У Туреччині заявили про всіляку підтримку гагаузії.

Біографія Лев Мойсейович Фрідман (16 серпня 1915 р., с. Любич, Чернігівської області - 19 січня 2005 р.) - доктор психологічних наук, спеціаліст у галузі педагогічної та математичної психології. Л. М. Фрідман народився сім'ї робочих. Рано залишившись без батька, він спочатку вступив до ФЗУ, потім працював слюсарем на 1-й Картонажній фабриці в Ленінграді. У 1937 Л. М. Фрідман на відмінно закінчив Ленінградський державний педагогічний інститут, отримав диплом вчителя математики. З цього року почалася його педагогічна діяльністьу середніх та вищих навчальних закладах, що переривається закликом до Радянську Арміюта участю у боях на фронтах Великої Вітчизняної війни. Включившись у науково-дослідну роботу 1946, він успішно зайнявся проблемами методики викладання математики, і з 1961 - проблемами психології. Його Кандидатська дисертація, захищена у 1953, була присвячена структурному моделюванню навчальних завданьв курсі арифметики, а докторська - розробці дидактичних основзастосування завдань у навчанні.

Біографія Вченим та практикам широко відомі його праці з проблем навчання розв'язанню навчальних завдань на основі логікопсихологічного аналізу їх структури, виховання в учнів культури пошуку розв'язання задач, формування мотивації навчальної діяльності, моделювання продуктивного мислення. Ним опубліковано понад 200 наукових праць, у тому числі 49 монографій, книг, підручників, навчально-методичних посібників. Велике наукове значеннямають та викликають широкий інтерес у фахівців та практиків його книги «Логіко-психологічний аналіз навчальних завдань», «Психолого-педагогічні основи навчання математики», «Психопедагогіка», «Психологія дітей та підлітків», « Теоретичні основинавчання математики», « Психологічні основиповедінки людей і народів». Багато його робіт перекладено англійською, німецькою, китайською, іспанською, болгарською, латишською, естонською, литовською, молдавською мовами.

Концепція Фрідмана З погляду цього вченого найбільш істотним у розвитку дітей є характер їх діяльності в навчальному процесі. Більшість помилок і помилок вчителів відбувається тому, що вони не усвідомлюють, не розуміють головну мету навчання, підміняють її іншою, другорядною. Буває й те, що основна мета розуміється вчителем, але вона лише декларується, представляється як ідеал. У цьому випадку виникає глибоке протиріччя між декларованою метою та засобами її здійснення. Необхідними умоваминауково обґрунтованою діяльності вчителя є з'ясування ним головної мети навчання, вміння вибудувати відповідно до неї ієрархію інших цілей, вибрати адекватні засоби їхнього здійснення.

Концепція Фрідмана Головною метою навчального процесуЛ. М. Фрідман вважає виховання всебічно розвиненої та соціально зрілої особистості кожного школяра. Для реалізації цієї мети навчальний процес має будуватися відповідно до низки принципів.

Принципами є: Самостійність учнів у цілепокладанні та визначенні можливих напрямів діяльності. Самоорганізація, що впливає формування навичок раціонального вчення. Поєднання індивідуальної навчальної діяльності з колективною. Рольове участь, т. е. учні мають і у ролі відповідального й у ролі підлеглого. Ідея створення ситуації успіху у навчанні. (Позитивний емоційне тлонавчального процесу).

Принцип самостійності, принцип самоорганізації Принцип самостійності учнів у навчальному процесі передбачає його організацію таким чином, щоб учні брали безпосередню участь у цілепокладанні своєї діяльності, а цілі навчання, що задаються ззовні, ставали б їх власними, особистими цілями. У цьому випадку учні почуваються повноправними суб'єктами цього процесу, вільними у творчому досягненні прийнятих ними цілей діяльності, що набуває характеру самодіяльності, стає їх власною потребою. Принцип самостійності визначає мотиваційно-потребову сферу вчення.

Принцип самостійності, принцип самоорганізації. Принцип самоорганізації характеризує операційну сторону навчального процесу. Виходячи із цього принципу, вчитель не вчить, а допомагає учням вчитися. Він зумовлює необхідність навчання учнів вмінням та навичкам раціонального вчення, самостійного виконанняяк навчально-тренувальних дій, а й творчої самостійної навчальної діяльності.

Принцип розвитку, принцип колективізму, принцип рольової участі Принцип розвитку визначає низку вимог до організації навчального процесу: враховувати та спиратися на вікові та індивідуальні типологічні особливості учнів; розвивати вони потреба у подоланні посильних труднощів, у оволодінні новими способами дій, вміннями, навичками; орієнтуватись на зону найближчого розвитку з урахуванням досягнутого рівня актуального розвитку; спрямовувати навчальний процес формування соціальної зрілості кожного учня.

Принцип розвитку, принцип колективізму, принцип рольової участі Принцип колективізму встановлює, що центральною, провідною формою організації процесу є колективна (групова, парна) форма. Принцип рольової участі передбачає рівномірний та добровільний розподіл ролей між учнями класу. Один і той самий учень повинен виступити в ролі і відповідального, і підлеглого.

Принцип відповідальності та принцип психологічного забезпечення Принцип відповідальності учасників навчального процесу є важливим з точки зору розвитку соціально зрілої особистості. Принцип психологічного забезпечення передбачає емоційне задоволення кожного учня і цим розвиток мотивації вчення.

Принцип відповідальності та принцип психологічного забезпечення Важливе місце у концепції Л. М. Фрідмана відводиться контрольно-оцінної діяльності як вчителя, і учнів. Для останніх ця діяльність є заміною зовнішньої контрольно-оцінної діяльності вчителя. Вона сприяє розвитку в учнів довільного та не довільної уваги, формуванню в них звички до самоконтролю та самооцінки своїх дій, своєї поведінки. Без неї неможливе формування соціально зрілої особистості.

Принцип відповідальності та принцип психологічного забезпечення Л. М. Фрідман формулює вимоги, яким має відповідати контрольно-оцінна діяльність. Він вважає, що поточну, повсякденну контрольно-оцінну діяльність повинні виконувати самі учні, починаючи це робити ще в початкових класах. Участь вчителя у ній може бути пов'язана з навчанням школярів раціональним методамта прийомів цієї діяльності, з формуванням у них правильних та розумних еталонів контролю, нормативних критеріїв оцінки, способів коригування своєї діяльності навчальної роботи, потреби та звички самоконтролю та самооцінки, з вихованням довільної уваги. З погляду викладених вимог існуюча практика контролю та оцінки знань учнів відповідає їм.

Принцип відповідальності та принцип психологічного забезпечення З погляду викладених вимог існуюча практика контролю та оцінки знань учнів відповідає їм.

Насправді концепції розвивального навчання відбито у дидактичних системахВ. Ф. Шаталова, С. Н. Лисенкової (вчитель початкових класівМоскви), особистісно-розвивального навчання І. С. Якиманської (психолог). Теорія навчання визначила загальні підходи до такого виду навчання як пояснювально-ілюстративне.

Для цього виду навчання характерно: 1. Класно-урочна форма. 2. Пояснення навчального матеріалувчителем у поєднанні з наочністю. 3. Провідна роль вчителя всіх етапах вчителя. Переваги: ​​Економить час. Забезпечує розуміння складного матеріалу та управління цим процесом. Недоліки: Піднесення готових знань та недостатня активність учня.

Як навчитися розв'язувати задачі. Книжка для учнів старших класів. Фрідман Л.М., Турецький О.М.

3-тє вид., Дораб. - М: Просвітництво, 1989. - 192 с.

У книзі викладено сутність розв'язання шкільних математичних завдань, а також задач підвищеної складності. Вона призначена для учнів старших класів середньої школи, але нею можуть користуватися також учні технікумів та ПТУ, взагалі всі, хто хоче навчитися вирішувати математичні завдання.

Формат: djvu/zip

Розмір: 2,9 Мб

/ Download файл

ЗМІСТ
Передмова 3
До читачів 4
Частина I. Завдання та їх вирішення
Глава I. Складові частини завдань 6
I. 1* Що таке завдання? -
I* 2. Умови та вимоги завдання -
I. 3* Напрямок аналізу завдань 9
I. 4. Як улаштовані умови завдання 12
I. 5, Схематичний запис завдань 14
I. 6. Використання креслень для схематичного запису задач 17
I. 7. Практичні та математичні завдання 23
Розділ II. Сутність та структура вирішення математичних завдань 24
ІІ. 1, Що означає вирішити математичне завдання? ... -
ІІ. 2. Структура процесу розв'язання задач 28
ІІ. 3. Стандартні завдання та їх вирішення 40
ІІ. 4. Не стандартні завданнята їх вирішення 48
Розділ III. Пошук плану вирішення математичних завдань 52
ІІІ. 1. Розпізнавання виду задачі 53
III, 2. Пошук плану розв'язання задачі шляхом зведення до раніше вирішених задач 57
ІІІ. 3. Як зловити мишу в купі каміння? 63
ІІІ. 4. Моделювання у процесах розв'язання задач... 72
Частина ІІ. Методи вирішення завдань
Розділ IV. Завдання на перетворення та побудову... 79
IV. 1. Види виразів та сутність їх перетворень
IV. 2. Завдання на приведення виразів до стандартного вигляду 89
IV. 3. Завдання на спрощення виразів 92
IV. 4. Розкладання на множники 99
IV. 5. Диференціювання виразів 103
IV. 6. Завдання на побудову 106
Глава V. Завдання знаходження шуканих рівнянь і нерівностей 115
V. 1, Сутність розв'язання рівнянь і нерівностей.
V. 2. Раціональні рівняння 120
V. 3. Раціональні нерівності 122
V. 4. Ірраціональні рівнянняу нерівності. . . 126
V. 5. Показові та логарифмічні рівняння та нерівності 130
V. 6. Тригонометричні рівняннята нерівності. . . 133
V. 7. Системи рівнянь 142
V. 8. Нерівності та системи нерівностей із двома змінними 148
V. 9. Завдання максимум і мінімум 154
V. 10. Геометричні завдання на обчислення 157
Розділ VI. Завдання на доказ 162
VI. 1. Сутність та методи доказу -
VI. 2. Доказ тотожностей 166
VI. 3. Доказ нерівностей 171
VI. 4. Метод повної математичної індукції 174
Відповіді та вказівки 183

За кнопкою вище «Купити паперову книгу»можна купити цю книгу з доставкою по всій Росії та схожі книгиза найкращою ціною у паперовому вигляді на сайтах офіційних інтернет магазинів Лабіринт, Озон, Буквоїд, Читай-місто, Літрес, My-shop, Book24, Books.ru.

За кнопкою «Купити та завантажити електронну книгу» можна купити цю книгу в електронному виглядів офіційному інтернет магазині «ЛітРес», і потім її завантажити на сайті Літреса.

На кнопці «Знайти схожі матеріали на інших сайтах» можна шукати схожі матеріали на інших сайтах.

На кнопках над тим, що можна купити книгу в офіційних онлайн магазинах Labirint, Ozon і інші. Також ви можете знайти related and similar materials на інших підприємствах.

Як навчитися вирішувати завдання.

У книзі викладено сутність розв'язання шкільних математичних завдань, а також задач підвищеної складності. Вона призначена для учнів старших класів середньої школи, але нею можуть користуватися також учні технікумів та ПТУ, взагалі всі, хто хоче навчитися вирішувати математичні завдання.

