Математичні та кібернетичні методи дослідження. Математичні методи дослідження економіки.

ВСТУП. ДИСЦИПЛІНА ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ І НІЖ ВОНА ЗАЙМАЄТЬСЯ

Формування дослідження операцій як самостійної гілки прикладної математики відноситься до періоду 40-х та 50-х років. Наступні півтора десятиліття були відзначені широким застосуванням отриманих фундаментальних теоретичних результатів до різноманітних практичних завдань та пов'язаних із цим переосмисленням потенційних можливостей теорії. Через війну вивчення операцій набуло рис класичної наукової дисципліни, без якої немислимо базове економічне освіту.

Звертаючись до завдань і проблем, що становлять предмет дослідження операцій, не можна не згадати про внесок, внесений у їхнє рішення представниками вітчизняної наукової школи, серед яких насамперед має бути названий Л. В. Канторович, який 1975 р. став лауреатом Нобелівської премії за свої роботи з оптимального використання ресурсів економіки.

Початок розвитку дослідження операцій як науки зазвичай пов'язують із сороковими роками двадцятого століття. Серед перших досліджень у цьому напрямі може бути названа робота Л. В. Канторовича "Математичні методи організації та планування виробництва", що вийшла в 1939 р. У зарубіжній літературі відправною точкою зазвичай вважається робота Дж. Данцига, присвячена рішенню лінійних екстремальних, що вийшла в 1947 р. задач.

Слід зазначити, що немає жорсткого, усталеного і загальноприйнятого визначення предмета дослідження операцій. Часто при відповіді це питанняговориться, що " дослідження операцій є комплексом наукових методів для вирішення завдань ефективного управління організаційними системами".

Друге визначення: Дослідження операцій - це наукова підготовка прийнятого рішення - це сукупність методів, що пропонуються для підготовки та знаходження найефективніших або найекономічніших рішень.

Природа систем, які у наведеному визначенні під назвою " організаційних " , то, можливо найрізноманітнішої, які загальні математичні моделі знаходять застосування як під час вирішення виробничих та економічних завдань, а й у біології, соціологічних дослідженнях та інших практичних сферах. До речі, сама назва дисципліни пов'язана із застосуванням математичних методів для управління військовими операціями.

Незважаючи на різноманіття завдань організаційного управління, при їх вирішенні можна виділити деяку загальну послідовність етапів, якими проходить будь-яке операційне дослідження. Як правило, це:

1. Постановка задачі.

2. Побудова змістовної (вербальної) моделі об'єкта (процесу), що розглядається. На даному етапі відбувається формалізація мети керування об'єктом, виділення можливих керуючих впливів, що впливають на досягнення сформульованої мети, а також опис системи обмежень на керуючі дії.

3. Побудова математичної моделі, т. е. переклад сконструйованої вербальної моделі у форму, у якій її вивчення може бути використаний математичний апарат.

4. Вирішення завдань, сформульованих на базі побудованої математичної моделі.

5. Перевірка отриманих результатів на їхню адекватність природі системи, що вивчається, включаючи дослідження впливу так званих позанемодельних факторів, і можливе коригування початкової моделі.

6. Реалізація отриманого рішення практично.

Центральне місце в даному курсі відведено питанням, що належать до четвертого пункту наведеної схеми. Це робиться не тому, що він є найважливішим, складним чи цікавим, а тому, що інші пункти істотно залежать від конкретної природи системи, що вивчається, внаслідок чого для дій, які повинні проводитися в їх рамках, не можуть бути сформульовані універсальні та змістовні рекомендації .

У найрізноманітніших галузях людської діяльності зустрічаються подібні між собою завдання: організація виробництва, експлуатація транспорту, бойові дії, розстановка кадрів, телефонний зв'язок тощо. Виникають у цих галузях завдання подібні між собою за постановкою, мають низку загальних ознак і вирішуються подібними методами.

приклад :

Організується якийсь цілеспрямований захід (система дій), який можна організувати тим чи іншим способом. Необхідно вибрати певне рішення із низки можливих варіантів. Кожен варіант має переваги і недоліки - відразу не ясно, який з них кращий. З метою прояснити обстановку та порівняти між собою за низкою ознак різні варіанти, організується серія математичних розрахунків. Результати розрахунків показують на якому варіанті зупиниться.

Математичне моделюванняу дослідженні операцій є, з одного боку, дуже важливим і складним, а з іншого - практично не піддається наукової формалізації процесом. Зауважимо, що спроби виділити загальні принципи створення математичних моделей, які неодноразово робилися, призводили або до декларування рекомендацій найзагальнішого характеру, важкопридатних для вирішення конкретних проблем, або, навпаки, до появи рецептів, що застосовуються насправді тільки до вузького кола завдань. Тому найкориснішим є знайомство з технікою математичного моделювання на конкретних прикладах.

1) План постачання підприємства.

Є низка підприємств, які використовують різні види сировини; є низка сировинних баз. Бази пов'язані з підприємствами різними шляхами сполучення ( залізниці, Автотранспорт, водний, повітряний транспорт). Кожен транспорт має свої тарифи. Потрібно розробити такий план постачання підприємств сировиною, щоб потреби у сировині були задоволені за мінімальних витрат на перевезення.

2) Будівництво ділянки магістралі.

Споруджується ділянка залізничної магістралі. У нашому розпорядженні певна кількість коштів: людей, техніки тощо. Потрібно призначити черговість робіт, розподілити людей та техніку дільницями колії таким чином, щоб завершити будівництво в мінімальні терміни.

Випускається певний вид виробів. Задля більшої якості продукції потрібно організувати систему вибіркового контролю: визначити розмір контрольної партії, набір тестів, правила відбраковування тощо. Потрібно забезпечити заданий рівень якості продукції за мінімальних витрат на контроль.

4) Військові дії.

Метою у разі є знищення ворожого об'єкта.

Подібні завдання зустрічаються у практиці часто. Вони мають спільні риси. У кожній задачі визначено мету – цілі ці схожі; задані деякі умови – в рамках цих умов і потрібно ухвалити рішення, щоб цей захід був найбільш вигідним. Відповідно до цих загальними рисамизастосовуються та загальні методи.

1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ

1.1. Мета та основні поняття в дослідженнях операцій

Операція –це будь-яка система дій (захід), об'єднаних єдиним задумом і спрямованих на досягнення якоїсь мети. Це керований захід, тобто від нас залежить, як вибрати деякі параметри, що характеризують його організацію.

Кожен певний вибір залежних від нас параметрів називається рішенням.

Метою дослідження операційє попереднє кількісне обґрунтування оптимальних рішень.

Ті параметри, сукупність яких утворює рішення, називаються елементами розв'язання.Як елементи рішення можуть бути різні числа, вектори, функції, фізичні ознаки і т.д.

приклад : перевезення однорідного вантажу

Існують пункти відправлення: А 1 , А 2 , А 3 ,…, А m .

Є пункти призначення: У 1 , У 2 , У 3 ,…, У n .

Елементами рішення тут будуть числа x ij , що показують, скільки вантажів буде відправлено з i-того пункту відправлення в jпункт призначення.

Сукупність цих чисел: x 11 , x 12 , x 13 ,…, x 1 m ,…, x n 1 , x n 2 ,…, x nm утворює рішення.

Щоб порівняти між собою різні варіанти, необхідно мати якийсь кількісний критерій показник ефективності ( W). Цей показник називається цільової функції.

Цей показник вибирається те щоб він відбивав цільову спрямованість операції. Вибираючи рішення, прагнемо, щоб цей показник прагнув максимуму чи мінімуму. Якщо W - дохід, то W max; якщо W – витрата, то W min.

Якщо вибір залежить від випадкових факторів (погода, відмова техніки, коливання попиту та пропозиції), то як показник ефективності вибирається середнє значення – математичне очікування – .

Як показник ефективності іноді вибирають ймовірність досягнення мети. Тут мета операції супроводжується випадковими чинниками та працює за схемою ТАК-НІ.

Для ілюстрації принципів вибору показника ефективності повернемося до розглянутих раніше прикладів:

1) План постачання підприємства.

Показник ефективності видно з мети. R- Число - вартість перевезень, . При цьому всі обмеження мають бути виконані.

