Як формулюється принцип невизначеності гейзенберга? Принцип невизначеності гейзенберга та його значення у розвитку природознавства

ПРИНЦИП НЕВИЗНАЧЕННОСТІ:

Принцип невизначеності –фундаментальне положення квантової теорії, яке стверджує, що будь-яка фізична система не може перебувати в станах, в яких координати її центру інерції та імпульс одночасно приймають цілком певні, точні значення. Кількісно принцип невизначеності формулюється в такий спосіб. Якщо ∆x – невизначеність значення координати x центру інерції системи, а ∆p x – невизначеність проекції імпульсу p на вісь x, то добуток цих невизначеностей має бути по порядку величини не меншою за постійну Планка ħ. Аналогічні нерівності повинні виконуватися для будь-якої пари т.з. канонічно сполучених змінних, наприклад, для координати y і проекції імпульсу p y на вісь y, координати z і проекції імпульсу p z. Якщо під невизначеністю координати та імпульсу розуміти середньоквадратичні відхилення цих фізичних величинвід їхніх середніх значень, то принцип невизначеності для них має вигляд:

∆p x ∆x ≥ ħ/2, ∆p y ∆y ≥ ħ/2, ∆p z ∆z ≥ ħ/2

Зважаючи на невелику кількість порівняно з макроскопічними величинами тієї ж різномірності дія принципу невизначеності істотно в основному для явищ атомних (і менших) масштабів і не виявляються в дослідах з макроскопічними тілами.

З принципу невизначеності випливає, що чим точніше визначена одна з величин, що входять в нерівність, тим менш виразно значення іншої. Жодний експеримент не може призвести до одночасного точного вимірювання таких динамічних змінних; при цьому невизначеність у вимірах пов'язана не з недосконалістю експериментальної техніки, а з об'єктивними властивостями матерії.

Принцип невизначеності, відкритий 1927 р. німецьким фізиком В. Гейзенбергом, з'явився важливим етапому з'ясуванні закономірностей внутрішньоатомних явищ та побудові квантової механіки. Істотною рисою мікроскопічних об'єктів є їхня корпускулярно-хвильова природа. Стан частинки повністю визначається хвильовою функцією (величина, що повністю описує стан мікрооб'єкта (електрона, протона, атома, молекули) і взагалі будь-який квантової системи). Частинка може бути виявлена ​​у будь-якій точці простору, в якій хвильова функція відмінна від нуля. Тому результати експериментів за визначенням, наприклад, координати мають імовірнісний характер.

(Приклад: рух електрона є поширенням його власної хвилі. Якщо стріляти пучком електронів через вузький отвір у стінці: вузький пучок пройде через нього. Але якщо зробити цей отвір ще менше, таке, щоб його діаметр за величиною зрівнявся з довжиною хвилі електрона, то пучок електронів розійдеться на всі боки, і це не відхилення, викликане найближчими атомами стінки, якого можна позбутися: це відбувається внаслідок хвильової природиелектрону. Спробуйте передбачити, що відбудеться далі з електроном, що пройшов за стінку, і виявитеся безсилими. Вам точно відомо, де він перетинає стіну, але сказати, який імпульс у поперечному напрямку він придбає, ви не можете. Навпаки, щоб точно визначити, що електрон з'явиться з певним імпульсом у початковому напрямку, потрібно збільшити отвір настільки, щоб електронна хвиляпроходила прямо, лише слабо розходячись на всі боки через дифракцію. Але тоді неможливо точно сказати, в якому ж точно місці електрон-частка пройшов через стінку: отвір широке. Наскільки виграєш у точності визначення імпульсу, настільки програєш у точності, з якою відоме його положення.

Це принцип невизначеності Гейзенберга. Він відіграв важливу роль при побудові математичного апарату для опису хвиль частинок в атомах. Його суворе тлумачення в дослідах з електронами такого: подібно до світлових хвиль електрони опираються будь-яким спробам виконати вимірювання з граничною точністю. Цей принцип змінює картину атома Бора. Можна визначити точно імпульс електрона (а отже, і його рівень енергії) на якійсь його орбіті, але при цьому його місцезнаходження буде абсолютно невідоме: нічого не можна сказати про те, де він знаходиться. Звідси ясно, що малювати собі точну орбіту електрона і помічати його у ній у вигляді гуртка позбавлене будь-якого сенсу.)

Отже, при проведенні серії однакових дослідів, за тим самим визначенням координати, в однакових системах виходять щоразу різні результати. Однак деякі значення будуть ймовірнішими, ніж інші, тобто з'являтимуться частіше. Відносна частота появи тих чи інших значень координат пропорційно квадрату модуля хвильової функціїв відповідних точкахпростору. Тому найчастіше будуть виходити значення координати, які лежать поблизу максимуму хвильової функції. Але деякий розкид у значеннях координати, деяка їхня невизначеність (порядку півширини максимуму) є неминучими. Те саме стосується і вимірювання імпульсу.

Таким чином, поняття координати та імпульсу в класичному сенсіне можуть бути застосовані до мікроскопічних об'єктів. Користуючись цими величинами при описі мікроскопічної системи, необхідно внести в інтерпретацію квантові поправки. Такою поправкою є принцип невизначеності.

Дещо інший сенс має принцип невизначеності для енергії ε і часу t:

∆ε ∆t ≥ ħ

Якщо система знаходиться в стаціонарному стані, то з принципу невизначеності випливає, що енергію системи навіть у цьому стані можна виміряти тільки з точністю, що не перевищує ħ/∆t, де ∆t – тривалість процесу виміру. Причина цього – у взаємодії системи з вимірювальним приладом, і принцип невизначеності стосовно даного випадку означає, що енергію взаємодії між вимірювальним приладом та досліджуваною системою можна врахувати лише з точністю до ħ/∆t.

Якщо Ви раптом зрозуміли, що призабули основи та постулати квантової механіки або взагалі не знаєте, що це за механіка така, то саме час освіжити в пам'яті цю інформацію. Адже ніхто не знає, коли квантова механіка може стати в нагоді в житті.

Даремно ви посміхаєтеся і ехидствуете, думаючи, що вже з цим предметом вам у житті взагалі ніколи не доведеться стикатися. Адже квантова механіка може бути корисною практично кожній людині, навіть нескінченно далекій від неї. Наприклад, у Вас безсоння. Для квантової механіки це проблема! Почитайте перед сном підручник – і Ви спите міцним сномсторінці вже так на третій. Або можете назвати так свій крутий рок гурт. Чому б і ні?

Жарти убік, починаємо серйозну квантову розмову.

З чого почати? Звісно, ​​з того, що таке квант.

Квант

Квант (від латинського quantum – ”скільки”) – це неподільна порція якоїсь фізичної величини. Наприклад, кажуть – квант світла, квант енергії чи квант поля.

Що це означає? Це означає, що менше бути просто не може. Коли говорять, що якась величина квантується, розуміють, що дана величинаприймає низку певних, дискретних значень. Так, енергія електрона в атомі квантується, світло поширюється "порціями", тобто квантами.

Сам термін «квант» має багато застосувань. Квантом світла ( електромагнітного поля) є фотон. За аналогією квантами називаються частинки або квазічастинки, що відповідають іншим полям взаємодії. Тут можна згадати знаменитий бозон Хіггса, який є квантом поля Хіггса. Але в ці нетрі ми поки що не ліземо.

Як механіка може бути квантовою?

Як Ви вже помітили, у нашій розмові ми багато разів згадували про частинки. Можливо, Ви і звикли до того, що світло – це хвиля, яка просто поширюється зі швидкістю. з . Але якщо подивитися на все з погляду квантового світу, тобто світу частинок, все змінюється до невпізнання.

Квантова механіка – це розділ теоретичної фізикискладова квантової теорії, що описує фізичні явищана самому елементарному рівні – рівні частинок.

Дія таких явищ за величиною порівнянна з постійною Планкою, а класична механіка Ньютона та електродинаміка виявилися зовсім непридатними для їх опису. Наприклад, згідно класичної теоріїелектрон, обертаючись з великою швидкістюнавколо ядра повинен випромінювати енергію і врешті-решт впасти на ядро. Цього, як відомо, не відбувається. Саме тому й вигадали квантову механіку – відкриті явищатреба було якось пояснити, і вона виявилася саме тією теорією, у межах якої пояснення було найбільш прийнятним, проте експериментальні дані " сходилися " .