Вирішення завдань займає в математичній освіті величезне місце. Тому навчанню розв'язання завдань приділяється багато уваги, але досі, мабуть, єдиним методом такого навчання були показ способів вирішення певних видів завдань і значна, часом виснажлива практика з оволодіння ними. Тому всі посібники для учнів щодо вирішення завдань були побудовані у формі збірника завдань (з відповідями та з деякими вказівками до них).
У останні рокиз'явився ряд посібників, у яких викладаються деякі загальні вказівки та рекомендації (евристики) щодо вирішення завдань, пошуку цих рішень. Насамперед це книги Д. Пойя, деякі вдалі посібники для вступників до ВНЗ. Однак ці посібники викладають питання, пов'язані з вирішенням математичних завдань, недостатньо повно, без необхідної системи, без урахування реальних труднощів, з якими стикаються учні.
Психологічні дослідження проблеми навчання розв'язанню задач показують, що основні причини несформованості у учнів загальних умінь і здібностей у вирішенні завдань полягають у тому, що школярам не даються необхідні знанняпро сутність завдань та їх рішень, а тому вони вирішують завдання, не усвідомлюючи належним чином свою діяльність. У учнів не виробляються окремо вміння та навички у діях, що входять до спільну діяльністьщодо вирішення завдань, і тому їм доводиться освоювати ці дії в самому процесі вирішення завдань, що багатьом школярам не під силу. Не стимулюється постійний аналіз учнями своєї діяльності щодо вирішення завдань та виділення в них загальних підходівта методів, їх теоретичного осмислення та обґрунтування.
Виникла необхідність розробки таких посібників, які б допомогли подолати зазначені причини і дали можливість учням планомірно сформувати в собі потрібні вміння і навички у вирішенні математичних завдань. Ця книга – перша спроба створити такий посібник.

ЗМІСТ
Передмова 3
До читачів 4
Частина I. Завдання та їх вирішення
Глава I. Складові частини завдань 6
I. 1 Що таке завдання? -
I. 2. Умови та вимоги завдання -
I. 3. Напрямок аналізу завдань 9
I. 4. Як улаштовані умови завдання 12
I. 5. Схематичний запис завдань 14
I. 6. Використання креслень для схематичного запису задач 17
I. 7. Практичні та математичні завдання 23
Розділ II. Сутність та структура вирішення математичних завдань 24
ІІ. 1. Що означає розв'язати математичне завдання? -
ІІ. 2. Структура процесу розв'язання задач 28
ІІ. 3. Стандартні завдання та їх вирішення 40
ІІ. 4. Нестандартні завдання та їх вирішення 48
Розділ III. Пошук плану вирішення математичних завдань 52
ІІІ. 1. Розпізнавання виду задачі 53
III, 2. Пошук плану розв'язання задачі шляхом зведення до раніше вирішених задач 57
ІІІ. 3. Як зловити мишу в купі каміння? 63
ІІІ. 4. Моделювання у процесах вирішення завдань 72
Частина ІІ. Методи вирішення завдань
Розділ IV. Завдання на перетворення та побудова 79
IV. 1. Види виразів та сутність їх перетворень
IV. 2. Завдання на приведення виразів до стандартного виду 89
IV. 3. Завдання на спрощення виразів 92
IV. 4. Розкладання на множники 99
IV. 5. Диференціювання виразів 103
IV. 6. Завдання на побудову 106
Глава V. Завдання знаходження шуканих рівнянь і нерівностей 115
V. 1, Сутність розв'язання рівнянь та нерівностей -
V. 2. Раціональні рівняння 120
V. 3. Раціональні нерівності 122
V. 4. Ірраціональні рівняння у нерівності 126
V. 5. Показові та логарифмічні рівняння та нерівності 130
V. 6. Тригонометричні рівняння та нерівності 133
V. 7. Системи рівнянь 142
V. 8. Нерівності та системи нерівностей із двома змінними 148
V. 9. Завдання максимум і мінімум 154
V. 10. Геометричні завдання на обчислення 157
Розділ VI. Завдання на доказ 162
VI. 1. Сутність та методи доказу -
VI. 2. Доказ тотожностей 166
VI. 3. Доказ нерівностей 171
VI. 4. Метод повної математичної індукції 174
Відповіді та вказівки 183

"51148"

Що повідомляли турецькі ЗМІ про візит Ердогана до Молдови

З Молдови президент Туреччини Реджеп Таїп Ердоган повернувся додому з найвищою державною нагородою- орденом Республіки, а також з орденом Гагауз ЕРІ - найвищою нагородою Гагаузії, автономної територіїреспубліки. Цей візит широко обговорювався у турецькій пресі.

Новинний портал Milliyetопублікував статтю за підсумками візиту президента із промовистим заголовком «Де знаходиться Молдова? Як дістатися до Молдови?».

«Візит президента Туреччини до Молдови приніс гарні новини- тепер громадяни наших двох країн зможуть мандрувати без віз, маючи при собі лише посвідчення особи. У зв'язку із цим у громадян Туреччини виникає багато запитань: де знаходиться Молдова? Які країни розташовані поряд із нею? І якщо вже мандрувати, то як до неї дістатися? - йдеться у статті.

Milliyetспробував відповісти на ці питання, розповівши про географічне розташуваннякраїни, про те, що поруч із Молдовою знаходяться більш відомі країни - Росія, Румунія та Україна, менш відома Білорусія. Не забули журналісти згадати і проблему Придністров'я.

Щодо того, як дістатися до цієї країни, Milliyetрадить обирати повітряне сполучення, незважаючи на те, що в Молдові є всього один аеропорт - у Кишиневі. «Існують прямі рейси до Молдови зі Стамбула, Ізміру та Анкари. Можна, звичайно, спробувати дістатися Молдови автомобілем, проте подорож ця займе близько 13 години, до того ж потрібно бути готовою до того, що дороги в цій країні знаходяться в поганому стані», - попереджає Milliyet.

Турецька прес-агенція Anadoluрозмістило інтерв'ю з послом Республіки Молдова у Туреччині Ігорем Болбочану. Дипломат заявив, що «візит президента Ердогана до Молдови є важливим та історичним» і звернувся до турецьких бізнесменів. «Ми закликаємо турецьких бізнесменів інвестувати до Молдови. Ми готові допомагати тим, хто хоче відкрити готелі, ресторани та розважальні центри у нашій країні», - цитує агентство Болбочану. Візового бар'єру між країнами більше не буде, що спростить ділові поїздки, наголосив посол.

Також Anadoluрозповіла своїм читачам про те, що в Молдові проживає 160 тисяч тюркських гагаузів, яких Туреччина вже багато років підтримує, вкладаючи гроші в цей автономний регіон.

Це ж агентство присвятило ще одну статтю візиту Ердогана до РМ, йдеться про те, що Туреччина чекає на підтримку з боку Молдови у боротьбі з терористичною організацією FETO.

"У спільній боротьбі з FETO турецький народ очікує від своїх молдавських друзів підтримки без вагань", - цитує агентство слова Ердогана на спільній прес-конференції з Ігорем Додоном у столиці Молдови Кишиневі.

Anadoluнагадує, що «FETO проник у збройні сили Туреччини, поліцію, правову систему та все державні установиПроте Молдова також перебуває в небезпеці, адже ця терористична група може проникнути і туди».

Новинний портал Daily Sabahрозповів виключно про візит Ердогана до Гагаузії та проблеми цього бідного регіону, причому гагаузи в статті іменуються не інакше як «турки-гагаузи».

«Ми залишатимемося друзями Молдови та турків-гагаузів у всі часи, як хороші, так і погані. А Туреччина продовжуватиме підтримувати гагаузький народ, щоб вони змогли жити за найвищими стандартами на своїй батьківщині. Для цього в наступному роціми відкриємо чудовий освітній комплекс у Комраті», - цитує портал промову Ердогана на зустрічі з гагаузами. Він також заявив, що "в регіоні планується відкрити і консульство Туреччини".

Видання Hurriyet Daily Newsтакож розповідало лише про візит президента до Гагаузії та проблему автономії для її населення. Проте проблеми більше немає, адже «Реджеп Тайіп Ердоган передав мешканцям Гагаузії, що домовився з президентом Ігорем Додоном про те, що регіон отримає повну автономію», повідомляє видання.

«Ігор Додон підтримав заяви Ердогана і сказав, що зробить усе можливе, щоб статус автономії, гарантований Молдовою гагаузькому регіону, повністю дотримувався. Президент Туреччини пообіцяв і в майбутньому всіляко підтримувати рідних людей. І вся Туреччина з усіма її установами готова надати Гагаузії необхідну підтримку в усіх сферах», - пише Hurriyet Daily News.

Соб. кор. ФСК

Якщо Ви помітите помилку в тексті, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter, щоб надіслати інформацію редактору.

