Подання залежності між величинами у вигляді формул. Види залежностей між випадковими величинами

Регресійного аналізу

Обробка результатів експерименту методом

При вивченні процесів функціонування складних систем доводиться мати справу з низкою одночасно діючих випадкових величин. Для з'ясування механізму явищ, причинно-наслідкових зв'язків між елементами системи тощо, за отриманими спостереженнями намагаємося встановити взаємовідносини цих величин.

У математичний аналіззалежність, наприклад, між двома величинами виражається поняттям функції

де кожному значенню однієї змінної відповідає лише одне значення інший. Така залежність зветься функціональною.

Набагато складніше справа з поняттям залежності випадкових величин. Як правило, між випадковими величинами(Випадковими факторами), що визначають процес функціонування складних систем, зазвичай існує такий зв'язок, при якій зі зміною однієї величини змінюється розподіл іншої. Такий зв'язок називається стохастичної, або імовірнісний. У цьому величину зміни випадкового чинника Y, що відповідає зміні величини Х, можна розбити на два компоненти. Перший пов'язаний із залежністю Yвід X, а другий із впливом "власних" випадкових складових величин Yі X. Якщо перший компонент відсутній, то випадкові величини Yі Xє незалежними. Якщо відсутній другий компонент, то Yі Xзалежать функціонально. За наявності обох компонентів співвідношення між ними визначає силу або тісноту зв'язку між випадковими величинами. Yі X.

Існують різні показники, які характеризують ті чи інші сторони стохастичного зв'язку Так, лінійну залежність між випадковими величинами Xі Yвизначає коефіцієнт кореляції.

де – математичні очікування випадкових величин X та Y.

– середні квадратичні відхиленнявипадкових величин Xі Y.

Лінійна ймовірнісна залежність випадкових величин полягає в тому, що при зростанні однієї випадкової величини інша має тенденцію зростати (або зменшуватися) за лінійним законом. Якщо випадкові величини Xі Yпов'язані строгою лінійною функціональною залежністю, наприклад,

y=b 0 +b 1 x 1,

то коефіцієнт кореляції дорівнюватиме ; причому знак відповідає знаку коефіцієнта b 1. Якщо величини Xі Yпов'язані довільною стохастичною залежністю, то коефіцієнт кореляції буде змінюватися в межах

Слід наголосити, що для незалежних випадкових величин коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Однак коефіцієнт кореляції як показник залежності між випадковими величинами має серйозні недоліки. По-перше, з рівності r= 0 не слідує незалежність випадкових величин Xі Y(за винятком випадкових величин, підпорядкованих нормальному законурозподіли, для яких r= 0 означає одночасно відсутність будь-якої залежності). По-друге, крайні значення також не дуже корисні, тому що відповідають не будь-якій функціональної залежності, А лише строго лінійної.

Повний описзалежності Yвід X, і притому виражене в точних функціональних співвідношеннях, можна отримати, знаючи умовну функціюрозподілу.

Слід зазначити, що при цьому одна із змінних величин, що спостерігаються, вважається невипадковою. Фіксуючи одночасно значення двох випадкових величин Xі Y, ми при зіставленні їх значень можемо віднести всі помилки лише до величини Y. Таким чином, помилка спостереження складатиметься з власної випадкової помилки величини Yі з помилки зіставлення, що виникає через те, що з величиною Yзіставляється не зовсім те значення X, що мало місце насправді.

Проте відшукання умовної функції розподілу, зазвичай, виявляється дуже складним завданням. Найбільш просто дослідити залежність між Хі Yпри нормальному розподілі Y, оскільки воно повністю визначається математичним очікуванням та дисперсією. В цьому випадку для опису залежності Yвід Xне потрібно будувати умовну функцію розподілу, а достатньо лише вказати, як за зміни параметра Xзмінюються математичне очікування та дисперсія величини Y.

Таким чином, ми приходимо до необхідності пошуку лише двох функцій:

(3.2)

Залежність умовної дисперсії Dвід параметра Хносить назву сходастичноїзалежності. Вона характеризує зміну точності методики спостережень за зміни параметра і використовується досить рідко.

Залежність умовного математичного очікування Mвід Xносить назву регресії, вона дає справжню залежність величин Хі У, позбавлену всіх випадкових нашарувань. Тому ідеальною метою будь-яких досліджень залежних величинє відшукання рівняння регресії, а дисперсія використовується лише з оцінки точності отриманого результату.