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Трохи історії

Зародження квантової теорії сталося 1900 року, коли Макс Планк виступив на засіданні німецького фізичного товариства. Що тоді повідомив Планк? А те, що випромінювання атомів дискретне, а найменша порціяенергії цього випромінювання дорівнює

Де h – постійна Планка, ню – частота.

Потім Альберт Ейнштейн, ввівши поняття "квант світла", використовував гіпотезу Планка для пояснення фотоефекту. Нільс Бор постулював існування у атома стаціонарних енергетичних рівнів, а Луї де Бройль розвинув ідею про корпускулярно-хвильовий дуалізм, тобто про те, що частка (корпускула) має також і хвильові властивості. До справи приєдналися Шредінгер і Гейзенберг, і ось, 1925 року публікується перше формулювання квантової механіки. Власне, квантова механіка далеко не закінчена теорія, вона активно розвивається і в даний час. Також слід визнати, що квантова механіка з її припущеннями не має можливості пояснити всі питання, що стоять перед нею. Цілком можливо, що на зміну їй прийде досконаліша теорія.

При переході від світу квантового до світу звичних нам речей закони квантової механіки природним чиномтрансформуються у закони механіки класичної. Можна сказати, що класична механіка – це окремий випадокквантової механіки, коли дія має місце бути у нашому з Вами звичному та рідному макросвіті. Тут тіла спокійно рухаються в неінерційних системах відліку зі швидкістю, набагато меншою за швидкість світла, і взагалі - все навколо спокійно і зрозуміло. Хочеш дізнатися про положення тіла в системі координат – немає проблем, хочеш виміряти імпульс – завжди будь ласка.

Цілком інший підхід до питання має квантова механіка. У ній результати вимірювань фізичних величин мають імовірнісний характер. Це означає, що з зміні якоїсь величини можливо кілька результатів, кожному у тому числі відповідає певна ймовірність. Наведемо приклад: монета крутиться на столі. Поки вона крутиться, вона не перебуває в певному стані (орел-решка), а має лише ймовірність в одному з цих станів опинитися.

Тут ми плавно підходимо до рівняння Шредінгераі принципом невизначеності Гейзенберга.

Згідно з легендою Ервін Шредінгер, у 1926 році виступаючи на одному науковому семінаріз доповіддю на тему корпускулярно-хвильового дуалізму, було піддано критиці з боку якогось старшого вченого. Відмовившись слухати старших, Шредінгер після цього випадку активно зайнявся розробкою хвильового рівняння для опису частинок у рамках квантової механіки. І впорався блискуче! Рівняння Шредінгера (основне рівняння квантової механіки) має вигляд:

Цей видрівняння – одномірне стаціонарне рівняння Шредінгера – найпростіший.

Тут x – відстань або координата частинки, m – маса частинки, E та U – відповідно її повна та потенційна енергії. Вирішення цього рівняння – хвильова функція (псі)

Хвильова функція – ще одне фундаментальне поняття у квантовій механіці. Так, у будь-якої квантової системи, яка знаходиться в якомусь стані, є хвильова функція, що описує цей стан.

Наприклад, при вирішенні одновимірного стаціонарного рівнянняШредінгера хвильова функція визначає положення частки у просторі. Точніше, ймовірність знаходження частки у певній точці простору.Іншими словами, Шредінгер показав, що ймовірність може бути описана хвильовим рівнянням! Погодьтеся, до цього треба було здогадатися!

Але чому? Чому ми повинні мати справу з цими незрозумілими ймовірностями та хвильовими функціями, коли, здавалося б, немає нічого простішого, ніж просто взяти та виміряти відстань до частки чи її швидкість.

Все дуже просто! Адже в макросвіті це справді так – ми з певною точністю вимірюємо відстань рулеткою, а похибка виміру визначається характеристикою приладу. З іншого боку, ми можемо практично безпомилково визначити відстань до предмета, наприклад, до столу. Принаймні ми точно диференціюємо його положення в кімнаті щодо нас та інших предметів. У світі частинок ситуація принципово інша – у нас просто фізично немає інструментів вимірювання, щоб з точністю виміряти шукані величини. Адже інструмент вимірювання входить у безпосередній контакт з об'єктом, що вимірювається, а в нашому випадку і об'єкт, і інструмент – це частинки. Саме це недосконалість, принципова неможливість врахувати всі фактори, що діють на частинку, а також сам факт зміни стану системи під дією виміру та лежать в основі принципу невизначеності Гейзенберга.

Наведемо найпростіше його формулювання. Уявімо, що є деяка частка, і ми хочемо дізнатися про її швидкість і координату.

У даному контексті принцип невизначеності Гейзенберга говорить: неможливо одночасно точно виміряти положення та швидкість частки . Математично це записується так:

Тут дельта x – похибка визначення координати, дельта v – похибка визначення швидкості. Підкреслимо – даний принципговорить про те, що чим точніше ми визначимо координату, тим менш точно знатимемо швидкість. А якщо визначимо швидкість, не матимемо жодного уявлення про те, де знаходиться частка.

На тему принципу невизначеності існує безліч жартів та анекдотів. Ось один із них:

Поліцейський зупиняє квантового фізика.
- Сер, Ви знаєте, з якою швидкістю рухалися?
- Ні, зате я точно знаю, де я перебуваю

І, звісно, ​​нагадуємо Вам! Якщо раптом з якоїсь причини рішення рівняння Шредінгера для частинки в потенційній ямі не дає Вам заснути, звертайтеся до професіоналів, які були вирощені з квантовою механікоюна вустах!

Принципи невизначеності Гейзенберга є однією з проблем квантової механіки, проте перш за все ми звернемося до розвитку фізичної наукив цілому. Ще в наприкінці XVIIстоліття Ісаком Ньютоном було закладено сучасну класичну механіку. Саме він сформулював та описав її основні закони, за допомогою яких можна передбачити поведінку оточуючих нас тіл. До кінцю XIXстоліття ці положення здавалися непорушними і застосовними всім законам природи. Завдання фізики як науки, здавалося, було вирішено.

Але, як з'ясувалося, на той момент про властивості Всесвіту було відомо значно менше, ніж здавалося. Першим каменем, що порушив стрункість класичної механіки, стало непокора її законам поширення світлових хвиль. Таким чином, зовсім молода на той момент наука електродинаміка була змушена виробити зовсім інше зведення правил. А для фізиків-теоретиків виникла проблема: як привести дві системи до єдиного знаменника. До речі, наука і зараз працює над її вирішенням.

Міф про всеосяжну ньютонівську механіку був остаточно зруйнований з більш глибоким вивченнямбудови атомів. Британець Ернест Резерфорд виявив, що атом не є неподільною часткоюЯк вважалося раніше, а сам має у своєму складі нейтрони, протони та електрони. Понад те, їх поведінка також не в'язалося з постулатами класичної механіки. Якщо макросвіті гравітація значною мірою визначає природу речей, то світі квантових частинок вона є вкрай малою силою взаємодії. Так було закладено основи квантової механіки, у якій також діяли власні аксіоми. Однією з показових відмінностей цих дрібних систем від звичного нам світу став принцип невизначеності Гейзенберга. Він наочно продемонстрував необхідність відмінного підходудо цих систем.

Принцип невизначеності Гейзенберга

У першій чверті XX століття квантова механіка робила свої перші кроки, а фізики всього світу лише усвідомлювали, що ж випливає нам із її положень, і які вона відкриває перспективи. Німецький фізик-теоретик Вернер Гейзенберг свої знамениті принципи сформулював 1927 р. Полягають принципи Гейзенберга у цьому, що неможливо прорахувати одночасно просторове становище, і швидкість квантового об'єкта. Основною причиною цього є той факт, що при вимірі ми вже впливаємо на систему, що вимірюється, тим самим порушуючи її. Якщо у знайомому нам макросвіті ми оцінюємо об'єкт, то, кидаючи нею навіть погляд, бачимо відбиток світла від нього.

Але принцип невизначеності Гейзенберга говорить про те, що хоч у макросвіті світло ніяк не впливає на об'єкт, що вимірювається, а у випадку з квантовими частинками фотони (або будь-які інші похідні вимірювання) мають значний вплив на частинку. При цьому цікаво відзначити, що окремо швидкість або окремо положення тіла у просторі квантова фізикавиміряти цілком може. Але чим точнішими будуть наші показання швидкості, тим менше нам буде відомо про просторовому становищі. І навпаки. Тобто принцип невизначеності Гейзенберга створює певні складнощі у передбаченні поведінки квантових частинок. Буквально виглядає так: вони змінюють свою поведінку, коли ми намагаємося за ними спостерігати.