2) Будівництво ділянки магістралі.

Завдання велику роль грають випадкові чинники. Як показник ефективності вибирають середній очікуваний час закінчення будівництва.

3) Вибірковий контроль продукції.

Природний показник ефективності, підказаний формулюванням завдання – це очікувані середні витрати на контроль за одиницю часу, за умови, що система контролює забезпечення заданого рівня якості.

Супроводжується фізичним або математичниммоделювання. Фізичне моделювання... макетів та їх трудомістке дослідження. Математичнемоделювання здійснюють з використанням... на моделювання необхідно зробити наступні операції: 1. вхід у меню...

Вступ

Одним із напрямів удосконалення аналізу господарської діяльності є впровадження економіко-математичних методів та сучасних ЕОМ. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, обґрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанта використання господарських ресурсів, виявлення та мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва

Математичні методи спираються на методологію економіко-математичного моделювання та науково обґрунтовану класифікацію завдань аналізу господарської діяльності.

Залежно від цілей економічного аналізу розрізняють такі економіко-математичні моделі: у детермінованих моделях – логарифмування, пайова участь, диференціювання; у стохастичних моделях – кореляційно-регресивний метод, лінійне програмування, теорію масового обслуговування, теорію графів.

Загальна характеристика математичних методів аналізу

Широке використання математичних методів є важливим напрямомвдосконалення економічного аналізу, що підвищує ефективність аналізу діяльності підприємств та їх підрозділів. Це досягається за рахунок скорочення термінів проведення аналізу, більш повного охоплення впливу факторів на результати комерційної діяльності, заміни наближених чи спрощених розрахунків точними обчисленнями, постановки та вирішення нових багатовимірних завдань аналізу, що практично не здійснюються традиційними методами.

Застосування математичних методів у економічному аналізідіяльності підприємства вимагає:

· системного підходу до вивчення економіки підприємств, обліку всієї безлічі істотних взаємозв'язків між різними сторонамидіяльності підприємств; у умовах сам аналіз дедалі більше набуває рис системного в кібернетичному значенні слова;

· Розробки комплексу економіко-математичних моделей, що відображають кількісну характеристикуекономічних процесів та завдань, які вирішуються за допомогою економічного аналізу;

· Вдосконалення системи економічної інформації про роботу підприємств;

· Наявності технічних засобів (комп'ютерів та ін), що здійснюють зберігання, обробку та передачу економічної інформації з метою економічного аналізу;

· Організації комп'ютерного аналізу господарської діяльності, створення програмного забезпеченняаналізу у системі управління.

Рис. 1.

Вершиною сьогоднішнього дня у розвитку систем управління є ВРМ-системи ( Business Performance Management - Управління ефективністю бізнесу), тобто. системи, що дозволяють пов'язувати докупи всі функції управління. У рамках таких систем, наприклад, топ-менеджери мають можливість аналізувати та коригувати ці цифри та вносити свої нові дані. Системи дозволяють їм бачити та використовувати звітність суміжних підрозділів. Далі відкориговані та доповнені на нижньому рівні управління дані афішуються знову до загальнокорпоративного рівня. Весь процес двонаправленого планування оперативно повторюється до того часу, поки буде складено найбільш оптимальний план. ВРМ-системи дозволяють становити кілька версій плану (бюджету), звані гнучкі кошторису різні обсяги продажу з урахуванням можливих негативних чи позитивних незапланованих чинників. Так, у кризові моменти є можливість негайно перевести організацію на аварійний бюджет. При цьому часу на перегляд, узгодження всіх статей бюджету у розрізі всіх центрів витрат та відповідальності, звісно, ​​не буде. Слід зазначити, що основою для подальшого вдосконалення ВРМ-систем є їхнє методологічне та методичне аналітичне забезпечення.

Сформульована математично завдання економічного аналізу може бути вирішена одним із розроблених математичних методів. На рис. 1 представлена ​​зразкова схема основних математичних методів, якими ведуться роботи, використання їх у аналізі господарську діяльність підприємств.

Методи елементарної математикивикористовуються у традиційних економічних розрахунках при обгрунтуванні потреб у ресурсах, обліку витрат за виробництво, розробці планів, проектів, балансових розрахунках тощо. Виділення методів класичної вищої математики на схемі обумовлено тим, що вони застосовуються не тільки в інших методах, наприклад методів математичної статистикита математичного програмування, а й окремо. Так, факторний аналіз зміни багатьох економічних показниківможе бути здійснений за допомогою диференціювання та інтегрування.

Широке поширення в економічному аналізі мають методи математичної статистики та теорії ймовірностей. Ці методи застосовуються у випадках, коли зміна аналізованих показників можна як випадковий процес.

Статистичні методи як основний засіб вивчення масових явищ, що повторюються, відіграють важливу роль у прогнозуванні поведінки економічних показників. Коли зв'язок між аналізованими характеристиками не детермінований, а стохастичний, то статистичні та імовірнісні методи є практично єдиним інструментом дослідження. Найбільшого поширенняз математико-статистичних методів в економічному аналізі отримали методи множинного та парного кореляційного аналізу. Для вивчення одномірних статистичних сукупностей застосовуються варіаційний ряд, закони розподілу, вибірковий метод. Для вивчення багатовимірних статистичних сукупностей застосовують кореляції, регресії, дисперсійний та факторний аналіз.

Економетричні методи будуються на синтезі трьох галузей знань: економіки, математики та статистики. Основа економетрії - економічна модель, під якою розуміється схематичне уявлення економічного явища чи процесу з допомогою наукової абстракції, відображення їх характерних рис. Найбільшого поширення набув метод аналізу витрати - випуск. Це матричні (балансові) моделі, що будуються за шаховою схемою і дозволяють у найбільш компактній формі уявити взаємозв'язок витрат і результатів виробництва. Зручність розрахунків та чіткість економічної інтерпретації – головні особливості матричних моделей. Це важливо при створенні систем автоматизованої обробки даних, при плануванні виробництва з використанням ЕОМ.

Математичне програмування – важливий розділ сучасної прикладної математики. Методи математичного (насамперед лінійного програмування служать основним засобом вирішення завдань; оптимізації господарської діяльності. За своєю суттю ці методи є засіб планових розрахунків. Їхня цінність для економічного аналізу виконання планів полягає в тому, що вони дозволяють оцінювати напруженість планових завдань, визначати лімітуючі групи обладнання , види сировини та матеріалів, отримувати оцінки дефіцитності виробничих ресурсів тощо.

Під дослідженням операцій мають на увазі розробка методів цілеспрямованих процесів (операцій), кількісна оцінка отриманих рішень і вибір найкращого їх. Предметом дослідження операцій є економічні системи, зокрема господарську діяльність підприємств. Мета - таке поєднання структурних взаємозалежних елементів систем, яке в найбільшою міроювідповідає задачі отримання найкращого економічного показника із низки можливих.

Теорія ігор як розділ дослідження операцій - це теорія математичних моделей прийняття оптимальних рішень за умов невизначеності чи конфлікту кількох сторін, мають різні інтереси.

Теорія масового обслуговування досліджує з урахуванням теорії ймовірностей математичні методи кількісної оцінки процесів масового обслуговування. Так, будь-яке з структурних підрозділівпідприємства можна як об'єкт системи обслуговування.

Загальною особливістю всіх завдань, пов'язаних із масовим обслуговуванням, є випадковий характер досліджуваних явищ. Кількість вимог на обслуговування та часові інтервали між їх надходженням мають випадковий характер, їх не можна передбачити з однозначною визначеністю. Однак у своїй сукупності безліч таких вимог підпорядковується певним статистичним закономірностям, кількісне вивченняяких є предметом теорії масового обслуговування.

Економічна кібернетика аналізує економічні явищаі процеси як дуже складні системи з точки зору законів і механізмів управління і руху інформації в них. Найбільшого поширення в економічному аналізі набули методи моделювання та системного аналізу.

У ряді випадків доводиться шукати рішення екстремальних завдань при неповному знанні механізму явища, що розглядається. Таке рішення знаходиться експериментально. В останні роки в економічній науці посилився інтерес до формалізації методів емпіричного пошуку оптимальних умовпротікання процесу, які використовують людський досвід та інтуїцію.

