Вплив властивостей довільних процесів на моделювання. Теми для рефератів

Моделювання випадкових процесів- Найпотужніший напрямок у сучасному математичному моделюванні.

Подія називається випадковою, якщо вона достовірно непередбачувана. Випадковість оточує наш світ і найчастіше відіграє негативну роль нашому житті. Однак є обставини, в яких випадковість може бути корисною. У складних обчисленнях, коли результат залежить від результатів багатьох факторів, моделей і вимірювань, можна скоротити обсяг обчислень за рахунок випадкових значень значущих цифр.

При ймовірнісному моделюванні використовують різні методи, які дозволяють вирішувати завдання з різних областей. Нижче наведено сфери застосування ймовірнісних методів.

Метод статистичного моделювання: розв'язання крайових задач математичної фізики, розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, обіг матриць та сіткові методи розв'язання систем диференціальних рівнянь, обчислення кратних інтегралів, розв'язання інтегральних рівнянь, задач ядерної фізики, газової динаміки, фільтрації, теплотехніки

Метод імітаційного моделювання: моделювання систем масового обслуговування, завдання АСУ, АСУП та АСУТП, завдання захисту інформації, моделювання складних ігрових ситуацій та динамічних систем.

Метод стохастичної апроксимації: рекурентні алгоритми розв'язання задач статистичного оцінювання.

Метод випадкового пошуку: розв'язання задач оптимізації систем, що залежать від великої кількостіпараметрів, знаходження екстремумів функції великої кількості змінних.

Інші методи: ймовірнісні методи розпізнавання образів, моделі адаптації, навчання та самонавчання.

При комп'ютерному математичному моделюванні випадкових процесів не можна уникнути наборів про випадкових чисел, що задовольняють заданий закон розподілу. Насправді ці цифри генерує комп'ютер за певним алгоритмом, тобто. вони є цілком випадковими хоча б оскільки при повторному запуску програми з тими самими параметрами послідовність повториться; такі числа називають "псевдовипадковими".

Для не надто вимогливого користувача зазвичай достатньо можливості датчика (генератора) випадкових чисел, вбудованого в більшість мов програмування. Так, у мові Паскаль є функція random, значення якої – випадкові числа з діапазону . Її використанню зазвичай передує використання процедури randomize, що служить для початкового "налаштування" датчика, тобто. отримання при кожному зверненні до датчика різних послідовностей випадкових чисел. Для завдань, вирішення яких вимагає дуже довгих некорельованих послідовностей, питання ускладнюється і вимагає нестандартних

1. Особливості імітаційного моделювання виробничих систем

Для аналізу виробничих систем, які дуже складні, різнопланові, не мають вичерпного математичного опису, а також проходять ряд етапів проектування, реалізації та розвитку, адекватні математичні моделі, чи то логічні чи числові, побудувати неможливо. Природним тут використання методів імітаційного моделювання.

Система може бути однозначно описана набором значень виробничих параметрів, притаманних кожного конкретного її стану. Якщо ці значення внести до комп'ютера, то зміни їх у ході обчислювального процесу можна інтерпретувати як імітацію переходу системи з одного стану до іншого. За таких припущень імітаційне моделюванняможна розглядати як динамічне уявлення системи шляхом просування її одного стану до іншого за характерними для неї операційними правилами.

При імітаційному моделюванні виробничих систем зміни їх стану відбуваються у дискретні моменти часу. Основна концепція імітаційного моделювання системи й у разі полягає у відображенні змін її стану з часом. Таким чином, тут визначальним є виділення і однозначний опис станів системи, що моделюється.

Імітаційні моделі дозволяють без використання будь-яких аналітичних або інших функціональних залежностей відображати складні об'єкти, що складаються з різноманітних елементів, між якими існують різноманітні зв'язки. У ці моделі може бути включений і людина.

Без важливих ускладнень такі моделі можуть бути включені як детерміновані, і стохастичні потоки (матеріальні та інформаційні). За допомогою імітаційного моделювання можна відображати взаємозв'язки між робочими місцями, потоками матеріалів та виробів, транспортними засобами та персоналом.

Незважаючи на такі очевидні переваги, що передусім полягають у широті та універсальності застосування, при цьому методі з виду упускається існування логічних зв'язків, що виключає можливість повної оптимізації одержуваних на цій моделі рішень. Гарантується лише можливість відбору найкращого із переглянутих варіантів.

Практично ж імітаційне моделювання у багатьох реальних випадках – єдиний можливий спосіб дослідження. Після розробки імітаційної моделі з нею проводяться комп'ютерні експерименти, які дозволяють зробити висновки щодо поведінки виробничої системи.

Поява та розвиток методів комп'ютерного імітаційного моделювання стало можливим також і в результаті розвитку методу статистичних випробувань, що дозволило моделювати випадкові події та процеси, що займають велике місце у реальних виробництвах.

При складанні імітаційної моделі та проведенні з її допомогою моделювання об'єкта, що досліджується, необхідне вирішення декількох пов'язаних між собою завдань. До них відносяться:

аналіз моделюваної системи та складання її формалізованого опису, включаючи виявлення інформаційно-логічної структури системи, ідентифікацію її компонентів, вибір параметрів, що характеризують стан цих компонентів, розробку комп'ютерної моделі системи, здатної відтворити її поведінку, планування експерименту з розгортання подій у комп'ютерній моделі, що відображають події в системі, що моделюється;

розробка методології комп'ютерного статистичного експерименту, включаючи генерацію випадкових або псевдовипадкових чисел, імітацію різних випадкових подій, статистичну обробку даних;

проведення власне комп'ютерного експерименту на імітаційній моделі, включаючи керування параметрами та змінними моделями під час її дослідження на комп'ютері.

Вище були описані різні методимоделювання випадкових процесів, де розглядалася переважно принципова сторона питання. У цьому параграфі наводяться результати застосування цих методів для моделювання стаціонарних нормальних процесів із поширеними типами кореляційних функцій. При цьому виконана вся необхідна підготовча роботата отримані прості моделюючі алгоритми, придатні для безпосереднього використання. Крім того, наведено приклади практичної реалізації моделюючих алгоритмів.