Неможливо одночасно з точністю визначити координати та швидкість квантової частки.

У повсякденного життянас оточують матеріальні об'єкти, розміри яких можна порівняти з нами: машини, будинки, піщинки тощо. буд. Оскільки всі ми маємо за плечима прожите життя, накопичений за його роки досвід підказує нам, що щоразу все спостерігається нами щораз поводиться певним чином, значить і у всьому Всесвіті, у всіх масштабах матеріальні об'єкти повинні поводитися аналогічним чином. І коли з'ясовується, що щось не підкоряється звичним правилам і суперечить нашим інтуїтивним поняттям про світ, нас це не просто дивує, а шокує.

У першій чверті ХХ століття саме такою була реакція фізиків, коли вони почали досліджувати поведінку матерії на атомному та субатомному рівнях. Поява та бурхливий розвиток квантової механіки відкрило перед нами цілий світ, системний пристрій якого просто не укладається в рамки здорового глузду і повністю суперечить нашим інтуїтивним уявленням. Але треба пам'ятати, що наша інтуїція ґрунтується на досвіді поведінки звичайних предметів порівнянних з нами масштабів, а квантова механіка описує речі, які відбуваються на мікроскопічному та невидимому для нас рівні, — жодна людина ніколи безпосередньо з ними не стикалася. Якщо забути про це, ми неминуче прийдемо у стан повного замішання та здивування. Для себе я сформулював наступний підхід до квантово-механічних ефектів: як тільки « внутрішній голос» починає твердити «такого не може бути!», Треба запитати себе: «А чому б і ні? Звідки мені знати, як все насправді влаштовано всередині атома? Хіба я сам туди заглядав? Налаштувавши себе подібним чином, вам буде простіше сприйняти статті цієї книги, присвячені квантовій механіці.

Принцип Гейзенберга взагалі грає у квантовій механіці ключову роль хоча б тому, що досить наочно пояснює, як і чому мікросвіт відрізняється від знайомого нам матеріального світу. Щоб зрозуміти цей принцип, задумайтеся для початку про те, що означає «виміряти» будь-яку величину. Щоб знайти, наприклад, цю книгу, ви, увійшовши в кімнату, окидаєте її поглядом, поки він не зупиниться на ній. На мові фізики це означає, що ви провели візуальний вимір (знайшли поглядом книгу) і отримали результат – зафіксували її просторові координати (визначили розташування книги в кімнаті). Насправді процес виміру відбувається набагато складніше: джерело світла (Сонце або лампа, наприклад) випускає промені, які, пройшовши якийсь шлях у просторі, взаємодіють з книгою, відбиваються від її поверхні, після чого частина з них доходить до ваших очей, проходячи через кришталик, фокусується, потрапляє на сітківку - і ви бачите образ книги та визначаєте її положення у просторі. Ключ до виміру тут – взаємодія між світлом та книгою. Так і при будь-якому вимірі, уявіть собі інструмент вимірювання (у даному випадку, це світло) вступає у взаємодію Космосу з об'єктом виміру (у разі, це книга).

У класичної фізики, побудованої на ньютонівських принципах і застосовною до об'єктів нашого звичайного світу, ми звикли ігнорувати той факт, що інструмент виміру, вступаючи у взаємодію з об'єктом виміру, впливає на нього і змінює його властивості, включаючи власне вимірювані величини. Включаючи світло в кімнаті, щоб знайти книгу, ви навіть не замислюєтеся про те, що під впливом тиску світлових променів книга може зрушити зі свого місця, і ви дізнаєтеся її спотворені під впливом включеного вами світла просторові координати. Інтуїція підказує нам (і, у разі, цілком правильно), що акт виміру впливає вимірювані властивості об'єкта виміру. А тепер подумайте про процеси, що відбуваються на субатомному рівні. Допустимо, мені потрібно зафіксувати просторове місцезнаходження електрона. Мені, як і раніше, потрібен вимірювальний інструмент, який вступить у взаємодію з електроном і поверне моїм детекторам сигнал з інформацією про його місцезнаходження. І відразу виникає складність: інших інструментів взаємодії з електроном визначення його становища у просторі, крім інших елементарних частинок, у мене немає. І, якщо припущення про те, що світло, вступаючи у взаємодію з книгою, на її просторових координатах не позначається, щодо взаємодії електрона, що вимірюється, з іншим електроном або фотонами такого сказати не можна.

На початку 1920-х років, коли стався бурхливий сплеск творчої думки, Який призвів до створення квантової механіки, цю проблему першим усвідомив молодий німецький фізик-теоретик Вернер Гейзенберг. Почавши зі складних математичних формул, що описують світ на субатомному рівні, він поступово прийшов до дивовижної за простотою формули, що дає Загальний описефекту впливу інструментів вимірювання на вимірювані об'єкти мікросвіту, про який ми щойно говорили. В результаті їм було сформульовано принцип невизначеності, названий тепер його ім'ям:

невизначеність значення координати x невизначеність швидкості > h/m,

математичний вираз якого називається співвідношенням невизначеностей Гейзенберга:

Δ xх Δ v > h/m

де Δ x -невизначеність (похибка вимірювання) просторової координати мікрочастинки, Δ v- невизначеність швидкості частки, m -маса частинки, а h -стала Планка, названа так на честь німецького фізика Макса Планка, ще одного з основоположників квантової механіки. Постійна Планкадорівнює приблизно 6,626 x 10 -34 Дж·с, тобто містить 33 нуля до першої значної цифрипісля коми.

Термін «невизначеність просторової координати» якраз і означає, що ми не знаємо точного розташування частки. Наприклад, якщо ви використовуєте глобальну системуРекогнозування GPS, щоб визначити місце розташування цієї книги, система обчислить їх з точністю до 2-3 метрів. (GPS, Global Positioning System — навігаційна система, в якій задіяні 24 штучних супутникаЗемлі. Якщо у вас, наприклад, на автомобілі встановлено приймач GPS, то, приймаючи сигнали від цих супутників і зіставляючи час їх затримки, система визначає ваші географічні координати на Землі з точністю до кутової секунди.) Однак, з точки зору вимірювання, проведеного інструментом GPS, книга може з деякою ймовірністю перебувати де завгодно в межах зазначених системою кількох квадратних метрів. У такому разі ми й говоримо про невизначеність просторових координат об'єкта (у даному прикладі, Книги). Ситуацію можна покращити, якщо взяти замість GPS рулетку — у цьому випадку ми зможемо стверджувати, що книга знаходиться, наприклад, за 4 м 11 см від однієї стіни та за 1 м 44 см від іншої. Але й тут ми обмежені в точності виміру мінімальним розподілом шкали рулетки (нехай це буде навіть міліметр) і похибками виміру та самого приладу, — і в самому найкращому випадкунам вдасться визначити просторове становище об'єкта з точністю до мінімального поділу шкали. Чим точніший прилад ми будемо використовувати, тим точніше будуть отримані нами результати, тим нижчою буде похибка виміру і тим меншою буде невизначеність. В принципі, у нашому повсякденному світі звести невизначеність до нуля та визначити точні координати книги можна.

І тут ми підходимо до самого принципової відмінностімікросвіту від нашого повсякденного фізичного світу. У звичайному світі, вимірюючи положення та швидкість тіла у просторі, ми на нього практично не впливаємо. Таким чином, в ідеалі ми можемо одночасновиміряти і швидкість, і координати об'єкта абсолютно точно (іншими словами, з нульовою невизначеністю).