ЛМФридман Е.НТурецкий КАК НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ВИДЫ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ПРОЦЕСС РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НАЛИЗ РЕШЕНИЯ 1СУШЕСТВЛЕНИЕ ПЛАНА РЕШЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЕ (РАСПОЗНАВАНИЕ) ИСКОМЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЛИ ПОСТРОЕНИЕ ОКАЗАТЕЛЬСТВО И ОБЪЯСНЕНИЕ ЛМФридман ЕНТурецкий КАК НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ КНИГА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ старших классов средней школы 3 -е видання, доопрацьоване Москва «Освіта» 19а9 ББК 22.1 Ф88 Рецензент вчитель математики школи №415 м. Москви А. В. Наумова Фрідман Д. М., Турецький Є. Н. Ф 88 Як навчитися вирішувати завдання: Кн. для учнів ст. класів середовищ, шк, - 3-тє вид., Дораб. - М.: Просвітництво, 1989. - 192 с: іл. ISBN 5-09-000596-6 У книзі викладено сутність розв'язання шкільних математичних завдань, а також задач підвищеної труднощі. Вона призначена для учнів старших класів середньої школи, але нею можуть користуватися також учні технікумів та ПТУ, взагалі всі, хто хоче навчитися вирішувати математичні завдання. . 4306020000-384 ЛЛО ftft Ф 103(03)^89 2°3-88 ББК 22. ISBN 5-09-000596-6 © Видавництво «Освіта», 1979 © Видавництво «Освіта», 1989 Навчальне виданняФрідман Лев Мойсейович Турецький Євсей Наумович ЯК НАВЧИТИСЯ ВИРІШУВАТИ ЗАВДАННЯ Зав. редакцією Р. А. Хабіба. Редактор Т. А. Бурмістрова. Молодший редактор Є. А. Сафронова. Художній редактор? Я. Карасік. Технічний редактор Т. Г. Іванова. Коректори Л. С. Вайтман, Я. В. Бурдіна. ІБ № 11288. Здано до набору 10.07.87. Підписано до друку 24.11.88. Формат 60X90"/i6. Бум. кн. журн. вітчизн. Гарнітура літературна. Друк висока. Ум. печ. арк. аркуш 10,77 + 0,42 форз. Тираж 500 000 екз. Замовлення № 522. Ціна 50 коп. -й проїзд Мар'їного гаю, 41. Набрано в ордени Жовтневої революції , ордена Трудового Червоного Прапора Ленінградському виробничо-технічному об'єднанні «Друкарський Двір» імені О. М. Горького Союзполіграфпрому при Державному комітеті СРСР у справах видавництв, поліграфії та книжкової торгівлі 197136, Ленінград, П-136, Чкаловський пр., 15. Надруковано на Саратовському ордена Трудового Червоного Прапора поліграфкомбінаті Державного комітету РРФСР у справах видавництв, поліграфії та книжкової торгівлі. 410004, Саратов, вул. Чернишевського, 59. Передмова Вирішення завдань займає в математичній освіті величезне місце. Тому навчанню розв'язання завдань приділяється багато уваги, але досі, мабуть, єдиним методом такого навчання були показ способів вирішення певних видів завдань і значна, часом виснажлива практика з оволодіння ними. Тому всі посібники для учнів щодо вирішення завдань були побудовані у формі збірника завдань (з відповідями та з деякими вказівками до них). В останні роки з'явилася низка посібників, у яких викладаються деякі загальні вказівки та рекомендації (евристики) щодо вирішення завдань, пошуку цих рішень. Насамперед це книги Д. Пойя, деякі вдалі посібники для вступників до вузів. Однак ці посібники викладають питання, пов'язані з вирішенням математичних завдань, недостатньо повно, без необхідної системи, без урахування реальних труднощів, з якими стикаються учні. Психологічні дослідження проблеми навчання розв'язанню задач показують, що основні причини несформованості у учнів загальних умінь і здібностей у вирішенні завдань полягають у тому, що школярам не даються необхідні знання про сутність завдань та їх рішень, а тому вони вирішують завдання, не усвідомлюючи належним чином свою власну діяльність. У учнів не виробляються окремо вміння й навички у діях, які входять у спільну діяльність з розв'язання завдань, і тому їм доводиться освоювати ці дії в процесі вирішення завдань, що багатьом школярам не під силу. Не стимулюється постійний аналіз учнями своєї діяльності щодо вирішення завдань та виділення в них загальних підходів та методів, їх теоретичного осмислення та обґрунтування. Виникла необхідність розробки таких посібників, які б допомогли подолати зазначені причини і дали можливість учням планомірно сформувати в собі потрібні вміння і навички у вирішенні математичних завдань. Ця книга – перша спроба створити такий посібник. Перші видання цієї допомоги викликали доброзичливі відгуки читачів. Особливу подяку висловлюємо До. К. Михайлової, А. І. Фейгіна, Е. М. Больсену, які дали ряд цінних порад щодо вдосконалення книги. До третього видання посібника внесено необхідні виправлення та уточнення. Будемо дуже вдячні всім, хто надішле свій відгук на адресу видавництва: 129846, Москва, 3-й проїзд Мар'їного гаю, 41, редакція математики. Автори До читачів Вміння вирішувати завдання є одним із основних показників рівня вашого математичного розвитку, глибини освоєння навчального матеріалу Тому будь-який іспит з математики, будь-яка перевірка знань містить як основну і, мабуть, найбільш важку частину вирішення завдань. І ось тут виявляється, що багато хто з вас не може показати достатні вміння у вирішенні завдань. На всіх іспитах, як у школі, так і на прийомних до вузів та технікумів, досить часто трапляються випадки, коли учень показує, здавалося б, хороші знанняв галузі теорії, знає всі необхідні визначення та теореми, але заплутується при вирішенні дуже нескладного завдання. За час навчання у школі кожен із вас вирішує величезна кількістьзавдань, близько кількох десятків тисяч. При цьому всі ви вирішуєте ті самі завдання. А в результаті деякі учні опановують спільне вміння вирішення завдань, а багато хто, зустрівшись із завданням незнайомого або малознайомого виду, губляться і не знають, як до неї підступитися. У чому причина цього? Причин, звісно, ​​багато. І однією з них є те, що одні учні вникають у процес розв'язання задач, намагаються зрозуміти, у чому полягають прийоми та методи розв'язання задач, вивчають завдання. Інші ж, на жаль, не замислюються над цим, намагаються лише якнайшвидше вирішити задані завдання. Ці учні не аналізують належним чином розв'язувані завдання і виділяють із рішення загальні прийоми і методи. Завдання найчастіше вирішуються лише заради отримання відповіді. У більшості учнів дуже невиразні, а часом і невірні уявлення про сутність вирішення завдань, про самі завдання. Як можуть учні вирішити складне завдання, якщо вони не уявляють, з чого складається аналіз завдання, як можуть вони вирішити задачу на доказ, якщо вони не знають, у чому сенс доказу? Багато учнів не знають, у чому сенс вирішення завдань на побудову, навіщо і коли потрібно проводити перевірку рішення і т. д. Очевидно, що на таких уявленнях не можуть виникнути свідомі та міцні вміння у вирішенні завдань. Спостереження показують, що багато учнів вирішують завдання лише за зразком. А тому, зустрівшись із завданням незнайомого типу, заявляють: «А ми такі завдання не вирішували». Начебто можна всі види завдань заздалегідь вирішувати! Чи можна навчитися вирішувати будь-які завдання? Звичайно, будь-які завдання навчитися вирішувати неможливо, бо як би ви добре не навчилися їх вирішувати, завжди зустрінеться таке завдання, яке ви не зможете вирішити. Адже вчені-математики витрачають все своє життя на те, щоб знайти вирішення деяких завдань. У математиці відомі завдання, які вчені вже багато років вирішують і не можуть вирішити. Але якщо говорити про шкільні завдання або про завдання, які пропонуються на різного родуекзаменах, то кожен (!) учень у принципі може навчитися їх вирішувати. Звичайно, і тут може зустрітися таке завдання, яке ви відразу не зумієте вирішити. Знадобиться посидіти над нею, неабияк попрацювати для того, щоб її вирішити, але в принципі будь-яке з таких завдань вам доступне, ви можете її вирішити. Щоб навчитися вирішувати завдання, треба багато попрацювати. Але ця робота не зводиться лише до рішення великої кількостізадач. Якщо коротко позначити те, що потрібно зробити для цього, то можна так сказати: треба навчитися такому підходу до завдання, при якому завдання постає як об'єкт ретельного вивчення, а його рішення – як об'єкт конструювання та винаходи. Ця книга призначена для того, щоб допомогти вам навчитися вирішувати шкільні та пропоновані на прийомних іспитах у вузи та технікуми математичні-завдання. Якщо ви твердо захотіли навчитися вирішувати завдання, то запасіться терпінням і завзятістю. Цю книгу потрібно не просто читати, а опрацьовувати. Це означає, що її потрібно читати, як то кажуть, з олівцем та папером. Треба ретельно обмірковувати все, що в ній написано, додумуватись до суті прочитаного. Треба терпляче і не поспішаючи виконати всі завдання, які в ній вказані. Головне, не поспішайте, читайте книгу повільно, вдумливо, повертаючись при потребі до прочитаного. Ви повинні зрозуміти, що тільки в результаті самостійної та наполегливої ​​роботи можна дійсно чогось навчитися, а тим більше такого складного вміння, як уміння вирішувати математичні завдання. Ця книга складається з двох взаємозалежних частин. У першій частині даються загальні відомостіпро завдання та їх вирішення, розглядаються загальні методи аналізу задачі та пошуку її розв'язання. У другій частині розглядаються методи вирішення деяких видів завдань, що найчастіше зустрічаються. Наведені у книзі завдання взяті, як правило, із шкільних підручників та деяких екзаменаційних робіт. Завдання для самостійної роботизабезпечені вказівками та відповідями, які вміщені в кінці книги. Однак не поспішайте заглядати у відповіді. Спочатку спробуйте самостійно перевірити своє рішення, обміркувати його і лише потім звірити з наведеною відповіддю. У разі розбіжності з наведеною відповіддю виявіть причину розбіжності, потім знайдіть свої помилки та виправте їх. Якщо у вас вистачить терпіння і завзятості опрацювати цю книгу до кінця, то сподіваємося, що ви самі відчуєте, що набули достатньої впевненості, щоб не губитися під час зустрічі з незнайомим завданням. Думаємо, що тепер ви будете з бажанням і інтересом вирішувати завдання, що зустрічаються вам. Бажаємо успіху! Автори Частина I ЗАВДАННЯ ТА ЇХ РІШЕННЯ Глава I СКЛАДНІ ЧАСТИНИ ЗАВДАННЯ 1.1. Що таке завдання? Вирішення завдань - це робота дещо незвичайна, а саме розумова праця . А щоб навчитися будь-якої роботи, потрібно попередньо добре вивчити той матеріал, над яким доведеться працювати, інструменти, за допомогою яких виконується ця робота. Отже, щоб навчитися вирішувати завдання, треба розібратися у цьому, що вони уявляють, як вони влаштовані, з яких складових вони складаються, які інструменти, з допомогою яких виробляється рішення задач. Почнемо все це вивчати. Отже, що таке завдання? Якщо придивитися до будь-якої задачі, то побачимо, що вона є вимогою або питанням, на яке треба знайти відповідь, спираючись і враховуючи ті умови, які вказані в задачі. Тому, приступаючи до вирішення будь-якої задачі, треба її уважно вивчити, встановити, у чому полягають її вимоги (питання), які умови, виходячи з яких треба вирішувати завдання. Усе це називається аналізом завдання. Ось і почнемо вчитися проводити аналіз завдання. 