У табл. 2.2 дано типи кореляційних функцій та енергетичних спектрів моделюваних процесів та відповідні їм алгоритми. Нижче надаються необхідні пояснення.

Таблиця 2.2.

Продовження таблиці 2.2.

Продовження таблиці 2.2.

Продовження таблиці 2.2.

Заданий стаціонарний нормальний безперервний випадковий процес з кореляційною функцією зображується на ЦВМ у вигляді дискретної послідовності його значень, що належать до часу, де крок дискретизації, цілісний аргумент. Всі розглянуті тут алгоритми призначені для отримання на ЦВМ дискретних, необмежених у часі реалізацій випадкового процесу, що моделюється. У всі ці алгоритми закладено принцип перетворення послідовності незалежних нормально розподілених випадкових чисел з параметрами (0, 1) (дискретний білий шум) на послідовність, корелювану за законом

Випадкові процеси з кореляційними функціями, вміщеними в таблиці за № 1-5, відносяться до класу випадкових процесів з раціональною спектральною щільністю. Для моделювання таких процесів найбільш зручним є застосування різницевих рівнянь (§ 2.3), що призводить до алгоритмів, які не мають методичної похибки і зводяться до простих рекурентних співвідношень. Алгоритми № 1-5 отримані в такий спосіб.

Алгоритми № 1 та 2 для моделювання процесів з експоненційною та експоненційно-косинусною кореляційними функціями вже розглядалися у § 2.3 та пояснень не вимагають.

Алгоритми № 2-5 однакові та відрізняються лише значеннями параметрів , знаходження яких у кожному конкретному випадку зводиться до обчислень за формулами, наведеними у табл. 2.2. При виведенні виразів для обчислення параметрів рекурентних формулв алгоритмах № 3-5 використовувалися перетворення, розглянуті в § 2.3 на прикладі експоненційно-косинусної кореляційної функції: спектральна щільністьпослідовності для кожного типу кореляційної функції записувалася згідно (2.51), підсумовування відповідних нескінченних в обидві сторони рядів здійснювалося за таблицями односторонніх дискретних перетвореньЛапласа , а факторизація чисельників отриманих дробово-раціональних спектральних функцій здійснювалося шляхом розкладання поліномів на множники (поліноми мали порядок не вище другого) з подальшим використанням коренів поліномів згідно з виразами (2.61) та (2.62). Знаменники спектральних функцій виявлялися автоматично факторизованими.

Для моделювання випадкових процесів № 6-8, які не належать до класу процесів з раціональною спектральною щільністю, був застосований метод ковзного підсумовування як найбільш ефективний в даному випадку.

Відповідно до алгоритмів № 6-8 послідовність виходить методом ковзного підсумовування послідовності з вагою. Вирази для вагових коефіцієнтів були отримані шляхом інтегрування спектрів енергетичних процесів за формулою (2.12). При цьому вважалося, що частота дискретизації для випадкового процесу № 6 [процес з рівномірним у смузі спектром] більша або дорівнює і . Щодо процесів № 7, 8 передбачалося, що частота дискретизації досить велика, тож верхня межав інтегралі (2.12) можна прийняти рівним нескінченності. Тому вирази для коефіцієнтів в алгоритмах № 7, 8 слід застосовувати при . Заміна кінцевої межі нескінченним дозволила у разі звести інтеграли типу (2.12) до табличним .

Алгоритми № 6-8 є наближеними, проте при збільшенні параметра методична похибка може бути зроблена дуже малою. При вибраних значеннях та похибка методу легко оцінюється шляхом згортки вагових коефіцієнтів. Приклад обчислення коефіцієнтів та розрахунку похибки методу для випадкового процесу з кореляційною функцією № 8 наведено раніше в § 2.2. У цьому параграфі дано опис алгоритму для моделювання випадкового процесу № 9 [див. алгоритм (2.48)].

Алгоритми, наведені у табл. 2.2 були піддані практичної перевірки. Перевірка проводилася шляхом вироблення на ЦВМ реалізацій випадкових процесів, що моделюються, довжиною в 1000 дискрет при і при заданих значенняхпараметрів та . За цими реалізаціями обчислювалися вибіркові кореляційні функції, які порівнювалися із заданими кореляційними функціями. Вихідні незалежні випадкові числа вироблялися стандартною програмою датчика нормальних випадкових чисел для ЦВМ М-20.

При виробленні початкових значень реалізацій випадкових процесів № 1-5 як бралися вибіркові значення незалежних нормальних випадкових чисел із параметрами (0, 1).

На рис. 2.5 показані початкові ділянки реалізацій завдовжки 400 дискрет деяких випадкових процесів з табл. 2.2; для зручності реалізації зображені безперервною лінією. Поряд із реалізаціями зображені задані кореляційні функції ( суцільна лінія) разом із кореляційними функціями, обчисленими на ЦВМ за цими реалізаціями (пунктир). Графіки позначені тими самими номерами, як і кореляційні функції табл. 2.2. Значення параметрів та . обрані так, щоб інтервали кореляції у всіх процесів, що моделюються, були приблизно однаковими. З малюнка видно хороший збіг заданих та вибіркових кореляційних функцій.

Випадковий процес з кореляційною функцією № 2 недиференційований, тому його реалізації мають такий гладкий характер, як інші чотири реалізації диференційованих випадкових процесів.

Між реалізаціями № 2 і 3, а також між реалізаціями № 6, 7 можна помітити певну подібність, яка пояснюється тим, що реалізації формувалися на ЦВМ шляхом перетворення однієї і тієї ж дискретної реалізації білого шуму.

На початку реалізацій № 2, 3 видно досить великі негативні викиди. Ці викиди є результатом спотворення початкових ділянок процесів, що моделюються, через перехідний процес. Справді, початкові умовиобрані так, що тільки випадкові процеси №1 та №5-9 є від початку стаціонарними.