У світі квантових явищ, однак, будь-який вимір впливає на систему. Сам факт проведення нами виміру, наприклад, розташування частки, призводить до зміни її швидкості, причому непередбачуваному (і навпаки). Ось чому у правій частині співвідношення Гейзенберга стоїть не нульова, а позитивна величина. Чим менша невизначеність щодо однієї змінної (наприклад, Δ x), тим більше невизначеною стає інша змінна (Δ v), оскільки добуток двох похибок у лівій частині співвідношення не може бути меншим за константу у правій його частині. Насправді, якщо нам вдасться з нульовою похибкою (абсолютно точно) визначити одну з вимірюваних величин, невизначеність іншої величини дорівнюватиме нескінченності, і про неї ми не знатимемо взагалі нічого. Іншими словами, якби нам удалося абсолютно точно встановити координати квантової частки, про її швидкість ми не мали б ні найменшого уявлення; якби нам вдалося точно зафіксувати швидкість частки, ми б уявлення не мали, де вона знаходиться. На практиці, звичайно, фізикам-експериментаторам завжди доводиться шукати якийсь компроміс між двома цими крайнощами та підбирати методи вимірювання, що дозволяють з розумною похибкою судити і про швидкість, і просторове положення частинок.

Насправді принцип невизначеності пов'язує не тільки просторові координати і швидкість — на цьому прикладі він просто проявляється найнаочніше; в рівною міроюневизначеність пов'язує інші пари взаємно ув'язаних характеристик мікрочастинок. Шляхом аналогічних міркувань ми приходимо до висновку про неможливість безпомилково виміряти енергію квантової системи та визначити момент часу, в який вона має цю енергію. Тобто, якщо ми проводимо вимірювання стану квантової системи щодо визначення її енергії, цей вимір займе деякий відрізок часу — назвемо його Δ t. За цей проміжок часу енергія системи випадково змінюється — відбуваються її флуктуація, - І виявити її ми не можемо. Позначимо похибку вимірювання енергії Δ е.Шляхом міркувань, аналогічних вищенаведеним, ми прийдемо до аналогічного співвідношення для Δ Еі невизначеності часу, яким квантова частка ця енергія мала:

Δ ЕΔ t > h

Щодо принципу невизначеності потрібно зробити ще два важливі зауваження:

він не має на увазі, що якусь одну з двох характеристик частинки - просторове місце розташування або швидкість - не можна виміряти як завгодно точно;

принцип невизначеності діє об'єктивно і залежить від присутності розумного суб'єкта, проводить вимірювання.

Іноді вам можуть зустрітися твердження, що принцип невизначеності передбачає, що у квантових частинок відсутніпевні просторові координати і швидкості, або ці величини абсолютно непізнавані. Не вірте: як ми щойно бачили, принцип невизначеності не заважає нам із будь-якою бажаною точністю виміряти кожну з цих величин. Він стверджує лише, що ми не в змозі достовірно дізнатися про те й інше одночасно. І, як і багато в чому, ми змушені йти на компроміс. Знову ж таки, письменники-антропософи з числа прихильників концепції. Нової ери» іноді стверджують, що, нібито, оскільки виміри мають на увазі присутність розумного спостерігача, то, значить, на певному фундаментальному рівні людська свідомістьпов'язаний із Вселенським розумом, і саме цей зв'язок зумовлює принцип невизначеності. Повторимо з цього приводу ще раз: ключовим у співвідношенні Гейзенберга є взаємодія між часткою-об'єктом виміру та інструментом виміру, що впливає на його результати. А той факт, що при цьому є розумний спостерігач в особі вченого, відношення до справи не має; інструмент вимірювання в будь-якому випадку впливає на його результати, є при цьому розумна істота чи ні.

Вернер Карл Гейзенберг
Werner Karl Heisenberg, 1901-76

Німецький фізик-теоретик. Народився у Вюрцбурзі. Його батько був професором візантології Мюнхенського університету. Крім блискучих математичних здібностейз дитинства виявляв схильність до музики та цілком відбувся як піаніст. Ще школярем був членом народної міліції, яка підтримувала порядок у Мюнхені смутний час, що настала після поразки Німеччини у І світовій війні. У 1920 році став студентом кафедри математики Мюнхенського університету, однак, зіткнувшись з відмовою в відвідуванні семінару, що цікавить його, з актуальних у ті роки питань вищої математики, досяг перекладу на кафедру теоретичної фізики. У ті роки весь світ фізиків жив під враженням нового погляду на будову атома, і всі теоретики з-поміж них розуміли, що всередині атома відбувається щось дивне.

Захистивши диплом у 1923 році, Гейзенберг розпочав роботу в Геттінгені над проблемами будови атома. У травні 1925 року в нього стався гострий напад сінної лихоманки, який змусив молодого вченого провести кілька місяців у повній самоті на маленькому, відрізаному від зовнішнього світу острові Гельголанд, і цією вимушеною ізоляцією від зовнішнього світу він скористався так само продуктивно, як Ісаак Ньютон багатомісячним ув'язненням. карантинному чумному бараку далекого 1665 року. Зокрема, за ці місяці вченим було розроблено теорію матричної механіки- новий математичний апаратзароджується квантової механіки . Матрична механіка, як показав час, у математичному розумінні еквівалентна тому, що з'явилася через рік. квантово-хвильової механіки, Закладена в рівнянні Шредінгер, з точки зору опису процесів квантового світу. Однак на практиці використовувати апарат матричної механіки виявилося важче, і сьогодні фізики-теоретики переважно користуються уявленнями хвильової механіки.

У 1926 році Гейзенберг став помічником Нільса Бора в Копенгагені. Саме там у 1927 році він і сформулював свій принцип невизначеності — і можна з основою стверджувати, що це стало його найбільшим внеском у розвиток науки. Того ж року Гейзенберг став професором Лейпцизького університету – наймолодшим професором в історії Німеччини. Починаючи з цього моменту, він впритул зайнявся створенням єдиної теоріїполя, за великим рахунком, безуспішно. За провідну роль у розробці квантово-механічної теорії у 1932 році Гейзенберг був удостоєний Нобелівської премії з фізики за створення квантової механіки.

Матеріал із вільної російської енциклопедії «Традиція»

У квантовій механіці принцип невизначеності Гейзенберга (або Гайзенберга ) встановлює, що існує ненульова межа для створення дисперсій сполучених пар фізичних величин, що характеризують стан системи. Принцип невизначеності виявляється також у класичній теорії вимірів фізичних величин.

Зазвичай принцип невизначеності ілюструється так. Розглянемо ансамбль невзаємодіючих еквівалентних частинок, приготовлених у певному стані, кожної з яких вимірюється чи координата q , або імпульс p . При цьому результати вимірювань будуть випадковими величинами, середньоквадратичні відхилення яких від середніх значень задовольнятимуть співвідношення невизначеностей , де - . Оскільки будь-який вимір змінює стан кожної частки, при одному вимірі не можна одночасно виміряти значення та координати та імпульсу. Для ансамблю частинок зменшення дисперсії під час вимірювання фізичної величини призводить до збільшення дисперсії сполученої фізичної величини. Вважається, що принцип невизначеності пов'язаний не лише з можливостями експериментальної техніки, а й показує фундаментальну властивість природи.

Короткий огляд

У квантовій механіці співвідношення невизначеності виникає між будь-якими змінними станами, що визначаються некомутируючимиоператорами. Крім цього приймається, що для частинок принаймні частково справедливий корпускулярно-хвильовий дуалізм. У такому наближенні положення частинки визначається місцем концентрації відповідної частки хвилі, імпульс частинки зв'язується з довжиною хвилі, і виникає наочна аналогія між відносинами невизначеності та властивостями хвиль або сигналів. Положення є невизначеним настільки, наскільки хвиля розподілена в просторі, а невизначеність імпульсу виводиться з невизначеності довжини хвилі при її вимірі різні моментичасу. Якщо хвиля знаходиться в точковоподібнийобласті, її становище визначено з хорошою точністю, але такої хвилі як короткого хвильового цуга відсутня певна довжинахвилі, характерна для нескінченної монохроматичної хвилі.

Як хвилю, що відповідає частинці, можна взяти хвильову функцію. У багатосвітовій інтерпретації квантової механіки вважається, що при кожному вимірі положення частки відбувається декогеренція. На відміну від цього копенгагенської інтерпретаціїквантової механіки говорять, що при кожному вимірі положення частки начебто відбувається колапс хвильової функції до малої області, де знаходиться частка, і поза цієї області хвильова функція близька до нуля (цей опис належить можливим прийомом узгодження поведінки хвильової функції як характеристики частки, оскільки хвильова функція лише опосередковано пов'язані з реальними фізичними величинами). Таке трактування випливає з того, що квадрат хвильової функції показує можливість знаходження частки у просторі. Для малої області імпульс частинки у кожному вимірі може бути виміряний точно внаслідок самої процедури вимірювань імпульсу. При вимірі положення частинка частіше виявлятиметься там, де є максимум хвильової функції, і в серії однакових вимірювань з'явиться найбільш ймовірне положення і визначиться середньоквадратичне відхилення від нього:

Так само в серії однакових вимірівздійснюється розподіл ймовірностей, визначаються статистична дисперсія та середньоквадратичне відхилення від середнього імпульсу частки:

Добуток цих величин пов'язане співвідношенням невизначеності:

де - Постійна Дірака.