Тема уроку "Залежність між величинами".

Цілі уроку:

1.Дати поняття залежності між величинами, з'ясувати способи їхнього завдання.

2.Розвивати здатність учнів аналізувати та синтезувати навчальний матеріал.

3.Виховувати творче ставленнядо навчальної праці.

4.Поднести навчальний матеріал через емоційно - переживальну сферу учня.

А тепер опишемо з технології побудови вчителем методики уроку з технології діяльнісного методу.

1. Етап самовизначення норми N

На цьому етапі визначається тема та навчальна мета уроку: «На уроці ми розглянемо залежність між різними величинами», тобто оголошується операція без уточнення умов її застосування.

2. Етап актуалізації знань та фіксація утруднення в діяльності.

У цьому етапі вчитель пропонує список завдань, виконання яких передбачає виконання відомої раніше норми.

Як знайти:

Площа прямокутника?

Периметр прямокутника?

Об `єм прямокутного паралелепіпеда?

Швидкість за течією?

Швидкість проти течії?

Останнім питанням на етапі актуалізації знань має бути питання, яке фіксує труднощі у діяльності учнів, тобто раніше вивчених знань не вистачає, виникає навчальна проблема. У даному випадкуце питання: «Для чого потрібні ці правила та відповідні формули?».

3. Етап постановки навчального завдання.

Вчитель ставить перед учнями проблему: Як виміряти площу ділянки прямокутної формиякщо ми не знаємо формулуS=ав? Можна розбити ділянку на прямокутники розміром 1 кв. метр і порахувати їхню кількість. Чи це зручно?

Учні відповідають, що це можливо, але незручно. Отже, формули потрібні обчислення величин, вимір яких важко.

Вчитель ставить ще переконливішу проблему: як виміряти відстань від Землі до Сонця? Отже, очевидна криза раніше відомої нормиN.

4. Етап побудови проекту виходу із скрути.

Вчені встановили, що відстань від Землі до Сонця становить 150 млн. км. А як вони довідалися про це? Спільно з дітьми з'ясовується формула обчислення відстані від Землі до Сонцяs= ct, Де с = 300000км,t=8 хв, час, протягом якого світло сягає Землі. Обчислення показують, щоs=2400000 км. Чому у нас вийшла розбіжність з відомим фактом?

Висновок: Формулу можна застосувати тільки в тому випадку, коли одиниці вимірювання величин, що входять до неї, узгоджені між собою.

На цьому етапі доречний вплив на емоційно-переживальну сферу учня за допомогою невеликої виховної бесіди. « Світло від Землі до Сонце йдепротягом 8 хвилин, отже, бачимо Сонце таким, яким воно було 8 хвилин тому. Є зірки, світло від яких іде до нас мільйони років: зірка може вже згасла, а світло від неї йде досі. Так само бувають і люди: людини вже немає з нами, а її тепло, світло зігрівають нас усе життя. Такою людиною був народний поетБашкортостану Мустай Карім, день пам'яті якого ми відзначаємо сьогодні. Його духовна енергія, тепло його серця служитиме нам моральним орієнтиром багато років».

На цьому етапі уроку учням пропонуються різні способизавдання залежностей між величинами: табличний, графічний та с допомогою формули.

Діти цьому етапі входять у ситуацію вибору методу рішення навчальної завдання: вони порівнюють різні способи завдання залежностей між величинами. Результати порівняння фіксуються на опорно-вузловій матриці.

Методи завдання Формула графік таблиця

1-універсальність, 2-точність, 3-наочність;

(Умовні позначення"Д" - так, "Н" - ні)

На основі аналізу опорно - вузлової матриці учні роблять висновок про те, що найкращим є завдання залежності між величинами за допомогою формули, тому що він має властивість універсальності: з формули можна отримати таблицю залежності і побудувати графік залежності між величинами.

5. Етап первинного закріплення у зовнішній мові.

Розбирається завдання №90

За однією формулою залежності ширини прямокутника від його довжини при постійній площі:b=12/а скласти таблицю цієї залежності та побудувати її графік.

1 ,5

1,5

Графік залежності довжини прямокутника від ширини

Отже, ми пов'язали 3 способи завдання залежностей між величинами:

За допомогою формули,

Графічний,

Табличний.

6. Етап самостійної роботиіз самоперевіркою за зразком.