Для того щоб позбутися перехідного процесу при моделюванні випадкових процесів № 2-4, потрібно при обчисленні їх початкових значень замість незалежних випадкових чисел, як це було прийнято вище, взяти чотиривимірний випадковий вектор з кореляційною матрицею

На закінчення вкажемо деякі прийоми, дозволяють розширити клас моделюваних стаціонарних нормальних випадкових процесів шляхом нескладних перетворень розглянутих вище алгоритмів.

Відомо, наприклад, що при підсумовуванні кількох незалежних стаціонарних нормальних випадкових процесів утворюється стаціонарний нормальний випадковий процес, кореляційна функціяякого дорівнює сумі кореляційних функцій доданків. Звідси, якщо функція кореляційного процесу є сумою двох або більше кореляційних функцій з табл. 2.2 то дискретні реалізації цього процесу можна формувати шляхом підсумовування двох або більше незалежних реалізацій, одержуваних за наведеними алгоритмами. Якщо, наприклад, кореляційна функція процесу, що моделюється, має вигляд

то алгоритм на формування його дискретних реалізацій запишеться як

То випадковий процес

де , Перетворити реалізації та на реалізацію випадкового процесу з кореляційною функцією (2.83).

Для обчислення дискретних тригонометричних функційта доцільно скористатися рекурентним алгоритмом (1.3), тоді алгоритм (2.84) запишеться у вигляді

Подальші шляхи імітації

Імітувати– отже наближатися до реальних об'єктів із конкретними (реальними) законами поведінки, додаючи у процес випадковість.

Диференційне рівняннявсі усереднюють начисто. Диференціальні рівняння є принципово детермінованими. Вони дуже гарні, бо дають інтегральну характеристику(в цілому).

Але це лише перший крок по дорозі дослідження реальних систем. У реальній системі дослідника цікавлять зокрема.

1-й шлях. Перехід до різницевих рівнянь(цей спосіб активно використовувався для розробки чисельних методіврішення ДК). Метод називається дискретизація процесу.

Маємо систему ДК

.

Замінюємо

нескінченно малий проміжок на малий.

Обчислюємо кожне наступне значеннячерез попередні.

Тут треба мати на увазі, що коефіцієнти вже мають іншу розмірність (і зміст) і залежить від розміру проміжку часу, якими виробляється перерахунок значень.

Реалізація дискретного процесу серед MVS – використання вузла з порожнім поведінкою і дуг циклічного переходу.

Рис. 1. Реалізація дискретного процесу

Тимчасова діаграма дискретного процесу має вигляд шматково-постійної функції зі стрибками (розривами) у точках t iперерахунку значень.

Таким чином, ми замінили безперервну модель дискретної з шматково-безперервною функцією, Що показує стрибки чисельності через певні проміжки часу.

2-й шлях. Опис локальних законів поведінки

Розділимо закон зміни кількості продукту на дві поведінки: закон убутку продукту, закон зростання продукту

Аналогічно ресурсу

Рис. 2. Структурна модельз локальними законами

3-й шлях. Додавання випадковості

Щоб запровадити випадковість, будемо на кожній ітерації обчислювати нові значення коефіцієнтів як деякі випадкові числа, розподілені, у першому наближенні, за нормальним законом із заданими середнім (мат. очікуванням) і дисперсією.

А якщо ще й врахувати локальні поведінки втрат і зростання, то можна задати ймовірності переходів за одним чи іншим законом.

І за рахунок ймовірностей ми зможемо налаштовувати та досліджувати цю модель.

Таким чином, основні шляхи наближення моделі до реальної системи:

• деталізація структури системи;
• перехід до дискретним процесам;
• деталізація поведінки;
• перехід до випадкових процесів.

Комбінація всіх цих способів – і є імітаційне моделювання (найсправжнісіньке).

Зараз використовують інше сучасна назва – агентне моделювання . Насправді, це класичне статистичне моделювання.

Є два підходи до моделювання.

Перший: від об'єкта до моделі (визначаємо стан реальної системив початковий моментчасу та моделюємо, що буде далі).

Може бути зворотна ситуація: від моделі до об'єкта (будуємо модель, досліджуємо, за яких ймовірностей та початкових значень картина буде стійкою або нестійкою, і видаємо рекомендації)

Таким чином, має місце цикл Дані Модель Обробка Нові дані.

При деталізації системи задаємо закони не математичні, а конкретні (поведінкові) чи інакше кажучи локальні взаємодії елементів системи між собою.

На 1-му такті є початкове випадкове розподіл ймовірності знаходження елемента у тому чи іншому стані.

Циклічно повторюємо процес. Ось це називається агентне чи імітаційне моделювання.

При цьому ми отримуємо дискретні (шматково-постійні) функції.

Моделювання випадкових процесів

Процеси Маркова

Функція Х(t)називається випадковий , якщо її значення за будь-якого аргументу є випадковою величиною.

Випадкова функція Х(t), аргументом якої є час, називається випадковим процесом .

Випадковий процес, що протікає в будь-якій системі S, називається марківським (або процесом без післядії), якщо він має таку властивість: для будь-якого моменту часу t 0, ймовірність будь-якого стану системи в майбутньому (при t > t 0) залежить тільки від її стану в теперішньому (при t = t 0) і не залежить від того, коли і яким чином система Sприйшла у цей стан.

Марківські процеси є окремим видом випадкових процесів. Особливе місцемарківських процесів серед інших класів випадкових процесів обумовлено такими обставинами:

• для марківських процесів добре розроблено математичний апарат, що дозволяє вирішувати багато практичні завдання;
• за допомогою марківських процесів можна описати (точно чи наближено) поведінку досить складних систем.

Класифікація марківських процесів

Класифікація марківських випадкових процесів проводиться залежно від безперервності чи дискретності безлічі значень функції Х(t)та параметра t.