Евристичні методи – це неформалізовані методивирішення економічних завдань, пов'язаних з господарською ситуацією, що склалася, на основі інтуїції, минулого досвіду, експертних оцінок фахівців і т.д.

Для аналізу господарської діяльності багато методів з наведеної зразкової схемине знайшли практичного застосуванняі лише розробляються в теорії економічного аналізу. У підручнику розглядаються основні економіко-математичні методи, які вже застосовуються на практиці економічного аналізу. Застосування того чи іншого математичного методу в економічному аналізі спирається на методологію економіко-математичного моделювання господарських процесів та науково-обґрунтовану класифікацію методів та завдань аналізу.

За класифікаційною ознакою оптимальності всі економіко-математичні методи (завдання) поділяються на дві групи: оптимізаційні та не оптимізаційні. Якщо метод чи завдання дозволяє шукати рішення за заданим критерієм оптимальності, цей метод відносять до групи оптимізаційних методів. У разі коли пошук рішення ведеться без критерію оптимальності, відповідний метод відносять до групи не оптимізаційних методів.

За ознакою отримання точного рішення, всі економіко-математичні методи діляться на точні і наближені. Якщо алгоритм методу дозволяє отримати лише єдине рішення щодо заданого критерію оптимальності або без нього, то даний методвідносять до групи точних методів. У разі, коли при пошуку рішення використовується стохастична інформація і розв'язання задачі можна отримати з будь-яким ступенем точності, метод відносять до групи наближених методів. До групи наближених методів відносять і такі, при застосуванні яких не гарантується отримання єдиного рішення щодо заданого критерію оптимальності.

Таким чином, використовуючи лише дві ознаки класифікації, всі економіко-математичні методи поділяються на чотири групи: 1) точні оптимізаційні методи; 2) оптимізаційні наближені методи;

3) не оптимізаційні точні методи; 4) не оптимізаційні наближені методи.

Так, до оптимізаційних точних методів можна віднести методи теорії оптимальних процесів, деякі методи математичного програмування та методи дослідження операцій. До оптимізаційних наближених методів належать окремі методи математичного програмування, методи дослідження операцій, методи економічної кібернетики, методи математичної теоріїпланування екстремальних експериментів, евристичні методи

До не оптимізаційних точних методів належать методи елементарної математики та класичні методи математичного аналізу, економетричні методи До оптимізаційним наближеним методам ставляться метод статистичних випробувань та інші методи математичної статистики.

У схемі (див. рис. 1) були представлені укрупнені групи економіко-математичних методів, окремі методи цих груп використовуються для вирішення різних завдань як оптимізаційних, так і не оптимізаційних; як точних, і наближених. Велике значення в аналізі господарської діяльності має угруповання методів (завдань) балансових та факторних.

Балансові методи – це методи аналізу структури, пропорцій, співвідношень.

Економічний аналіз - це, перш за все факторний аналіз (у широкому значенніслова, а не лише у вигляді стохастичного факторного аналізу).

Під економічним факторним аналізом розуміються поступовий перехід від вихідної факторної системи (результативний показник) до кінцевої факторної системи (або навпаки), розкриття повного наборупрямих, кількісно вимірних чинників, які впливають зміну результатного показника.

Розглянемо приблизну класифікацію завдань факторного аналізу підприємств з погляду використання математичних методів (рис. 2).

При прямому факторному аналізі виявляються окремі чинники, що впливають зміну результатного показника чи процесу, встановлюються форми детермінованої (функціональної) чи стохастичної залежності між результатним показником і певним набором чинників і, нарешті, з'ясовується роль окремих чинників у зміні результатного економічного показника. Постановка задачі прямого факторного аналізу поширюється на детермінований та стохастичний випадок.

Рис. 2 - Удосконалена схема класифікації завдань економічного факторного аналізу

математичне моделювання економічний аналітичний

Завдання прямого детермінованого факторного аналізу - найпоширеніша група завдань у аналізі господарську діяльність.

Розглянемо особливості постановки задачі прямого стохастичного факторного аналізу. Якщо у разі прямого детермінованого факторного аналізу вихідні дані для аналізу є у формі конкретних чисел, то у разі прямого факторного стохастичного аналізу задані вибіркою (тимчасовою або поперечною). Розв'язання задач стохастичного факторного аналізу вимагають: глибокого економічного дослідження виявлення основних чинників, які впливають результатний показник; підбору виду регресії, який би найкращим чиномвідображав дійсний зв'язок досліджуваного показника з набором факторів; розробка методу, що дозволяє визначити вплив кожного фактора на результатний показник.

Якщо результати прямого детермінованого аналізу мають вийти точними та однозначними, то стохастичного – з деякою ймовірністю (надійністю), яку слід оцінити.

Прикладом прямого стохастичного факторного аналізу є регресійний аналізпродуктивність праці та інших економічних показників.

В економічному аналізі, крім завдань, що зводяться до деталізації показника, до розбивки його на складові частини, існує група завдань, де потрібно ув'язати ряд економічних характеристику комплексі, тобто. побудувати функцію, що містить у собі основне якість всіх аналізованих економічних показателей-аргументов, тобто. задач синтезу. У разі ставиться зворотне завдання (щодо завдання прямого факторного аналізу) - завдання об'єднання низки показників у комплекс.

Завдання зворотного факторного аналізу можуть бути детермінованими та стохастичними. Прикладами завдання зворотного детермінованого факторного аналізу є комплексної оцінки господарської діяльності, а також завдання математичного програмування, в тому числі і лінійного. Прикладом завдання зворотного стохастичного факторного аналізу можуть бути виробничі функції, якими встановлюються залежності між величиною випуску продукції та витратами виробничих факторів(первинних ресурсів). Для детального дослідження економічних показників чи процесів необхідно проводити як одноступінчастий, а й ланцюговий факторний аналіз: статичний (просторовий) і динамічний (просторовий і час).

Деталізація факторів може бути продовжена і надалі. Закінчивши її, вирішують обернену задачу факторного аналізу, синтезуючи результати дослідження для характеристики результатного показника у.Такий метод дослідження називається ланцюговим. статичним методомфакторного аналізу При застосуванні ланцюгового динамічного факторного аналізу для вивчення поведінки результатного показника недостатньо його статичного значення; факторний аналіз показника проводиться різних інтервалах дроблення часу, у яких досліджується показник.

Економічний факторний аналіз може бути спрямований на з'ясування дії факторів, що формують результати господарської діяльності, різним джерелампросторового чи тимчасового походження.

Аналіз динамічних (тимчасових) рядів показників господарської діяльності, розщеплення рівня низки його складові (основну лінію розвитку - тренд, сезонну, чи періодичну, складову, циклічну складову, що з відтворювальними явищами, випадкову складову) - завдання тимчасового факторного аналізу.

Класифікація завдань факторного аналізу впорядковує постановку багатьох економічних завдань, що дозволяє виявити загальні закономірності в їх вирішенні. При дослідженні складних економічних процесів можлива комбінація постановки завдань, якщо останні не стосуються цілком якогось типу, зазначеного в класифікації.

Порівняємо методику застосування математики у практичних дослідженнях із методикою інших природничих наук. Такі науки, як фізика, хімія, біологія вивчають безпосередньо сам реальний об'єкт (можливо у зменшених масштабах та в лабораторних умовах). Наукові результати після необхідної перевірки також безпосередньо можна застосувати на практиці. Математика вивчає не самі об'єкти, а їх моделі. Опис об'єкта та формулювання проблеми перекладаються з звичайної мовина «мова математики» (формалізуються), у результаті виходить математична модель. Далі ця модель досліджується як математичне завдання. Отримані наукові результати не відразу застосовуються на практиці, оскільки вони сформульовані математичною мовою. Тому здійснюється зворотний процес – змістовна інтерпретація (мовою вихідної проблеми) отриманих математичних результатів. Тільки після цього вирішується питання щодо їх застосування на практиці.

Невід'ємною частиною методики прикладної математики є всебічний аналіз реальної проблеми, що передує її математичному моделюванню. В цілому системний аналіз проблеми передбачає виконання наступних етапів:

· Гуманітарний (доматематичний) аналіз проблеми;

· Математичне дослідження проблеми;

· Застосування отриманих результатів на практиці.