Учні самостійно вирішують завдання на новий спосібдій, виконують самоперевірку за зразком і оцінюють свої результати. Створюється ситуація успіху, знову задіяна емоційно-переживальна сфера учня. На одному етапі учням пропонують завдання №133, №140. Задля реалізації принципу мінімаксу діяльнісної технології навчання учням пропонують завдання двох рівнів: М, А й У.

Рівень М: №133, А: №140. Рівень В: №145

7. Включення нових знань до знань.

На даному етапі учні переконуються, що новонабуті знання мають цінність для подальшого навчання. Виконуючи вправу №139, вони встановлюють залежність між

Об'ємомVкуба та його ребром а;

ПлощеюS прямокутного трикутникаі катетами а іb

ДіаметромDта радіусомRцього кола;

Довжиною сторони прямокутника, його периметром Р і площеюS;

Sкуба та його ребром а

Площею повної поверхніSпрямокутного паралелепіпеда та його вимірами а,bта с.

8. Рефлексія діяльності (підсумок уроку)

Учні виконують самооцінку власної діяльності(Що нового дізналися, який метод використовували, успішність виконаних кроків). Відбувається фіксація успішності діяльності та висновок про наступні кроки. Виявляються учні, які виконали завдання рівня А та В.

Примітка.

Урок проведено за підручником Г.В.Дорофєєва, Л.Г.Петерсон. Математика, підручник для 6 класів. Частина 2. Ювента. 2011р

Це приклад залежності, представленої в функціональній формі. Цю залежність називають кореневою (час пропорційно квадратного коренявисоти).
У більш складних завданняхматематичні моделі представляються як рівнянь чи систем рівнянь.

Табличні та графічні моделі
Це інші, не формульні способи подання залежностей між величинами. Наприклад, ми вирішили перевірити закон вільного падіннятіла експериментальним шляхом.

Експеримент організуємо наступним чином: кидатимемо сталеву кульку з 6-метрової висоти, 9-метрової і т. д. (через 3 метри), заміряючи висоту початкового положення кульки і час падіння. За результатами експерименту складемо таблицю та намалюємо графік.Якщо кожну пару значень Н і t з даної таблиці підставити в наведену раніше формулу залежності висоти від часу, то формула перетвориться на рівність (з точністюдо похибки вимірів). Значить, модель добре працює. Однак якщо скидати не сталеву кульку, а велику легку м'яч, то рівність не буде досягатися, а якщо надувна кулька, то значення лівої і правої частинформули відрізнятимуться дуже сильно. Як ви вважаєте, чому?

Отже, цьому прикладі ми розглянули три способу моделювання залежності величин: функціональний (формула), табличний і графічний. Однак математичною моделлю процесу падіння тіла на землю можна назвати лише формулу. Формула універсальніша, вона дозволяє визначити час падіння тіла з будь-якої висоти, а не тільки для того експериментального набору значень Н, який відображений на малюнку. Маючи формулу, можна легко створити таблицю та побудувати графік, а навпаки – вельми проблематично.
Так само можна відобразити залежність будь-якого явища фізичної природи, що описується відомими формулами.
Інформаційні моделі, що описують розвиток систем у часі, мають спеціальну назву: динамічні моделі . У фізиці динамічні інформаційні моделі описують рух тіл, у біології – розвиток організмів чи популяцій тварин, у хімії – перебіг хімічних реакційі т.д.

Моделі статистичного прогнозування
Статистика- наука про збір, вимірювання та аналіз масових кількісних даних.
Існують медична статистика, економічна статистика, соціальна статистика та інші. Математичний апарат статистики розробляє наука під назвою математична статистика .

Наприклад, найбільш сильний впливна бронхіально-легеневі захворювання чинить чадний газ- . Поставивши за мету визначити цю залежність, фахівці з медичної статистики проводять збір даних. Отримані дані можна звести до таблиці, а також подати у вигляді точкової діаграми. А як побудувати математичну модель цього явища? Очевидно, потрібно отримати формулу, що відображає залежність кількості хронічних хворих на Р від концентрації чадного газу С. На мові математики це називається функцією залежності Р від С: Р(С). Вигляд такої функції невідомий, її слід шукати методом підбору експериментальних даних.