Розрізняють такі основні види марківських випадкових процесів:

• з дискретними станами та дискретним часом(ланцюг Маркова);
• з безперервними станами та дискретним часом (марківські послідовності);
• з дискретними станами та безперервним часом(Безперервна ланцюг Маркова);
• з безперервним станом та безперервним часом.

Вивчатимемо процеси з дискретними станами, які найбільш підходять до моделювання економічних процесів.

Граф станів

Марківські процеси з дискретними станами зручно ілюструвати за допомогою так званого графа станів, де кружками позначені стани S iсистеми S, А стрілками - можливі переходи зі стану в стан. На графі відзначаються лише безпосередні переходи, а чи не переходи через інші стану. Можливі затримки в колишньому стані зображують «петлею», тобто стрілкою, спрямованою з даного стануу нього ж.

Рис. 3. Граф станів

Стан може бути кінцеве чи нескінченне, але лічильне.

Марковський випадковий процес з дискретними станами та дискретним часом називають марківським ланцюгом . Для такого процесу моменти t 1 , t 2 ,…. коли система S може змінювати свій стан, розглядають як послідовні кроки процесу, а як аргумент, від якого залежить процес, виступає не час t, а номер кроку 1, 2,..., k,... Випадковий процес у цьому випадку характеризується послідовністю станів S(0), S(1), S(2),..., S(k),... де S(0) - початковий стан системи (перед першим кроком); S(1)- Стан системи після першого кроку; S(k)- Стан системи після k-го кроку...

Послідовність станів S(1), S(2),..., S(k)можна як послідовність випадкових подій.

Позначимо можливість перебувати після k-го кроку може S k . Тоді

Практичний інтерес представляють системи з кінцевим числомстанів S i (i = 1, ..., n).

Приклади кінцевих кіл Маркова

Приклад 1. Модель 4 "Гараж"

Автомобілі в гаражі можуть перебувати у двох станах: робочий (1) та ремонт (2).

Спостерігатимемо за станом автомобілів через рівні проміжки часу. Наприклад, один раз на добу (вранці перед початком роботи) визначається стан кожного автомобіля. При цьому можливі такі ситуації:

• автомобіль був справний та залишився справним;
• автомобіль був несправний і став справним;
• автомобіль був справний і став несправним;
• автомобіль був несправний та залишився несправним.

Намалюємо граф станів та переходів цієї системи

Рис. 4

p 11 , p 12 , p 21 , p 22 , - Імовірності переходів зі стану в стан.

Якщо тип автомобілів однаковий, всі ймовірності будуть однакові всім автомобілів.

Подаємо ймовірності у вигляді матриці

Називається матрицею переходів .

Властивості матриці переходів

1. Кожен рядок характеризує обраний стан системи, а її елементи є ймовірністю всіх можливих переходів за один крок з обраного (з i-го) стану, зокрема і перехід у себе.
2. Елементи стовпців показують ймовірність всіх можливих переходів системи за один крок у задане ( j-е) стан (інакше кажучи, рядок характеризує можливість переходу системи зі стану, стовпець – в стан).
3. Сума ймовірностей кожного рядка дорівнює одиниці, тому що переходи утворюють повну групу несумісних подій.
4. По головній діагоналі матриці перехідних ймовірностейстоять ймовірності P iiтого, що система не вийде зі стану i, а залишиться у ньому.

Введемо вектор – k=0,1,2,3…функція, яка обчислює ймовірність кожному кроці (такті) залишатися у одному з двох станів.

Вектор ймовірностей початкового стану кожної машини . Наприклад, вважатимуться, що у початковому стані машина достовірно справна, то .

Опишемо цей процес у вигляді дерева

Крім цього першому такті додається (задається) ймовірність початкового стану.

Якщо зафіксувати k= Const, то нам відомі всі кінцеві результати системи. Якщо ймовірності p ij=const, цей процес і є ланцюг Маркова. У цій моделі реалізується нескінченний процес. При тривалому функціонуванні системи може бути, що ймовірності станів прагнуть деякому числу. Ці граничні ймовірності називають ймовірностями встановленого процесу . При моделюванні нескінченних процесів інтерес представляє обчислення ймовірностей процесу, що встановився.

Приклад 2. Модель 5 «Кубик та монети»

Є дві монети А і Б та кубик К. В однієї є герб і решка, а в іншої обидві решки.

Гра: вибираємо випадковим чином монетку та кидаємо. Якщо випав герб кидаємо кістку, якщо випала решка, кидаємо ту саму монетку знову.

Намалюємо граф станів гри

Простір результатів звичайно. Усі ймовірності фіксовані. Це ланцюг Маркова. У даній моделі видно, що процес рано чи пізно закінчується, якщо випадково обрана монета А. Якщо ж була обрана монета Б, то процес нескінченний.

Завдання для самостійної роботи

Скласти матрицю переходів даної системи.

Приклад 3. Модель 6 «Гра»

Є 5 станів. У певний момент частка (кулька) знаходиться в одному із станів S i. За кожен крок частка може перейти тільки в сусідній стан: S i-1з ймовірністю p, в S i+1з ймовірністю q. При цьому (як відомо) p +q=1. Якщо частка потрапляє в кінцевий стан, там залишається назавжди. Імовірності фіксовано. У станах S i, i=2,3,4 частка може залишитися.

Побудуємо матрицю P, в якій описані ймовірності переходу частки зі стану S iу стан S j.

У цій моделі видно, що процес рано чи пізно закінчиться. Таким чином ця модель представляє кінцевий ланцюгМаркова. При моделюванні кінцевий процесівінтерес представляє обчислення ймовірностей закінчення процесу у тому чи іншому вузлі, і навіть середня тривалість процесу.

Приклад 4. Модель 7 «Навчання у ВНЗ»

Процес навчання у вузі 4 роки навчання (бакалаврат). Виділимо такі стани

Розглянемо алгоритми моделювання стаціонарного нормального та марковського випадкових процесів. Ці процеси мають широке розповсюдженняв якості математичних моделей різного родуреальних процесів, що протікають у складних технічні системи. Наведемо далі деякі суттєві для подальшого викладу визначення та поняття, прийняті в рамках кореляційної та спектральної теорій випадкових функцій.