1.2. Умови та вимоги завдання Отримавши завдання, ми, звісно, ​​його уважно читаємо. Завдання 1. У прямокутному трикутнику точка торкання вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки довжиною 5 см і 12 см. Знайти катети трикутника. Перше, що ми можемо помітити при читанні цього завдання, полягає в наступному: у ньому є певні твердження та вимоги. У ній стверджується, що «у прямокутному трикутнику точка торкання вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки довжиною 5 см та 12 см». Вимога завдання полягає в тому, що потрібно знайти катети трикутника. Часто вимога завдання формулюється як питання. Але 6 всяке питання передбачає вимогу знайти відповідь це питання, тому всяке питання можна замінити вимогою. Як бачимо, формулювання будь-якого завдання складається з кількох тверджень та вимог. Звідси ясно, що перше, що потрібно зробити при аналізі задачі, - це розчленувати формулювання задачі на умови та вимоги. Зауважимо, що у завданні зазвичай одне умова, а кілька незалежних елементарних (т. е. нерозчленованих далі) умов; вимог у завданні також може бути не одна. Тому необхідно розчленувати всі твердження та вимоги завдання на окремі елементарні умови та вимоги. У задачі 1 можна вичленувати такі елементарні умови: 1) трикутник, про який йдеться у задачі, прямокутний; 2) у цей трикутник вписано коло; 3) точка торкання кола з гіпотенузою ділить її на два відрізки; 4) довжина одного з цих відрізків дорівнює 5 см; 5) довжина іншого відрізка дорівнює 12 см. Вимогу цього завдання можна розчленувати на два елементарні: 1) знайти довжину одного катета трикутника; 2) знайти довжину іншого катета трикутника. Розчленування формулювання завдання на умови та вимоги не завжди легко зробити. У ряді випадків для цього необхідно переосмислити завдання, переформулювати його. Наприклад. Завдання 2. Скільки цифр містить число 2100 (у десятковій системі числення)? Формулювання цього завдання складається з одного питання. Але, вдумавшись у це питання, ми можемо з нього вичленувати такі умови: 1) 2100 є натуральне число; 2) його можна записати звичайним чином у вигляді багатозначного числау десятковій системі числення. Тоді вимога цього завдання полягає в наступному: знайти скільки цифр містить запис цього багатозначного числа. Завдання 3. Розв'язати рівняння ахА-хг+а2х-а=0. Формулювання цього завдання складається з однієї вимоги. Але аналіз цієї вимоги дозволяє виокремити з нього умову та власне вимогу. Умова: а*4-#3 + а2х-а = 0 є рівняння, а вимога: розв'язати це рівняння. 1 Зауважимо, що іноді умовою задачі називають усе формулювання задачі, тобто всі умови та вимоги разом. 7 Звичайно, на цьому не можна зупинитись і треба продовжити аналіз. Ми зауважуємо, що запис рівняння містить дві літери: а та х. Передбачається, звичайно, що ви знаєте, що ці літери позначають: літера а - параметр, тобто величину, яка в межах цього завдання розглядається як постійна; х - змінну, область зміни якої є безліч чисел, наприклад дійсних (зазвичай завдання це якось обговорюється). Крім того, корисно згадати, що означає рівняння. Тоді умови цього завдання такі: 1) а - є параметр; 2) х - змінна, область зміни якої є безліч дійсних чисел; 3) ах4 - х3-\-а2х - а = 0 є рівність зі змінною х. Вимога цього завдання тоді можна так сформулювати: знайти всі такі значення змінної х з області її зміни, у яких зазначена рівність виконується. Аналіз завдання можна продовжити ще далі. Можна спитати: що означає знайти значення змінної х за даних умов? Знайшовши відповідь це питання, тим самим уточнимо вимога завдання. Воно набуде такого вигляду: знайти такі висловлювання х від а, які, будучи підставлені в заданий вислів зі змінною замість х, звертають його в справжнє висловлюванняпри всіх допустимих значенняхпараметра а. Як бачимо, аналіз завдання та вичленування її умов та вимог можна проводити з різною глибиною. Глибина аналізу залежить головним чином від того, чи знайомі ми з видом завдань, до якого належить задана, і чи знайомі з загальним способомрозв'язання цих завдань. Якщо так, то нам достатній найпростіший аналіз, який зводиться до встановлення виду цієї задачі; якщо ні, то знаходження рішення завдання потрібен глибший аналіз. Завдання 1 Спробуйте самостійно провести аналіз наведених нижче завдань, вказати кожному з них всі її елементарні умови та вимоги. 1.1. За яких значень х нерівність 2*;>4 звертається у правильну числову нерівність? 1.2. Побудувати суму векторів ЛВ та CD, якщо А (- 1,2), В (2,3), С (1,1), D(3,5). 1.3. З пункту Л до пункту В вийшов поїзд, швидкість якого 72 км/год. Через 45 хв вийшов поїзд із Б до Л зі швидкістю 75 км/год. Відстань між Л та В 348 км. На якій відстані від поїзда зустрінуться? 1.4. Ребро куба дорівнює а. Чому дорівнює відстань між ребрами куба? 8 1.3. Напрямок аналізу завдань Повернемося до задачі 2. Аналізуючи це завдання, ми виокремили такі умови: 1) 2100 є натуральним числом; 2) його можна записати звичайним чином у вигляді багатозначного числа. Чому саме ці умови вичленовані з формулювання завдання? Адже можна було вичленувати й інші умови, наприклад: 2100 є твір числа 2 сам на себе сто разів або 2100 є дійсне число тощо. Але чомусь ми виділили не ці умови, а зазначені вище. Вся справа в тому, що, роблячи аналіз завдання, вичленюючи з формулювання завдання її умови, ми весь час маємо співвідносити цей аналіз з вимогою завдання, як би постійно озиратися на вимогу. Інакше кажучи, аналіз завдання завжди спрямовано вимоги завдання. Справді, в задачі 2 нам потрібно дізнатися, скільки цифр містить число 2100. Звичайно, це передбачає, що, по перше, це число розглядається як натуральне (бо зазвичай у записі чисел іншого виду число цифр не підраховується, а те, що воно натуральне, випливає з визначення ступеня), а по-друге, це натуральне число записано у звичайному вигляді у формі багатозначного числа. Ці дві умови ми й виділили під час аналізу завдання. Розглянемо ще приклади. Завдання 4. Катер пройшов 20 км за течією річки та 20 км проти течії річки. Чи витратить він на весь шлях більше часу, ніж йому потрібно на проходження 40 км у стоячій воді, менше чи стільки ж? Первинний аналіз цього завдання дозволяє виокремити такі умови: 1) катер пройшов 20 км за течією річки; 2) він пройшов 20 км. проти течії річки; 3) він же пройшов 40 км у стоячій воді. Але, зіставивши ці умови з вимогою завдання: дізнатися більше, менше або стільки ж часу витратив катер на перший і другий шлях разом у порівнянні з третім, ми виявляємо недостатність проведеного аналізу. Ця недостатність проявляється хоча б у тому, що за умов нічого не йдеться про час, а вимога завдання зводиться до порівняння проміжків часу. Тому слід продовжити аналіз. Для цього вдумаємось у вимогу завдання. Треба порівняти час руху катера річкою з часом руху цього катера в стоячій воді. Від чого це час? Очевидно, від власної швидкості катера, швидкості течії річки і, звичайно, пройдених відстаней. Але якщо пройдені відстані у формулюванні завдання дано, то швидкості катера і річки навіть не згадуються. Як же бути? У разі ці величини, без яких розв'язання завдання неможливо, приймаються за невизначені параметри. Припустимо, наприклад, що власна швидкість катера дорівнює v км/год, а швидкість течії річки а км/год. Тепер ми можемо виокремити такі умови: 1) власна швидкість катера v км/год; 2) швидкість течії річки а км/год; 3) катер проплив 20 км за течією річки; 4) він же проплив 20 км. проти течії річки; 5) на весь шлях туди і назад річкою катер витратив U год; 6) у стоячій воді катер проплив 40 км; 7) на цей шлях він витратив h год. Вимога задачі: порівняти U і U і встановити, чи рівні вони чи ні, а якщо ні, то що більше. Завдання 5. Зі всіх циліндрів заданого об'єму знайти циліндр з найменшою повною поверхнею. Умову цього завдання («з усіх циліндрів заданого об'єму») можна розуміти так, що розглядається безліч циліндрів, об'єм яких дорівнює деякому числу V (тут V є параметром). Вимога завдання полягає в тому, щоб заданої множинициліндрів знайти такий, повна поверхняякого найменша. Співвіднесемо цю вимогу з зазначеною умовою. Стає ясно, що повна поверхня аналізованих циліндрів виступає як змінної величини. Потрібно знайти мінімум цієї змінної. Для цього, очевидно, цю змінну слід подати як функцію від іншої змінної. Як остання можна взяти, наприклад, радіус р основи циліндра. Отже, треба знайти таке значення г (при даному параметрі V), при якому S(r), де S(r) - це функція поверхні циліндра від радіусу г приймає найменше значення. Отже, умови цієї задачі такі: 1) розглядається безліч циліндрів, об'єм яких дорівнює V (V-параметр); 2) радіус основи цих циліндрів є змінною г; 3) повна поверхня S цих циліндрів є деякою функцією S(r). Вимоги завдання: 1) визначити функцію S(r); 2) знайти таке значення р, у якому S(r) приймає найменше значення. Спрямованість аналізу завдання на її вимоги полягає ще в тому, що особливу увагунеобхідно приділити з'ясування сутності вимоги завдання, чіткого визначення того, що потрібно знайти, зробити в задачі. Завдання 6. Довести, що безліч значень виразу &-І, c-fi ь+с л -т- ! т) - складається з одного елемента. ь " с ru Очевидна умова цього завдання: -I- т-- є J о с ос вираз, що залежить від двох змінних біс. А в чому сутність вимоги задачі? Що означає довести, що безліч значень заданого виразу складається з одного елемента Очевидно, що це потрібно так розуміти: заданий вираз залежить від двох змінних біс, при цьому область зміни цих змінних є безліч дійсних чисел, за винятком числа 0 (бо біс є знаменниками дробів і, як такі, не можуть дорівнювати 0). Тому безліч значень самого виразу нескінченне, а нам треба довести, що це безліч складається з одного елемента, як це може бути, це може бути лише в тому випадку, якщо всі значення заданого виразу рівні між собою, а це означає, що всі вони рівні одному і тому ж числу (елементу множини) Отже, вимога цього завдання полягає в тому, щоб довести, що всі значення заданого виразу дорівнюють якомусь певному числу. Поки що обмежимося наведеними прикладами аналізу завдань. Надалі ми весь час зустрічатимемося з різними прикладамианалізу завдань, бо вміння аналізувати завдання, проникати у її сутність - це головне у загальному вмінні розв'язання задач. Завдання 2 Проаналізуйте наведені нижче завдання та вкажіть усі умови та вимоги кожного з цих завдань. 2.1. Відкритий бак у формі прямокутного паралелепіпедаз квадратною основою повинен вміщувати V л рідини. За яких розмірів на його виготовлення піде найменша кількістьматеріалу? 2.2. Довести рівність трикутників по кутку, бісектрисі цього кута та стороні, що прилягає до цього кута. 2.3. По колу, довжина якого 60 м, рівномірно і в одному напрямку рухаються 2 точки. Одна робить повний оборот на 5 з швидше за іншу і при цьому наздоганяє другу точку кожну хвилину Визначити швидкості точок. 11 L4. Як улаштовані умови завдання? Для деяких більше складних завданьрозглянутий вище аналіз (розчленування завдання на окремі умови та вимоги) доцільно продовжити. А саме встановити, як улаштовані (з чого складаються) вичленовані умови. Завдання 7. До двох кіл, радіуси яких 4 см і 6 см, проведені внутрішні загальні дотичні, що виявилися взаємно перпендикулярними. Обчислити відстань між центрами кіл. Це завдання містить такі умови: 1) дане коло центру Оі радіус якого дорівнює 4 см (тут слово «дано» означає, що це коло побудовано з довільного центру Oi); 2) з деякого іншого центру Ог проведено коло радіусу 6 см; 3) ці два кола побудовані так, що до них можна провести загальні внутрішні дотичні; 4) загальні внутрішні дотичні до цих двох кіл взаємно перпендикулярні. Аналізуючи ці умови, можна помітити, що кожна з них складається з одного або кількох об'єктів та деякої їхньої характеристики. Так, об'єктом першої умови є коло, а його характеристикою: радіус цього кола дорівнює 4 см. У другій умові об'єктом є також коло з характеристикою: його радіус дорівнює б см. У третій умові два об'єкти: вказані вище два кола, а характеристикою є їх взаємне розташування на площині: вони розташовані так, що до них можна провести загальні внутрішні дотичні. Нарешті, четверта умова містить два об'єкти: загальні внутрішні дотичні до кіл, як характеристика зазначено їхнє відношення: вони взаємно перпендикулярні. Отже, бачимо, що у кожній умові завдання є один чи два (у деяких випадках більше) об'єкта; якщо за умови один об'єкт, то вказується його характеристика у вигляді деякої якості цього об'єкта; якщо ж об'єктів два, то характеристикою є деяке відношення цих об'єктів. Досить часто аналіз завдання (її розчленування на умови та вимоги, виділення в умовах об'єктів та їх характеристик) пов'язаний із великими труднощами. Наведемо приклад. Завдання 8. Два кола стосуються в точці X і стосуються однієї і тієї ж прямої відповідно в точках А і В. Яку фігуру утворює безліч усіх точок X, якщо радіуси даних кіл прийматимуть всілякі значення? 