Чому дорівнює заряд однієї частки? Електричний заряд та його властивості

Історія чисел і система числення тісно взаємопов'язані, тому що система числення і є способом запису такого абстрактного поняття, як число. Ця темане відноситься суто до галузі математики, адже все це є важливою частиною культури народу загалом. Тому, коли розбирається історія чисел і систем числення, коротко зачіпаються і багато інших аспектів історії цивілізацій, що їх створили. Системи загалом поділяються на позиційні, непозиційні та змішані. З їх чергування складаються вся історія чисел та систем числення. Позиційні системи - це такі, у яких величина, що позначається цифрою запису числа, залежить від її позиції. У непозиційних системах відповідно такої залежності немає. Людством створено і змішані системи.

Вивчення систем числення у школі

Сьогодні урок «Історія чисел та систем числення» проводиться у 9 класі в рамках курсу з інформатики. Головне практичне його значення - навчити переводити числа з однієї системи числення до іншої (передусім із десятирічної до двійкової). Однак історія чисел та систем числення є органічною частиною історії в цілому і цілком могла б доповнити також цей предмет шкільної програми. Також це могло б поліпшити міждисциплінарний підхід, що пропагується сьогодні. У рамках загального курсуісторії в принципі могла б вивчатися не лише історія економічного розвитку, соціально-політичних рухів, правлінь і воєн, а й у невеликого ступеняісторія чисел та систем числення. 9 клас в курсі інформатики в такому разі можна було б у частині перекладу чисел з однієї системи в іншу забезпечити значно більшим число прикладів із раніше пройденого матеріалу. А ці приклади не позбавлені захопливості, що і буде показано нижче.

Виникнення систем числення

Складно сказати, коли, а головне, як людина навчилася рахувати (так само, як неможливо достеменно з'ясувати, коли, а головне, як виникла мова). Відомо лише, що це давні цивілізації вже мали свої системи рахунку, отже, історія чисел і система числення зародилися в доцивілізаційний час. Камені та кістки не здатні розповісти нам, що відбувалося в людській свідомості, а письмових джерелтоді ще не творили. Можливо, рахунок знадобився людині при розділі видобутку або набагато пізніше, вже в ході неолітичної революціїтобто при переході до землеробства, для поділу ділянок поля. Будь-які теорії щодо цього будуть у рівного ступенябезпідставними. Але деякі припущення все ж таки можна зробити, вивчаючи історію різних мов.

Сліди найдавнішої системи числення

Найлогічніша початкова системарахунки – протиставлення понять «один» – «багато». Логічна вона для нас тому, що в сучасній російській мові існує лише єдина і множина. Але в багатьох було також для позначення двох предметів. Існував він і в перших індоєвропейських мовах, включаючи давньоруську. Таким чином, історія чисел та система числення почалися з поділу понять «один», «два», «багато». Проте вже у найдавніших відомих нам цивілізаціях було розроблено більше детальні системиобчислення.

Месопотамський запис чисел

Ми звикли, що система числення десятирічна. Це зрозуміло: на руках 10 пальців. Проте історія виникнення чисел і систем числення пройшла через складніші фази. Месопотамська система числення – шістдесятирічна. Тому досі за годину 60 хвилин, а за хвилину - 60 секунд. Тому рік ділиться на число місяців, кратне 60, а день ділиться на таку кількість годин. Спочатку це був сонячний годинник, тобто кожен з них становив 1/12 світлового дня(На території сучасного Іраку його тривалість не сильно варіювалася). Тільки набагато пізніше тривалість години стали визначати не по сонцю і додали також 12 нічних годин.

Цікаво те, що записувалися знаки цієї шістдесятирічної системи, ніби вона десятирічна - існувало лише два знаки (для позначення одиниці та десятка, не шести і не шістдесяти, а саме десятка), цифри отримували, комбінуючи ці знаки. Страшно собі навіть уявити, як складно було записати скільки-небудь велику кількість у такий спосіб.

Давньоєгипетська система числення

І історія чисел у десятирічній системі числення, і використання численних значків для позначення чисел почалося з давніх єгиптян. Вони комбінували ієрогліфи, які позначали один, сто, тисячу, десять тисяч, сто тисяч, мільйон та десять мільйонів, позначаючи таким чином потрібне число. Така система була набагато зручніша, ніж месопотамська, яка використовувала лише два знаки. Але при цьому вона мала явне обмеження: складно було записати число, значно більше ніж десять мільйонів. Щоправда, давньоєгипетська цивілізація, як і більшість цивілізацій Стародавнього світу, З такими числами не стикалася.

Еллінські літери в математичних записах

Історія європейської філософії, науки, політичної думки та багато іншого багато в чому починається в Стародавній Елладі(«Еллада» - це самоназва, вона краща, ніж придумана римлянами «Греція»). Розвинені у цій цивілізації були і математичні знання. Числа елліни записували літерами. Окремі букви позначали кожне число від 1 до 9, кожен десяток від 10 до 90 і сотню від 100 до 900. Тільки тисячу позначали тієї ж буквою, як і одиницю, але з іншим знаком поруч із буквой. Система дозволяла навіть великі цифри позначати щодо короткими написами.