Випадковою функцієюназивають функцію невипадкового аргументу t, яка за кожному фіксованому значенні аргументу є випадковою величиною. Випадкову функцію часуназивають випадковим процесом. Випадкову функцію координатточки простору називають випадковим полем . Конкретний вигляд, Приймається випадковим процесом в результаті досвіду, називається реалізацією (траєкторією) випадкового процесу. Усі отримані реалізації випадкового процесу становлять ансамбль реалізацій. Значення реалізацій у конкретні моменти часу (тимчасові перерізи) називають миттєвими значеннями випадкового процесу.

Введемо такі позначення: Х(t) – випадковий процес; x i (t) - i-а реалізація процесу X (t); x i (t j) - миттєве значення процесу Х (t), що відповідає i-ої реалізації в j-ий момент часу. Сукупність миттєвих значень, що відповідають значенням різних реалізацій в той самий момент часу t j , назвемо j-ою послідовністю процесу Х(t) і позначимо х(t j). Зі сказаного випливає, що як аргументи випадкового процесу можуть виступати час і номер реалізації. У зв'язку з цим правомірні два підходи до вивчення властивостей випадкового процесу: перший заснований на аналізі множини реалізацій, другий оперує безліччю послідовностей - тимчасових перерізів. Наявність чи відсутність залежності значень імовірнісних характеристик випадкового процесу від часу чи номера реалізації визначає такі фундаментальні властивості процесу, як стаціонарність та ергодичність. Стаціонарнимназивається процес, імовірнісні характеристики якого залежить від часу. Ергодичнимназивається процес, імовірнісні характеристики якого залежить від номера реалізації.

Випадковий процес називається нормальним(або гаусівським) процесом, якщо одномірні та двомірні законирозподіли будь-яких його перерізів нормальні. Вичерпними характеристиками нормального випадкового процесу є його математичне очікуваннята кореляційна функція. У стаціонарного нормального випадкового процесу МОЖ постійно, а кореляційна функція залежить від різниці моментів часу, котрим взяті ординати випадкового процесу ( =t 2 -t 1). Для стаціонарного випадкового процесу за досить великому відхилення ординати випадкового процесу Х(t 2) від її математичного очікування m x у момент часу t 2 стає практично незалежним від значення цього відхилення в момент часу t 1 . У цьому випадку кореляційна функція К(t), що дає значення моменту зв'язку між Х(t 2) та Х(t 1), при прагне до нуля. Тому К() може або монотонно зменшуватися, як це зображено на рис.2.2, або мати вигляд, представлений на рис.2.3. Функція виду (рис.2.2.), як правило, апроксимується виразами:

(2.38)

а функція виду (рис.2.3.) – виразами:

Рис.2.2. Рис.2.3.

Стійкість стаціонарного випадкового процесу у часі дозволяє замінити аргумент – час – деякою допоміжною змінною, яка у багатьох додатках має розмірність частоти. Така заміна дозволяє значно спростити викладки і досягти більшої наочності результатів. Отримувана функція (S()) називається спектральною щільністю стаціонарного випадкового процесу і пов'язана з кореляційною функцією взаємно зворотними перетвореннямиФур'є:

(2.42)

(2.43)

Існують інші нормування спектральної щільності, наприклад:

(2.44)

На основі перетворень Фур'є неважко отримати, наприклад, для випадкового процесу з K(t) виду (2.38):

(2.45)

Стаціонарний випадковий процес, спектральна щільність якого стала (S(w)=S=const), називається стаціонарним білим шумом. Кореляційна функція стаціонарного білого шуму дорівнює нулю при всіх, що означає некорельованість будь-яких двох його перерізів.

Завдання моделювання стаціонарного нормального випадкового процесу (СНСП) може бути сформульована як завдання знаходження алгоритму, що дозволяє отримати на ЕОМ дискретні реалізації цього процесу. Процес X(t) замінюється із заданою точністю відповідним процесом X(nDt) з дискретним часом t n = nDt (Dt- крок дискретизації процесу, n-цілочисленний аргумент). В результаті випадкового процесу x(t) будуть поставлені у відповідність випадкові послідовності:

x k [n] = x k (nDt), (2.46)

де k – номер реалізації.

Вочевидь, що довільний член випадкової послідовності x(nDt) можна як випадкову функцію його номери, тобто. цілого аргументу n і, таким чином, виключити з розгляду Dt, що і враховано під час запису (2.46). Крім того, щоб відрізнити цілий аргумент від безперервнозмінного, його укладають у квадратні дужки.

Часто випадкові послідовності називають дискретним випадковим процесом чи тимчасовим рядом.

Відомо, що додавання до випадкової функціїневипадкової величини не змінює значення кореляційної функції. Тому на практиці дуже часто моделюють центровані випадкові процеси (МОЖ дорівнює нулю), від яких можна завжди перейти до реального шляхом додавання МОЖ до членів випадкової послідовності, що імітує випадковий процес.

Для випадкових послідовностей кореляційна функція та спектральна щільність обчислюються за залежністю:

(2.47)

(2.48)

Зведення випадкового процесу до випадкової послідовності насправді означає його заміну багатовимірним вектором. Тому розглянутий метод моделювання випадкових векторів, взагалі, придатний для моделювання випадкових процесів, заданих на кінцевому інтервалі часу. Однак для стаціонарних нормальних випадкових процесів існує більше ефективні методипобудови моделюючих алгоритмів. Розглянемо два способи, які отримали найбільше застосуванняна практиці.