Проведення такого системного аналізу кожної конкретної проблемимає здійснюватися дослідницькою групою, що включає економістів (як постановників проблеми чи замовників), математиків, юристів, соціологів, психологів, екологів тощо. буд. постановці, а також у впровадженні результатів на практиці.

Для проведення математичних досліджень економічного завданняпотрібно виконання наступних основних етапів:

1. вивчення предметної галузі та визначення мети дослідження;

2. формулювання проблеми;

3. збір даних (статистичних, експертних та інших);

4. побудова математичної моделі;

5. вибір (або розробка) обчислювального методу та побудова алгоритму розв'язання задачі;

6. програмування алгоритму та налагодження програми;

7. перевірка якості моделі на контрольному прикладі;

8. Використання результатів практично.

Етапи 1 -3 відносяться до домематичної частини дослідження. Предметна область має бути досконало вивчена самими економістами для того, щоб вони, як замовники, могли чітко сформулювати проблему та визначити цілі перед дослідниками. Дослідникам мають бути надані всі необхідні документальні та статистичні дані у вичерпному обсязі. Математиками проводиться організація, зберігання, аналіз та обробка даних, наданих їм у зручній (електронній) формі замовниками.

Етапи 4 -7 належать до математичної частини досліджень. Результатом цього етапу є формулювання вихідної проблеми у вигляді суворої математичного завдання. Математичну модель рідко можна «підібрати» з наявних, відомих моделей (рис.1.1). Процес підбору параметрів моделі таким чином, щоб вона відповідала об'єкту, що вивчається, називається ідентифікацією моделі. Виходячи з характеру отриманої моделі (завдання) та мети дослідження вибирають або відомий метод, або пристосовують (модифікують) відомий метод, або розробляють новий. Після цього становлять алгоритм (порядок розв'язання задачі) та програму для ЕОМ. Отримані за допомогою цієї програми результати аналізують: вирішують тестові завдання, вводять необхідні зміни та виправлення в алгоритм та програму.

Якщо для «чистої» математики традиційним є одноразовий вибір математичної моделі та одноразове формулювання припущень на самому початку дослідження, то в прикладних роботах часто буває корисно повернутися до моделі та внести до неї виправлення після того, як перший тур пробних розрахунків уже зроблено. Більше того, часто виявляється плідним зіставлення моделей, коли те саме явище описується не однією, а кількома моделями. Якщо висновки виявляються (приблизно) одними і тими ж різних моделях, різних методахдослідження - це свідчення правильності розрахунків, адекватності моделі самому об'єкту, об'єктивності видаваних рекомендацій.

Заключний етап 8 проводиться спільними зусиллями замовників та розробників моделі.

Результати математичних (як і будь-яких наукових) досліджень є лише рекомендацією до використання практично. Остаточне рішенняцього питання - застосовувати модель чи ні - залежить від замовника, тобто від особи відповідальної за результат та за наслідки, до яких приведе застосування рекомендованих результатів.

Для побудови математичної моделі конкретного економічного завдання (проблеми) рекомендується виконання наступної послідовності робіт:

1. визначення відомих та невідомих величин, а також існуючих умовта передумов (що дано і що потрібно знайти?);

2. виявлення найважливіших факторівпроблеми;

3. виявлення керованих та некерованих параметрів;

4. математичний опис у вигляді рівнянь, нерівностей, функцій та інших відносин взаємозв'язків між елементами моделі (параметрами, змінними), з змісту аналізованої задачи.

Відомі параметри завдання щодо її математичної моделі вважаються зовнішніми(Заданими апріорі, тобто до побудови моделі). У економічній літературівони називаються екзогенними змінними. Значення спочатку невідомих змінних обчислюються в результаті дослідження моделі, тому по відношенню до моделі вони вважаються внутрішніми. В економічній літературі вони називаються ендогенними змінними.

У § 2під найважливішими розуміються фактори, які грають істотну рольу самій задачі і які, однак, впливають на кінцевий результат. У § 3керованими називаються ті параметри завдання, яким можна надавати довільні числові значення, виходячи з умов задачі; некерованими вважаються параметри, значення яких зафіксовано і підлягає зміні.

З точки зору призначення можна виділити описові моделіі моделі ухвалення рішення. Описові моделівідображають зміст та основні властивості економічних об'єктів як таких. З їхньою допомогою обчислюються числові значення економічних чинників та показників.

Моделі ухвалення рішення допомагають знайти найкращі варіантипланових показників чи управлінських рішень. Серед них найменш складним є оптимізаційні моделі, за допомогою яких описуються (моделюються) завдання типу планування, а найскладнішими – ігрові моделі, що описують завдання конфліктного характеруз урахуванням перетину різних інтересів. Ці моделі відрізняються від описових тим, що в них є можливість вибору значень параметрів, що управляють (що відсутня в описових моделях).

Приклади складання математичних моделей

приклад 1.1.Нехай певний економічний регіон виробляє кілька видів продуктів виключно самотужки і лише населення даного регіону. Передбачається, що технологічний процес відпрацьовано, а попит населення ці товари вивчений. Треба визначити річний обсяг випуску продуктів, з огляду на те, що це обсяг повинен забезпечити як кінцеве, і виробниче споживання.

Складемо математичну модель цього завдання. За умовою дано: види продуктів, попит на них та технологічний процес; Потрібно знайти обсяг випуску кожного виду продукту Позначимо відомі величини: - Попит населення на -й продукт; - кількість i-го продукту, необхідне випуску одиниці -го продукту за цією технологією . Позначимо невідомі величини: - Обсяг випуску -го продукту. Сукупність називається вектором попиту, числа - технологічними коефіцієнтами, а сукупність - Вектор випуску. За умовою завдання вектор розподіляється на дві частини: на кінцеве споживання (вектор) і відтворення (вектор). Обчислимо ту частину вектора, яка йде на відтворення. З огляду на позначень виробництва кількості -го товару йде кількості -го товару. Тоді сума показує ту величину -го товару, яка потрібна для всього випуску . Отже, має виконуватись рівність:

Узагальнюючи це міркування на всі види продуктів, приходимо до шуканої моделі:

Вирішуючи отриману систему лінійних рівнянь щодо знаходимо необхідний вектор випуску.

Для того, щоб написати цю модель у більш компактній (векторній) формі, введемо позначення:

Квадратна матрицяА (розміром) називається технологічною матрицею. Очевидно, модель можна записати у вигляді: або

Здобули класичну модель «Витрати-випуск», автором якої є відомий американський економіст В. Леонтьєв.

приклад 1.2.Нафтопереробний завод має в своєму розпорядженні два сорти нафти: сорт у кількості 10 одиниць, сорт - 15 одиниць. При переробці з нафти виходять два матеріали: бензин () та мазут (). Є три варіанти технологічного процесу переробки:

I: 1од. А+ 2од. Удає 3од. Б+ 2од. М;

II:2од. А+ 1од. Удає 1од. Б+ 5од. М;

III:2од. А+ 2од. Удає 1од. Б+ 2од. М.

Ціна бензину – 10 дол. за одиницю, мазуту – 1 дол. за одиницю. Потрібно визначити найвигідніше поєднання технологічних процесівпереробки наявної кількості нафти.

Перед моделюванням уточнимо наступні моменти. З умови завдання випливає, що «вигідність» технологічного процесу для заводу слід розуміти в сенсі отримання максимального доходу від реалізації своєї готової продукції (бензину та мазуту). У зв'язку з цим зрозуміло, що «вибір (ухвалення) рішення» заводу полягає у визначенні того, яку технологію та скільки разів застосувати. Очевидно, що таких можливих варіантівдостатньо багато.

Позначимо невідомі величини: - кількість використання -го технологічного процесу. Інші параметри моделі (запаси сортів нафти, ціни бензину та мазуту) відомі.