Слов'янська система числення як спадкоємиця еллінської

Історія чисел та систем числення була б не повною без кількох слів про наших предків. Кирилиця, як відомо, заснована на еллінському алфавіті, тому й слов'янська системазапису цифр також була заснована на еллінській. Тут теж окремими літерами позначалося кожне число від 1 до 9, кожен десяток від 10 до 90 і сотня від 100 до 900. Тільки використовувалися не еллінські літери, а кирилиця, або глаголиця. Існувала також і цікава особливість: незважаючи на те, що і еллінські тексти в той час, і слов'янські з самого початку їх історії записувалися зліва направо, слов'янські цифриписалися як би справа наліво, тобто літери, що позначали десятки ставили правіше літер, що позначали одиниці, літери, що позначали сотні правіше літер, що позначали десятки і т. д.

Атичне спрощення

Еллінські вчені досягли великих висот. Римське завоюванняне перервало їх досліджень. Наприклад, судячи з непрямих свідчень, за 18 століть до Коперника розробив Геліоцентричну У всіх цих складних розрахунках еллінським ученим допомагала їхня система запису чисел.

Але для простих людей, наприклад, торговців, система часто виявлялася надто складною: щоб її використовувати, потрібно запам'ятати числові значення 27 букв (замість) числових значень 10 символів, які навчають сучасні школярі). Тому з'явилася спрощена система, що отримала назву аттичної (Аттика - область Еллади, який лідирував у регіоні в цілому і особливо в морській торгівлі регіону, оскільки столицею Аттики були знамениті Афіни). У цій системі окремими літерами стали позначатися лише числа один, п'ять, десять, сто, тисяча та десять тисяч. Виходить лише шість знаків - їх набагато легше запам'ятовувати, а надто складних обчислень торговці все одно не робили.

Римські цифри

І система числення, і історія чисел древніх римлян, й у принципі історія науки є продовженням еллінської історії. За основу було взято атичну систему, просто еллінські літери замінили латинськими і додали окреме позначення п'ятдесяти та п'ятисот. При цьому складні розрахунки у своїх трактатах вчені продовжували робити еллінською системою запису в 27 літер (та й самі трактати вони зазвичай писали еллінською).

Римську систему запису чисел не можна назвати особливо досконалою. Зокрема, вона набагато примітивніша, ніж давньоруська. Але історично склалося так, що вона й досі зберігається нарівні з арабськими (так званими) цифрами. І забувати цю альтернативну систему, переставати її використовувати не варто. Зокрема, сьогодні часто арабськими цифрами позначаються а римськими – порядкові.

Великий давньоіндійський винахід

Цифри, які ми сьогодні використовуємо, з'явилися спочатку в Індії. Точно не відомо, коли історія чисел і система числення зробили цей знаменний поворот, але, швидше за все, пізніше V століття від Різдва Христового. Часто наголошується, що саме індійці розробили поняття нуля. Таке поняття було відоме математикам та інших цивілізацій, але дійсно лише система індійців дозволила повноцінно включити його до математичні записи, А значить, і в обчисленні.

Розповсюдження індійської системи числення по Землі

Імовірно, у IX столітті індійські цифризапозичили араби. У той час як європейці зневажливо ставилися до античної спадщини, а в деяких регіонах у свій час навіть навмисно знищували її як язичницьку, араби дбайливо зберігали досягнення древніх греків і римлян. З самого початку їх завоювань ходовим товаром стали переклади античних авторів арабською. В основному через трактати арабських вчених середньовічні європейці знову здобули спадщину давніх мислителів. Разом із цими трактатами прийшли й індійські цифри, які у Європі почали називати арабськими. Вони не відразу були прийняті, тому що для більшості людей виявились менш зрозумілими, ніж римські. Але поступово зручність математичних розрахунків за допомогою цих знаків перемогла неосвіченість. Лідерство європейських промислово розвинених країнпризвело до того, що так звані арабські цифри поширилися у всьому світі і сьогодні застосовуються практично повсюдно.

Двійкова система числення сучасних комп'ютерів

З появою комп'ютерів поступово здійснили значний поворот багато областей знань. Не стала винятком історія чисел та систем числення. Фото першого комп'ютера мало нагадує сучасний пристрій, на моніторі якого ви читаєте цю статтю, але робота їх обох заснована на численні, коді, що складається, тільки з нулів та одиниць. Для повсякденного свідомостівсе ж таки залишається дивним, що за допомогою комбінації з усього двох символів (фактично сигналу або його відсутності) можна робити самі складні обчисленняі автоматично (за наявності відповідної програми) переводити числа в десятирічній системі обчислення до числа в двійковій, шістнадцятковій, шістдесятишестирічній та будь-якій іншій системі. І за допомогою такого двійкового коду на моніторі зображується ця стаття, де відображено історію чисел та систему числення у різних цивілізацій в історії.

Історія розвитку систем числення . 2

Двійкові системи числення 6

Двійкова арифметика 10

Форми подання чисел з фіксованою та плаваючою комою. 13

Складання чисел із фіксованою комою. 16

Додавання чисел з плаваючою комою. 16

Збільшення чисел з фіксованою комою. 17

Розмноження чисел з плаваючою комою. 18

9. Прямий, зворотний та додатковий коди. Модифікований код. 20

Історія розвитку систем числення.

