сімейство всіх непустих замкнутих підмножин множини X

сімейство всіх непустих компактних підмножин множини X

сімейство всіх непустих компактних опуклих підмножин множини X

простір безперервних функцій, визначених на

βt (C(R+, X))

F ([x]δ)

δ = coF ([x]δ )

Lp (T, E)

Scc (X)

під-σ-алгебра β(C(R+ , X)), породжена f(s), 06 s6 t

замикання об'єднання множин F (x1 ) по всіх x1 таким, що ρ(x, x1 )6 δ

замикання опуклої оболонки множини F ([x]δ )

простір класів еквівалентності інтегрованих

за Бохнером функцій f: T → E таких, що kfkp =

T kf(t)kp dτ< ∞

сімейство всіх підмножин множини X

сімейство всіх замкнутих опуклих підмножин множини X

математичне очікування випадкової величини x

розподіл ймовірностей випадкової величини x

безліч натуральних чисел

безліч дійсних чисел

R d×r

δ ij

δ (a)

tr(A) (Ω, F, P)

1A (x)

ССДУ п. ст. п. н.

a b = min(a, b) a b = max(a, b) f g ha, bi kak

множина невід'ємних дійсних чисел ε = (x X|ρ(x, A)6 ε)

ε-околиця множини A

α¯(A, B) = sup(ρ(x, B)|x A)

напіввідхилення за Хаусдорфом множест-

ва A від множини B

α(A, B) = max(α(A, B), α(B, A))

відхилення за Хаусдорфом множин A і B

ВСТУП

Поведінка реального об'єкта, що функціонує в умовах природних шумів, характеризується деякою невизначеністю, крім того, в системах управління складними системамизазвичай беруть участь люди, котрим характерна деяка невизначеність поведінки. Опис таких систем з допомогою детерміністських підходів який завжди відбиває дійсну картину функціонування об'єкта. Якщо моделлю процесу є диференціальне рівняння dx(t) = f(t, x(t)) dt, то для отримання моделі, яка враховує перешкоди типу білого шуму, до правої частини диференціального рівняння додають доданий вид g(t, x(t)) dW(t) і розглядають стохастичне диференціальне рівняння

dx(t) = f(t, x(t)) dt + g(t, x(t)) dW(t)

або в інтегральній формі

де другий інтеграл є інтегралом Іто по броунівському руху W(t). Виникнення та розвитку стохастичних інтегралів і стохастичних диференціальних рівнянь сягає З. М. Бернштейну, До. Іто, І. І. Гихману. До теперішнього часу є величезна література, присвячена стохастичним диференціальним рівнянням, теорія яких продовжує інтенсивно розвиватися і нині. К. Іто перший показав, що для липшицевих функцій f, g рівняння (0.1) має єдине сильне рішення, але для додатків, особливо для теорії керованих випадкових процесів, важливий доказ теорем існування та єдиності при більш слабких умовахна відображення f та g. А. В. Скороход ввів нове поняття рішення «слабке рішення», припустивши, що рішення може бути визначене на відповідному ймовірнісному просторі з відповідним броунівським рухом. Це дозволило довести теорему існування рішень за умов безперервності коефіцієнтів рівняння. При

Доказ був використаний аналог ламаних Ейлера, проте з послідовності процесів, що виходить при цьому, вибрати схожу підпослідовність неможливо. А. В. Скорохід за допомогою переходу до іншого імовірнісного простору та до іншої послідовності процесів, але з тими ж законами розподілу побудував послідовність процесів, що сходить до розв'язання рівняння. В даний час за доказом більшості теорем існування використовується саме такий підхід. Наступний важливий крокотримання Н. В. Криловим оцінок для розподілів стохастичних інтегралів та доказ за їх допомогою теореми існування слабких рішень стохастичного диференціального рівняння (0.1) із вимірними за Борелем обмеженими функціями f, g

і невиродженою матрицею g (ν, λ, λ> gg> λ> νkλk). Ця теорема показує суттєву відмінність стохастичних диференціальних рівнянь від звичайних систем. Рівняння x = f (t, x) з вимірною функцією f, взагалі кажучи, не має рішень. У надалі умованевиродженість матриці g була ослаблена. Але щоб теорема існування рішень стохастичних диференціальних рівнянь охоплювала рішення, аналогічні ковзним режимам для звичайних диференціальних рівнянь, наприклад руху поверхнею, на якій коефіцієнт зносу f розривний, а коефіцієнт дифузії g дорівнює нулю, необхідно переходити, так само як