Короткі відомості

До випадкових процесів, що вивчаються методом імітаційного моделювання (методом Монте-Карло) відносяться, зокрема, процеси, пов'язані з формуванням і обслуговуванням черг (так звані процеси масового обслуговування).Найпростіше завдання даного класутакою. Існує система масового обслуговування з одним вузлом обслуговування (магазин з одним продавцем, ремонтна зона в автогосподарстві, травмопункт з одним лікарем, телефонна станція з одним входом, сервер з одним вхідним каналом тощо). До послуг системи клієнти вдаються випадково (з заданою функцієюрозподілу відрізків часу між парафіями). Якщо система вільна, починає обслуговувати клієнта відразу, інакше ставить його в чергу. Тривалість обслуговування кожного клієнта - випадкова величинаіз відомим законом розподілу.

У ході вирішення цього завдання потрібно дати відповідь на запитання на кшталт «яка функція розподілу ймовірностей часу очікування клієнта в черзі?» «який час простою системи в очікуванні клієнтів?», «якщо самі ці функції визначати складно, то які їх найбільше важливі характеристики(Тобто математичне очікування, дисперсія і т.д.)?».

Основа цього завдання - випадковий процес приходу клієнтів до системи обслуговування. Проміжки між парафіями будь-якої послідовної пари клієнтів – незалежні випадкові події, розподілені за деяким законом. Реальний характер цього закону можна встановити лише шляхом численних спостережень; як найпростіша модельна функція щільності ймовірності можна взяти рівноймовірний розподіл в діапазоні часу від 0 до деякого Т -максимально можливого проміжку між парафіями двох послідовних покупців. При цьому розподілі ймовірність того, що між приходами двох покупців пройде 1 хвилина, 3 хвилини або 8 хвилин, однакова (якщо Т> 8 хв).

Такий розподіл, звісно, ​​малореалістичний; реально для більшості процесів масового обслуговування функція розподілу зростає від t= 0 має при деякому значенні t = τ максимум і швидко спадає при великих t,тобто. має вигляд, зображений на рис. 7.6.

Можна, звісно, ​​підібрати чимало елементарних функцій, що мають якісно такий вигляд. Теоретично масового обслуговування широко використовується сімейство функцій Пуассона

де λ - деяка постійна, п -довільне ціле.

Функції (35) мають максимум при х = п/λта нормовані.

Другий випадковий процес у цій задачі, ніяк не пов'язаний з першим, визначається послідовністю випадкових подій – тривалістю обслуговування кожного з покупців. Розподіл ймовірностей тривалості обслуговування має той самий якісний вигляд, що у попередньому випадку.

Наприклад у таблиці в колонці Азаписані випадкові числа - проміжки між парафіями клієнтів (у хвилинах), у колонці В -випадкові числа - тривалість обслуговування (у хвилинах). Для певності взято а max= 10 і b max= 5.

Рис. .6. Схематичне зображення густини ймовірності розподілу часу між появами клієнтів у системі масового обслуговування

З цієї короткої таблиці, зрозуміло, неможливо встановити які закони розподілу прийняті для величин Аі Ст.Інші колонки призначені для зручності аналізу; числа, що входять до них, знаходяться шляхом елементарного розрахунку. У колонці С представлено умовний часприходу клієнта; D -момент початку обслуговування; Е -момент кінця обслуговування; F -тривалість часу, проведеного клієнтом у системі загалом; G -час, проведений у черзі в очікуванні обслуговування; Н -час, проведений системою в очікуванні клієнтів (якщо їх немає). Таблицю зручно заповнювати по горизонталі, переходячи від рядка до рядка. Так як початок обслуговування чергового клієнта визначається або часом його приходу, якщо система не зайнята, або часом догляду попереднього клієнта, наведемо для зручності відповідні формули (в них i= 1, 2, 3, ...):

з 1 = 0, з i + 1 = з i + а i +1; d 1 = 0, d i+1 = max(c i+l , e i);(36a)

e 1 = b 1 e i = d i + b i; f i = e i + c i; g 1 = 0; g i+1 = f i+1 + b i+1 h 1 = 0; h i+1 = d i+1 - e i(36б)

Таким чином, при даних випадкових наборах чисел у колонках А та В клієнтам доводилося стояти в черзі (колонка G),і система простоювала в очікуванні клієнта (колонка Н).

При моделюванні систем такого виду насамперед постає питання, який середній час доводиться стояти у черзі? Відповісти на нього, здається, нескладно – треба знайти

(37)

у деякій серії випробувань. Аналогічно можна знайти середнє значення величини h . Важче відповісти на питання щодо достовірності отриманих результатів; для цього треба провести кілька серій випробувань та використовувати стандартні методи математичної статистики (часто доречна обробка за допомогою розподілу Стьюдента).

Більше важке питання- який розподіл випадкових величин Gі Нпри заданих розподілахвипадкових величин Aі У?Якісну відповідь на нього можна спробувати одержати, побудувавши відповідні гістограми за результатами моделювання. Потім робиться деяка гіпотеза про вид розподілу та використовуються один чи кілька статистичних критеріїв перевірки достовірності цієї гіпотези.

Маючи в своєму розпорядженні функцію розподілу (нехай навіть емпіричної, але досить надійної), можна відповісти на будь-яке питання про характер процесу очікування в черзі. Наприклад: яка ймовірність прочекати довше тхвилин? Відповідь буде отримано, якщо знайти відношення площі криволінійної трапеції, обмеженою графіком щільності розподілу, прямими х = ті y=0площі всієї фігури.

Контрольні питання

1. Що таке «випадковий процес»?

2. Якими є принципи комп'ютерного генерування рівномірно розподілених випадкових чисел?

3. Як можна отримати послідовність випадкових чисел із пуассонівським законом розподілу?

4. Що таке "система масового обслуговування"? Наведіть приклади.

5. У чому полягає метод Монте-Карло обчислення площ плоских фігур? обсягів тіл?

6. Які приклади випадкових процесів Ви можете навести?

Теми для рефератів

1. Принципи комп'ютерної генерації послідовностей випадкових чисел та статистичні критеріївизначення властивостей послідовностей

2. Методи статистичної обробкирезультатів, отриманих під час комп'ютерного моделювання випадкових процесів.