Числення, нумерація, - це сукупність прийомів уявлення натуральних чисел. У будь-якій системі числення деякі символи (слова або знаки) служать для позначення певних чисел, званих вузловими, інші числа (алгоритмічні) виходять в результаті якихось операцій з вузлових чисел. Системи числення розрізняються вибором вузлових чисел і методами освіти алгоритмічних, і з появою писемних позначень числових знаків системи числення стали відрізнятися характером числових символів і принципами їх записи.

Найбільш досконалим принципом представлення чисел є позиційний (помісний) принцип, згідно з яким той самий числовий знак (цифра) має різні значення в залежності від місця, де він розташований. Така система числення ґрунтується на тому, що деяка кількість n одиниць (основа системи числення) об'єднуються в одну одиницю другого розряду, n одиниць другого розряду об'єднуються в одну одиницю третього розряду і т. д. Підставою систем числення може бути будь-яке число більше одиниці. До таких систем належить сучасна десяткова система числення (з основою n=10). У ньому для позначення перших десяти чисел служать цифри 0,1,…,9.

Незважаючи на природність такої системи, що здається, вона стала результатом тривалого історичного розвитку. Виникнення десяткової системи числення пов'язують із рахунком пальцями. Були системи числення та з іншою основою: 5.12 (рахунок дюжинами), 20 (сліди такої системи збереглися у французькій мові, наприклад cuatro – vingts, тобто буквально чотири – двадцять, означає 80), 40, 60 та ін. на ЕОМ часто застосовується система числення з основою 2.

У первісних народів немає розвиненої системи числення. Ще в 19 столітті у багатьох племен Австралії та Полінезії було лише два числівники: один і два; поєднання їх утворювали числа: 3 - два - один, 4 - два - два, 5 - два - два - один і 6 - два - два - два. Про всі числа, великі 6, говорили «багато», не індивідуалізуючи їх. З розвитком суспільно – господарського життя виникла потреба у створенні систем числення, які б і позначати все більші сукупності предметів. Однією з найдавніших систем числення є єгипетська ієрогліфічна нумерація, що виникла ще за 2500 – 3000 років до зв. е. Це була десяткова непозиційна система числення, в якій для запису чисел застосовувався лише принцип додавання (числа, виражені поряд цифрами, що стоять, складаються). Спеціальні знаки були для одиниці ▯ ,десяти ⋓,ста та інших десяткових розрядівдо. Число 343 записувалося так:

Аналогічними системами числення були грецька геродіанова, римська, сирійська та ін.

Римські цифри – традиційна назва знакової системи позначення чисел, заснованої на вживанні особливих символів для десяткових розрядів:

1 5 10 50 100 500 1000

Виникла близько 500 до н. е. у етрусків і використовувалася в Стародавньому Римі; іноді використовується й у час. У цій системі числення натуральні числа записуються за допомогою повторення цих цифр. При цьому якщо велика цифра стоїть перед меншою, то вони складаються (принцип додавання), якщо ж менша – перед більшою, то менша віднімається від більшої (принцип віднімання). Останнє правило застосовується лише щоб уникнути чотириразового повторення однієї й тієї цифри. Наприклад, I, X, C ставляться відповідно перед X, C, M для позначення 9, 90, 900 або перед V, L, D для позначення 4, 40, 400.

Наприклад, VI=5+1=6, IV=5-1=4 (замість IIII), XIX=10+10-1=19 (замість XVIIII), XL=50-10=40 (замість XXXX), XXXIII= 10+10+10+1+1+1=33 і т. д. Виконання арифметичних дій над багатозначними числамиу цій системі дуже незручно.

Більш досконалими системами числення є алфавітні: іонійська, слов'янська, єврейська, арабська, а також грузинська та вірменська. Першою алфавітною системою числення була, напевно, іонійська, що виникла в грецьких колоніях у Малій Азії в середині 5 століття до н. е. В алфавітних системах числення числа від 1 до 9, а також всі десятки і сотні позначаються, як правило, послідовними літерами алфавіту (над якими ставляться рисочки, щоб відрізнити записи чисел від слів). Число 343 в іонійській системі записувалося так:
(тут - 300, - 40, - 3).

Цифрове значення слов'янських абет. Так для кирилиці:

Для позначення чисел над літерами спеціальний знак титло (іноді над кожною літерою, іноді тільки над першою або над усім числом). одиниці записувалися раніше десяти). Для позначення тисяч перед числом їх (ліворуч унизу) ставився особливий знак . Так наприклад:

Для позначення та найменування вищих десяткових розрядів (більше
) існували дві системи: «мале число» та «велике число»; до останньої системи входили числа до
або навіть
(«Більше цього немає людському розуму розумевати»):

Слов'янські цифри до 18 століття були основним цифровим позначенням у Росії.