Тоді одне конкретне рішеннязаводу зводиться до вибору одного вектора, для якого виручка заводу дорівнює дол. Тут 32 дол. - це дохід, отриманий від одного застосування першого технологічного процесу (10 дол. 3од. Б+ 1 дол. 2од. М= 32 дол.). Аналогічний сенс мають коефіцієнти 15 та 12 для другого та третього технологічних процесів відповідно. Облік запасу нафти призводить до таких умов:

для сорту А: ,

для сорту У: ,

де у першій нерівності коефіцієнти 1, 2, 2 – це норми витрати нафти сорту Адля одноразового застосування технологічних процесів I, II, IIIвідповідно. Коефіцієнти другої нерівності мають аналогічний зміст для нафти сорту У.

Математична модель загалом має вигляд:

Знайти такий вектор, щоб

максимізувати

при виконанні умов:

,

,

.

Скорочена форма цього запису має вигляд:

при обмеженнях

, (1.4.2)

,

Здобули так зване завдання лінійного програмування. Модель (1.4.2) є прикладом оптимізаційної моделі детермінованого типу (з цілком певними елементами).

приклад 1.3.Інвесторові потрібно визначити найкращий набір з акцій, облігацій та інших цінних паперів для придбання їх на деяку суму з метою отримання певного прибутку з мінімальним ризиком для себе. Прибуток за кожен долар, вкладений у цінний папір - го виду, характеризується двома показниками: очікуваною прибутком і фактичною прибутком. Для інвестора бажано, щоб очікуваний прибуток на один долар вкладень був для всього набору цінних паперів не нижчим заданої величини. Зауважимо, що для правильного моделювання цього завдання від математика потрібні певні базові знання у галузі портфельної теорії цінних паперів. Позначимо відомі параметри задачі: - Число різновидів цінних паперів; - Фактичний прибуток (випадкове число) від -го виду цінного паперу - Очікуваний прибуток від -го виду цінного паперу. Позначимо невідомі величини: - Кошти, виділені на придбання цінних паперів виду . З огляду на позначень вся інвестована сума визначається як . Для спрощення моделі введемо нові величини

Таким чином, - це частка від усіх коштів, що виділяється для придбання цінних паперів виду. Очевидно, що . З умови завдання видно, що ціль інвестора - досягнення певного рівня прибутку з мінімальним ризиком. Змістовно ризик - це міра відхилення фактичного прибутку від очікуваного. Тому його можна ототожнити з підступністю

прибутку для цінних паперів виду та виду. Тут М- Позначення математичного очікування. Математична модель вихідного завдання має вигляд:

(1.4.3)

Здобули відому модель Марковиця для оптимізації структури портфеля цінних паперів. Модель (1.4.3.) є прикладами оптимізаційної моделі стохастичного типу (з елементами випадковості).

приклад 1.4.За підсумками організації є типів однієї з товарів асортиментного мінімуму. У магазин має бути завезений лише один із типів даного товару. Потрібно вибрати той тип товару, який доцільно завести магазин. Якщо товар типу буде мати попит, то магазин від його реалізації отримає прибуток , якщо він не буде користуватися попитом - збиток .

Повною мірою нове обчислення як систему створив Ньютон, який, однак, довгий часне публікував свої відкриття.

Офіційною датоюнародження диференціального обчислення можна вважати травень, коли Лейбніц опублікував першу статтю «Новий метод максимумів та мінімумів…». Ця стаття у стиснутій та малодоступній формі викладала принципи нового методу, названого диференціальним обчисленням.

Лейбніц та його учні

Ці визначення пояснюються геометрично, причому на рис. нескінченно малі збільшення зображені кінцевими. Розгляд спирається на дві вимоги (аксіоми). Перше:

Потрібно, щоб дві величини, що відрізняються одна від одної лише на нескінченно малу величину, можна було брати [при спрощенні виразів?] байдуже одну замість іншої.

Продовження кожної такої лінії називається дотичною до кривої. Досліджуючи дотичну, що проходить через точку, Лопіталь надає великого значення величині

досягає екстремальних значень у точках перегину кривої, а до відношенню не надається ніякого особливого значення.

Примітно знаходження точок екстремуму. Якщо при безперервному збільшенні діаметра ординату спочатку зростає, а потім зменшується, то диференціал спочатку позитивний порівняно з , а потім негативний.

Але будь-яка безперервно зростаюча чи спадна величина неспроможна перетворитися з позитивної на негативну, не проходячи через нескінченність чи нуль… Звідси випливає, що диференціал найбільшої і найменшої величини має дорівнювати нулю чи нескінченності.

Ймовірно, це формулювання не бездоганне, якщо згадати про першу вимогу: нехай, скажімо, тоді в силу першої вимоги

в нулі права частинадорівнює нулю, а ліва немає. Мабуть слід було сказати, що можна перетворити відповідно до першої вимоги так, щоб у точці максимуму . . У прикладах все само собою зрозуміло, і лише в теорії точок перегину Лопіталь пише, що дорівнює нулю в точці максимуму, будучи поділений на .

Далі, за допомогою одних диференціалів формулюються умови екстремуму та розглянуто велику кількість складних завдань, що належать в основному до диференціальної геометрії на площині. Наприкінці книги, у гол. 10, викладено те, що тепер називають правилом Лопіталя, хоча і в не зовсім звичайній формі. Нехай величина ординати кривої виражена дробом, чисельник і знаменник якого перетворюються на нуль при . Тоді точка кривої має ординату , рівну відношенню диференціала чисельника до диференціала знаменника, взятому при .

За задумом Лопіталя написане ним становило першу частину Аналізу, друга ж повинна була містити інтегральне числення, тобто спосіб пошуку зв'язку змінних за відомого зв'язкуїх диференціалів. Перший його виклад дано Йоганном Бернуллі в його Математичні лекції про метод інтеграла. Тут дано спосіб взяття більшості елементарних інтегралів та вказані методи вирішення багатьох диференціальних рівняньпершого порядку.

Вказуючи на практичну корисність та простоту нового методу Лейбніц писав:

Те, що людина, обізнана в цьому обчисленні, може отримати прямо в трьох рядках, інші вчені чоловіки змушені були шукати, слідуючи складними обхідними шляхами.

Ейлер

Зміни, що відбулися наступні півстоліття, відбито у великому трактаті Ейлера . Виклад аналізу відкриває двотомне "Вступ", де зібрані дослідження про різні уявлення елементарних функцій. Термін «функція» вперше з'являється лише у Лейбніца, проте на перші ролі його висунув саме Ейлер. Початкове трактування поняття функції полягала в тому, що функція - це вираз для рахунку (нім. Rechnungsausdrick) або аналітичний вираз.

Функція змінної кількостіє аналітичний вираз, складений якимось чином із цієї змінної кількості та чисел або постійних кількостей.

Підкреслюючи, що «основна відмінність функцій лежить у способі складання їх із змінного та постійних», Ейлер перераховує дії, «за допомогою яких кількості можуть одна з одною поєднуватися і перемішуватися; діями цими є: додавання та віднімання, множення та розподіл, зведення у ступінь та вилучення коренів; сюди слід віднести також рішення [алгебраїчних] рівнянь. Крім цих дій, званих алгебраїчними, існує багато інших, трансцендентних, якось: показові, логарифмічні та незліченні інші, які доставляють інтегральне обчислення». Таке трактування дозволяла легко поводитися з багатозначними функціями і вимагала пояснення, над яким полем розглядається функція: вираз для рахунку визначено для комплексних значеньзмінних навіть тоді, коли це завдання не потрібно.

Операції у виразі допускалися лише в кінцевому числі, а трансцендентне проникало за допомогою нескінченно великої кількості. У виразах це число використовується поряд з натуральними числами. Напр., вважається припустимим такий вираз експоненти

в якому лише пізні авторибачили граничний перехід. З аналітичними висловлюваннями проводилися різноманітні перетворення, що дозволили Ейлеру знайти уявлення для елементарних функцій як рядів, нескінченних творів тощо. буд. із написаних формул.

На відміну від Лопіталя Ейлер докладно розглядає трансцендентні функції і особливо два найбільш вивчені їх класи - показові та тригонометричні. Він виявляє, що всі елементарні функції можуть бути виражені за допомогою арифметичних дій та двох операцій – взяття логарифму та експоненти.

Сам перебіг доказу чудово демонструє техніку використання нескінченно великого. Визначивши синус і косинус за допомогою тригонометричного кола, Ейлер виводить із формул додавання наступне:

Вважаючи і , він отримує

відкидаючи нескінченно малі величини більшого порядку. Використовуючи цей і аналогічний вираз, Ейлер отримує свою знамениту формулу.