Графік потрібної функції повинен проходити близько до точок діаграми експериментальних даних. Будувати функцію так, щоб її графік точно проходив через усі ці точки, не має сенсу. По перше, математичний виглядтака функція може виявитися занадто складною. По-друге, експериментальні значення є наближеними.
Звідси випливають основні вимоги до шуканої функції:
вона повинна бути досить простою для використання її в подальших обчисленнях;
графік цієї функції повинен проходити поблизу експериментальних точок так, щоб відхилення цих точок від графіка були мінімальними та рівномірними. Отриману функцію у статистиці прийнято називати регресійною моделлю.

Метод найменших квадратів
Отримання регресійної моделі відбувається у два етапи:
1) добір виду функції;
2) обчислення параметрів функції.
Перше завдання не має суворого рішення.
Найчастіше вибір проводиться серед таких функцій:
у = ах + b – лінійна функція (поліном 1-го ступеня);
у = ах 2 + bх + с – квадратична функція

Прогнозування за регресійною моделлю
Отримавши регресійну математичну модель можна прогнозувати процес шляхом обчислень, тобто оцінити рівень захворюваності на астму не тільки для тих значень, які були отримані шляхом вимірювань, але і для інших значень.
Якщо прогноз проводиться в межах експериментальних значень, то це називається відновленням значення .
Прогнозування поза експериментальних даних називається екстраполяцією.
Маючи регресійну модель, легко прогнозувати, здійснюючи розрахунки за допомогою електронних таблиць.
У ряді випадків з екстраполяцією треба бути обережним. Застосовність будь-якої регресійної моделі обмежена, особливо за межами
експериментальної галузі. У нашому прикладі при екстраполяції не слід далеко уникати величини 5 мг/м 3 . Що буде далеко від цієї галузі, ми не знаємо. Будь-яка екстраполяція тримається на гіпотезі: «припустимо, що поза експериментальної області закономірність зберігається». А якщо не зберігається?
Наприклад, квадратична модель у прикладі при концентрації, близької до 0, видасть 150 людина хворих, т. е. більше, ніж за 5 мг/м 3 . Очевидно, це безглуздість. В області малих значень краще працює експоненційна модель. До речі, це досить типова ситуація: різним областямданих можуть відповідати різні моделі.

Моделювання кореляційних залежностей
Нехай важливою характеристикоюдеякою складної системиє фактор А. На нього можуть впливати одночасно багато інших факторів: B, C, D і т.д.

Як приклад складної системи розглянемо школу. Нехай господарські витрати школи виражаються кількістю рублів, віднесених до учнів у школі (руб./чол.), витрачених за певний періодчасу (наприклад, протягом останніх 5 років). Успішність нехай оцінюється середнім балом учнів школи за результатами закінчення останнього навчального року. Підсумки збору даних по 20 школах, введені в електронну таблицюіточкова діаграмапредставлені на малюнках. Значення обох величин: фінансових витрат і успішності учнів мають значний розкид і, на перший погляд, взаємозв'язку між ними не видно. Однак вона цілком може існувати. У Excel функціяобчислення коефіцієнта кореляції називається Корелта входить до групи статистичних функцій. Покажемо, як нею скористатися. На тому ж аркуші Excel, де знаходиться таблиця, треба встановити курсор на будь-яку вільну комірку і запустити функцію КОРРЕЛ. Вона запросить два діапазони значень. Вкажемо, відповідно, В2: В21 та С2: С21. Після їхнього введення буде виведено відповідь: р = 0,500273843. Ця величина говорить про середній рівень кореляції. Тепер розглянемо який параметр з 2-х: оснащеність підручниками або комп'ютерами є корелюючою в більшою мірою, тобто. має більший вплив на успішність Нижчена малюнку наведено результати вимірювання обох факторів 11 різних школах. Для обох залежностей отримано коефіцієнти лінійної кореляції. Як видно з таблиці, кореляція між забезпеченістю підручниками та успішністю сильніша, ніж кореляція між комп'ютерним забезпеченням та успішністю (хоча і той, і інший коефіцієнти кореляції не дуже великі). Звідси можна дійти невтішного висновку, що поки що книжка залишається значнішим джерелом знань, ніж комп'ютер.