В алфавітних системах числення запис чисел набагато коротше, ніж у попередніх; крім того, над числами, записаними в алфавітній нумерації, набагато легше робити арифметичні дії. Однак в алфавітних системах числення не можна записувати скільки завгодно великі числа. Греки розширили іонійську нумерацію: числа 1000, 2000,…,9000 вони позначали тими самими літерами, як і 1,2,…,9, але ставили штрих внизу зліва: так,
позначала 1000, - 2000 і т. д. Для 10 000 було запроваджено новий знак. Проте іонійська система числення виявилася непридатною вже для астрономічних обчислень епохи еллінізму, і грецькі астрономи на той час стали комбінувати алфавітну систему з шестидесятковою вавілонською – першою відомою нам системою числення, заснованої на позиційному принципі. У системі числення стародавніх вавилонян, що виникла приблизно за 2000 років до н. е. всі числа записувалися за допомогою двох знаків: (для одиниці) та (для десяти). Числа до 60 записувалися як комбінації цих двох знаків із застосуванням принципу складання. Число 60 знову позначалося знаком, будучи одиницею вищого розряду. Для запису чисел від 60 до 3600 знову застосовувався принцип додавання, а число 36 000 позначалася тим самим знаком, як і одиниця, тощо. д. Число 343=5*60+4*10+3 у цій системі записувалося так:

Однак через відсутність знака для нуля, яким можна було б відзначати відсутні розряди, запис чисел у цій системі числення не був однозначним. Особливістю вавілонської системи числення було те, що абсолютне значеннячисел залишалося невизначеним.

Інша система числення заснована на позиційному принципі, виникла в індіанців майя, мешканців півострова Юкатан ( Центральна Америка) у середині 1 – го тис. н. е. У майя існували дві системи числення: одна, що нагадує єгипетську, вживалася в повсякденному житті, інша - позиційна, з основою 20 і особливим знаком для нуля, застосовувалася при календарних розрахунках. Запис у цій системі, як і в нашій сучасній, мав абсолютний характер.

Сучасна десяткова позиційна система числення виникла з урахуванням нумерації, що зародилася пізніше 5 в. в Індії. До цього Індії були системи числення, у яких застосовувався як принцип додавання, а й принцип множення (одиниця якого – небудь розряду множиться на ліворуч число). Аналогічно будувалися старокитайська система числення та деякі інші. Якщо, наприклад, умовно позначити число 3 символом III, а число 10 символом X, число 30 запишеться як IIIX (три десятки). Такі системи числення могли бути підходом до моделювання десяткової позиційної нумерації.

Десяткова позиційна система дає важливу можливість записувати скільки завгодно великі числа. Запис чисел у ній компактний і зручний для виробництва арифметичних операцій. Тому незабаром після виникнення десяткова позиційна система числення починає поширюватися з Індії на Захід та Схід. У 9 столітті з'являються рукописи на арабською мовою, в яких викладається ця система числення, в 10 столітті десяткова позиційна нумерація доходить до Іспанії, на початку 12 століття вона з'являється і в інших країнах Європи. Нова система числення отримала назву арабської, тому що в Європі з нею познайомилися вперше за латинським перекладамз арабської. Тільки в 16 столітті нова нумерація набула широкого поширення в науці та житейському побуті. У Росії вона починає поширюватися в 17 столітті і на самому початку 18 ст. витісняє алфавітну. Із введенням десяткових дробівдесяткова позиційна система числення стала універсальним засобом для запису всіх дійсних чисел.

Вивчивши цю тему, ви дізнаєтесь і повторіть:

Які системи числення існують;
- як здійснюється переведення чисел з однієї системи числення в іншу;
- з якими системами числення працює комп'ютер;
- як видаються різні числау пам'яті комп'ютера.

З найдавніших часів перед людьми стояла проблема позначення (кодування) числової інформації.

Маленькі діти показують свій вік на пальцях. Льотчик збив літак, йому за це малюють зірку, Робінзон Крузо вважав дні зарубками.

Числом позначали деякі реальні об'єкти, властивості яких були однакові. Коли щось вважаємо чи перераховуємо, ми хіба що знеособлюємо предмети, тобто. маємо на увазі, що їхні властивості однакові. Але головною властивістю числа є наявність об'єкта, тобто. одиниця та її відсутність, тобто. нуль.

Що таке цифра?

Це алфавіт чисел, набір символів, за допомогою яких кодуємо числа. Цифри - числовий алфавіт.

Цифри та цифри – це різні речі! Розглянемо два числа 5 2 і 2 5. Цифри одні й самі – 5 і 2.

А чим ці цифри відрізняються?

Порядком цифр? – Так! Але краще сказати – позицією цифри у числі.

Давайте подумаємо, що це таке системи числення?

Це запис чисел? Так! Але ми не можемо писати так, як нам заманеться – нас мають розуміти інші люди. Тому необхідно ще використовувати і певні правилаїх записи.

Поняття системи числення

Для запису інформації про кількість об'єктів використовуються цифри. Числа записуються з використанням спеціальних знакових систем, які називаються системами числення. Алфавіт систем числення складається із символів, які називаються цифрами. Наприклад, у десятковій системі числення числа записуються за допомогою десяти всім добре відомих цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система числення – це знакова система, в якій числа записуються за певним правиламза допомогою символів деякого алфавіту, які називаються цифрами.

Усі системи числення поділяються на дві великі групи: позиційні та непозиційнісистеми числення. У позиційних системах числення значення цифри залежить від її положення в числі, а в непозиційних - не залежить.

Непозиційні системи числення виникли раніше за позиційні, тому розглянемо спочатку різні непозиційні системи числення.

Непозиційні системи числення

Непозиційною системою числення називається така система числення, яка має кількісний еквівалент («вага») цифри не залежить від її розташування в записі числа.

До непозиційних систем належать: римська система числення, алфавітні системи числення та інші.