У деяких випадках «невизначеність» змінної визначається як найменша ширина діапазону, що містить 50 % значень, що у разі нормального розподілу змінних призводить до твору невизначеностей до більшої нижньої межі, що стає рівною . Відповідно до співвідношення невизначеностей, стан може бути таким, що x може бути виміряний з високою точністю, але тоді p буде відомий тільки приблизно, або навпаки p може бути визначений точно, тоді як x - Ні. У всіх інших станах, і x і p можуть бути виміряні з «розумною», але не з довільно високою точністю.

Відносини невизначеності накладають обмеження на теоретичну межу точності будь-яких вимірів. Вони справедливі для про ідеальних вимірів, іноді званих вимірами Джона фон Неймана. Вони тим паче справедливі для неідеальних вимірів чи вимірів згідно з Л.Д. Ландау. У повсякденному житті ми зазвичай не спостерігаємо невизначеності, тому що значення надзвичайно мало.

Як правило, будь-яка частка (у загальному сенсі, наприклад, що несе дискретний електричний заряд) не може бути описана одночасно як «класична точкова частка» і як хвиля. Принцип невизначеності у вигляді, спочатку запропонованому Гейзенбергом, вірний у разі, коли жоднез цих двох описів не є повністю та виключно підходящим. Прикладом є частка з певним значенням енергії, що знаходиться в коробці. Така частка є системою, яка не характеризується ніпевним «положенням» (якесь певне значення відстані від потенційної стінки), ніпевним значенням імпульсу (включаючи його напрямок).

Принцип невизначеності виконується не тільки в дослідах для безлічі частинок в однакових початкових станах, коли враховуються середньоквадратичні відхилення від середніх значень для пари сполучених фізичних величин, що вимірюються окремо один від одного, але і в кожних разових вимірах, коли можна оцінити значення і розкид одночасно величин. Хоча принцип невизначеності пов'язаний з ефектом спостерігача , він не вичерпується ним, оскільки пов'язаний ще й із властивостями спостережуваних квантових об'єктів та їх взаємодіями між собою та з приладами.

Історія

Основна стаття: Введення у квантову механіку

Вернер Гейзенберг сформулював принцип невизначеності в інституті Нільса Бора у Копенгагені під час роботи над математичними засадамиквантової механіки

У 1925 р. слідуючи роботам Хендріка Крамерса, Гейзенберг розвинув матричну механіку, що замінила версію квантової механіки, що існувала раніше на основі постулатів Бора. Він припустив, що квантовий рух відрізняється від класичного, так що електрони в атомі не мають точно визначених орбіт. Отже, для електрона вже не можна точно сказати, де він знаходиться в даний часі як швидко рухається. Властивістю матриць Гейзенберга для положення та імпульсу є те, що вони не комутують між собою:

У березні 1926 р. Гейзенберг виявив, що некомутативністьпризводить до принципу невизначеності, який став основою того, що пізніше назвали копенгагенською інтерпретацією квантової механіки. Гейзенберг показав зв'язок комутатора операторів величин та борівського принципу додатковості. Будь-які дві змінні, які не комутують між собою, не можуть бути точно виміряні одночасно, оскільки при збільшенні точності вимірювання однієї змінної падає точність вимірювання іншої змінної.

Як приклад можна розглянути дифракцію частинки, що проходить через вузьку щілину в екрані та відхиляється після проходження на деякий кут. Чим вже щілина, тим більше виявляється невизначеність у напрямку імпульсу частки, що пройшла. За законом дифракції можливе кутове відхилення Δθ приблизно дорівнює λ / d , де d є ширина щілини, а λ – довжина хвилі, що відповідає частинці. Якщо використовувати формулу для у вигляді λ = h / p , та позначити dΔθ = Δ x , То виходить співвідношення Гейзенберга:

У статті 1927 р. Гейзенберг представив це співвідношенняяк мінімально необхідне обурення у величині імпульсу частинки, що виникає в результаті вимірювання положення частинки , але не дав точного визначення величин x і Δp . Натомість він зробив їх оцінки в ряді випадків. У своїй лекції в Чикаго він уточнив свій принцип так:

де і x , p є середньоквадратичними (стандартними) відхиленнями положення та імпульсу. Сам Гейзенберг довів співвідношення (2) лише спеціального випадку гауссовских станів. .

Принцип невизначеності та ефект спостерігача

Один із варіантів принципу невизначеності можна сформулювати так:

Вимір координати частки необхідно змінює її імпульс, і навпаки .

Це робить принцип невизначеності спеціальним, квантовим варіантом ефекту спостерігача , причому в ролі спостерігача може виступати і автоматизована системавимірювань, що використовує як принцип прямої фіксації частинок, так і метод виключення (частки, що не потрапили в детектор, пройшли іншим доступним шляхом).

Таке пояснення може бути прийняте і було використано Гейзенбергом і Бором, що стояли на філософській основілогічного позитивізму Згідно з логікою позитивізму, для дослідника справжня природаспостерігається фізичної системивизначається результатами найточніших експериментів, досяжних у принципі та обмежених лише самою природою. В такому випадку поява неминучих неточностей при проведенні вимірювань стає наслідком не тільки властивостей приладів, що реально використовуються, але і самої фізичної системи в цілому, включаючи об'єкт і систему вимірювання.

Нині логічний позитивізм перестав бути загальноприйнятою концепцією, тому пояснення принципу невизначеності з урахуванням ефекту спостерігача стає неповним тим, хто дотримується інший філософського підходу. Деякі вважають, що виникає при вимірі координати частки значна зміна її імпульсу є необхідною властивістю не частинки, а лише вимірювального процесу. Насправді частка прихованим від спостерігача чином має певне місце розташування і імпульс у кожний момент часу, але їх значення не визначаються точно внаслідок використання занадто грубих інструментів (теорія прихованих параметрів). Для ілюстрації можна навести приклад: необхідно знайти місце розташування і імпульс більярдної кулі, що рухається, використовуючи іншу більярдну кулю. У серії експериментів, в яких обидві кулі спрямовуються приблизно однаково і стикаються, можна знайти кути розсіювання куль, їх імпульси, а потім визначити точки їх зустрічі. Внаслідок початкових неточностей кожне зіткнення є унікальним, з'являється розкид у місцезнаходження та швидкостях куль, що для серії зіткнень призводить до відповідного співвідношення невизначеності. Однак при цьому точно знаємо, що в кожному окремому вимірі кулі рухаються, володіючи цілком конкретними імпульсом в кожен момент часу. Дане знання у свою чергу виникає від того, що за кулями можна стежити за допомогою відбитого світла, яке практично не впливає на рух масивних куль.

Описана ситуація ілюструє виникнення принципу невизначеності та залежність результатів вимірювань від процедури вимірювання та властивостей вимірювальних приладів. Але в реальних експериментах досі не виявлено способу одночасного вимірювання параметрів елементарних частинок зовнішніми приладами, не порушуючи суттєво їхнього початкового стану. Тому ідея про приховані від спостерігача параметри частинок у стандартній квантовій механіці не користується успіхом і в ній зазвичай просто стверджується, що не існує станів, в яких одночасно можна виміряти координату та імпульс частинки.

Існують однак ситуації, в яких, ймовірно, можуть бути визначені приховані параметри частинок. Йдеться про дві (або більше) пов'язані частки в так званому зчепленому стані. Якщо ці частинки опиняються на досить великій відстані одна від одної і не можуть впливати одна на одну, вимірювання параметрів однієї частки дає корисну інформаціюпро стан іншої частки.