Заплановані результати навчання математики у 5-6 класах

Арифметика

Розуміти особливості десяткової системичислення;

використовувати поняття, пов'язані з ділимістю натуральних чисел;

виражати числа в еквівалентних формах, обираючи найбільш відповідну залежно від конкретної ситуації;

Порівнювати та впорядковувати раціональні числа;

Виконувати обчислення з раціональними числами, поєднуючи усні та письмові прийоми обчислень, застосовувати калькулятор;

Використовувати поняття та вміння, пов'язані з пропорційністю величин, відсотками, під час вирішення математичних завданьі завдань з суміжних предметіввиконувати нескладні практичні розрахунки;

Аналізувати графіки залежностей між величинами (відстань, час; температура тощо).

Познайомитися з позиційними системами числення з основами, відмінними від 10;

Поглибити та розвинути уявлення про натуральні числа та властивості ділимості;

Навчитися використовувати прийоми, що раціоналізують обчислення, придбати навичку контролювати обчислення, вибираючи відповідний для ситуації спосіб.

По закінченні вивчення курсу учень навчиться:

· Виконувати операції з числовими виразами;

· Виконувати перетворення буквених виразів (розкриття дужок, приведення подібних доданків);

· Вирішувати лінійні рівняннявирішувати текстові завдання методом алгебри.

Учень отримає можливість:

· Розвинути уявлення про буквені вирази та їх перетворення;

· Опанувати спеціальними прийомами розв'язання рівнянь, застосовувати апарат рівнянь для розв'язання як текстових, так і практичних завдань.

Геометричні фігури. Вимірювання геометричних величин

По закінченні вивчення курсу учень навчиться:

Розпізнавати на кресленнях, малюнках, моделях та в навколишньому світі плоскі та просторові геометричні фігури та їх елементи;

Будувати кути, визначати їх градусну міру;

Розпізнавати та зображати розгортки куба, прямокутного паралелепіпеда, правильної піраміди, циліндра та конуса;

Визначати за лінійними розмірами розгортки фігури лінійні розміри самої фігури і навпаки;

Обчислювати обсяг прямокутного паралелепіпеда та куба.

Учень отримає можливість:

Навчитися обчислювати обсяг просторових геометричних фігур, складених із прямокутних паралелепіпедів;

Поглибити та розвинути уявлення про просторові геометричні фігури;

Навчитися застосовувати поняття розгортки до виконання практичних розрахунків.

По закінченні вивчення курсу учень навчиться:

Використовувати найпростіші способи подання та аналізу статистичних даних;

Вирішувати комбінаторні завдання на перебування кількості об'єктів чи комбінацій.

Учень отримає можливість:

Набути початкового досвіду організації збору даних під час проведення опитування громадської думки, Здійснювати їх аналіз, представляти результати опитування у вигляді таблиці, діаграми;

Навчитися деяким спеціальним прийомам розв'язання комбінаторних завдань.

Арифметика

Натуральні числа

Ряд натуральних чисел. Десятковий записнатуральних чисел. Округлення натуральних чисел.

Координатний промінь.

Порівняння натуральних чисел. Додавання та віднімання натуральних чисел. Властивості додавання.

Множення та розподіл натуральних чисел. Властивості множення. Поділ із залишком. Ступінь числа із натуральним показником.

Дільники та кратні натурального числа. Найбільший спільний дільник. Найменше загальне кратне. Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10.

Прості та складові числа. Розкладання чисел на прості множники. „

Прості дроби. Основна властивість дробу. Знаходження дробу від числа. Знаходження числа за значенням його дробу. Правильні та неправильні дроби. Змішані числа.

Порівняння звичайних дробів та змішаних чисел. Арифметичні діїзі звичайними дробами та змішаними числами.

Десяткові дроби. Порівняння та округлення десяткових дробів. Арифметичні дії із десятковими дробами. Прикидки результатів обчислень. Подання десяткового дробу у вигляді звичайного дробуі звичайній у вигляді десяткової. Нескінченні періодичні десяткові дроби. Десяткове наближення звичайного дробу.

Відношення. Відсоткове ставленнядвох чисел. Розподіл числа в даному відношенні. Масштаб.

Пропорція. Основна властивість пропорції. Пряма та зворотна пропорційні залежності. Відсотки. Знаходження відсотків від числа. Знаходження числа за його відсотками.

Рішення текстових завданьарифметичними методами.

Раціональні числа

Позитивні, негативні числата число 0.

Протилежні числа. Модуль числа.

Цілі числа. Раціональні числа. Порівняння раціональних чисел. Арифметичні події з раціональними числами. Властивості додавання та множення раціональних чисел.