Спочатку люди просто розрізняли ОДИН предмет перед ними чи ні. Якщо предмет був не один, то говорили «Багато».

Першими поняттями математики були "менше", "більше", "стільки ж".

Якщо одне плем'я міняло пійманих риб на зроблені людьми іншого племені кам'яні ножі, не треба було рахувати, скільки принесли риб і скільки ножів. Достатньо було покласти поруч із кожною рибою по ножу, щоб обмін між племенами відбувся.

Рахунок виник тоді, коли людині знадобилося повідомляти своїм одноплемінникам про кількість знайдених їм предметів.

І, оскільки багато народів у давнину не спілкувалися один одним, то у різних народіввиникли різні системичислення та подання чисел та цифр.

Численні імена в багатьох мовах вказують, що у первісної людинизнаряддям рахунку були переважно пальці.

Пальці виявилися чудовими обчислювальною машиною. З їхньою допомогою можна було рахувати до 5, а якщо взяти дві руки, то й до 10. У давнину люди ходили босоніж. Тому вони могли користуватися для рахунку пальцями як рук, так і ніг. До цих пір існують у Полінезії племена, які використовують із 20-у систему числення.

Проте відомі народи, у яких одиницями рахунку були пальці, які суглоби.

Доволі широке поширення мала дванадцяткова система числення. Походження її пов'язане з рахунком на пальцях. Вважали великим пальцем руки фаланги решти чотирьох пальців: їх 12.

Елементи дванадцятирічної системи числення збереглися в Англії у системі заходів (1 фут = 12 дюймів) та у грошовій системі (1 шилінг = 12 пенсів). Нерідко і ми стикаємося в побуті з дванадцятковою системою числення: чайні та столові сервізи на 12 персон, комплект носовичків - 12 штук.

Числа в англійськоювід одного до дванадцяти мають свою назву, наступні числа є складовими:

Для чисел від 13 до 19 - закінчення слів - teen. Наприклад, 15 - п'ятнадцять.

Пальцевий рахунок зберігся подекуди й досі. Наприклад, на найбільшій світовій хлібній біржі в Чикаго пропозиції та запити, як і ціни оголошуються маклерами на пальцях без жодного слова.

Запам'ятовувати великі числа було важко, тому до « лічильної машини» рук і ніг стали додавати різні пристосування. З'явилася потреба у записі чисел.

Кількість предметів зображувалася нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині.

Поодинока («палична») система числення

Потреба запису чисел з'явилася в дуже давні часи, як тільки люди почали рахувати. Кількість предметів зображалося нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині, дереві (до винаходу паперу було ще дуже і дуже далеко). Кожному об'єкту у такому записі відповідала одна рисочка. Археологами знайдено такі " записи " при розкопках культурних верств, які стосуються періоду палеоліту (10 - 11 тисяч років до н.е.).

Вчені назвали цей спосіб запису чисел одиничною ("паличною") системою числення. У ньому для запису чисел застосовувався лише одне вид знаків - " паличка " . Кожне число в такій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеного з паличок, кількість яких і дорівнювала числу, що позначається. Перуанці використовували для запам'ятовування чисел різнокольорові шнури із зав'язаними ними вузлами. Цікавий спосібдля запису чисел використовувався індійськими цивілізаціями приблизно у VIII столітті до нової ери. Вони застосовували «вузликовий лист» - пов'язані між собою нитки. Знаками на цих нитках служили вузлики, часто з вплетеними в них камінням або мушлями. Вузликовий запис чисел дозволяв Інкам передавати інформацію про кількість воїнів, позначати кількість померлих або тих, хто народився в тій чи іншій провінції тощо.

Близько 1100 н. е. англійський корольГенріх I винайшов одну з найнезвичайніших фінансових систем в історії, названу системою «мірних рейок». Ця грошова системапротрималася 726 років і була скасована 1826 року.

Дерев'яна полірована рейка із зарубками, що позначають номінал, розщеплювалася по всій довжині так, щоб зберегти зарубки.

Незручності такої системи запису чисел і обмеженість її застосування очевидні: чим більше треба записати, тим довше рядок з паличок. Та й під час запису великої кількостілегко помилитися, завдавши зайву кількість паличок чи, навпаки, не дописавши їх.

Давньоєгипетська десяткова система числення (2,5 тисячі років до н.е.)

Приблизно в третьому тисячолітті до нашої ери стародавні єгиптяни вигадали свою цифрову систему, в якій позначення ключових чисел 1, 10, 100 і т.д. використовувалися спеціальні значки – ієрогліфи.

Решта числа складалися з цих ключових з допомогою операції складання. Система зчислення Стародавнього Єгиптує десятковою, але непозиційною та адитивною.

Записувалися цифри числа з великих значеньі закінчуючи меншими. Якщо десятків, одиниць або якогось іншого розряду не було, то переходили до наступного розряду.

Спробуйте скласти ці два числа, знаючи, що більше 9 однакових ієрогліфів використовувати не можна, і ви зрозумієте, що для роботи з цією системою потрібен спеціальна людина. Звичайній людиніце не під силу.

Римська десяткова система числення (2 тисяч років до н.е. і до наших днів)

Найпоширенішою з непозиційних систем числення є римська система.