12 На перший погляд здається, що завдання мова йдепро два кола. Але прочитайте ще раз уважно питання: потрібно встановити, яку фігуру утворюють точки X (точка X - змінна). Отже, йдеться про безліч кіл і безліч точок їх торкання. Виходячи з цього, завдання можна розчленувати на такі умови: 1. Дано безліч кіл, кожна з яких стосується цієї прямої в даній на ній точці Л. Тут об'єктом є безліч кіл, а їх характеристикою - властивість кожного кола цієї множини: вона стосується цієї прямої у точці А. 2. Дано безліч кіл, кожна з яких стосується даної прямої (з тієї ж сторони, що і перша безліч кіл) в даній точці В. Об'єкт і характеристика цієї умови аналогічні першій умові. 3. З цих двох множин утворені такі пари кіл, причому перший елемент пари є коло першої множини, а другий елемент пари - коло другої множини, які взаємно стосуються. Об'єктом цієї умови є безліч пар кіл, які характеристикою - ставлення: кола, які входять у пару, взаємно стосуються. Зауважимо, що у це безліч пар кіл увійдуть в повному обсязі кола першого і другого множин кіл, лише ті їх, які задовольняють зазначеному відношенню (взаємне дотик). 4. X - є точка, в якій взаємно стосуються відповідні кола, що входять до освічені пари(За третьою умовою). Об'єктом цієї умови є точка X (змінна точка), та її характеристикою - властивість: ця точка є точка дотику кіл, які входять у пару. 5. Безліч точок X є деяка геометрична фігура. Об'єктом умови є безліч точок X взаємного дотику кіл, що входять у пари, а характеристикою - шукана властивість цієї множини як геометричної фігури. Вимога завдання полягає якраз у тому, щоб знайти цю останню характеристику об'єкта п'ятої умови. Деякі з вас можуть засумніватися: чи потрібний такий аналіз для вирішення задачі? Адже зазвичай, вирішуючи завдання, ми, мовляв, не проводимо такого аналізу. Але це вам тільки здається, що ви, вирішуючи завдання, не робите такого аналізу. Ви просто не помічаєте цього, бо зазвичай такий аналіз проводиться усно по ходу рішення і до того ж цей аналіз ми здебільшого не усвідомлюємо. Але ми його робимо, бо без нього вирішити завдання неможливо! Щоб переконатися в цьому, спробуйте вирішити якесь досить складне завдання (краще не дуже знайомого вигляду) і, вирішуючи його, весь час намагайтеся стежити за своїми думками, за своїми безмовними міркуваннями. Якщо ви уважно фіксуватимете хід власних думок, то переконайтеся, що ви, по суті, проводили такий самий аналіз, який ми розглянули вище. Але, звичайно, ви не вживали терміни «умова», «вимоги», «об'єкт», «характеристика» тощо. умовою щоразу не пояснювати, що це таке. Тому, якщо ви дійсно хочете опанувати загальними методамивирішення завдань, то треба навчитися робити докладний їх аналіз. Надалі ви зможете проводити такий аналіз усно, згорнуто, не повністю, тією мірою, якої кожен з вас потребує його, для того щоб знайти вирішення того чи іншого завдання. Завдання 3 Зробіть аналіз наведених нижче завдань з наступній формі: № завдання Умови Об'єкти умови | Характеристики 3.1. Швидкий поїзд повинен за розкладом пройти перегін АВ без зупинок за 4 години. /год. Знайти довжину перегону АВ. 3.2. Менші сторони двох подібних багатокутників 35 см та 21 см, а різниця їх периметрів 40 см Визначити периметр кожного багатокутника. 3.3. Сума трьох чисел, що становлять арифметичну прогресію, дорівнює 30. Якщо від першого члена цієї прогресії відняти 2, інші числа залишити без зміни, то вийде геометрична прогресія. Знайти ці цифри. 1.5. Схематичний запис завдань Результати попереднього аналізузадач треба якось зафіксувати, записати. Та словесна, описова форма запису, яку ми використовували вище, звичайно малозручна. Потрібно знайти більш зручну, компактнішу і водночас достатню 14 наочну формузапису результатів аналізу завдань. Такою формою є схематичний запис завдання. Зауважимо, що не для будь-якої задачі треба робити схематичний запис. Так, наприклад, для завдань щодо розв'язання рівнянь, нерівностей, перетворень виразів аналіз проводиться зазвичай усно і ніяк не оформляється. Взагалі для завдань, які записані символічною мовою (за допомогою загальноприйнятих позначень та символів), схематичний запис не потрібний. Першою відмінною рисою схематичного запису завдань є широке використання у ній різного роду позначень, символів, літер, малюнків, креслень тощо. буд. і їх характеристики, нарешті, в схематичному записі фіксується тільки те, що необхідно для вирішення задачі; всі інші подробиці, що є в задачі, при схематичному записі відкидаються. Насправді використовується багато різних видів схематичного запису завдань. Покажемо на прикладах. Завдання 9. З однієї ділянки зібрали 1440 ц пшениці, а з іншої, площа якої на 12 га менша,-1080 ц. Знайти площу першої ділянки, якщо відомо, що на першій ділянці збирали пшениці з кожного гектара на 2 ц більше ніж на другій. Аналіз завдання показує, що у ній розглядається збирання врожаю пшениці з двох ділянок, у своїй цей збір характеризується трьома величинами: масою зібраної пшениці, площею ділянки й урожаєм з одного гектара. Виходячи з цього, складемо таблицю для схематичного запису умов та вимог задачі. Невідомі величини, що зустрічаються в задачі, запишемо в таблиці літерами, до того ж шукане позначимо літерою х: Ділянки Перший Другий Маса зібраної пшениці, ц 1440 1080 Урожай з 1 га, ц а + 2 а Площа ділянки, га X х -12 У цьому схематичному записі виділено всі умови, їх об'єкти та характеристики. Вказано і вимогу завдання: знайти площу першої ділянки. У той же час цей запис дуже компактний, наочний і повністю замінює саму формулювання завдання. 15 Завдання 10. Скласти рівняння, коріння якого було б відповідно дорівнювало квадратам коренів рівняння 2х2 - Ьх-\- + 1=0. Виділимо спочатку вимогу завдання: скласти рівняння. Яке рівняння потрібно скласти? У задачі сказано, що потрібно скласти рівняння, коріння якого дорівнює відповідно квадратів коренів заданого рівняння, А останнє є квадратне. Воно має два корені (яких - це в даному випадку несуттєво). Тому і шукане рівняння повинно мати два корені. Найпростіше рівняння, що має два корені, це квадратне. Отже, вважатимуться, що шукане рівняння - це квадратне. А що означає скласти квадратне рівняння? Очевидно, що це означає знайти його коефіцієнти. Позначимо їх літерами а, b і с, а змінну шуканого рівняння літерою у, щоб відрізнити це рівняння від даного. Тепер ми можемо зробити схематичний запис завдання у такому вигляді: Дано: 1) коріння рівняння 2л:2 - 5л: +1 = 0 є Х\ і Х2; 2) корені рівняння ay2-\-by-\-c=>0 є у \ і # 2, 3) У \ = х 4) у 2 = х \. Знайти: а, й, с. Досить часто зручно складати схематичний запис не для всього завдання, а лише для будь-якої її частини, щоб наочно представляти описувану в задачі ситуацію, а також щоб у рішенні оперувати тими позначеннями, які вводяться в цьому частковому схематичному записі. У цих випадках використовуються різного роду графічні схеми. Наведемо приклад. Завдання 11. Від станції А до станції В відійшов пасажирський потяг. Через 2 год 30 хв від станції У до станції А відійшов поїзд «Стріла». Поїзди зустрілися на станції С. Після зустрічі пасажирський поїзд йшов 4 год 30 хв, а поїзд «Стріла» 3 год 40 хв. Скільки часу потрібно кожному з цих поїздів на весь шлях між станціями А та В? Передбачається, що швидкість поїздів постійна по всьому шляху. Зобразимо схему руху поїздів (рис. 1). Пасажирський _ 2 год 30хв, 1 1 ЗчАОмин ^ " ^ з 4ч 30 хв _, | . ^J „Стріла44 Рис. 1 16 Наведена схема сама по собі не може повністю замінити завдання. Вона лише створює можливість спиратися на неї, як на наочний образ, при решении Завдання 4 Складіть для наведених завдань схематичні записи (повні чи часткові) 4.1 Одна майстерня повинна була виготовити 420 деталей, друга за той же термін 500 деталей Перша виконала свою роботу на 4 дні раніше строкуа друга на 7 днів. Скільки деталей на день виготовляла кожна майстерня, якщо друга майстерня щодня виготовляла на 5 деталей більше? 4.2. З Л до С вийшов пішохід. Через 1 год 24 хв у тому самому напрямку з А виїхав велосипедист і через 1 год йому залишалося проїхати 1 км, щоб наздогнати пішохода, а ще через 1 год велосипедисту залишалося проїхати до С вдвічі менше відстань, ніж пройти пішоходу до С. Знайти швидкості пішохода і велосипедиста, якщо відомо, що відстань АС дорівнює 27 км. 4.3. Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, 5 дорівнює 2, а сума квадратів цих чисел дорівнює 1-. Знайти ці цифри. 1.6. Використання креслень для схематичного запису задач Для схематичного запису геометричних та інших завдань корисно використовувати креслення тієї фігури, що у задачі. При побудові такого креслення треба виконувати низку вимог. Вкажемо головні з них. 1. Креслення має бути схематичний малюнокосновного об'єкта завдання (геометричної фігури, або сукупності фігур, або якоїсь частини цих фігур) з позначенням за допомогою літер та інших знаків всіх елементів фігури та деяких їх характеристик. Якщо в тексті завдання вказані будь-які позначення фігури або її елементів, то ці позначення мають бути на кресленні; якщо ж завдання ніяких позначень немає, слід скористатися загальноприйнятими позначеннями чи придумати найзручніші. 2. Це креслення має відповідати задачі. Це означає, що якщо в задачі в якості основного об'єкта названо, наприклад, трикутник і при цьому не вказано його вигляд (прямокутний, рівносторонній та ін), то треба побудувати будь-який різносторонній трикутник. Або якщо в задачі в якості основного об'єкта названа трапеція і не вказано її вигляд, то не слід будувати рівнобедрену або прямокутну трапецію і т. д. 3. При побудові креслення немає потреби витримувати певний масштаб. Однак бажано дотримуватись якихось пропорцій у побудові окремих елементів фігури. Наприклад, якщо за умовою завдання сторона АВ трикутника ABC найбільша, це має бути дотримано на кресленні. Або якщо задана медіана трикутника, то відповідний їй відрізок на кресленні повинен проходити приблизно через середину сторони трикутника і т. д. Так само треба дотримуватись на кресленні такі відносини, як паралельність, перпендикулярність та інші, задані в задачі. 4. При побудові креслень просторових фігурнеобхідно дотримуватися всіх правил креслення. Там, де це можна і доцільно, краще будувати будь-які площинні перерізи цих фігур. Крім креслення, для схематичного запису геометричних завданьвикористовується ще короткий запис всіх умов та вимог завдання. В цій короткого запису, Користуючись прийнятими на кресленні позначеннями, записуються всі характеристики та відносини, зазначені в умовах завдання. Назви фігур або її частин бажано замінювати записом їх визначень. Наприклад, замість писати: ABCD - трапеція, можна писати: ABCD. У короткому записі можна використовувати, там, де це доцільно, стандартні математичні знаки (приналежності елемента до множини, паралельності, перпендикулярності тощо). Звичайно, всі наведені рекомендації мають не загальний характер, і при вирішенні окремих геометричних завдань креслення фігур і короткий запис умови можуть виконуватися інакше. Розглянемо з прикладів, як будуються схематичні записи геометричних завдань з допомогою креслень. Завдання 12. Діагональ трапеції перпендикулярна до її основ; тупий кут, що прилягає до більшої основи, дорівнює 120 °, а бічна сторона, що прилягає до нього, дорівнює 7 см; більша основа дорівнює 12 см. Знайти середню лінію трапеції. Основним об'єктом цього завдання є трапеція. У цій трапеції одна з діагоналей перпендикулярна до її основ. Якщо ви почнете креслити цю трапецію звичайним способом, тобто починаючи з побудови її сторін, то обов'язково помилитеся (перевірте: спробуйте, не читаючи наступні рядки, накреслити задану трапецію, починаючи з побудови її основ і боків). 