Координатна пряма. Координатна площина.

Величини. Залежність між величинами

Одиниці довжини, площі, об'єму, маси, часу, швидкості.

Приклади залежностей між величинами. Подання залежностей як формул. Обчислення за формулами.

Числові та буквені вирази. Рівняння

Числові вирази. Значення числового виразу. Порядок дій у числових виразів. Літерні вирази. Розкриття дужок. Подібні доданки, приведення подібних доданків. Формули.

Рівняння. Корінь рівняння. Основні властивості рівнянь. Розв'язання текстових завдань за допомогою рівнянь.

Елементи статистики, імовірності. Комбінаторні завдання

Подання даних у вигляді таблиць, кругових та стовпчастих діаграм, графіків.

Середнє арифметичне. Середнє значення величини.

Випадкова подія. Достовірна та неможлива події. Ймовірність випадкової події. Вирішення комбінаторних завдань.

Геометричні фігури. Вимірювання геометричних величин

Відрізок. Побудова відрізка. Довжина відрізка, ламаною. Вимірювання довжини відрізка, побудова відрізка заданої довжини. Периметр багатокутника. Площина. Пряма. Промінь.

Кут. Види кутів. Градусний західкута. Вимірювання та побудова кутів за допомогою транспортира.

Прямокутник. Квадрат. Трикутник. Види трикутників. Коло та коло. Довжина кола. Число.

Рівність постатей. Поняття та властивості площі. Площа прямокутника та квадрата. Площа кола. Ось симетрія фігури.

Наочні уявлення про просторових фігурахКабіна: прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда, циліндр, конус, куля, сфера. Приклади розгорток багатогранників, циліндра, конуса. Поняття та властивості об'єму. Об'єм прямокутного паралелепіпеда та куба.

Взаємне розташуваннядвох прямих. Перпендикулярні до прямих. Паралельні прямі.

Осьова та центральна симетрії.

Величини та залежності між ними
Зміст розділу підручника пов'язані з комп'ютерним математичним моделюванням. Застосування математичного моделюванняпостійно вимагає врахування залежностей одних величин від інших. Наведемо приклади таких залежностей:
1) час падіння тіла на землю залежить від його первісної висоти;
2) тиск газу в балоні залежить від його температури;
3) рівень захворюваності жителів міста на бронхіальну астму залежить від концентрації шкідливих домішок у міському повітрі.
Реалізація математичної моделі комп'ютера (комп'ютерна математична модель) вимагає володіння прийомами уявлення залежностей між величинами.
Розглянемо різні методиуявлення залежностей.
Будь-яке дослідження слід розпочинати з виділення кількісних характеристик досліджуваного об'єкта. Такі показники називаються величинами.
З поняттям величини ви вже зустрічалися в базовому курсіінформатики. Нагадаємо, що з будь-якою величиною пов'язані три основні властивості: ім'я, значення, тип.
Ім'я величини може бути смисловим та символічним. Прикладом смислового імені є «тиск газу», а символічне ім'я цієї ж величини — Р. У базах даних величинами є поля записів. Для них, як правило, використовуються смислові імена, наприклад: Прізвище, вага, оцінка і т. п. У фізиці та інших науках, які використовують математичний апарат, застосовуються символічні імена позначення величин. Щоб не губився сенс, для певних величин використовуються стандартні імена. Наприклад, час позначають буквою t, швидкість - V, силу - F та ін.
Якщо значення величини не змінюється, вона називається постійної величиною чи константою. Приклад константи - число Піфагора = 3,14259 ... . Розмір, значення якої може змінюватися, називається змінною. Наприклад, в описі процесу падіння тіла змінними величинами є висота Н та час падіння t.
Третьою властивістю величини є її тип. З поняттям типу величини ви також зустрічалися, знайомлячись із програмуванням та базами даних. Тип визначає безліч значень, які може набувати величина. Основні типи величин: числовий, символьний, логічний. Оскільки в даному розділіми говоритимемо лише про кількісні характеристики, те й розглядатиметься лише величини числового типу.
А тепер повернемося до прикладів 1-3 і позначимо (назвемо) все змінні величини, залежності між якими нас цікавитимуть. Крім імен вкажемо розмірності величин. Розмірності визначають одиниці, у яких надаються значення величин.
1) t(с) - час падіння; Н(м) - висота падіння. Залежність уявлятимемо, нехтуючи обліком опору повітря; прискорення вільного падіння g (м/с 2) вважатимемо константою.
2) Р (н/м 2) - тиск газу (в одиницях системи СІ тиск вимірюється в ньютонах на квадратний метр); t °С - температура газу. Тиск при нулі градусів Ро вважатимемо константою для цього газу.
3) Забрудненість повітря характеризуватимемо концентрацією домішок (яких саме, буде сказано пізніше) - С (мг/м 3). Одиниця виміру - маса домішок, що містяться в 1 кубічному метріповітря, виражена у міліграмах. Рівень захворюваності будемо характеризувати числом хронічних хворих на астму, що припадають на 1000 жителів даного міста- Р (бол. / Тис.).
Відзначимо важливу якісну різницю між залежностями, описаними в прикладах 1 і 2, з одного боку, і в прикладі 3, з іншого. У першому випадку залежність між величинами є цілком визначеною: значення Н однозначно визначає значення t (приклад 1), значення t однозначно визначає значення Р (приклад 2). Але в третьому прикладі залежність між значенням забрудненості повітря та рівнем захворюваності носить значно більше важкий характер; при тому самому рівні забрудненості в різні місяців одному і тому ж місті (або в різних містах в той самий місяць) рівень захворюваності може бути різним, оскільки на нього впливають і багато інших факторів. Відкладемо більш детальне обговорення цього прикладу до наступного параграфа, а поки що лише зазначимо, що на математичною мовоюзалежність у прикладах 1 і 2 є функціональними, а прикладі 3 — немає.
Математичні моделі
Якщо залежність між величинами вдається у математичної формі, ми маємо математичну модель.
Математична модель - це сукупність кількісних характеристик деякого об'єкта (процесу) та зв'язків між ними, представлених мовою математики.
Добре відомі математичні моделі перших двох прикладів. Вони відображають фізичні закони та подаються у вигляді формул:

Це приклади залежностей, представлених у функціональній формі. Першу залежність називають кореневою (час пропорційно квадратному кореню висоти), другу - лінійною.
У складніших завданнях математичні моделі представляються як рівнянь чи систем рівнянь. Наприкінці цього розділу буде розглянуто приклад математичної моделі, що виражається системою нерівностей.
У ще складніших завданнях (приклад 3 — одне з них) залежності теж можна у математичній формі, але з функціональної, а інший.
Табличні та графічні моделі
Розглянемо приклади двох інших, не формульних, способів подання залежностей між величинами: табличного та графічного. Уявіть, що ми вирішили перевірити закон вільного падіння тіла експериментальним шляхом. Експеримент організуємо наступним чином: кидатимемо сталеву кульку з 6-метрової висоти, 9-метрової і т. д. (через 3 метри), заміряючи висоту початкового положення кульки і час падіння. За результатами експерименту складемо таблицю та намалюємо графік.

Якщо кожну пару значень Н і t з даної таблиці підставити наведену вище формулу залежності висоти від часу, то формула перетвориться на рівність (з точністю до похибки вимірів). Значить, модель добре працює. (Однак якщо скидати не сталеву кульку, а велику легку м'яч, то рівність не досягатиметься, а якщо надувна кулька, то значення лівої та правої частин формули відрізнятимуться дуже сильно. Як ви думаєте, чому?)
У цьому вся прикладі ми розглянули три способу моделювання залежності величин: функціональний (формула), табличний і графічний. Однак математичною моделлю процесу падіння тіла на землю можна назвати лише формулу. Формула універсальніша, вона дозволяє визначити час падіння тіла з будь-якої висоти, а не тільки для того експериментального набору значень Н, який відображено на рис. 6.1. Маючи формулу, можна легко створити таблицю та побудувати графік, а навпаки – дуже проблематично.
Так само трьома способами можна відобразити залежність тиску від температури. Обидва приклади пов'язані з відомими фізичними законами – законами природи. Знання фізичних законівдозволяють проводити точні розрахунки, вони є основою сучасної техніки.
Інформаційні моделі, що описують розвиток систем у часі, мають спеціальну назву: динамічні моделі. У прикладі 1 наведено саме таку модель. У фізиці динамічні інформаційні моделі описують рух тіл, у біології – розвиток організмів чи популяцій тварин, у хімії – перебіг хімічних реакцій тощо.
Система основних понять