Головна проблема з римськими цифрами полягає в тому, що складно робити множення та розподіл. Іншим недоліком римської системи є: великих чиселвимагає введення нових символів. А дробові числаможна записувати лише як відношення двох чисел. Проте вони були основними до кінця середньовіччя. Але й у наш час їх використовують.

Згадайте де?

Значення цифри залежить від її становища в числе.

Наприклад, у числі XXX (30) цифра X зустрічається тричі і в кожному випадку позначає ту саму величину - число 10, три числа по 10 у сумі дають 30.

Величина числа в римській системі числення визначається як сума чи різниця цифр у числі. Якщо менша цифра стоїть ліворуч від більшої, вона віднімається, якщо справа - додається.

Запам'ятайте: 5, 50, 500 не повторюються!

А які можуть повторюватись?

Якщо ліворуч від старшої цифри стоїть молодша, вона віднімається. Якщо молодша цифра стоїть праворуч від старшої, вона додається - I, X, C, M можуть повторюватися до 3-х раз.

Наприклад:

1) MMIV = 1000 +1000 +5-1 = 2004

2) 149 = (Сто - C, сорок - XL, а дев'ять - IX) = CXLIX

Наприклад, запис десяткового числа 1998 р. в римській системі числення буде виглядати наступним чином: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Алфавітні системи числення
Слов'янська кирилична десяткова алфавітна

Ця нумерація була створена разом із слов'янською алфавітною системою для перекладу священних біблійних книгдля слов'ян грецькими ченцями братами Кирилом та Мефодієм у IX столітті. Ця форма запису чисел набула велике поширенняу зв'язку з тим, що мала повну схожість із грецьким записом чисел. До XVII століття ця форма запису чисел була офіційною на території сучасної Росії, Білорусії, України, Болгарії, Угорщини, Сербії та Хорватії Досі православні церковні книги використовують цю нумерацію.

Числа записували з цифр так само зліва, праворуч, від більших до менших. Числа від 11 до 19 записувалися двома цифрами, причому одиниця йшла перед десятком:

Читаємо дослівно "чотирнадцять" - "чотири та десять". Як чуємо, так і пишемо: не 10+4, а 4+10 - чотири та десять. Числа від 21 і від записувалися навпаки, спочатку писали знак повних десятків.

Запис числа, використаний слов'янами адитивний, тобто в ньому використовується тільки додавання:

= 800+60+3

Для того щоб не переплутати літери та цифри, використовувалися титли - горизонтальні рисочки над числами, що ми бачимо на малюнку.

Для позначення чисел більших, ніж 900, використовувалися спеціальні значки, які домальовувалися до літери. Так утворювалися числа:

Слов'янська нумерація проіснувала до кінця XVIIстоліття, поки з реформами Петра I до Росії з Європи не прийшла позиційна десяткова системаобчислення.

Давньоіндійські системи числення

Система числення кхарошті мала ходіння Індії між VI століттям до нашої ери і III століттям нашої ери. Це була непозиційна адитивна система числення. Про неї мало відомо, оскільки збереглося мало письмових документів тієї епохи. Система кхарошті цікава тим, що як проміжний етап між одиницею і десятьма вибирається число чотири. Числа записувалися праворуч наліво.

Поряд із цією системою існувала в Індії ще одна система числення брахмі.

Числа брахмі записувалися зліва направо. Однак у обох системах було чимало спільного. Зокрема, перші три цифри дуже схожі. Загальним було те, що до сотні застосовувався адитивний метод, а потім мультиплікативний. Важливою відмінністю цифр брахмі було те, що цифри від 4 до 90 були представлені тільки одним знаком. Ця особливість цифр брахмі надалі була використана при створенні в Індії десяткової позиційної системи.

У стародавньої Індіїтак само була словесна системаобчислення. Вона була мультиплікативною, позиційною. Знак нуля вимовлявся як «порожнє», чи «небо», чи «дірка». Одиниця як "місяць", або "земля". Двійка як «близнюки», чи «очі», чи «ніздрі», чи «губи». Чотири як "океани", "сторони світу". Наприклад, число 2441 вимовлялося так: очі океанів сторони світла місяця.

Недоліки непозиційних систем числення:

1. Існує постійна потребавведення нових знаків для запису великих чисел.

2. Неможливо представляти дробові та негативні числа.

3. Важко виконувати арифметичні операції, оскільки немає алгоритмів їх виконання. Зокрема, у всіх народів поряд із системами числення були способи пальцевого рахунку, а греки мали лічильну дошку абак – щось на зразок наших рахунків.

Аж до кінця середньовіччя не існувало жодної універсальної системи запису чисел. Тільки з розвитком математики, фізики, техніки, торгівлі, фінансової системивиникла потреба в єдиній універсальній системічислення, хоч і зараз багато племен, нації та народності використовують інші системи числення.

Але ми досі користуємося елементами непозиційної системи числення у повсякденному мовленні, зокрема, ми говоримо сто, а не десять десятків, тисяча, мільйон, мільярд, трильйон.

Позиційні системи числення

Позиційною системою числення називається така система числення, яка має кількісний еквівалент («вага») цифри залежить від її розташування в записі числа.

Будь-яка позиційна система числення характеризується своєю основою.

Заснування позиційної системи числення - кількість різних цифр, що використовуються для зображення чисел у цій системі числення.