18 Краще почати з побудови зазначеної діагоналі. Зверніть увагу, що ця діагональ перпендикулярна до обох підстав трапеції. Це можна уявити так: діагональ - це верти- А В кальний відрізок, від кінців якого від- Рис 2 ходять два горизонтальні відрізки (підстави трапеції), причому в різні сторони. Коли ви це збудуєте, тоді вам стане ясно, що кути трапеції у вершин, які з'єднує ця діагональ, повинні бути обидва тупими. Дійсно, в задачі дано, що кут при більшій підставі дорівнює 120 °. Це має бути якраз той кут, вершина якого є одним із кінців побудованої діагоналі. Тепер уже збудувати задану трапецію неважко. Позначимо її вершини, заданий кутвідзначимо дугою та проведемо середню лінію. Користуючись прийнятими на кресленні позначеннями, запишемо всі умови та вимогу завдання. Отримуємо такий схематичний запис завдання (рис. 2). Дано: 1) ABCD 2) АВ±АС, 3) AC±CD; 4) ?BAD = = 120 °; 5) АВ = 2 см; 6) AD = 7 див; 7) AM = MD BN = NC. Знайти: MN. Завдання 13. На підставі рівнобедреного трикутника взято точку, що ділить основу на два відрізки довжиною 8 см і 12 см, і ця точка з'єднана з вершиною трикутника. У два трикутники, що утворилися, вписані кола. Знайти відстань між точками торкання цих кіл з проведеною прямою. Основним об'єктом завдання є рівнобедрений трикутник. У ньому задано лише два відрізки, на які ділить основу деяка точка на ньому. Тому ми можемо побудувати довільний рівнобедрений трикутник. На його підставі виберемо точку, яка ділить основу щодо 8: 12 = 2:3, і цю точку з'єднаємо з вершиною трикутника. У два трикутники, що вийшло, впишемо кола. Таким чином, побудова креслення не викликає особливих труднощів. Дещо складніше з коротким записом умов. Потрібно записати, що збудовані кола вписані у відповідні трикутники. Але це якраз можна не робити, бо саме креслення наочно показує цю умову. Потрібно також записати, що точки К і Н (рис. 3) є точками торкання зазначених кіл з проведеною прямою. Це можна записати просто словами, але краще використовувати символіку, розглядаючи, наприклад, ці точки як загальні частини відповідних кіл і прямій. В результаті одержуємо такий схематичний запис завдання (рис. 3). Дано: 1) АС = НД; 2) AD = 8 див; 3) DS = 12 см; 4) /С і Н - точки дотику CD і відповідно кіл з центрами 0\ і Ог. Знайти: КН. Наведемо приклади побудови креслень для схематичних записів стереометричних завдань. Завдання 14. Підставою піраміди служить рівнобедрена трапеція, в якій паралельні сторони дорівнюють 12 см і 8 см, а нерівні відрізки діагоналей утворюють кут 60°. Висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей основи. Двогранні кути, утворені бічними гранями з основою та прилеглі до паралельним сторонамтрапеції, що відносяться як 1: 2. Визначити обсяг піраміди. Основний об'єкт завдання - чотирикутна піраміда. Побудову її креслення можна виконати, наприклад, так. Проводимо довільний відрізок АВ (зручніше горизонтальний) і через середину його - точку К - проводимо приблизно під кутом 30° пряму. Через довільну точку N цієї прямої проводимо іншу пряму, паралельну до прямої АВ, і на ній відкладаємо по обидва боки точки N два рівних відрізка NC та ND (трохи менші, ніж половина відрізка АВ). З'єднавши З з і D з Л, отримуємо основу піраміди - трапецію ABCD. Проводимо в ній діагоналі і через точку О - точку перетину цих діагоналей проводимо висоту піраміди - вертикальний відрізок ЗМ. З'єднавши точку М з усіма вершинами основи, отримуємо повне креслення заданої піраміди (рис. 4). При короткому запису умов можна безпосередньо записати задане відношення двогранних кутів, але спочатку побудувати на кресленні лінійні кути цих двогранних кутів, записати відношення лінійних кутів. У першому випадку отримуємо такий схематичний запис завдання (рис. 4). 20 Дано: 1) AB\CD\ 2) AD = BC\ 3) Z.4OD = 60 °; 4) OM±(ABCD)1; 5) Z. (MAB; ABCD) 2: / - (MCD \ ABCD) = 1:2. Знайти: Vabcd- У другому випадку умову 5 можна записати так: Z. Про КМ: Z. ONM = l: 2. Але тоді в самому рішенні потрібно описати побудову лінійних кутів заданих двогранних кутів Рис 5 (через точку Про проводимо пряму KN перпендикулярно до підстав трапеції, тоді кут ГКМ буде лінійним кутом двогранного кута з ребром ЛВ, а кут ONM буде лінійним кутом двогранного кута з ребром CD). Останні твердження, що кути ОКМ та ONM є лінійними кутамивідповідних двогранних кутів необхідно обґрунтувати, довести. Завдання 15. Визначити відношення об'єму конуса до об'єму описаної біля нього кулі, якщо утворююча конуса становить з його віссю кут 20°. Основний об'єкт цього завдання є конус з описаною у нього кулею. Але для схематичного запису задачі немає потреби креслити конус і описану кулю, достатньо побудувати перетин цих фігур. Зручніше збудувати перетин, що проходить через вісь конуса. Цей переріз площиною є рівнобедрений трикутник (осьовий перетин конуса) з описаним навколо нього колом (перетин описаної кулі). Схематичну запис завдання можна так (рис. 5). Дано: 1) ААВМ – осьовий перетин конуса; АМ = ВМ MD±AB; ABMD = 20 °; 2) (О; ОМ) - осьовий переріз описаної кулі. Знайти: VK0H: Кшара. Завдання 5 Щоб перевірити себе, чи всі ви правильно зрозуміли у викладі останнього пункту, дайте відповідь на наступні питання. 5.1. Яка умова записана під номером 7 у схематичному записі задачі 12? Як інакше можна записати цю умову? 1 (ABCD) – площина ABCD. 2 Z. (MAB; ABCD) - двогранний кут, утворений гранями МАВ та ABCD. 21 5.2. Яка умова записана під номером 4 у схематичному записі задачі 13? Як інакше можна було записати цю умову? 5.3. Яка умова записана під номерами 1 та 2 у схематичному записі задачі 14? 5.4. Прочитати словами запис умови під номером 5 у схематичному записі задачі 14. Завдання 6 Побудуйте схематичні записи наступних завдань. 6.1. У трикутнику сума двох сторін дорівнює 14 см, а третя сторона ділиться бісектрисою протилежного кутана відрізки 3 см та 4 см. Визначити сторони трикутника. 6.2. Два кола рівних радіусів стосуються зовнішнім чином у точці /С; в одній з них проведена хорда /04, а в іншій - хорда КВУ перпендикулярна до першої. Визначити відрізок АВ, якщо радіуси кіл дорівнює 15 см. 6.3. Визначити об'єм правильної чотирикутної усіченої піраміди, якщо її діагональ дорівнює 18 см, а довжини сторін основ дорівнює 14 см та 10 см. 6.4. У кулю радіуса R вписані два конуси із загальною основою; вершини конусів збігаються з протилежними кінцями діаметра кулі. Кульовий сегмент, що вміщує менший конус, має в осьовому перерізідугу, що дорівнює 120 °. Знайди відстань між центрами куль, вписаних у ці конуси. Завдання 7 За наведеними схематичними записами сформулюйте відповідні завдання. 7.1. (Рис. Дано: 6.) 1) ЛБ = 12 см; 2) ВС=\0 см; 3) ЛЗ = 8 см; 4) Л? = 2 см; 5) Z.CEH = Z.ABC. Знайти: ЄП та ВН. 7.2. I загін - 75% від II загін - л: кг насіння III загін - 110% від Е. Разом - 85,5 кг. 7.3. (Мал. 7.) Дано: 1) АВСМ – правильна піраміда; 2) Z. (МС; ЛБС) = 60 °. Знайти: Z. (АСМ; АВС). Рис. 7 22 7.4. За наведеним схематичним записом сформулюйте відповідне завдання. Швидкість, км/год 50 70 Час, год t t+l t-l ШляхАВ, км X X х 1 1.7. Практичні та математичні завдання Завдання, які ви вирішуєте у школі, розрізняються насамперед характером своїх об'єктів. В одних задачах об'єктами є реальні предмети, в інших - всі математичні об'єкти (числа, геометричні фігури, функції тощо). Перші завдання, у яких хоча один об'єкт є реальний предмет, називаються практичними (життєвими, текстовими, сюжетними); другі, всі об'єкти яких математичні називаються математичними завданнями. З наведених вище завдань 4, 9 і 11 - практичні завдання, проте інші математичні. Наведемо ще один приклад практичного завдання. Завдання 16. Телефонний дріт завдовжки 15 м протягнутий від стовпа, де він прикріплений на висоті 8 м від поверхні землі, до будинку, де його прикріпили на висоті 20 м. Знайти відстань між будинком і стовпом, якщо дріт не провисає. Об'єктами цього завдання є цілком реальні предмети: дріт, стовп, будинок. Тому це практичне завдання. Щоб її вирішити за допомогою математики, треба побудувати відповідне їй математичне завдання, яке виходить шляхом відволікання від конкретних особливостей реальних предметівта заміною їх математичними об'єктами. У разі дріт, стовп і будинок (точніше, стіну будинку) можна як відрізки. Вважаючи, що поверхня землі є пряма, а відрізки, що зображують стовп і будинок, перпендикулярні до цієї прямої, отримуємо таке математичне завдання. Завдання 17. Відрізки довжиною 8 м і 20 м перпендикулярні до прямої кінці, що з'єднує їх, і розташовані по одну сторону від цієї прямої. Відрізок, що з'єднує інші кінці цих відрізків, має довжину 15 м. Знайти відстань між відрізками. 23 Зауважимо, що у курсі математики вирішуються лише такі практичні завдання, які зводяться до математичним. Рішення ж математичних завдань і практичних, що зводяться до них, розглянемо в наступному розділі. Глава II СУТНІСТЬ І СТРУКТУРА РІШЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ЗАВДАНЬ попередньому розділіви познайомилися з складовими частинамизавдання, про те, як слід проводити аналіз завдань. Тепер потрібно розібратися в тому, що складає сутність розв'язання задач, якою є структура процесу розв'язання, в чому особливості окремих етапів цього процесу. Тільки зробивши це, можна перейти до основного питання цієї книги: як шукати розв'язання задач? Отже, переходимо до детального розгляду питань про сутність та структуру вирішення завдань. ІІ. 1. Що означає розв'язати математичне завдання? Подумайте над питанням, яке ми назвали цього пункту. Ви вже вирішували тисячі завдань. А чи можете ви відповісти на поставлене запитання? Можливо, що ви так відповісте: розв'язати завдання – це означає знайти її відповідь. Що ж, якоюсь мірою це правильно, але вся річ у тому, як розуміти слово «знайти». Ось хтось, отримавши завдання, дізнавшись якимось способом її відповідь (наприклад, підглянувши у відповіді задачника), просто повідомляє цю відповідь. Він, звісно, ​​знайшов відповідь. Але чи можна вважати, що вирішив завдання? Очевидно, що ні. Отже, розв'язання задачі не просто полягає в тому, щоб знайти відповідь, а в чомусь іншому. Щоб розібратися в цьому, доведеться уважно придивитися до процесу вирішення завдань. Щоб це легше було зробити, розглянемо рішення нескладних завдань і при цьому виписуватимемо ці рішення найдокладнішим чином. Задача 18. Розкласти на множники багаточленів *3-24+6х2-4*. Рішення. На основі переміщувального та поєднувального законів складання даний многочлен можна подати у такому вигляді: 24 x3-24 + 6x2-4x=(*3-4*) + (6х2-24). (1) Застосуємо до кожного з виразів, що стоять у дужках у правій частині рівності (1), правило винесення спільного множниказа дужки. Загальним множником для першого виразу х3-Ах є х, а для другого виразу 6х2-24 є число 6. Тоді отримаємо: (х3-4х) + (6 * 2-24) = * (* 2-4) + 6 (* 2-4). (2) Тепер, розглядаючи х2-4 як множник, можна, використовуючи те саме правило винесення загального-множника за дужки, вираз, що стоїть у правій частині рівності (2), уявити в такому вигляді: х(х2-4)+6( х2 – 4) = (х2-4) (* + 6). (3) Залишилося до виразу, що стоїть у першій дужці правої частини (3), застосувати правило розкладання на множники різниці квадратів: (*2_4) (х + 6) = (х + 2) (*_2) (х +6). (4) Порівнюючи тепер отримані рівності (1), (2), (3), (4) і помічаючи, що права частинакожної з перших трьох рівностей однакова з лівою частиною наступної за ним рівності, на підставі властивості транзитивності рівностей (якщо а = Ь і Ь = с, то і а = с) отримуємо, що ліва частина першої рівності дорівнює правій частині останньої, тобто х3-24 + 6х2-4х = (* + 2) (х - 2) (* + 6). Тим самим заданий многочлен розкладено на множники і, отже, завдання вирішено. Уважно аналізуючи наведене рішення, зауважуємо, що воно складається з окремих кроків, при цьому кожен крок рішення є застосування будь-якого загального становища математики (правила, тотожності, закону, формули) до окремих умов завдання або отриманих наслідків цих умов. Наведене рішення задачі 18 можна подати у вигляді схеми. Зауважимо, що в цій схемі розчленування розв'язання задачі на окремі кроки зроблено не до кінця. Так, наприклад, перший крок можна було розчленувати на кілька елементарніших кроків, у кожному з яких використовувався лише один із двох зазначених законів складання. Так само другий крок можна було розчленувати на два, у кожному з яких правило винесення 25 Схема вирішення задачі 18 № кроків рішення 1 2 3 4 5 сполучний законискладання Правило винесення загального множника за дужки Те ж правило Правило розкладання на множники різниці квадратів Властивість транзитивності рівності Умови задачі або їх наслідки х* - 4) + 6(*2-4) (*2_4) (* + 6) Усі отримані рівності Результат 1 (х3 - 4*) +(б*2 - 24) *(** -4)+6 (х * -4) (д »_4)<*+6) (* + 2)(*-2)(* + 6) *3 -24Ц-6*2 -4х = j =<х + 2)(*-2)(*+9 общего множителя за скобки применялось бы лишь к одному из двух рассматриваемых выражений. Это же относится и к последующим шагам. Больше того, такое расчленение можно было бы продолжить и дальше. Но мы это не делали и не будем делать в дальнейшем, ибо такое скрупулезное расчленение нужно для составления программы решения задачи электронно-вычислительной машиной, но не человеком, который обычно оперирует более крупными блоками. Рассмотрим решение еще одной задачи. Задача 19. Длины оснований трапеции равны 4 см и 10 см. Найти длины отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей. Сначала построим схематическую запись задачи (рис. 8). Дано: AB\\CD\ AM = MD\ BN=NC\ АВ = \0 см; CD = 4 см. Найти: М/С и NK. Решение. Как известно, средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. Значит, MN\\AB и MN\\CD. Диагональ АС делит трапецию на два треугольника. Рассмотрим каждый из них. В ААВС отрезок NK является средней линией, ибо NK как часть отрезка NM параллельна АВ, и точка N по условию есть середина стороны ВС. А средняя линия треугольника равна половине основания. Значит, KN=yAB, а так как АВ=Ю см, то KN=5 см. Аналогично, рассматривая AACD, мы Рис. 8 убеждаемся, что МК есть средняя линия 26 этого треугольника и поэтому MK=-z-CDi но CD = 4 см, следовательно, М/С=2 см. Итак, искомые длины отрезков найдены, задача решена. Приведенное решение можно представить в виде схемы. Схема решения задачи 19 Ко " шагов решения 1 2 3-4 J5-6 Общие положения! математики Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям Диагональ делит трапецию на два треугольника Отрезок, проходящий через середину стороны треугольника парал- 1 лельно другой стороне, является средней линией треугольника Средняя линия треугольника равна половине основания Условия задачи или их следствия MN - средняя линия трапеции ABCD ABCD - трапеция, АС - ее диагональ В А АВС точка N - середина ВС и NK\, (2;+оо). Получим промежуток (2; 3]. Это и будет ответ задачи. Заметим, что при выполнении первых трех шагов мы использовали правило решения линейных неравенств с одной неременной и правило приведения подобных слагаемых. При выполнении четвертого шага было использовано правило нахождения пересечения числовых промежутков (с помощью числовой прямой). Итак, мы видим, что правила для решения задач формулируются в математике обычно в свернутом виде (в форме словесного правила, формулы, тождества) и для того, чтобы использовать эти правила для решения какой-либо задачи, нужно уметь эти правила развертывать в программы - последовательности шагов решения. Сказанное еще в большей степени относится к некоторым определениям и теоремам, на основе которых можно составить правила решения задач соответствующих видов. Математические задачи, для решения которых в шкільному курсі математики є готові правила (у будь-якій формі) або ці правила безпосередньо випливають з будь-яких визначень або теорем, що визначають програму вирішення цих завдань у вигляді послідовності кроків, назвемо стандартними. У цьому передбачається, що з виконання окремих кроків рішення стандартних завдань в1 курсі математики також є цілком певні правила. У чому характерні риси процесу вирішення стандартних завдань? Щоб з'ясувати це, розглянемо кілька прикладів розв'язання таких завдань. Завдання 23. Виписати перші п'ять членів арифметичної прогресії, якщо ai = 10, d = 4. У самій задачі зазначено її вигляд: це завдання перебування членів арифметичної прогресії. Згадуємо визначення арифметичної прогресії: числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з тим самим числом (це число називається різницею прогресії), називається арифметичною прогресією. На основі цього визначення складаємо програму вирішення завдань зазначеного виду: 1) визначити, який (за номером) член прогресії передує шуканому; 2) встановити значення цього попереднього члена; 3) визначити різницю прогресії; 4) до значення попереднього члена додати різницю прогресії; отримана сума та буде шуканим членом. Відповідно до цієї програми вирішення цієї задачі буде таким: нам потрібно знайти перші п'ять членів арифметичної прогресії, у якої а\ = 10 і d = 4. Отже, нам потрібно знайти а2, аз, а4 і as. Почнемо, звісно, ​​з а2. Попереднім йому членом є а\. Його значення дано у задачі. Відомо також значення різниці прогресії. Тому a2 = ai + d = 10 + 4 = 14. Аналогічно знайдемо аз, а4 та аь. Отримаємо: a3 = a2 + d = 14 + 4 = 18, a4 = a3 + d = 18 +4 = 22, a5 = a4 + d = 22 +4 = 26. Відповідь: 10, 14, 18, 22, 26. Завдання 24. Розкласти на множники багаточлен 4*2 -9* + 5. Оскільки багаточлен, даний у задачі, є квадратним 44 тричленом, то це завдання є розкладання квадратного тричлена на множники. На основі відомого тотожності ах2+ + ?==#(*-х\)(х -х?)у де Х\ і Х2-корені тричлена, що стоїть у лівій частині тотожності, можна скласти наступну програму вирішення завдань зазначеного виду: 1) знайти коріння х і Х2 тричлена ах2 + Ьх + с, тобто розв'язати рівняння ах2 + Ьх + с = 0; 2) утворити двочлени х-Х\ і х-Х2, де Х\ і Х2-коріння даного тричлена; 3) утворити добуток отриманих двочленів та коефіцієнта а. Зауважимо, що для виконання одного кроку в курсі алгебри VII класу також є відповідне правило, яке ми вже одного разу наводили. Тепер відповідно до цієї програми рішення задачі 24 буде таким: розв'язуємо рівняння 4а:2-9# + 5 = 0: ?) = 62-4ас=(-9)2~4.4.5=1>0, -6± VD_9zfcVT_9±l f 12, Отже, Ах2 - 9х+5 = 4 (х-1) (х-1,25). Наведені приклади показують, що рішення стандартних завдань має такі особливості. 1. Аналіз завдань зводиться до встановлення (розпізнавання) виду завдань, до якого належить задана. 2. Пошук рішення полягає у складанні з урахуванням загального правила (формули, тотожності) чи загального становища (визначення, теореми) програми - послідовності кроків розв'язання завдань цього виду (якщо, звісно, ​​така програма не розглядалася у курсі математики). Природно, що немає потреби цю програму формулювати в письмовій формі, достатньо її помітити. 3. Саме рішення стандартної задачі полягає у застосуванні цієї спільної програми до умов цієї задачі. Якщо деякі кроки програми рішення вимагають для виконання використання також якихось програм, щодо них виконуються самі операції (розпізнавання виду завдання, складання програми рішення і здійснення рішення з урахуванням цієї програми). Звідси випливає, що, щоб легко вирішувати стандартні 45 завдання (а вони є основними математичними завданнями, бо всі інші зводяться до них), потрібно: 1) пам'ятати (тримати в пам'яті) всі вивчені в курсі математики загальні правила (формули, тотожності) та загальні положення (визначення та теореми). Справді, щоб вирішити якусь стандартну завдання, потрібно насамперед розпізнати її вигляд, а цього потрібно добре пам'ятати все вивчені загальні правила і становища, з урахуванням яких вирішуються завдання відповідних видів. Деякі учні міркують так: «Для чого пам'ятати всі ці теореми, формули... Адже у разі потреби їх можна знайти у довіднику чи підручнику». Це міркування помилкове, бо, звичайно, в довіднику дійсно можна знайти забуту формулу або теорему, але, коли вам треба вирішити завдання, то не будете ж ви перегортати довідник у пошуках відповідної формули, тим більше що для вирішення одного завдання часто потрібно використовувати не одну формулу, а кілька формул, тотожностей та теорем. Уявіть, на що перетвориться розв'язання задачі, скільки часу воно займе. Адже для того, щоб у довіднику знайти потрібну формулу, потрібно знати, що шукати, яку формулу чи тотожність вам необхідно знайти. Як ви це встановите, якщо ви не пам'ятаєте всі основні формули, тотожності і теореми? Ні, основні формули, тотожності, визначення та теореми необхідно твердо пам'ятати, щоб у будь-який потрібний момент їх використовувати і щоб мати можливість вибрати для вирішення заданого завдання потрібну формулу, теорему... Інша справа, що деякі формули, що мало вживаються, можна і не пам'ятати напам'ять. Звичайно, з роками якісь формули, теореми можна і забути, ось для таких випадків і існують різноманітні довідники. Радимо вам усі вивчені в школі визначення, теореми, формули, тотожності знати і твердо пам'ятати: це надзвичайно допоможе вам у вирішенні математичних завдань; 2) вміти розгортати згорнуті загальні правила, формули, тотожності, і навіть визначення і теореми у програми - послідовності кроків розв'язання завдань відповідних видів. Цьому вмінню треба вчитися протягом усіх років навчання у школі. Треба пам'ятати, що у шкільному курсі математики зазвичай даються готові програми вирішення завдань. Ці програми потрібно самим витягти з відповідних правил, формул, тотожностей, визначень чи теорем. Без цього вміння ви не зможете вирішити багато найпростіших стандартних завдань, а тим більше нестандартних завдань, що вимагають застосування кількох 46 програм. Це вміння досить просте, і за деякої наполегливості ним можна швидко опанувати, потрібне лише постійне тренування, аби розгортання загальних правил програми виконувати швидко, не замислюючись над цим, до того ж усно (в умі). Якщо ви твердо пам'ятатимете всі загальні положення і правила шкільного курсу математики і вмітимете швидко розгортати їх у програми вирішення відповідних завдань, то рішення будь-яких стандартних завдань не представлятиме вам ніяких особливих труднощів. Завдання 9 Вкажіть, які з наведених нижче завдань є стандартними, і назвіть вид завдань, до якого належить кожне із стандартних завдань, а також те загальне правило або положення, на основі якого вона може бути вирішена. 9.1. Побудувати графік функції у = 2х. 9.2. Побудувати графік функції у=2х2+2х~2. 9.3. Розкласти на множники багаточленів 8а3 + 27с18. 9.4. Розкласти на множники многочленів 2х3+3ах2-а2х - 6а3. 9.5. Перша цифра шестизначного числа 1. Якщо цю цифру переставити на останнє місце, то вийде число, більше від початкового в 3 рази. Знайди це шестизначне число. 9.6. Знайти суму перших шістьох членів геометричної прогресії, якщо ai = - 2, ?=3. Завдання 10 Наведені нижче загальні правила розгорніть у програми-послідовності кроків розв'язання завдань відповідного виду. 10.1. Твір двох ступенів з однаковими основами дорівнює ступеня з тією самою основою та показником, що дорівнює сумі показників цих ступенів. 2cn+d(n – 1) 10.2. Sn = ^ п" ю.