Припустимо, при розпаді позитронію випромінюються два фотони в протилежних напрямках. Помістимо два детектори таким чином, що перший може виміряти положення одного фотона, а другий детектор - імпульс іншого фотона. Зробивши одночасні вимірювання, можна за допомогою закону збереження імпульсу досить точно визначити як імпульс і напрямок першого фотона, так і його місце при попаданні в перший детектор. Зміна процедури виміру в даному випадку дозволяє уникнути необхідності обов'язкового використання принципу невизначеності як обмежувального засобу при обчисленні похибок виміру. Описана ситуація не скасовує принцип невизначеності як такої, оскільки координата та імпульс одночасно вимірюються не в однієї частки локальним чином, а у двох частинок на відстані одна від одної.

Мікроскоп Гейзенберга

Як один із прикладів, що ілюстрували принцип невизначеності, Гейзенберг наводив уявний мікроскоп як вимірювальний пристрій. З його допомогою експериментатор вимірює положення і імпульс електрона, який розсіює фотон, що падає на нього, виявляючи тим самим свою присутність.

Якщо фотон має малу довжину хвилі і, отже, великий імпульс, положення електрона в принципі може бути виміряно досить точно. Але при цьому фотон розсіюється випадково, передаючи електрону досить велику і невизначену частку свого імпульсу. Якщо ж у фотона велика довжинахвилі і малий імпульс, він мало змінює імпульс електрона, але розсіювання визначатиме положення електрона дуже неточно. У результаті добуток невизначеностей у координаті та імпульсі залишається не меншим, ніж стала Планка, з точністю до числового співмножника порядку одиниці. Гейзенберг не сформулював точне математичне вираз для принципу невизначеності, а використовував принцип як кількісне евристичне співвідношення.

Критика

Копенгагенська інтерпретація квантової механіки та принцип невизначеностіГейзенберга виявилися подвійною мішенню для тих, хто вірив у реалізм та детермінізм. У копенгагенської інтерпретації квантової механіки не міститься фундаментальної реальності, що описує квантовий стан і визначає спосіб обчислення експериментальних результатів. У ній заздалегідь не відомо, що система знаходиться в фундаментальному такому стані, що при вимірюваннях з'явиться точно заданий результат. Фізична всесвіт існує не в детерміністичноїформі, а скоріше як набір ймовірностей, чи можливостей. Наприклад, картина (розподіл ймовірності), вироблена мільйонами фотонів, що дифрагують через щілину, може бути обчислена за допомогою квантової механіки, але точний шлях кожного фотона не може бути передбачений відомим методом. Копенгагенська інтерпретація вважає, що це не може бути передбачено взагалі ніякимметодом.

Саме цю інтерпретацію Ейнштейн ставив під сумнів, коли писав Максу Борну: «я впевнений, що Бог не кидає кістки» ( Die Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt ). Нільс Бор, який був одним із авторів Копенгагенської інтерпретації, відповів: «Ейнштейн, не кажіть Богові, що робити».

Альберт Ейнштейн вважав, що випадковість з'являється як відображення нашого незнання фундаментальних властивостей реальності, тоді як Бор вірив, що розподіл ймовірностей є фундаментальним та неповторним, що залежить від виду вимірів. Дебати Ейнштейна та Бора щодо принципу невизначеності тривали не один рік.

Щілина в екрані

Перший уявний експеримент Ейнштейна з перевірки принципу невизначеності був таким:

Розглянемо частинку, що проходить через щілину в екрані шириною d. Щілина призводить до невизначеності імпульсу частинки порядку h/d, коли частка проходить через екран. Але імпульс частинки з достатньою точністю можна визначити після віддачі екрана за допомогою закону збереження імпульсу.

Відповідь Бора була така: оскільки екран підпорядковується законам квантової механіки, то для вимірювання віддачі з точністю Δ P імпульс екрану має бути відомий з такою точністю до прольоту частки. Це призводить до невизначеності положення екрану та щілини, що дорівнює h / Δ P , і якщо імпульс екрана відомий досить точно для вимірювання віддачі, положення щілини виявляється певним з точністю, що не дозволяє точного вимірювання положення частки.

Подібний аналіз з частинками, що зазнають дифракції на кількох щілинах, є у Р. Фейнмана.

Коробка Ейнштейна

Інший уявний експеримент Ейнштейна був задуманий для перевірки принципу невизначеності щодо таких сполучених змінних, як час та енергія. Якщо експерименті зі щілиною в екрані частинки рухалися в заданому просторі, то у другому випадку вони рухаються протягом заданого часу.

Розглянемо коробку, наповнену світловим випромінюванням у результаті. радіоактивного розпаду. У коробці є затвор, що відкриває її на відомий малий час, протягом якого частина випромінювання залишає коробку. Для вимірювання енергії, що віднесла з випромінюванням, можна зважити коробку після випромінювання, порівняти з початковою вагою і застосувати принцип .Якщо коробка встановлена ​​на терезах, то виміри відразу повинні показати неточність принципу невизначеності.

Через день роздумів Бор визначив, що якщо енергія самої коробки відома точно в початковий момент, час відкриття затвора не може бути точно відомий. Крім цього, ваги та коробка за рахунок зміни ваги при випромінюванні можуть змінювати своє положення у гравітаційному полі. Це призводить до зміни швидкості перебігу часу за рахунок руху годинника та за рахунок впливу гравітації на хід годинника, і до додаткової неточності часу спрацьовування затвора.

Парадокс Ейнштейна – Подільського – Розена

Втретє борівське трактування принципу невизначеності поставило під сумнів 1935 р., коли Альберт Ейнштейн, Борис Подільський і Натан Розен (дивися Парадокс Ейнштейна - Подільського - Розена) опублікували свій аналіз станів віддалених на великі відстані зчеплених. Згідно з Ейнштейном, вимірювання фізичної величини однієї частинки в квантовій механіці повинно призводити до зміни ймовірності розподілу іншої частинки, причому зі швидкістю, яка може перевищувати швидкість світла. Обмірковуючи це, Бор дійшов тієї думки, що невизначеність у принципі невизначеності немає від подібного прямого виміру.

А сам Ейнштейн вважав, що повний описреальності має включати передбачення результатів експериментів на основі "локально змінних детермінованих величин", що призводить до збільшення інформації в порівнянні з тією, що обмежується принципом невизначеності.

У 1964 р. Джон Белл показав, що припущення Ейнштейна про приховані параметри може бути перевірено, оскільки воно призводить до певних нерівностей між ймовірностями різних експериментів. Наразі будь-якого надійного підтвердження існування прихованих параметрів на основі нерівностей Белла не отримано.

Є також думка, що на результати експериментів можуть впливати нелокальні приховані параметри , Зокрема, її дотримувався Д. Бом. Тут квантова теоріяможе тісно стикатися з іншими фізичними концепціями. Наприклад, нелокальні приховані параметри можна мислити випадковим набором даних, які виявляються в експериментах. Якщо припустити, що розмір видимого всесвіту обмежує цей набір і зв'язок між ними, то квантовий комп'ютерзгідно Г. Хоофту ймовірно припускатиметься помилки, коли оперуватиме з числами, що перевищують 10000 одиниць.

Критика Поппера

К.Р. Поппер критикував принцип невизначеності в тому вигляді, який був дано Гейзенбергом - що вимір розташування частки завжди впливає на результат вимірювання імпульсу, вказуючи, що при проходженні часткою з певним імпульсом вузької щілини у відбитій хвилі є деяка амплітуда ймовірності існування імпульсу. рівного імпульсудо розсіювання. Це означає, що у ряді подій частка пройде щілину без зміни імпульсу. У разі співвідношення невизначеностей слід застосовувати задля індивідуальних подій чи дослідів, а експериментів з безліччю однакових частинок з однаковими початковими умовами, тобто квантових ансамблів. Критика подібного типу застосовна до всіх імовірнісних теорій, а не тільки до квантової механіки, оскільки імовірнісні твердження вимагають для своєї перевірки безлічі вимірювань.

З точки зору копенгагенської інтерпретації квантової механіки, приписування частинці певного імпульсу до вимірювання еквівалентне існуванню прихованого параметра. Частка повинна описуватись не цим імпульсом, а хвильовою функцією, яка змінюється при проходженні щілини. Звідси виникає невизначеність імпульсу, що відповідає принципу невизначеності.