За основу можна прийняти будь-яке натуральне число - два, три, чотири, ..., утворивши нову позиційну систему: двійкову, трійкову, четвіркову і т.д.

Вавилонська десяткова / шістдесяткова

У стародавньому Вавилоні приблизно II тисячоліття до нашої ери була така система числення - числа менше 60 позначалися з допомогою двох символів: для одиниці, й у десятка. Вони мали клиноподібний вигляд, тому що вавилоняни писали на глиняних табличкахпаличками трикутної форми. Ці знаки повторювали потрібну кількість разів, наприклад

Вважається, що десяткова система була у шумерів, а після того, як їх завоювали семіти, їхня система була пристосована під шістдесяткову систему семітів.

Шістдесятковий запис цілих чисел не отримав широкого поширенняза межами Ассиро-вавилонського царства, але шістдесяткові дроби застосовуються досі при вимірі часу. Наприклад, одна хвилина = 60 секунд, одна година = 60 хвилин.

Давньокитайська десяткова

Ця система одна з найстаріших і найпрогресивніших, оскільки в неї закладені такі самі принципи, як і в сучасну арабську, якою ми з Вами користуємося. Виникла ця система близько 4 000 тисяч років тому у Китаї.

Числа в цій системі, як і в нас записувалися зліва направо, від великих до менших. Якщо десятків, одиниць або якогось іншого розряду не було, то спочатку нічого не ставили і переходили до наступного розряду. (За часів династії Мін було введено знак для порожнього розряду – гурток – аналог нашого нуля). Щоб не переплутати розряди, використовували кілька службових ієрогліфів, що писалися після основного ієрогліфа, і показують яке значення набуває ієрогліф-цифра в даному розряді.

Цей мультиплікативний запис, оскільки в ньому використовується множення. Вона десяткова, у ній є знак нуля, крім цього, вона позиційна. Тобто. вона майже відповідає «арабській» системі числення.

Двадцятерична система числення індіанців Майя або довгий рахунок

Ця система дуже цікава тим, що на її розвиток не вплинула жодна з цивілізацій Європи та Азії. Ця система застосовувалася для календаря та астрономічних спостережень. Характерною особливістюїї була наявність нуля (зображення черепашки). Підставою цієї системи було число 20, хоча дуже помітні сліди п'ятирічної системи. Перші 19 чисел виходили шляхом комбінування точок (один) і рис (п'ять).

Число 20 зображувалося з двох цифр, нуль і один нагорі і називалося уіналу. Записувалися числа стовпчиком, унизу розташовувалися найменші розряди, вгорі найбільші, у результаті виходила «етажерка» з полицями. Якщо число нуль з'являлося без одиниці нагорі, це означало, що одиниць даного розряду немає. Але, якщо хоч одна одиниця була в цьому розряді, знак нуля зникав, наприклад, число 21, це буде . Також у нашій системі числення: 10 – з нулем, 11 – без нього. Ось кілька прикладів чисел:

У двадцятеричній системі рахунки стародавніх майя є виняток: варто додати до 359 тільки одну одиницю першого порядку, як це виняток негайно набирає чинності. Суть його зводиться до такого: 360 є початковим числом третього порядку та його місце вже не на другій, а на третій полиці.

Але тоді виходить, що початкове число третього порядку більше від початкового числа другого не в двадцять разів (20x20=400, а не 360!), а лише у вісімнадцять! Значить, принцип двадцятеричності порушено! Все вірно. Це і є виняток.

Справа в тому, що в індіанців Майя 20 днів-кінів утворювали місяць або уїнал. 18 місяців-уіналів утворювали рік або туну (360 днів на рік) і так далі:

К"ін = ​​1 день. Виналь = 20 к"ін = ​​20 днів. Тун = 18 виналь = 360 днів = близько 1 року. К"атун = 20 тун = 7200 днів = близько 20 років. Бак"тун = 20 к"атун = 144000 днів = близько 400 років. Піктун = 20 бак"тун = 2880000 днів = близько 8000 років. Калабтун = 20 піктуна = 57 600 000 днів = близько 160 000 років. К"інчільтун = 20 калабтун = 1152000000 днів = близько 3200000 років. Алавтун = 20 к"інчільтун = 23040000000 днів = близько 64000000 років.

Це досить складна системаобчислення, що в основному використовувалася жерцями для астрономічних спостережень, інша система індіанців Майя була адитивною, схожою на єгипетську і застосовувалася в повсякденному житті.

Історія «арабських» чисел.

Історія наших звичних «арабських» чисел дуже заплутана. Не можна сказати точно і достовірно, як вони сталися. Ось один із варіантів цієї історії цього походження. Одне точно відомо, що завдяки древнім астрономам, саме їх точним розрахункам ми маємо наші числа.

Як ми вже знаємо, у вавілонській системі числення є знак для позначення пропущених розрядів. Приблизно у II столітті до н. з астрономічними спостереженнямивавилонян познайомилися грецькі астрономи (наприклад, Клавдій Птолемей). Вони перейняли їхню позиційну систему числення, але цілі числа вони записували не за допомогою клинів, а у своїй алфавітній нумерації, а дроби у вавилонській шестидесятковій системі числення. Але для позначення нульового значення розряду грецькі астрономи почали використовувати символ "0" (перша літера грецького слова Ouden – ніщо).