Вказавши різні виразидля функцій, які тепер називають елементарними, Ейлер переходить до розгляду кривих на площині, накресленим вільним рухом руки. На його думку, не для будь-якої такої кривої можна знайти єдиний аналітичний вираз (див. також Спор про струну). У XIX столітті з подачі Казораті це твердження вважалося помилковим: за теоремою Вейєрштраса будь-яка безперервна в сучасному сенсі крива може бути описана наближено поліномами. Насправді Ейлер це навряд чи переконало, адже потрібно ще переписати граничний перехід за допомогою символу .

Виклад диференціального обчислення Ейлер починає з теорії кінцевих різниць, за ним у третій главі слідує філософське роз'яснення про те, що «нескінченно мала кількість є точно нуль», що найбільше не влаштувала сучасників Ейлера. Потім з кінцевих різниць при нескінченно малому збільшенні утворюються диференціали, а з інтерполяційної формулу Ньютона - формула Тейлора. Цей метод суттєво перегукується з роботам Тейлора (1715 р.). При цьому у Ейлера з'являється стійке ставлення, яке, проте, сприймається як ставлення двох нескінченно малих. Останні розділиприсвячені наближеному обчисленню з допомогою рядів.

У тритомному інтегральному численні Ейлер трактує вводить поняття інтеграла так:

Та функція, диференціал якої називається його інтегралом і позначається знаком, поставленим спереду.

В цілому ж ця частина трактату Ейлера присвячена більш загальному з сучасного погляду задачі про інтегрування диференціальних рівнянь. При цьому Ейлер знаходить ряд інтегралів і диференціальних рівнянь, які призводять до нових функцій, напр., -функції, еліптичні функції тощо. функції).

Лагранж

Наступним великим твором, який зіграв значну роль розвитку концепції аналізу, стала Теорія аналітичних функційЛагранжа та широке переказ робіт Лагранжа, виконаний Лакруа в дещо еклектичній манері.

Бажаючи позбутися нескінченно малого зовсім, Лагранж звернув зв'язок між похідними та поруч Тейлора. Під аналітичною функцією Лагранж розумів довільну функцію, що досліджується методами аналізу. Саму функцію він позначив як, давши графічний спосібзаписи залежності - раніше ж Ейлер обходився одними змінними. Для застосування методів аналізу на думку Лагранжа необхідно, щоб функція розкладалася в ряд

коефіцієнти якого будуть новими функціями. Залишається назвати похідною (диференціальним коефіцієнтом) та позначити його як . Таким чином, поняття похідної вводиться на другій сторінці трактату і без допомоги нескінченно малих. Залишається зауважити, що

тому коефіцієнт є подвоєною похідною похідною, тобто

Такий підхід до трактування поняття похідної використовується в сучасній алгебрі і послужив основою для створення теорії аналітичних функцій Вейєрштрасса.

Лагранж оперував такими рядами як формальними і отримав низку чудових теорем. Зокрема, вперше і цілком суворо довів розв'язність початкового завдання для звичайних диференціальних рівнянь у формальних статечних лавах.

Питання оцінки точності наближень, доставляемых приватними сумами низки Тейлора, вперше поставили саме Лагранжем: наприкінці Теорії аналітичних функційвін вивів те, що тепер називають формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа. Проте, на противагу сучасним авторам, Лагранж не бачив потреби у вживанні цього результату для обґрунтування збіжності ряду Тейлора.

Питання про те, чи дійсно функції, які вживаються в аналізі, можуть бути розкладені в статечний ряд, згодом став предметом дискусії Звичайно, Лагранжу було відомо, що в деяких точках елементарні функції можуть не розкладатися в статечний ряд, однак у цих точках вони і недиференційовані в жодному значенні. Коші у своєму Алгебраїчному аналізіпривів як контрприклад функцію

довизначену нулем у нулі. Ця функція всюди гладка на речовій осі і в нулі має нульовий ряд Маклорена, який, отже, не сходиться до значення. Проти цього прикладу Пуассон заперечив, що Лагранж визначав функцію як єдине аналітичне вираз, у прикладі Коші функція задана по-різному в нулі, і при . Лише наприкінці XIX століття Прінгсхейм довів, що існує нескінченно диференційована функція, задана єдиним виразом, ряд Маклорена для якої розходиться. Приклад такої функції доставляє вираз

Подальший розвиток

В останній третині XIX століття Вейєрштрас зробив арифметизацію аналізу, вважаючи геометричне обґрунтування недостатнім, і запропонував класичне визначеннямежі через ε-δ-мову. Він створив першу сувору теорію безлічі речових чисел . У цей час спроби вдосконалення теореми про інтегрованості по Ріману призвели до створення класифікації розривності речових функцій. Також були відкриті «патологічні» приклади (безперервні функції, що ніде не диференціюються, заповнюють простір криві). У зв'язку з цим Жордан розробив теорію міри, а Кантор - теорію множин, і на початку XX століття математичний аналіз був формалізований за їх допомогою. Іншим важливою подією XX ст. стала розробка нестандартного аналізу як альтернативного підходу до обґрунтування аналізу.

Розділи математичного аналізу

• Метричний простір , Топологічний простір

Див. також

Бібліографія

Енциклопедичні статті

• // Енциклопедичний лексикон: Спб.: тип. А. Плюшара, 1835-1841. Том 1-17.

• // Енциклопедичний словник Брокгауза та Ефрона: У 86 томах (82 т. і 4 дод.). - СПб. , 1890-1907.

Учбова література

Стандартні підручники

Протягом багатьох років у Росії популярні такі підручники:

• Курант, Р.Курс диференціального та інтегрального обчислення (у двох томах). Головна методична знахідка курсу: спочатку викладаються основні ідеї, а потім їм даються суворі докази. Написаний Курантом під час його перебування професором Геттінгенського університету в 1920-х під впливом ідей Клейна, потім у 1930-х перенесений на американський ґрунт. Російський переклад 1934 р. та її перевидання дає текст по німецькому виданню, переклад 1960-х років (т. зв. 4-те видання) є компіляцією з німецької та американської версії підручника і у зв'язку з цим вельми багатослівний.
• Фіхтенгольц Р. М.Курс диференціального та інтегрального обчислення (у трьох томах) та задачник.
• Демидович Б. П.Збірник завдань та вправ з математичного аналізу.
• Ляшко І. І. та ін.Довідковий посібник із вищої математики, т. 1-5.

Деякі ВНЗ мають власні посібники з аналізу:

• МДУ, МехМат:

• Архіпов Р. І., Садовницький Ст А., Чубариков Ст Н.Лекції з мат. аналізу.
• Зорич В. А.Математичний аналіз. Частина I. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Зорич В. А.Математичний аналіз. Частина ІІ. М: Наука, 1984. 640 с.
• Каминін Л. І.Курс математичного аналізу (у двох томах). М: Видавництво Московського Університету, 2001.

• В. А. Ільїн, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сенд.Математичний аналіз / За ред. А. Н. Тихонова. - 3-тє вид. , перероб. та дод. – М.: Проспект, 2006. – ISBN 5-482-00445-7

• МДУ, фізфак:

• Ільїн Ст А. , Позняк Е. Г.Основи математичного аналізу (у двох частинах). – М.: Фізматліт, 2005. – 648 с. - ISBN 5-9221-0536-1
• Бутузов В. Ф. та ін.Мат. аналіз у питаннях та завданнях

• Математика у технічному університетіЗбірник навчальних посібників у 21 томі.

• СПбГУ, фізфак:

• Смирнов В. І.Курс вищої математики, у 5 томах. М: Наука, 1981 (6-е видання), БХВ-Петербург, 2008 (24-е видання).