і для звичайних диференціальних рівнянь до відповідних стохастичним диференціальним включенням. Так як отримання саме ковзних режимів часто є метою управління, оскільки вони слабко залежать від зовнішніх впливів, то доказ теорем існування таких рішень важливе завдання. Питанням існування рішень різних типівстохастичних диференціальних рівнянь приділено велика увагаУ книзі.

Слабкі рішення використовуються при вивченні тих властивостей рівнянь, які пов'язані з мірою в просторі траєкторій, таких, як стійкість процесів, імовірнісне уявлення рішень і т.д. тоді розглядають сильні рішення. За доказом теорем існування сильних рішень важливу роль іг-

е принцип Ямади Ватанабэ: із існування слабких рішень і потраекторной єдиності випливає сильне існування. Зазначимо, що принцип застосуємо в різних ситуаціяхДля стохастичних диференціальних рівнянь, для стохастичних диференціальних рівнянь з відображенням від кордону, для стохастичних диференціальних включень. Проблему існування та єдиності рішень стохастичних диференціальних рівнянь можна описати в такий спосіб. Є рівняння, які не мають слабких рішень. Існують рівняння, які мають слабкі рішення на деякому ймовірнісному просторі з відповідним броунівським рухом, тоді як у інших ймовірнісних просторах коїться з іншими броунівськими рухами рішень може і бути. Якщо має місце потраєкторна єдиність і рівняння має властивість слабкого існування, то на будь-якому ймовірнісному просторі з будь-яким броунівським рухом існує єдине рішенняі воно є сильним.

У книзі показується, що будь-яке рівняння

dx(t) = f(t, x(t))dt + g(t, x(t))dW(t)

c вимірними по Борелі локально обмеженими функціями f, g має слабке рішення, але під слабким рішенням розуміємо слабке рішення стохастичного включення

dx(t) F(t, x(t))dt + G(t, x(t))dW(t),

де F (t, x), G(t, x) деякі багатозначні відображення, що відповідають функцій f і g.

Ми розглядаємо лише дифузійні рівняння марківського типу. Довгий часдосліджувалися саме такі рівняння. Однак у теорії фільтрації, у фізиці з'являються стохастичні рівняння з приватними похідними, які, як правило, можна трактувати як стохастичні рівняння в просторі гільберта або банахова. При вивченні багатьох економічних проблемдоводиться розглядати рівняння за броунівському руху, а, по деяким семимартингалам. В даний час теорія стохастичних рівнянь по семимартингалам в банаховому просторі успішно розвивається, і незважаючи на суттєве ускладнення ситуації, багато хто

методи та ідеї рівнянь у кінцевомірних просторах продовжують працювати і в банаховому просторі з відповідними змінами.

Перший розділ присвячений викладу відомостей з функціонального аналізу, теорії випадкових процесів, теорії динамічних систем.

і диференціальних включень, що використовуються у монографії. Книга призначена насамперед для студентів факультету прикладної математикита інформатики тамеханіко-математичного факультету Білоруського державного університету та запропонований варіант відомостей продиктований тими курсами з фундаментальної математики, які читаються на цих факультетах, а також потребами теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Звісно, ​​набір відомостей не можна визнати повним.

У параграфах 2.1 2.4, 2.7 другого розділу доводяться теореми існування слабких та сильних розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь та включень, що охоплюють і розв'язки типу ковзного режиму для звичайних диференціальних рівнянь.

Якщо рівняння розглядається в деякій ділянці D, то при досягненні траєкторіями кордону D одна з можливостей їх подальшого продовження полягає у відображенні від межі всередину області. Вплив на рішення на кордоні представляють як своєрідний знос у стохастичному рівнянні, тобто розглядають рівняння dx(t) = f(t, x(t))dt + g(t, x(t))dW(t) + dK (t), де K(t) безперервний процес обмеженої варіації, що зростає лише на кордоні. Вперше дифузійні процеси з відображенням від прямої досліджував А. В. Скороход. Дослідженню проблеми Скорохода

і її додатків до стохастичних диференціальних рівнянь присвячені роботи. Найбільш Загальні умови, що забезпечують існування слабких розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь з відображенням від кордону, наведені в (пропозиція 1.54). Різні аспектипроблеми розглядалися у роботах. Теорема існування слабких рішень стохастичних диференціальних включень із відображенням від кордону встановлюється у параграфі 2.6.