Тема семінарських занять

Отримання послідовностей випадкових чисел з заданим закономрозподілу.

Лабораторна робота

1. При виконанні цієї роботи необхідна генерація довгих послідовностей псевдовипадкових чисел із заданим законом розподілу ймовірностей. Її можна грунтувати на стандартному датчику рівномірно розподілених випадкових чисел, вбудованому в систему програмування, що застосовується, з використанням однієї з процедур перерахунку даної послідовності в послідовність з потрібним законом розподілу (наприклад, процедуру «відбір - відмова»).

2. Одна з центральних завданьпри моделюванні випадкових процесів – знаходження характеристик випадкових величин, які є об'єктом моделювання. Головна така характеристика – функція розподілу. Її вид можна якісно оцінити за гістограмою, побудованою в ході моделювання, а гіпотезу про функціональній форміперевірити за допомогою одного зі стандартних критеріїв, які використовуються в математичної статистики(наприклад, критерію %2). Однак це не завжди доцільно, особливо якщо в задачі потрібно визначити лише деякі характеристики випадкової величини – найчастіше середнє значення та дисперсію. Їх можна знайти без моделювання самої функції розподілу. При цьому статистична оцінкаДостовірності результатів є обов'язковою.

3. Результати моделювання доречно виводити на екран комп'ютера в такому вигляді: у вигляді таблиць значень розміру, що розраховується (як правило, в декількох вибірках), у вигляді гістограм розподілу випадкових величин, побудованих в ході моделювання.

4. Доцільно там, де це можливо, супроводжувати імітаційне моделювання візуальним відображенням відповідного процесу на екрані комп'ютера (процес формування черги, народження та зникнення об'єктів у задачах моделювання популяцій тощо).

Приблизний часвиконання 16 годин.

Завдання до лабораторної роботи

Здійснити імітаційне моделювання зазначеного випадкового процесу та оцінити достовірність отриманих результатів, користуючись статистичними критеріями.

Варіанти завдань

Варіант 1

Провести моделювання черги в магазині з одним продавцем за рівноймовірних законів розподілу описаних вище випадкових величин: приходу покупців та тривалості обслуговування (при деякому фіксованому наборі параметрів). Отримати стійкі характеристики: середні значення очікування у черзі покупцем і простий продавця в очікуванні приходу покупців. Оцінити їх достовірність. Оцінити характер функції розподілу величин gі h.

Варіант 2

Провести те саме моделювання при пуассонівських законах розподілу ймовірностей вхідних подій: приходу покупців та тривалості обслуговування (при деякому фіксованому наборі параметрів).

Варіант 3

Провести те саме моделювання за нормального закону розподілу ймовірностей вхідних подій: приходу покупців та тривалості обслуговування (при деякому фіксованому наборі параметрів).

Варіант 4

У розглянутій системі може виникнути критична ситуація, коли черга необмежено зростає з часом. Справді, якщо покупці заходять до магазину дуже часто (або продавець працює занадто повільно), черга починає зростати, і в системі, що розглядається, з кінцевим часом обслуговування настане криза.

Побудувати залежність між величинами (a max , b max),відображає межу зазначеної критичної ситуаціїпри рівноймовірному розподілі вхідних подій.

Варіант 5

На міжміській телефонній станції дві телефоністки обслуговують загальну чергу замовлень. Чергове замовлення обслуговує телефоністка, яка першою звільнилася. Якщо обидві в момент надходження замовлення зайняті, дзвінок анулюється і потрібно дзвонити знову. Змоделювати процес, вважаючи вхідні потоки пуассонівськими.

Варіант 6

Змоделювати ситуацію, описану в попередньому варіанті, але вважати, що якщо в момент спроби зробити замовлення обидві телефоністки зайняті, формується черга.

Варіант 7

Нехай на телефонній станції з одним входом використовують звичайну систему: якщо абонент зайнятий, то черга не формується і треба дзвонити знову. Змоделювати ситуацію: три абоненти намагаються додзвонитися до одного й того ж власника номера і у разі успіху розмовляють із ним деякий (випадковий за тривалістю) час. Яка ймовірність того, що хтось, хто намагається додзвонитися, не зможе зробити це за певний час Т?

Варіант 8

Змоделювати ситуацію, описану в попередньому варіанті, але вважати, що якщо в момент спроби зв'язатися телефон абонента зайнятий, формується черга.

Варіант 9

На травмопункті працює один лікар. Тривалість лікування хворого та проміжки часу між надходженнями хворих – випадкові величини, розподілені за пуасонівським законом. За тяжкістю травм хворі поділяються на три категорії, надходження хворого на будь-яку категорію - випадкова подіяз рівноймовірним розподілом. Лікар спочатку займається хворими з максимально тяжкими травмами (у порядку їх надходження), потім, якщо таких немає, - хворими із травмами середньої тяжкості (у порядку їх надходження) і лише потім - хворими з легкими травмами. Змоделювати процес та оцінити середні часи очікування у черзі хворих кожної з категорій.

Варіант 10

Змоделювати ситуацію, описану в попередньому варіанті, за умови, що в травмопункті працюють два лікарі, а хворі діляться не на три, а на дві категорії.

Варіант 11

Одна ткаля обслуговує групу верстатів, здійснюючи при необхідності короткострокове втручання, тривалість якого - випадкова величина. Яка ймовірність простою відразу двох верстатів? Який великий середній час простою одного верстата?

Варіант 12

Змоделювати ситуацію, описану в попередньому варіанті, якщо групу верстатів спільно обслуговують дві ткалі.

Варіант 13

Уміське автогосподарство дві ремонтні зони. Одна - обслуговує ремонти короткої та середньої тривалості, інша - середньої та довгої (тобто середньостроковий ремонт може здійснювати кожна із зон). У міру поломок до автогосподарства доставляють транспорт; Проміжок часу між доставками – випадкова пуассонівська величина. Тривалість ремонту - випадкова величина з нормальним закономрозподілу. Змоделювати описану систему. Які середні часи очікування у черзі транспорту, що потребує відповідно короткострокового, середньострокового та тривалого ремонту?