• НГУ, мехмат:

• Решетняк Ю. Г.Курс математичного аналізу. Частина I. Книга 1. Введення у математичний аналіз. Диференційне численняфункцій однієї змінної. Новосибірськ: Вид-во Ін-та математики, 1999. 454 з ISBN 5-86134-066-8.
• Решетняк Ю. Г.Курс математичного аналізу. Частина I. Книга 2. Інтегральне обчислення функцій однієї змінної. Диференціальне обчислення функцій багатьох змінних. Новосибірськ: Вид-во Ін-та математики, 1999. 512 з ISBN 5-86134-067-6.
• Решетняк Ю. Г.Курс математичного аналізу. Частина ІІ. Книга 1. Основи гладкого аналізу у багатовимірних просторах. Теорія рядів. Новосибірськ: Вид-во Ін-та математики, 2000. 440 з ISBN 5-86134-086-2.
• Решетняк Ю. Г.Курс математичного аналізу. Частина ІІ. Книга 2. Інтегральне обчислення функцій багатьох змінних. Інтегральне числення на різноманіттях. Зовнішні диференціальні форми. Новосибірськ: Вид-во Ін-та математики, 2001. 444 з ISBN 5-86134-089-7.
• Шведов І. А.Компактний курс математичного аналізу: Частина 1. Функції однієї змінної, Частина 2. Диференціальне обчислення функцій багатьох змінних.

• МФТІ, Москва

• Кудрявцев Л. Д.Курс математичного аналізу (у трьох томах).

• БДУ, фізфак:

• Богданов Ю. З.Лекції з математичного аналізу (у двох частинах). – Мінськ: БДУ, 1974. – 357 с.

Підручники підвищеної складності

Підручники:

• Рудін У.Основи математичного аналізу. М., 1976 - невелика книга, написана дуже чітко та стисло.

Задачники підвищеної складності:

• Г.Поліа, Г.Сеге,Завдання та теореми з аналізу. Частина 1, Частина 2, 1978. ( Більша частинаматеріалу відноситься до ТФКП)
• Pascal, E.(Napoli). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // Internet Archiv

Підручники для гуманітарних спеціальностей

• А. М. Ахтямов Математика для соціологів та економістів. - М.: Фізматліт, 2004.
• Н. Ш. Кремер та ін. Вища математикадля економістів Підручник 3-тє вид. - М.: Юніті, 2010

Задачники

• Г. М. Берман. Збірник завдань із курсу математичного аналізу: Навчальний посібник для вузів. - 20-те вид. М.: Наука. Головна редакціяфізико-математичної літератури, 1985. – 384 с.
• П. Є. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевніков. Вища математика у вправах та завданнях. (У 2-х частинах) - М.: Вищ.шк, 1986.
• Г. І. Запорожець Керівництво до вирішення задач з математичного аналізу. - М: вища школа, 1966.
• І. А. Каплан. Практичні заняття з вищої математики, в 5 частинах. - Харків, Вид. Харківського держ. ун-ту, 1967, 1971, 1972.
• О. К. Боярчук, Г. П. Головач. Диференціальні рівняння у прикладах та задачах. Москва. Едиторіал УРСС, 2001.
• А. В. Пантелєєв, А. С. Якімова, А. В. Босов. Звичайні диференціальні рівняння у прикладах та завданнях. "МАІ", 2000
• А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. Диференціальні рівняння: приклади та завдання. ВШ, 1989.
• К. Н. Лунгу, В. П. Норін, Д. Т. Письмовий, Ю. А. Шевченко. Збірник завдань із вищої математики. 1 курс. - 7-ме вид. - М: Айріс-прес, 2008.
• І. А. Марон. Диференціальне та інтегральне обчислення в прикладах та задачах (Функції однієї змінної). - М., Фізматліт, 1970.
• В. Д. Черненко. Вища математика у прикладах та завданнях: Навчальний посібник для вузів. У 3 т. – СПб.: Політехніка, 2003.

Довідники

Класичні твори

Твори з історії аналізу

• Кестнер, Авраам Готтгельф. Geschichte der Mathematik . 4 томи, Геттінген, 1796-1800
• Кантор, Моріц. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, - . Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
• Історія математики за редакцією А. П. Юшкевича (у трьох томах):

• Том 1 З найдавніших часів на початок Нового часу. (1970)
• Том 2 Математика XVII сторіччя. (1970)
• Том 3 Математика XVIII сторіччя. (1972)

• Маркушевич А. І. Нариси з історії теорії аналітичних функцій. 1951
• Вілейтнер Г. Історія математики від Декарта до середини XIXсторіччя. 1960

Примітки

1. СР, напр.,курс Cornell Un
2. Ньютон І. Математичні роботи . M, 1937.
3. Leibniz // Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220-226. Рос. пров.: Успіхи Мат. наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166-173.
4. Лопіталь. Аналіз нескінченно малих. М.-Л.: ГТТІ, 1935. (Далі: Лопіталь) // Мат. аналіз на EqWorld
5. Лопіталь, гол. 1, опр. 2.
6. Лопіталь, гол. 4, опр. 1.
7. Лопіталь, гол. 1, вимога 1.
8. Лопіталь, гол. 1, вимога 2.
9. Лопіталь, гол. 2, опр.
10. Лопіталь, § 46.
11. Лопіталь турбується про інше: йому довжина відрізка і треба пояснити, що означає її негативність. Зауваження, зроблене в § 8-10, можна навіть зрозуміти так, що при зменшенні зі зростанням слід писати, проте далі це не використовується.

І геометрією. Основний відмінна ознакааналізу у порівнянні з іншими напрямками – наявність функцій змінних величиняк предмет дослідження. При цьому, якщо елементарні розділи аналізу у навчальних програмах та матеріалах часто поєднують з елементарною алгеброю (наприклад, існують численні підручники та курси з найменуванням «Алгебра та початки аналізу»), то сучасний аналіз значною мірою використовує методи сучасних геометричних розділів, насамперед, диференціальної геометрії та топології.

Історія

Окремі відгалуження від «аналізу нескінченно малих», такі як теорія звичайних диференціальних рівнянь (Ейлер, Йоганн Бернуллі, Д'Аламбер), варіаційне числення (Ейлер, Лагранж), теорія аналітичних функцій (Лагранж, Коші, згодом у XVIII – першій половині XIX століття. Однак початком формування аналізу як самостійного сучасного розділувважаються праці середини XIX століття за формалізації ключових понять класичного аналізу- речового числа, функції, межі, інтеграла, насамперед, у працях Коші і Больцано, і набули закінченої форми до 1870-х - 1880-х років у роботах Вейєрштрасса, Дедекінда і Кантора. У зв'язку з цим сформувалися теорія функцій речовинної змінної і, у розвитку методів роботи з аналітичними функціями, - теорія функцій комплексної змінної. Створена Кантором наприкінці XIX століття наївна теорія множин дала поштовх до появи понять метричного та топологічного просторів, що значною мірою змінило весь інструментарій аналізу, підвищивши рівень абстракції об'єктів, що вивчаються, і перемістивши фокус з речових чисел до нечислових понять.

На початку XX століття переважно силами французької математичної школи(Жордан, Борель, Лебег, Бер) була створена теорія заходу, завдяки якій узагальнено поняття інтеграла, а також побудовано теорію функцій дійсної змінної. Також на початку XX століття почав формуватись функціональний аналіз як самостійний підрозділ сучасного аналізу, що вивчає топологічні векторні простори та їх відображення. Термін «функціональний аналіз» ввів Адамар, позначаючи галузь варіаційного обчислення, що розробляється на рубежі XIXі XX століть групою італійських та французьких математиків (у тому числі - Вольтерра, Арцела). У 1900 році Фредгольм публікує статтю про інтегральні рівняння, що дала поштовх для розвитку теорії інтегральних рівнянь, розвитку загальної теоріїінтегрування (Лебег), і формування функціонального аналізу . У 1906 року у роботі Гільберта окреслено спектральна теорія, у тому року опублікована робота Фреше, у якій вперше у аналіз запроваджено абстрактні метричні простору. У 1910-ті - 1920-і роки уточнено поняття відокремленості та вперше застосовано загальнотопологічні методи до аналізу (Хаусдорф), освоєно функціональні простори та розпочато формування загальної теорії нормованих просторів (Гільберт, Рис, Банах, Хан). У період 1929-1932 років сформована аксіоматична теорія гільбертових просторів (Джон фон Нейман, Маршалл Стоун, Рис). У 1936 році Соболєвим сформульовано поняття узагальненої функції (пізніше в 1940-х роках незалежно від нього до подібного поняття прийшов Лоран Шварц), що набуло широкого поширення в багатьох розділах аналізу і знайшло широке застосування в додатках (наприклад, узагальненою є δ (\displaystyle \delta )-функція Дірака). У 1930-ті - 1950-ті роки у функціональному аналізі отримані значні результати за рахунок застосування загальноалгебраїчних інструментів (векторні грати, операторні алгебри, банахові алгебри).