Принцип невизначеності інформаційної ентропії

При формулюванні багатосвітової інтерпретації квантової механіки в 1957 р. Х'ю Еверетт прийшов до суворішої форми принципу невизначеності. . Якщо квантові стани мають хвильову функцію виду:

то вони будуть збільшено стандартне відхилення в координаті через суперпозиції деякого числа взаємодій. Збільшиться і невизначеність в імпульсі. Для уточнення нерівності у співвідношенні невизначеностей використовується інформація Шеннона для розподілу величин, що вимірюється числом біт, необхідних для опису випадкової величинипри конкретному розподілі ймовірностей:

Величина I інтерпретується як число біт інформації, одержуваної спостерігачем у момент, коли величина x досягає точності ε , що дорівнює I x + log 2 (ε). Друга частина є числом біт після десяткової точки, а перша дає логарифмічне значення розподілу. Для однорідного розподілу ширини Δ x інформаційний зміст дорівнює log 2 Δ x . Ця величина може бути негативною, означаючи, що розподіл вже однієї одиниці, і малі біти після десяткової точки не дають інформації через невизначеність.

Якщо взяти логарифм співвідношення невизначеностей у про природних одиницях:

то в такому вигляді Нижня границядорівнює нулю.

Евереттта Хіршман припустили, що для всіх квантових станів:

Це було доведено Бекнером у 1975 році.

Похідні

Коли лінійні оператори A та B діють на функцію ψ( x) , вони не завжди комутують. Нехай наприклад оператор B є множення на x, а оператор A є похідною x. Тоді має місце рівність:

яке операторною мовою означає:

Це вираз дуже близький до канонічного комутатора квантової механіки, в якому оператор положення є множення хвильової функції на x, а оператор імпульсу включає похідну та множення на . Це дає:

Цей ненульовий комутатор призводить до співвідношення невизначеності.

Для будь-яких двох операторів A та B:

що відповідає нерівності Коші - Буняковського для внутрішнього твору двох векторів та . Величина очікування твору AB перевищує амплітуду уявної частини:

Для ермітових операторів це дає співвідношення Робертсона - Шредінгера :

і принцип невизначеності як окремий випадок.

Фізична інтерпретація

При переході від операторів величин до невизначеностей можна записати:

де

є середня змінна Xу стані ψ ,

є середньоквадратичне відхилення змінної Xу стані ψ.

Після заміни для Aі для Bу загальній операторній нерівності комутатор набуває вигляду:

Норми і є в квантовій механіці стандартними відхиленнями для A і B. Для координати та імпульсу норма комутатора дорівнює.

Матрична механіка

У матричній механіці комутатор матриць X і P дорівнює не нулю, а величині помноженої на одиничну матрицю.

Комутатор двох матриць не змінюється, коли обидві матриці змінюються рахунок зсуву на постійні матриці xі p:

Для кожного квантового стану можна визначити число x

як очікуване значення координати, та

як очікуване значення імпульсу. Величини і будуть ненульовими в тій мірі, в якій є невизначеними положення та імпульс, тому X і P відрізняються від середніх значень. Очікуване значення комутатора

може бути ненульовим, якщо відхилення в Xв стані, помножене на відхилення в P, Досить велике.

Квадрат значення типового матричного елемента як квадрат відхилення можна оцінити шляхом підсумовування квадратів станів енергії:

Тому канонічний комутаційне співвідношення виходить множенням відхилень у кожному стані, даючи значення порядку :

Ця евристична оцінка може бути уточнена за допомогою нерівності Коші – Буняковського (дивись вище). Внутрішній твір двох векторів у дужках:

обмежено добутком довжин векторів:

Тому для кожного стану буде:

дійсна частина матриці M є , тому дійсна частина добутку двох ермітових матриць дорівнює:

Для уявної частини маємо:

Амплітуда більше, ніж амплітуда її уявної частини:

Твір невизначеностей обмежений знизу очікуваним значенням антикомутаторадаючи відповідний член у співвідношення невизначеностей. Цей член не важливий для невизначеності положення та імпульсу, тому що він має нульове очікуване значення для гаусівського хвильового пакету, як в основному стан гармонійного осцилятора. У той же час член від антикомутаторакорисний обмеження невизначеностей спинових операторів.

Хвильова механіка

У рівнянні Шредінгера квантовомеханічнахвильова функція містить інформацію як про положення, так і про імпульс частинки. Найімовірнішим становищем частинки і те, де концентрація хвилі найбільша, а основна довжина хвилі задає імпульс частки.

Довжина хвилі локалізованої хвилі визначається неточно. Якщо хвиля знаходиться в об'ємі розміром L і довжина хвилі приблизно дорівнює λ , число циклів хвилі в цій галузі буде порядковим L / λ . Те, що кількість циклів відома з точністю до одного циклу, можна записати так:

Це відповідає добре відомому результату при обробці сигналів - що коротше проміжок часу, тим менш точно визначено частоту. Аналогічно у перетворенні Фур'є, що вже пік функції, то ширше її Фур'є образ.

Якщо помножити рівність на h , та покласти Δ P = hΔ (1/λ), Δ X = L , то буде:

Принцип невизначеності може бути представлений як теорема у перетвореннях Фур'є: добуток стандартного відхилення квадрата абсолютного значенняфункції стандартного відхилення квадрата абсолютного значення її Фур'є образу не менше, ніж 1/(16π 2).

Типовим прикладом є (ненормалізована) гауссівська хвильова функція:

Очікуване значення X дорівнює нулю внаслідок симетрії, тому варіація перебуває усередненням X 2 по всіх положеннях із вагою ψ( x) 2 та врахуванням нормування:

За допомогою перетворення Фур'є можна перейти від ψ( x) до хвильової функції в kпросторі, де kє хвильове число і пов'язане з імпульсом співвідношенням де Бройля:

Останній інтеграл не залежить від p, тому що тут безперервна зміназмінних , що виключає таку залежність, а шлях інтегрування в комплексної площинине проходить через сингулярність. Тому з точністю до нормування хвильова функція знову гауссівська:

Ширина розподілу kзнаходиться шляхом усереднення через інтегрування, як показано вище:

Тоді в цьому прикладі

Симплектична геометрія

У математичних термінах сполучені змінні є частиною симплектичногобазису, і принцип невизначеності відповідає симплектичноїформі у симплектичномупросторі.

Співвідношення Робертсона - Шредінгера

Візьмемо будь-які два самосполучені ермітові оператори Aі B, та систему в стані ψ. При вимірі величин Aі Bпроявиться розподіл ймовірностей зі стандартними відхиленнями Δ ψ A та Δ ψ B . Тоді буде справедлива нерівність:

де [ A,B] = AB - BAє комутатор Aі B, {A,B} = AB+BAє антикоммутатор і є очікуване значення. Ця нерівність називається співвідношенням Робертсона - Шредінгера, що включає принцип невизначеності як окремий випадок. Нерівність з одним комутатором вивів у 1930 р. Говард Персі Робертсон (Howard Percy Robertson), і трохи пізніше Ервін Шредінгер додав член з антикомутатором.

Можливе також існування двох некомутуючихсамосполучених операторів A і B , які мають один і той же власний векторψ. У цьому випадку ψ є чистим станом, який є одночасно вимірним для A і B .

Інші принципи невизначеності

Співвідношення Робертсона - Шредінгера призводить до співвідношень невизначеності для будь-яких двох змінних, які не комутують один з одним:

• Співвідношення невизначеності між координатою та імпульсом частки:

• між енергією та положенням частинки в одновимірному потенціалі V(x):

• між кутовою координатою та моментом імпульсу частинки при малій кутовій невизначеності:

• між ортогональними компонентами повного моменту імпульсу частинки:

де i, j, kрізні та J i означає момент імпульсу вздовж осі x i .

• між числом електронів у надпровіднику та фазою їх упорядкування в теорії Гінзбурга-Ландау:

Існує також відношення невизначеності між напруженістю поля та числом частинок, що призводить до явища віртуальних частинок.

Енергія-час у принципі невизначеності

Енергія та час входять у співвідношення невизначеностей, яке не випливає безпосередньо із співвідношення Робертсона – Шредінгера.

Твір енергії на якийсь час має ту ж розмірність, що і добуток імпульсу на координату, момент імпульсу та функція дії. Тому вже Бору було відоме таке співвідношення:

тут Δt є час існування квантового стану, а час як і просторова координата задає еволюцію частки у системі просторово-часових координат.

Зі співвідношення випливає, що стан з малим часом життя не може мати певного значення енергії - за цей час енергія повинна змінитися, тим більше істотно, чим менший час. Якщо енергія стану пропорційна частоті коливань, то для високої точності вимірювання енергії необхідно вимірювати частоту за такий період часу, який включає досить багато хвильових циклів.