Рішення, які за всіх t > 0, належать заданій множині K називають життєздатними. Перші умови, забезпеч-

Програма

курсу "Стохастичні диференціальні рівняння"

лектор А.В.Булінський

(кафедра вищої математики МФТІ)

Деякі завдання , що призводять до стохастичних аналогів звичайних диференціальних рівнянь (стохастичні моделі, що виникають у фізиці, техніці, біології та фінансовій математиці).

Допоміжний математичний апарат. Умовне математичне очікування та його властивості (лінійність, "телескопічність", нерівність Єнсену та ін.). Фільтровані імовірнісні простори. Моменти зупинки, властивості, приклади. Мартингали, субмартингали, супермартингали з дискретним та безперервним часом. Фундаментальні нерівності. Теореми про збіжність. Локальні мартингали та семимартингали. Розкладання Дуба-Мейєра. Безперервні та квадратично інтегровані мартингали.

Броунівський рух (Вінерівський процес), його різні конструкції. Поведінка траєкторій: недиференційованість з ймовірністю одиниця, локальні максимуми, точки зростання. Броунівське сімейство. Варіанти марківського та строго марківського властивості броунівського руху (родини). Застосування до вирішення граничних завдань (проблема Діріхле). Формула Фейнмана Каца. Локальний час броунівського руху, адитивні функціонали. Вектор броунівський рух. Процеси Бесселя. Фрактальний броунівський рух.

Стохастичне числення. Побудова інтеграла Іто, властивості інтеграла (зокрема мартингальність інтеграла Іто зі змінною верхньою межею). Інтеграл Стратонович. Зв'язок між двома видами стохастичного інтегралу. Інтегрування по семімартингалу. Формула Іто заміни змінних та її подальші узагальнення. приклади.

Стохастичні диференціальні рівняння. Сильні та слабкі рішення. Проблеми існування та єдиності рішень (у сильному та слабкому вигляді). Результати Скорохода, Ятамада та Ватанабе. Розв'язання рівняння Ланжевена. Процес Орнштейн-Уленбек. Марківська властивість сильного розв'язання стохастичного диференціального рівняння. Теорема Енгельберта-Шмідта. Перетворення Камерона-Мартіна-Гірсанова як спосіб побудови слабких рішень. Мартингальна проблема Струка-Варадана, зв'язок із стохастичними диференціальними рівняннями. Різні підходидо вивчення дифузійних процесів

Застосування стохастичних диференціальних рівнянь. Проблеми фільтрації (фільтр Калмана-Бьюсі). Завдання про оптимальну зупинку. Стохастичне керування. Дифузійна модель ціни акцій: від моделі Башельє до моделі Самюелсона. Опціони, справедлива ціна. Формула Блека-Шоулса. Оптимальні інвестиції та споживання.

Подальші дослідження. Поняття про квантові стохастичні диференціальні рівняння та марківську еволюцію відкритих квантових систем. Проблематика стохастичних диференціальних рівнянь у приватних похідних. Деякі методи чисельного розв'язання стохастичних диференціальних рівнянь.

Література

1. Оксендал Б. Стохастичні диференціальні рівняння. МЦМІО, 2002.

2. Ширяєв О.М. Основи стохастичної фінансової математики, т.1.2. М: Фазіс, 1998.

3. Жакод Ж., Ширяєв О.М. Граничні теореми для довільних процесів, т.1,2. М: Фізматгіз, 1994.

4. Булінський А.В., Ширяєв О.М. Теорія випадкових процесів. М: Фізматліт, 2003.

5. Kallenberg O. Foundations of Modern Probability. Springer, New York, 1997.

6. Karatzas I., Shreve S.E. Brownian Motion та Stochastic Calculus. Springer, New York, 1997.

7. Parthasarathy K.R. An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Birkhauser, Basel, 1992.