На середину XX століття отримали самостійний розвитоктакі напрями як теорія динамічних систем та ергодична теорія (Джордж Біркгоф, Колмогоров, фон Нейман), суттєво узагальнені результати гармонійного аналізу за рахунок застосування загальноалгебраїчних засобів - топологічних груп та уявлень (Вейль, Петер, Понтрягін). Починаючи з 1940-х – 1950-х років методи функціонального аналізу знайшли застосування у прикладних сферах, зокрема, у роботах Канторовича 1930-х – 1940-х років інструменти функціонального аналізу використані у обчислювальній математиці та економіці (лінійне програмування). У 1950-ті роки у працях Понтрягіна та учнів у розвиток методів варіаційного обчислення створено теорію оптимального управління.

Починаючи з другої половини XX століття з розвитком диференціальної топології до аналізу приєднався новий напрямок - аналіз на різноманіттях, що отримав назву «глобальний аналіз», що фактично почало формуватися раніше, в 1920-і роки в рамках теорії Морса як узагальнення варіаційного обчислення (зване Морсомварі обчислення в цілому », англ. variation calculus in large). До цього напряму відносять створені у розвиток теорії біфуркацій. динамічних систем(Андронов) такі напрями, як теорію особливостей (Уітні,) і теорію катастроф (Том, ​​і Мазер, ), які у 1970-ті роки розвиток у роботах Зімана і Арнольда .

Класичний математичний аналіз

Класичний математичний аналіз - розділ, що фактично повністю відповідає історичному «аналізу нескінченно малих», складається з двох основних компонентів: диференціального та інтегрального обчислень. Основні поняття - межа функції, диференціал, похідна, інтеграл, головні результати - формула Ньютона-Лейбніца, що пов'язує певний інтеграл і первісну і ряд Тейлора - розкладання в ряд нескінченно диференційованої функції в околиці точки.

Під терміном «математичний аналіз» зазвичай розуміють саме цей класичний розділ, причому він використовується в основному в навчальних програмах і матеріалах. При цьому вивчення основ аналізу входить до більшості середньоосвітніх програм, а більш-менш повне вивченняпредмета включено до програм перших років вищої освіти для широкого коласпеціальностей, у тому числі багатьох гуманітарних. В англо-американській освітній традиції для позначення класичного математичного аналізу використовується термін "обчислення" (англ. calculus).

Теорія функцій речової змінної(іноді називається коротко - теорія функцій) виникла внаслідок формалізації понять речового числа та функції : якщо в класичних розділах аналізу розглядалися лише функції, що виникають у конкретних завданнях, природним чином, то в теорії функцій самі функції стають предметом вивчення, досліджується їх поведінка, співвідношення їх властивостей. Один із результатів, що ілюструють специфіку теорії функцій речової змінної - факт, що безперервна функція може не мати похідної в жодній точці (притому згідно з більш ранніми уявленнями класичного математичного аналізу диференційність усіх безперервних функцій не піддавалася сумніву).

Основні напрями теорії функцій речовинної змінної:

Теорія функцій комплексної змінної

Предмет вивчення теорії функцій комплексної змінної - числові функції, визначені на комплексній площині C 1 (\displaystyle \mathbb (C) ^(1))або комплексному евклідовому просторі C n (\displaystyle \mathbb (C) ^(n)), у своїй найретельніше вивчені аналітичні функції , які відіграють важливу сполучну роль практично всім гілок математичного аналізу. Зокрема, поняття аналітичної функції узагальнено для довільних банахових просторів, тим самим багато результатів теорії функцій комплексної змінної знайшли узагальнення у функціональному аналізі.

Функціональний аналіз

Функціональний аналіз як розділ характеризується наявністю як предмет вивчення топологічних векторних просторів та їх відображень з накладеними на них різними алгебраїчними та топологічними умовами. Центральну роль у функціональному аналізі відіграють функціональні простори, класичний приклад- простору всіх вимірних функцій, чия p (\displaystyle p)-я ступінь інтегрована; при цьому вже L 2 (\displaystyle L^(2))- нескінченномірний простір (гільбертовий простір), і простори нескінченних розмірностей притаманні функціональному аналізу настільки, що іноді весь розділ визначається як частина математики, що вивчає нескінченномірні простори та їх відображення. Найважливішою формою просторів у класичних розділах функціонального аналізу є банахові простори – нормовані векторні простори, повні за метрикою, породженою нормою: значна частка цікавих на практиці просторів є такими, серед них - усі гільбертові простори, простори L p (\displaystyle L^(p)), простір Харді , простір Соболєва . Важливу рольграють у функціональному аналізі грають алгебраїчні структури, що є банаховими просторами - банахові грати та банахові алгебри (у тому числі - C ∗ (\displaystyle C^(*))-алгебри, алгебри фон Неймана).

В абстрактному гармонійному аналізі класичні методи узагальнені для абстрактних структур з використанням таких понять, як міра Хаара та уявлення груп. Найважливіший результат комутативного гармонійного аналізу - теорема Понтрягіна про двоїстість, завдяки якій щодо простими загальноалгебраїчними засобами описуються практично всі класичні результати гармонійного аналізу. Подальший розвиток теорії - некомутативний гармонійний аналіз, що має важливі додатки у квантовій механіці.

Диференціальні та інтегральні рівняння

У теорії інтегральних рівнянь, крім класичних методів рішення, виділяються такі напрями, як теорія Фредгольма, що помітно вплинула на формування функціонального аналізу як самостійного розділу, зокрема, що сприяла формуванню поняття гільбертового простору.

Теорія динамічних систем та ергодична теорія

З основних напрямів вивчення диференціальних рівнянь як самостійні розділи виділилися теорія динамічних систем, що вивчає еволюцію в часі механічних системта ергодична теорія, націлена на обґрунтування статистичної фізики. Незважаючи на прикладний характер завдань, до цих розділів належить широкий пласт понять та методів загальноматемічного значення, зокрема такі поняття стійкості та ергодичності.

Глобальний аналіз

Глобальний аналіз- розділ аналізу, що вивчає функції та диференціальні рівняння на різноманіттях та векторних розшаруваннях; іноді цей напрямок позначається як «аналіз на різноманіттях».

Один з перших напрямів глобального аналізу - теорія Морса та її застосування до завдань про геодезичні на ріманових різноманіттях; напрямок отримав назву «варіаційне обчислення в цілому». Основні результати – лема Морса, що описує поведінку гладких функцій на гладких різноманіттях у невироджених особливих точках, і такий гомотопічний інваріант, як категорія Люстерника – Шнірельмана. Багато конструкцій і тверджень узагальнені на випадок нескінченномірних різноманіття ( гільбертових різноманітностей *, банахових різноманітностей). Результати, отримані у рамках глобального аналізу особливих точокзнайшли широке і для вирішення суто топологічних завдань, така, наприклад, теорема періодичності Ботта, що багато в чому послужила основою для самостійного розділу математики - K (\displaystyle K)-теорії, а також теорема про h (\displaystyle h)-кобордизмі, наслідком якої є виконання гіпотези Пуанкаре для розмірності, що перевищує 4

Ще один великий блок напрямів глобального аналізу, який отримав широке застосування у фізиці та економіці - теорія особливостей, теорія біфуркацій та теорія катастроф; основний напрямок досліджень даного блоку - класифікація поведінок диференціальних рівнянь або функцій на околицях критичних точок та виявлення характерних рисвідповідних класів.

Нестандартний аналіз

Нестандартний аналіз - формалізація ключових понять аналізу засобами математичної логіки, основна ідея - формальна актуалізація нескінченно великих та нескінченно малих величин, та логічна формалізація маніпуляцій з ними. При цьому засоби нестандартного аналізу виявляються дуже зручними: ними отримані результати, які раніше не знайдені. класичними засобамичерез брак наочності