Варіант 14

Реалізувати імітаційну модель статистичного моделюванняна вирішення завдання Бюффона (XVIII в.). Автор аналітично виявив, що якщо на полі, розграфлене паралельними прямими, відстань між якими L,кидається навмання голка завдовжки l, то ймовірність того, що голка перетне хоча б одну пряму, визначається формулою .

Це завдання дала спосіб імітаційного визначення числа п.Справді, якщо L = 2l,те. У процесі моделювання виконати цей розрахунок.

Варіант 15

Розробити модель випадкового одновимірного блукання (модель п'яниці). Блукання визначається за правилом: якщо випадкове число з відрізка менше 0,5, то робиться крок праворуч на відстань h, інакше - вліво. Розподіл випадкових чисел прийняти рівноймовірним.

Вирішити завдання: яка ймовірність при такому блуканні відійти від початкової точки на пкроків?

Варіант 16

Уумовах завдання з попереднього варіанту отримати відповідь на запитання: яка ймовірність «п'яниці» повернутися через пкроків у початкову точку?

Варіант 17

Крапка хаотично блукає на площині по вузлах квадратної сітки з можливістю робити з рівною ймовірністюкроки вліво-вправо-вгору-вниз на фіксований (за один хід) крок. Рух відбувається у замкнутому прямокутному обсязі, і при зіткненні зі стінкою відбувається дзеркальне відображеннявід неї.

Відповісти в ході моделювання на питання: як пов'язана частота відвідування кожного вузла з відстанню від нього до того вузла, з якого починається рух.

Варіант 18

Змоделювати ту саму ситуацію, що й у завданні до варіанта 17, за умови необмеженої області блукання та відповісти на задане запитання.

Варіант 19

Змоделювати політ бджоли. На площині (поляні) випадково ростуть медоносні рослини із заданою концентрацією (на 1 м 2 ). У центрі – вулик, з якого вилітає бджола. Бджола може долетіти від однієї рослини до іншої рослини, але ймовірність вибору монотонно зменшується зі збільшенням відстані між рослинами (за деяким законом). Яка ймовірність відвідування бджолою конкретної заданої рослини за задану кількістьелементарних перельотів?

Варіант 20

Реалізувати модель плоского броунівського руху пчастинок у прямокутнику. Частинки вважати кульками кінцевого розміру. Удари частинок один про одного і стінки моделювати як абсолютно пружні. Визначити у цій моделі залежність тиску газу на стінки від кількості частинок.

Варіант 21

Розробити в деталях та реалізувати модель перемішування (дифузії) газів у замкнутій посудині. У початковий час кожен газ займає половину судини. Вивчити за допомогою цієї моделі залежність швидкості дифузії від різних параметрів вхідних.

Варіант 22

Реалізувати імітаційну модель системи «хижак – жертва» за наступною схемою.

«Острів» розміром 20x20 заселений дикими кроликами, вовками та вовчицями. Є кілька представників кожного виду. Кролики в кожен момент часу з однаковою ймовірністю 1/9 пересуваються в один із восьми сусідніх квадратів (за винятком ділянок, обмежених береговою лінією) або просто сидять нерухомо. Кожен кролик з ймовірністю 0,2 перетворюється на двох кроликів. Кожна вовчиця пересувається випадковим чином, поки в одному із сусідніх восьми квадратів не виявиться кролик, за яким вона полює. Якщо вовчиця та кролик опиняються в одному квадраті, вовчиця з'їдає кролика та отримує одне очко. В іншому випадку вона втрачає 0,1 очка.

Вовки та вовчиці з нульовою кількістю очок вмирають. У початковий момент часу всі вовки та вовчиці мають 1 очко. Вовк поводиться подібно до вовчиці доти, доки в сусідніх квадратах не зникнуть усі кролики; тоді, коли вовчиця знаходиться в одному з восьми довколишніх квадратів, вовк женеться за нею.

Якщо вовк і вовчиця опиняться в одному квадраті і немає кролика, якого можна з'їсти, вони виробляють потомство випадкової статі.

Спостерігати за зміною популяції протягом деякого періоду часу. Простежити, як позначаються еволюції популяцій зміни параметрів моделі.

Варіант 23

Промоделювати процес розповсюдження інфекції позбавляючи по ділянці шкіри розміром п x п (п -непарне) клітин.

Передбачається, що вихідною клітиною зараженої шкіри є центральна. У кожний інтервал часу уражена інфекцією клітина може з ймовірністю 0,5 заразити будь-яку із сусідніх здорових клітин. Після шести одиниць часу заражена клітина стає несприйнятливою до інфекції, імунітет, що виник, діє протягом наступних чотирьох одиниць часу, а потім клітина виявляється здоровою. У ході моделювання описаного процесу видавати поточний станмоделюється ділянки шкіри в кожному інтервалі часу, відзначаючи заражені, несприйнятливі до інфекції та здорові клітини.

Простежити, як позначаються на результатах моделювання зміна розмірів поля та ймовірність зараження.

Варіант 24

Розробити в деталях та реалізувати модель поширення забруднюючих навколишнє середовищечастинок речовини, що випускаються в атмосферу заводською трубою (наприклад, золи, що утворюється після спалювання вугілля на електростанції). Вважати рух частинки що складається з двох компонентів: горизонтальній площині- під впливом випадкових поривів вітру, у вертикальному – під дією сили тяжіння.

додаткова література

1. Бейлі Н.Статистичні методи у біології: Пер. з англ. - М: ІЛ, 1962.

2. Гніденко Б.В., Коваленко І.М.Введення у теорію масового обслуговування. - М: Наука, 1966.

3. Сааті Т.Елементи теорії масового обслуговування та її застосування: Пер. з англ. - М: Рад. радіо, 1991.

4. Шеннон Р.Імітаційне моделювання систем – мистецтво та наука: Пер. з англ. - М: Світ, 1978.

Тести до розділу 7