Наприклад, у спектроскопії збуджені стани мають обмежений часжиття. Середня енергія фотонів лежить поблизу теоретичного значення енергії стану, але розподіл енергій має деяку ширину, звану природна ширина лінії . Чим швидше розпадається стан, тим ширша відповідна йому ширина лінії, що ускладнює точне вимірюванняенергії. . Аналогічно є труднощі щодо маси спокою швидко розпадаються резонансів у фізиці елементарних частинок. Чим швидше розпадається частка, тим менш точно відома її маса-енергія.

В одному неточному формулюванні принципу невизначеності стверджується, що для вимірювання енергії квантової системи з точністю Δ E потрібен час Δ t > h / Δ E . Її неточність була показана Ахароновим (Yakir Aharonov) і Д. Бомом у 1961 р. Насправді час Δ t є час, коли система існує у відсутності зовнішніх обурень, а чи не час вимірювання чи впливу вимірювальних приладів.

У 1936 р. Поль Дірак запропонував точне визначенняі виведення енерго-часового співвідношення невизначеності в релятивістській квантовій теорії "подій" У цьому формулюванні частки рухаються у просторі-часі і кожної траєкторії мають свій власний внутрішній час. Багаточасне формулювання квантової механіки математично еквівалентне стандартному формулюванню, але зручніше для релятивістського узагальнення. На її основі Сіньїтіро Томонага створив підступну теорію збурень для квантової електродинаміки.

Більш відоме і використовуване формулювання енерго-часового співвідношення невизначеності дали в 1945 р. Л. І. Мандельштам та І . E. Тамм. Для квантової системи в нестаціонарному стані спостерігається величина B представляється самоузгодженим оператором і справедлива формула:

де Δ ψ E є стандартне відхилення оператора енергії в стані Δ ψ B є стандартне відхилення оператора та є очікувана величина у цьому стані. Другий множник у лівій частині має розмірність часу, і він відрізняється від часу, що входить до рівняння Шредінгера. Цей множник є часом життя стану по відношенню до спостережуваної B , після якого очікуване значення змінюється помітно.

Теореми невизначеності у гармонійному аналізі

У гармонійному аналізі принцип невизначеності має на увазі, що не можна точно отримати значення функції та її відображення Фур'є; при цьому виконується така нерівність:

Є й інші співвідношення між функцією ƒ та її відображенням Фур'є.

Теорема Бенедіка

Ця теорема стверджує, що набір точок, де функція не дорівнює нулю, і набір точок, де не дорівнює нулю, не можуть бути обидва занадто малі. Зокрема, ƒ в L 2 (R) та її відображення Фур'є не можуть підтримуватися одночасно (мати той самий носій функції) на покриттях з обмеженою мірою Лебега. При обробці сигналів цей результат добре відомий: функція не може одночасно бути обмеженою і в часі, і в діапазоні частот.

Принцип невизначеності Харді

Математик GH Hardy в 1933 р. сформулював наступний принцип: неможливо для функцій і обом бути "дуже швидко зростаючими." Так, якщо ƒ визначена в L 2 (R), то:

крім випадку f = 0 . Тут відображення Фур'є і якщо в інтегралі замінити на для кожного a < 2π , то відповідний інтеграл буде обмеженим для ненульової функції f 0 .

Нескінченна вкладеність матерії

Теоретично принцип невизначеності отримує особливе тлумачення. Згідно з цією теорією, все безліч існуючих у Всесвіті об'єктів можна розташувати за рівнями, в межах яких розміри і маси об'єктів, що їм належать, відрізняються не так сильно, як між різними рівнями. При цьому виникає. Воно виражається наприклад у тому, що маси та розміри тіл при переході від рівня до рівня виростають у геометричній прогресіїта можуть бути знайдені за допомогою відповідних коефіцієнтів подібності. Існують основні та проміжні рівні матерії. Якщо брати такі основні рівні матерії, як рівень елементарних частинок і рівень зірок, то можна знайти подібні другдругу об'єкти – нуклони та нейтронні зірки. Електрон також має свій аналог на рівні зірок у вигляді дисків, відкритих біля рентгенівських пульсарів, які є основними кандидатами в магнітари. . За відомими властивостями елементарних частинок (маса, радіус, заряд, спин і т.д.) за допомогою коефіцієнтів подібності можна визначити відповідні властивості подібних об'єктів на рівні зірок.

Крім цього, через фізичні закони не змінюють своєї форми на різних рівняхматерії. Це означає, що, крім подібності об'єктів та їх властивостей, існує подоба відповідних явищ. Завдяки цьому кожному рівні матерії можна розглядати свій власний принцип невизначеності. Характерною величиною кванта дії та моменту імпульсу на рівні елементарних частинок є величина, тобто. Вона безпосередньо входить у принцип невизначеності. Для нейтронних зірокхарактерною величиною кванта дії є ? s = ? ? Ф ? . Отже, якщо проводити вимірювання розташування, імпульсу або інших величин в окремих нейтронних зірок за допомогою зоряних або ще масивніших об'єктів, то при їх взаємодії відбудеться обмін імпульсом і моментом імпульсу, з характерним значенням зоряного кванта дії порядку «s». При цьому вимір координати впливатиме на точність вимірювання імпульсу і навпаки, призводячи до принципу невизначеності.

З викладеного випливає, що сутність принципу невизначеності випливає із самої процедури вимірів. Так, елементарні частинки не можуть бути досліджені інакше як за допомогою самих елементарних частинок або їх композитних станів (у вигляді ядер, атомів, молекул і т.д.), які неминуче впливають на результати вимірювань. Взаємодія частинок одна з одною або з приладами у такому разі призводить до необхідності введення статистичних методівв квантову механіку і лише ймовірнісних прогнозів результатів будь-яких дослідів. Так як процедура вимірювань стирає частину інформації, що є у частинок до вимірювань, то прямий детермінації подій від будь-яких прихованих параметрів, що передбачається в теорії прихованих параметрів, не виходить. Наприклад, якщо направити одну частинку на іншу в точно заданому напрямку, то має вийти цілком певне розсіювання частинок одна на одній. Але тут виникає проблема в тому, що спочатку потрібно якимось способом направити частинку саме в даному заданому напрямку. Як бачимо, детермінації подій заважає як процедура вимірювань, а й процедура встановлення точних початкових станів досліджуваних частинок.

Вираз кінцевої доступної кількості інформації Фішера

Принцип невизначеності альтернативно виводиться як вираз нерівності Крамера - Рао у класичній теорії вимірів. У разі, коли вимірюється положення частинки, середньоквадратичний імпульс частки входить у нерівність як інформація Фішера . Див. також повна фізична інформація .

Науковий гумор

Незвичайна природа принципу невизначеності Гейзенберга та його незабутня назва, зробили його джерелом кількох жартів. Кажуть, що популярним написом на стінах фізичного факультетууніверситетських містечок є: "Тут, можливо, був Гейзенберг".

Якось Вернера Гейзенберга зупиняє на шосе поліцейський і запитує: «Ви знаєте, як швидко ви їхали, сер?». На що фізик відповідає: Ні, але я точно знаю, де я!

Принцип невизначеності у популярній культурі

Принцип невизначеності часто неправильно розуміється чи описується у популярній пресі. Одне часто неправильне формулювання в тому, що спостереження події змінює саму подію. Загалом кажучи, це не має відношення до принципу невизначеності. Майже будь-який лінійний оператор змінює вектор, на якому він діє (тобто майже будь-яке спостереження змінює стан), але для комутативних операторів жодних обмежень на можливе розкидання значень немає. Наприклад, проекції імпульсу на осі c і y можна виміряти разом як завгодно точно, хоча кожен вимір змінює стан системи. Крім того, в принципі невизначеності йдеться про паралельному вимірівеличин для декількох систем, що знаходяться в одному стані, а не про послідовні взаємодії з однією і тією ж системою.

Інші (також вводять в оману) аналогії з макроскопічними ефектами були запропоновані для пояснення принципу невизначеності: одна з них розглядає придушення насіння кавуна пальцем. Ефект відомий - не можна передбачити, як швидко чи куди насіння зникне. Цей випадковий результат базується повністю на хаотичності, яку можна пояснити у найпростіших класичних термінах.