з. vm = YnRZ- 10.4. Для того щоб задати формулою функцію, зворотну даної, потрібно виразити змінну х через у і поміняти позначення: х на у і у на х. Завдання 11 На основі нижченаведених визначень і теорем побудуйте програми розв'язання відповідного виду завдань, вказавши назву цього виду задач 47 11.1 Визначення: якщо всі члени багаточлена записати в стандартному вигляді і виконати приведення подібних членів, то вийде багаточлен стандартного виду 11.2 Теорема: відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта 11.3 Визначення: цифра а називається вірною, якщо модуль похибки даного наближення не перевищує одиниці того розряду, в якому записана цифра а. І.4 Нестандартні завдання та їх вирішення У визначенні стандартних завдань, яке було дано в попередньому пункті, як основна ознака цих завдань зазначено наявність у курсі матема тики таких загальних правил чи положень, які однозначно визначають програму вирішення цих завдань та виконання кожного кроку цієї програми. Звідси зрозуміло, що нестандартні завдання - це такі, для яких у курсі математики немає загальних правил і положень, що визначають точну програму їх вирішення. Розглянемо приклади вирішення таких завдань, щоб з'ясувати особливості процесу їх вирішення. Завдання 25. Відстань від річки до турбази туристи розраховували пройти за 6 год. Однак після 2 год. шляху вони зменшили швидкість на 0,5 км/год і в результаті запізнилися на турбазу на 30 хв. З якою швидкістю йшли туристи спочатку? Рішення. Це завдання є текстовим. Для подібних завдань жодного загального правила, що визначає точну програму їх вирішення, немає. Однак це не означає, що взагалі немає якихось загальних вказівок на вирішення таких завдань. Детально сутність цих вказівок ми розглянемо у наступному розділі. А поки що покажемо, як ці вказівки практично використовуються. Позначимо шукану початкову швидкість туристів через х км/год. Тоді за 6 год, за які вони розраховували пройти відстань від річки до турбази, вони пройшли б км. Фактично цей шлях вони пройшли наступним чином: 2 години вони йшли з початковою швидкістю, а потім ще 4,5 години (бо вони запізнилися на 0,5 години до терміну) - зі зменшеною швидкістю (х - 0,5) км/год. Отже, вони пройшли 2х км і 4,5 (я -0,5) км, а всього 2х - +4,5 (# - 0,5) км, що дорівнює відстані від річки до турбази, тобто. 6х км. Отримуємо рівняння: 2 * 4,5 (* - 0,5) = 6 *. 48 Розв'язавши це рівняння, знайдемо: х = 4,5. Отже, початкова швидкість туристів дорівнює 4,5 км/год. Проаналізуємо процес наведеного розв'язання задачі 25. Спочатку ми визначили вид задачі («текстове завдання»), і, виходячи з цього, виникла ідея розв'язання («скласти рівняння»). Для цього, користуючись вельми загальними вказівками та зразками вирішення подібних завдань, отриманих у шкільному курсі математики («треба позначити одне з невідомих літерою, наприклад ху і висловити решту невідомих через х> потім скласти рівність з отриманих виразів»), ми склали рівняння. Зауважимо, що ці вказівки, якими ми користувалися, не є правилами, бо в них нічого не сказано, яку з невідомих позначити через х, як висловити решту невідомих через х, як отримати потрібну рівність і т. д. Все це робиться щоразу -своєму, виходячи з умов задачі та набутого досвіду вирішення подібних завдань. Отримане рівняння є вже стандартним завданням. Вирішивши її, ми тим самим вирішили і вихідне нестандартне завдання. Таким чином, сенс процесу розв'язання даного завдання полягає в тому, що за допомогою особливого прийому(Складання рівняння) ми звели її рішення до вирішення еквівалентної стандартної задачі. Задача 26. При яких значеннях змінної сума дробів У дорівнює їх добутку? Рішення. Знаходимо суму заданих дробів: У. 6 __ f/2+9f/-18 0-3~*~*/+3 ^2_9 " Тепер знайдемо добуток цих дробів: у 6 _ 6у у-Ъ" у+Ъ у2_9" Порівнюємо отримані два дроби Виявляємо, що знаменники у них однакові, значить, їх значення будуть рівні при тих значеннях змінної у, при яких рівні значення чисельників, а значення загального знаменника не дорівнює нулю.Отже, нам потрібно вирішити рівняння =6у (1) за умови У2~9Ф0 (2) 49 D N С Рівняння (1) має два корені 3 і - 6, з яких лише другий задовольняє умові (2). Як бачимо, процес вирішення цієї задачі полягає в наступному: дане завданняРис- 13 розбиваємо на такі підзавдання: 1) знаходження суми двох дробів; 2) знаходження твору двох дробів; 3) рішення квадратного рівняння; 4) перевірка виконання умови нерівності нулю виразу зі змінною при деяких значеннях змінної. Розв'язавши ці чотири стандартні завдання, ми зрештою вирішуємо і вихідне нестандартне завдання. Завдання 27. Визначити площу рівнобедреної трапеції , У якої основи дорівнюють 12 см і 20 см, а діагоналі взаємно перпендикулярні. Рішення. Побудуємо схематичний запис завдання (рис. 13). Дано: 1) ABCD; 2) AD = BC; 3) AC±BD; 4) АВ = 20 см; 5) CD = 12 см. Знайти: STp. Площа трапеції обчислюється за формулою де а і Ь - основи трапеції, а А - її висота. Підстави трапеції завдання задані; отже, завдання зводиться до знаходження висоти трапеції. Проведемо висоту трапеції. В даному випадку це зручно зробити так: проводимо через точку перетину діагоналей трапеції MNA-AB. Тоді MN і є шукана висота ft. Так як трапеція рівнобедрена, то MN є вісь симетрії трапеції, і тому точки М та N-середини відповідних основ трапеції. Знаючи основи трапеції, знаходимо, що АМ=Ю див, DN=6 див. Отримуємо також, що ААОМ = ADON=45°. Розглядаючи трикутники АМО та DON, отримуємо, що вони прямокутні та рівнобедрені. Тоді ОМ=АМ = 10 см, ON= = DN=6 см. Отже, m 50 h=MN=MO + ON=lO+6=l6 см. Тепер за вказаною вище формулою можна обчислити і площу трапеції, знайдемо STp=256 см2. Процес вирішення цього завдання складається з наступних етапів: 1) задачу обчислення площі трапеції звели до завдання знаходження висоти трапеції; 2) задачу знаходження висоти трапеції розбили на дві підзадачі: а) знаходження довжини відрізка МО висоти MN; б) знаходження довжини відрізка ON тієї ж висоти; 3) задачі 2 (а, б) звели до двох завдань: а) розпізнавання виду прямої MN по відношенню до заданої трапеції; б) визначення сторін МО та ON трикутників АОМ та DON; 4) в результаті розв'язання задачі 3 (а) встановили, що MN є вісь симетрії трапеції. Це дозволило знайти AM та DN, а також кути АбМ та DON; 5) результати вирішення задачі 4 та умова перпендикулярності діагоналей трапеції дозволили встановити, що трикутники АОМ та DON прямокутні та рівнобедрені; 6) отже, задача 3 (б) звелася до такої: знайти катет прямокутного рівнобедреного трикутника, якщо відомий інший катет. Розв'язавши задачу 6, повернулися до задачі 2, а потім до вихідної задачі. Наведені приклади показують, що процес розв'язання будь-якої нестандартної задачі полягає у послідовному застосуванні двох основних операцій: 1) зведення (шляхом перетворення або переформулювання) нестандартної задачі до іншої, їй еквівалентної, але вже стандартної задачі; 2) розбиття нестандартної задачі на кілька стандартних підзавдань. Залежно від характеру нестандартного завдання ми використовуємо або одну з цих операцій або обидві. При вирішенні складніших завдань ці операції доводиться використовувати багаторазово. У математиці немає жодних загальних правил щодо застосування зазначених двох операцій для вирішення нестандартних завдань. Математика не займається розробкою таких правил, але в шкільному курсі математики на багатьох прикладах ви могли спостерігати використання цих операцій. Хоча, як ми сказали, загальних правил для вирішення нестандартних завдань немає (тому ці завдання і називаються нестандартними) і немає якихось точних правил використання операцій з 51 зведення рішення нестандартних завдань до вирішення стандартних, проте багато видатні математики та педагоги знайшли ряд загальних вказівок-рекомендацій, якими слід керуватися під час вирішення нестандартних завдань. На відміну від математичних правил евристики носять характер не обов'язкових рекомендацій, порад, дотримання яких може призвести (а може і не призвести) до вирішення завдання. Деякі найзагальніші і найчастіше використовувані евристичні правила ми докладно розглянемо в наступному розділі, а більш приватні евристики обговоримо в другій частині книги. Завдання 12 Розв'яжіть наведені нижче завдання, проаналізуйте ці рішення та вкажіть, до яких стандартних завдань зводиться або на які стандартні завдання розбивається кожне з цих нестандартних завдань. 12.1. Розкласти на множники многочлен b3 + 2b2-2b + l. 12.2. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 13 м. Якщо кожен катет збільшити на 3 м, то гіпотенуза збільшиться на 4 м. Знайти катети цього трикутника. 12.3. Побудувати трикутник на підставі, медіані та висоті, проведених до цієї основи. Розділ III ПОШУК ПЛАНУ РІШЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ЗАВДАНЬ Вам пропонують вирішити якесь завдання або ви раптом самі захотіли це зробити. Хіба ви знаєте, яка вона: стандартна чи нестандартна? На основі яких загальних правил та положень вона може бути вирішена? За допомогою яких прийомів та операцій вона може бути зведена до добре знайомих завдань? Все це ви маєте самі встановити. Іншими словами, щоб розв'язати завдання, треба знайти план розв'язання. Пошук плану рішення складає центральну частинувсього процесу розв'язання. Знайшовши план, його здійснення вже не складає особливих труднощів, воно вимагає лише технічних умінь виконання тих дій і операцій, які вивчаються в курсі математики. грецького походженняі означає "мистецтво знаходження істини". 52 матики. Звичайно, передбачається, що такими технічними вміннями ви маєте. Однак починати процес розв'язання задачі треба не безпосередньо з пошуку плану рішення, а як було встановлено в першому розділі, починати треба з глибокого та всебічного аналізу задачі та побудови її схематичного запису, якщо це потрібно. Але аналіз завдання, побудова її схематичного запису не самоціллю, а лише засобом для пошуку плану рішення. Аналіз завдання та побудова схематичного запису повинні проводитися спрямовано. Їхня мета - пошук плану розв'язання задачі. При цьому не потрібно уявляти, що план рішення - це обов'язково точний і повний перелік усіх дій та операцій, які треба виконати, щоб вирішити це завдання. Здебільшогоплан - це лише ідея рішення, його задум, а точний та повний перелік дій виникає поступово, вже в процесі здійснення знайденої ідеї, задуму рішення. Може статися, що знайдена ідея рішення неточна, інколи ж і просто неправильна. Тоді доводиться знову повертатися до аналізу завдання, шукати іншу ідею вирішення чи уточнювати знайдену раніше. Як же шукати план розв'язання задачі? Односкладної і цілком певної відповіді на це питання дати не можна, бо пошук плану вирішення завдань є дуже важким і таким, що не піддається точному визначеннюпроцесом. Однак, як ми вже говорили, можна дати низку рекомендацій, порад для того, щоб навчитися шукати рішення завдань. Розгляду цих рекомендацій і присвячено цей розділ. При цьому ми дуже наполегливо радимо вам зрозуміти, що розв'язання задач не можна навчити, а можна лише самому навчитися. І ціль нашої книги не в тому, щоб вас навчити, а в тому, щоб допомогти вам самим навчитися вирішувати завдання (особливо пошуку планів розв'язання), прищепити математичну культуру. ІІІ.1. Розпізнавання виду задачі Коли приступаємо до вирішення будь-якої задачі, то перше, що хочеться, природно, дізнатися, це: що це за завдання? Якого вона вигляду, типу? Інакше кажучи, треба розпізнати вид цього завдання. Якщо ми зуміємо це зробити, встановимо, якого виду завдань вона належить, тим самим зробимо перший, дуже важливий кроку пошуках плану її розв'язання. Адже, знаючи вид завдання, здебільшого отримуємо і спосіб її вирішення, бо в курсі математики для багатьох видів завдань є загальні правила їх вирішення. Як розпізнати вид завдання? Для цього, очевидно, потрібно знати основні види математичних завдань та їх ознаки. Першою ознакою, за якою