Між II та VI століттями н.е. індійські астрономи познайомилися із грецькою астрономією. Вони перейняли шістдесяткову систему та круглий грецький нуль. Індійці поєднали принципи грецької нумерації з десятковою мультиплікативною системою, взятою з Китаю. Так само вони стали позначати цифри одним знаком, як було заведено в давньоіндійській нумерації брахмі. Це був завершальний крок у створенні позиційної десяткової системи числення.

Блискуча робота індійських математиків була сприйнята арабськими математиками і Аль-Хорезмі в IX столітті написав книгу "Індійське мистецтво рахунки", в якій описує десяткову позиційну систему числення. Прості та зручні правиласкладання та віднімання скільки завгодно великих чисел, записаних у позиційній системі, зробили її особливо популярною серед європейських купців.

У XII ст. Хуан із Севільї переклав на латину книгу "Індійське мистецтво рахунку", і індійська система рахунку широко поширилася по всій Європі. А оскільки праця Аль-Хорезмі була написана арабською мовою, то за індійською нумерацією в Європі закріпилася неправильна назва - "арабська". Але самі араби називають цифри індійськими, а арифметику, засновану на десятковій системі - індійським рахунком.

Форма «арабських» цифр згодом сильно змінювалася. Та форма, в якій ми їх пишемо, встановилася у XVI столітті.

Навіть Пушкін запропонував свій варіант форми арабських чисел. Він вирішив, що всі десять арабських цифр, включаючи нуль, містяться в магічному квадраті.

Десяткова позиційна система числення

Індійські вчені зробили одне з найважливіших у математиці відкриттів – винайшли позиційну систему числення, якою тепер користується весь світ. Ал-Хорезмі докладно описав індійську арифметику у своїй книзі.

Мухаммед бен Муса ал-Хорезм

Приблизно 850 року н.е. він написав книгу про загальних правилахрішення арифметичних завданьза допомогою рівнянь. Вона називалася "Кітаб ал-Джебр". Ця книга дала ім'я науці алгебри.

Через триста років (1120 р.) цю книгу переклали на Латинська мова, і вона стала першим підручником "індійської" арифметики для всіх європейських міст.

Історія нуля.

Нуль буває різний. По-перше, нуль – це цифра, що використовується позначення порожнього розряду; по-друге, нуль - це незвичайне число, так як на нуль ділити не можна і при множенні на нуль будь-яке число ставати нулем; по-третє, нуль потрібен для віднімання та додавання, інакше, скільки буде, якщо з 5 відняти 5?

Вперше нуль з'явився в давньовавилонській системі числення, він використовувався для позначення пропущених розрядів у числах, але такі числа як 1 і 60 вони записували однаково, оскільки нуль наприкінці числа вони ставився. У системі нуль виконував роль пробілу у тексті.

Винахідником форми нуля вважатимуться великого грецького астронома Птолемея, оскільки у його текстах дома знака пробілу стоїть грецька літераомікрон, що дуже нагадує сучасний знак нуля. Але Птолемей використовує нуль у тому сенсі, як і вавилоняни. На стінному написі в Індії в IX столітті н.е. вперше символ нуля зустрічається наприкінці числа. Це перше загальноприйняте позначення сучасний знакнуля. Саме індійські математики винайшли нуль у всіх його трьох сенсах. Наприклад, індійський математик Брахмагупта ще у VII ст. н.е. активно став використовувати негативні числа та дії з нулем. Але він стверджував, що число, ділене на нуль, є нуль, що звичайно помилка, але справжня математична зухвалість, яка призвела до іншого чудового відкриття індійських математиків. І в XII столітті інший індійський математик Бхаскар робить ще спробу зрозуміти, що ж буде при розподілі на нуль. Він пише: "кількість, поділена на нуль, стає дробом, знаменник якого дорівнює нулю. Цей дріб називають нескінченністю".

Леонардо Фібоначчі, у своєму творі "Liber abaci" (1202) називає знак 0 арабською zephirum. Слово zephirum - це арабське слово as-sifr, яке походить від індійського слова sunya, тобто порожнє, що служило назвою нуля. Від слова zephirum походить французьке слово zero (нуль) та італійське слово zero. З іншого боку, від арабського слова as-sifr відбулося російське словоцифри. Аж до середини XVIIстоліття це слово вживалося спеціально для позначення нуля. Латинське слово nullus (ніякий) узвичаїлося для позначення нуля в XVI столітті.

Нуль – це унікальний знак. Нуль – це чисто абстрактне поняття, одне з найбільших досягненьлюдини. Його немає в природі навколишнього нас. Без нуля можна спокійно обійтися в усному рахунку, але неможливо обійтися точного запису чисел. Крім цього, нуль знаходиться на противагу всім іншим числам, і символізує собою нескінченний світ. І якщо все є число, то ніщо є все!

Підстави, що використовуються в наші дні:

10 - Звична десяткова система числення (десять пальців на руках). Алфавіт: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - придумано в Стародавньому Вавилоні: розподіл години на 60 хвилин, хвилини - на 60 секунд, кута - на 360 градусів.

12 - розповсюдили англосакси: у році 12 місяців, на добу два періоди по 12 годин, у футі 12 дюймів

7 - використовується для рахунку днів тижня